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长沙市一中高一第二学期数学试卷


长沙市一中高一数学期末考试试卷
时量:115 分钟 命题:罗欲晓 校对:汤新德

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 3 分) 1.已知不同直线 m 、 n 和不同平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ① ③

? // ? ? ? ? m // ? m ???
m ??? ? ? m, n 异面 n?? ?

② ④ )个 B.1

m // n ? ? ? n // ? m // ? ?

? ? ?? ??m? ? m // ? ?
C.2 ) B. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 D. 3x ? 2 y ? 1 ? 0 ) D.1 ) D.3

其中错误的命题有( A.0 A. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 1 ? 0

2.直线 l 过点 A(3,0) 和点 B(0, 2) ,则直线 l 的方程是(

3.两条平行线 l1 : 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与 l2 : 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 之间的距离是( A.3 B.

3 5

C.

1 5

4.直线 l 的方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,当 A ? 0 , B ? 0 , C ? 0 时,直线 l 必经过( A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限
2 2 2 2

B.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限 ) B.外离 C.内含 D.内切 ) D. ) D. (?2,3)

5. O1 : x ? y ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 与 O2 : x ? y ? 8x ? 6 y ? 16 ? 0 的位置关系是( A.相交 6.长方体的长、宽、高分别为 5、4、3,则它的外接球表面积为( A.

25 ? 2

B.50 ?

C.

125 2 ? 3

50 ? 3

7.点 P(7, ?4) 关于直线 l : 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 的对称点 Q 的坐标是( A. (5, 6) B. (2,3) ) B. (?2, ??) C. (?5,6)

8.已知 C : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 15 ? 0 上有四个不同的点到直线 l : y ? k ( x ? 7) ? 6 的距离 等于 5 ,则 k 的取值范围是( A. (??, 2)

1 C. ( , 2) 2

1 D. (??, ) 2

(2, ??)

第 1 页 共 8 页

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分) 9.如图的空间直角坐标系中,正方体棱长为 2, | PQ |? 3 | PR | , 则点 R 的空间直角坐标为 .

) 在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程 10. 过 点 ( 5 , 2 且



. .

11.过三点 (?2,0),(6,0),(0, ?6) 的圆的方程是

12.棱长为 a 的正方体中,把相邻面的中心连结起来,以这些线段为棱的八面体的体积 为 13. 为 .
O1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 与 O2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 的 公 共 弦 长

.

14.曲线 y ? 2 ? 3 ? 2x ? x2 与直线 y ? k ( x ? 1) ? 5 有两个不同交点时, 实数 k 的取值范围 是 .

15.将半径都为 2 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的 最小值为 .

第 2 页 共 8 页

高一数学期末考试答卷
第一卷
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 9. 11. 13. 15. 三、解答题(本大题共 7 小题,第 16、18、19、20 题每小题 8 分,第 17、21 题每小题 9 分,第 22 题 5 分) 16. 在四面体 ABCD 中, 已知棱 AC 的长为 2 , 其余各棱长都为 1, 求二面角 B ? AC ? D 的大小. 10. 12. 14. 1 2 3 4 5 6 7 8

请各监考老师注意:一定按装订点装订、订牢

班 级

姓 名

学 号

考室号

第 3 页 共 8 页

座位号
17. (1)过点 P(2, 4) 向圆 O : x2 ? y 2 ? 4 作切线,求切线的方程; (2)点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 上,点 Q 在直线 4 x ? 3 y ? 21 上,求 | PQ | 的 最小值.

18.在四面体 ABCD 中, CB ? CD , AD ? BD ,且 E 、 F 分别是 AB 、 BD 的中点. 求证: (1)直线 EF // 面 ACD ; (2)面 EFC ? 面 BCD .

第 4 页 共 8 页

第二卷
19.已知圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 ,直线 l : (4? ? 2) x ? (3 ? 5? ) y ? 2? ? 12 ? 0 . (1)求证:直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时 ? 的值以及最短弦长.

20.如图,在五面体 ABCDEF 中, FA ? 平面 ABCD , AD // BC // FE , AB ? AD ,M 为
EC 的中点, AF ? AB ? BC ? FE ?

1 AD . 2

(1)求异面直线 BF 与 DE 所成角的大小; (2)证明:平面 AMD ? 平面 CDE ; (3)求 MD 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

第 5 页 共 8 页

21 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 和 圆

C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 .
(1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它 们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦 长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标.

22.已知 a ? 0 , b ? 0 且 a ? 3b ? 2ab ,求 a ? b ? a2 ? b2 的最大值.

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高一数学期末考试参考答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 1 D 2 A 3 B 4 A 5 D 6 B 7 C 8 C

4 4 9. ( ,2, ) 3 3

10. 2 x ? 5 y ? 0 或 x ? 2 y ? 9 ? 0 ;

11.

x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 12 ? 0 ;

12.

a3 6

13. 2 5

14. (

5 3 3 5 , ] [? , ? ); 2 2 2 2

15.

8?

4 6. 3

三、解答题 16.略解:90 ? 17. (1) x ? 2 或 3x ? 4 y ? 10 ? 0 ; (2) | PQ | 的最小值为 3. 18.证略 19. (1)直线 l 过定点 (3, 2) ,而 (3, 2) 在圆 C 内部,故 l 与圆 C 恒相交; (2) 弦长最短时, 弦心距最长, 设 P(3, 2) , 则当 l ? CP 时, 弦长最短, 此时 ? 得 ? ? 5 ,弦长最短 2 23 . 20. (1) 60 ? ; (2)略; (3) MD ? 故 sin ? ?
3 6 1 ED ? AF , M 到面 ABCD 的距离是 AF , 2 2 2

4? ? 2 ?1 3 ? 5?

6 . 6 21. (1)直线 l : y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 ;

1 (2)设 P(a, b) , l1 : y ? b ? k ( x ? a) , l2 : y ? b ? ? ( x ? a)(k ? 0) ,因为两圆半径相等, k 1 | 5 ? (4 ? a) ? b | |1 ? k (?3 ? a) ? b | k ? ? k 3 ? a k ? b |? | 5 k ? 4? a ? , b k故 | 故 整理得 |1 1 1? k2 1? 2 k 1? 3 k ? a k ? b ?5 k ?4 ? a ? b k 或 1 ? 3k ? ak ? b ? ?5k ? 4 ? a ? bk , 即 k (a ? b?2 )k ? ( a ? b ? b ? 8) 3 k a ? ? a ? b ? 5 或 ,因为 的取值有无穷多个,故
?a ? b ? 2 ? 0 ?a ? b ? 8 ? 0 5 1 3 13 或? ,得 P ). ? 1( , ? ) 或 P 2 (? , 2 2 2 2 ?b ? a ? 3 ? 0 ?a ? b ? 5 ? 0

3 1 3 1 x y 22. a ? 3b ? 2ab ? 2 ? 2 ? 1 ? 直线 ? ? 1 过点 P ( , ) , 2 2 a b a b

如图可知 a ? b ? a2 ? b2 即为 Rt ? AOB 的内切圆直径,由直观易 知, 当内切圆恰与动直线 AB 相切于定点 P 时, 内切圆直径最大设

第 7 页 共 8 页

所 示 圆 圆 心 (r , r ) , 则 r ? (r ?
r?

3 2 1 ) ? (r ? )2 得 r 2 ? ( 3 ? 1)r ? 1 ? 0 , 取 较 小 根 2 2

3 ?1? 2 3 (较大根是 ?AOB 的旁切圆半径) ,故所求最大值 3 ? 1 ? 2 3 . 2

第 8 页 共 8 页



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