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数学归纳法的应用举例(一)


2.1数学归纳法及其应用举例(一) . 数学归纳法及其应用举例 数学归纳法及其应用举例(

举例1: 举例 观察 6=3+3

不完全归纳
8=5+3 10=3+7 歌德巴赫猜想

14=3+11 ??? ???78=67+11 ???

所有大于2的偶数都可以表示为两个素数的和 所有大于 的偶数都可以表示为两个素数的和 都可以表示为两个素数 举例2. 举例

完全归纳

教师根据成绩单,逐一进行核实后下结论: 教师根据成绩单,逐一进行核实后下结论: 全班这次数学期中考试有两个同学不及格 简单地说是一种“ 特殊到一般” 简单地说是一种“由特殊到一般”的推理方 所以也叫归纳推理。 法,所以也叫归纳推理。

a n = ( n 2 ? 5n + 5 ) 2 说明: 说明:一个数列的通项公式为
容易得到a1=1,a2=1,a3=1,a4=1,由此可得an=1,n∈N* 由此可得 ∈ 但是我们发现a5≠1 注:当然,归纳法可以帮助我们从具体事例中发现 当然, 一般规律, 一般规律,但由归纳法推理得到的结果有时是不正 确的,通常也称为不完全归纳法。 确的,通常也称为不完全归纳法

2、数学归纳法的原理与证明方法: 、数学归纳法的原理与证明方法: 对于由归纳法得到的某些与正整数有关的数学命 对于由归纳法得到的某些与正整数有关的数学命 正整数 我们常采用下面的方法来证明它的正确性: 题,我们常采用下面的方法来证明它的正确性 (1)先证明当 取第一个值 no (如 no = 1 )时命题成立。 时命题成立。 )先证明当n取第一个值 如 时命题成立
n = k ( k ∈ N ? , k ≥ no ) 时命题成立,并 时命题成立, (2)假设当 )

证明当 n = k + 1 时命题也成立

是一个等差数列, 例1、如果 {a n } 是一个等差数列,那么 a n = a1 + (n ? 1)d 、 对一切 n ∈ N ? 都成立

说明: 说明: (1)数学归纳法的两个步骤,一个结论组成 )数学归纳法的两个步骤, (2)两个步骤缺一不可;单靠 我们无法递 )两个步骤缺一不可;单靠(1)我们无法递 推下去,单靠( ) 推下去,单靠(2)也可能得到不正确的结论 典故:烽火戏诸侯) (典故:烽火戏诸侯)

实际问题:多米诺骨牌就是对数学归纳法的应用 实际问题:多米诺骨牌就是对数学归纳法的应用

例2、用数学归纳法证明: 、用数学归纳法证明:
n (n + 1 )(2 n + 1 ) = 6

1 + 2 + 3 +L+ n
2 2 2

2

3、数学归纳法的应用举例 、 (1)可以用来证明恒等式 ) 例3、求证: 、求证:
1 1 1 1 1 1 1 1 1? + ? +L+ ? = + +L+ 2 3 4 2n ? 1 2n n + 1 n + 2 2n

注:用数学归纳法去证明命题过程常出现的错误: 用数学归纳法去证明命题过程常出现的错误: 估计的错误( )没用利用归纳 归纳假设 (1)项数估计的错误(2)没用利用归纳假设 )项数估计的错误 (3)关键步骤会含糊不清。 )关键步骤会含糊不清。

练习1: 练习 :证明

(n + 1)(n + 2)(n + 3)L (n + n) = 2 n ? 1 ? 3 ? L ? (2n ? 1)(n ∈ N ? )
练习2:用数学归纳法证明: 练习 :用数学归纳法证明:设 1 1 1 f ( n) = 1 + + + ? ? ? + , 2 3 n 则 n + f ( 1 ) + ( 2 ) + ? ? ? + f ( n ? 1 ) = nf ( n )
( n ∈ N 且 n ≥ 2)

第一步要证的等式是

三、课堂小结 1、归纳法的有关概念 、 2、数学归纳法证明命题的原理及证明步骤。 、数学归纳法证明命题的原理及证明步骤。 3、数学归纳法证明过程中常出现的错误。 、数学归纳法证明过程中常出现的错误。

四、课外作业: 课外作业 课本P67 课本 2、3 习题


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