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高中数学模块过关专题讲座练习:第六讲 等比数列


必修五第六讲
一、知识回顾

等比数列

新知 1: 1. 等比数列定义:一般地,如果一个数列从第 项起, 一项与它的 一项的 等于 常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母 表 示(q≠0) ,即:
an a n ?1

=

(q≠0)


2. 等比数列的通项公式: a 2 ? a1 a3 ? a 2 q ; ∴
a n ? a n ? 1 q ? a1 ?

? ( a1 q ) q ? a1

; a4

? a 3 q ? ( a1 q ) q ? a1
2



… …

等式成立的条件

3. 等比数列中任意两项 a n 与 a m 的关系是: 。 新知 2:等比中项定义 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 称为 a 与 b 的等比中项. 即 G= (a,b 同号). 试试:数 4 和 6 的等比中项是 . 新知 3:等比数列的性质 1. 数列 { | a n |} , { a n 2 } , { ca n }
| q |, q , q , q , q
2 m k

(c ? 0)

, { a nm }

(m ? N )
*

, { a n k } 等,也为等比数列,公比分别为
an bn }

. 若数列 { b n } 为等比数列,则 ? a n ? b n ? , {
n?m

也等比.

2. 若 m ?

N

*

,则 a n ? a m ? q

. 当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式.
? a pak

3. 在等比数列中,若 m+n=p+q,则 a m a n 4. 若 { a n } 各项为正,c>0,则 { lo g c

, m , n, p, q ? N 。 为公差的等差数列.
b1 d

?

a n } 是一个以 lo g c a1 为首项, lo g c q
bn

若 { b n } 是以 d 为公差的等差数列,则 { c } 是以 c 为首项, c 为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数列时,这个数列是非零的常数列.

二、典型例题
例 1 (1) 一个等比数列的第 9 项是
4 9

,公比是- ,求它的第 1 项;
3

1

(2)一个等比数列的第 2 项是 10,第 3 项是 20,求它的第 1 项与第 4 项.

变式: 一个各项均正的等比数列, 其每一项都等于它后面的相邻两项之和, 则公比 q ?( A.
3 2

) .

B.

3 5 2

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 2

小结:关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式 a n 例 2 在等比数列{ a n }中,已知 a 4 ? a 7 ? ? 512 ,且 a 3

? a1 q

n ?1

. .

? a 8 ? 1 2 4 ,公比为整数,求 a 1 0

变式 1:在等比数列{ a n }中,已知 a 7 ? a 12 ? 5 ,则 a 8 ? a 9 ? a 10 ? a 11 ?

.

变式 2:在 7 和 56 之间插入 a 、 b ,使 7、 a 、 b 、56 成等比数列,若插入 c 、 d ,使 7、 c 、 d 、56 成等差数列,求 a + b + c + d 的值.

三、课堂练习
1. 在 ? a n ? 为等比数列, a 1 ? 1 2 , a 2 A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
? 24

,则 a 3

?



).

2. 等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为
8 3

9

1

2 3

,这个数列的项数 n=(

).

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

3. 已知数列 a,a(1-a) a1( ?) a 2 ,…是等比数列,则实数 a 的取值范围是( , A. a≠1 B. a≠0 且 a≠1 C. a≠0 D. a≠0 或 a≠1
2 a1 ? a 2 2 a3 ? a4

).

4. 设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数列,公比为 2,则



.

5. 在等比数列 { a n } 中, 2 a 4

? a6 ? a5

,则公比 q=

.

6. 在 ? a n ? 为等比数列中, a n A. ±4 B. 4

? 0

, a2 a4

? 2 a3 a5 ? a5 ? 1 6
2

,那么 a 3

? a5 ?



).

C. 2

D. 8

7. 若-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列, 则 b2(a2-a1)=( ). A.8 B.-8 C.±8 D.
9 8

8. 若正数 a,b,c 依次成公比大于 1 的等比数列,则当 x>1 时,lo g a A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列

x

,lo g b x ,lo g c x (



9. 在两数 1,16 之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间数等于

.

10. 在各项都为正数的等比数列 ? a n ? 中, a 5 ? a 6 ? 9 , 则 log3 a 1 + log3 a 2 +…+ log3 a 1 0
?

.

四、总结提升
1.等比数列定义; 3. 等比中项定义; 2. 等比数列的通项公式和任意两项 a n 与 a m 的关系. 4. 等比数列的性质.

五、课后作业
1.在等比数列 { a n } 中, ⑴
a4 ? 27

,q=-3,求 a 7 ;



a2 ? 18

, a4

?8

,求 a 1 和 q;



a4 ? 4

, a7

? 6

,求 a 9 ;



a 5 ? a 1 ? 1 5, a 4 ? a 2 ? 6

,求 a 3 .

2. 在 ? a n ? 为等比数列中, a 1 ?a 9

? 64

, a3

? a7 ? 20

,求 a 1 1 的值.

3. 已知等差数列 ? a n ? 的公差 d≠0,且 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列,求

a1 ? a 3 ? a 9 a 2 ? a 4 ? a1 0

.


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