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【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 3.2平面向量基本定理课件 新人教A版必修4


第二章

平面向量

3.2 平面向量基本定理

1.问题导航
(1)平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系? (2)在平面向量基本定理中为何要求向量e1,e2不共线?

(3)对于同一向量a,若基底不同,则表示这一向量a的实数
λ1,λ2的值是否相同?

2.例题导读

P86例4.通过本例学习,学会应用平面向量基本定理解决实际
问题. 试一试:教材P87习题2-3 A组T7你会吗?

P86例5.通过本例学习,学会用已知向量表示其他向量.
试一试:教材P87习题2-3 A组T5,T6你会吗?

1.平面向量基本定理

不共线 (1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个__________ 向量, 唯一一对实数 那么对于这一平面内的任一向量a,存在_______________ ,
λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

不共线的向量e1,e2叫作表示这一平 (2)基底:我们把____________
面内所有向量的一组基底.
2.三点共线的充要条件 平面上三点 A、B、C 共线的充要条件是:存在实数 α、β,使 → → → 得OA=αOB+βOC.其中α + β =1, O 为平面内任意一点.

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向 量的基底.( ) × (2)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2 (λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.( ) √ ) × (3)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d.( 以作为该平面内向量的基底. (2)正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向

解析:(1)错误.根据基底的概念可知,平面内不共线的向量都可

量e1,e2线性表示.
(3)错误.当e1与e2共线时,结论不一定成立.

2.已知平行四边形 ABCD,下列各组向量中,是该平面内所 有向量基底的是( D ) → → A.AB,DC → → C.AD ,CB → → B.AD ,BC → → D.AB, BC

→ → 解析:因为AB, BC不共线,故是一组基底.

3.已知向量 a 与 b 是一组基底, 实数 x,y 满足 (3x-4y)a+(2x

3 - 3y)b= 6a+3b,则 x- y=________ .
? ? ?3x- 4y= 6, ?x=6, 解析:由原式可得? 解得? ?2x- 3y= 3, ?y= 3, ? ?

所以 x-y=3.

→ → → 4. 已知向量 a 与 b 不共线, 且AB=a+4b, BC=-a+9b, CD A,B,D =3a-b,则共线的三点为_______________.

→ → → → 解析:BD =BC+CD =-a+9b+3a-b=2a+8b,因为AB=a → 1→ +4b,所以AB= BD ,所以 A,B,D 三点共线. 2

1.定理的实质 平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任意向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式. 2.分解的唯一性 平面向量基本定理中,平面内任意两个不共线的向量都可以 作为基底,一旦选定一组基底,则给定向量沿着基底的分解 是唯一的.

3.体现的数学思想
平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解 决几何问题时,我们可以选择恰当的基底,将问题涉及的向

量用基底化归,使问题得以解决.

对基底的理解
设 e1,e2 是同一平面内不共线的两个向量,给出下列四 组向量:①e1 与 e1+e2;②e1-2e2 与 e2-2e1;③e1-2e2 与 4e2 -2e1; ④e1+e2 与 e1-e2.其中不能作为平面内所有向量的一组

③ 基底的是________ .(写出满足条件的序号)

[解析 ]

由基底的定义可将此问题转化为判断各组中的两个向

量是否共线的问题.若不共线,则它们可作为一组基底;若共 线,则它们不能作为一组基底.①中,设 e1+ e2=λ e1,则
? ?λ =1, ? 无解,所以 e1+ e2 与 e1 不共线,即 e1 与 e1+ e2 可作 ?1=0, ?

为一组基底;②中,设 e1- 2e2=λ(e2- 2e1),则(1+ 2λ)e1- (2
? ?1+2λ= 0, + λ)e2=0,则? 无解,所以 e1- 2e2 与 e2-2e1 ? ?-(2+ λ)= 0,

不共线,

即 e1-2e2 与 e2- 2e1 可作为一组基底;③中,因为 e1- 2e2= 1 - (4e2-2e1), 所以 e1- 2e2 与 4e2-2e1 共线,即 e1- 2e2 与 4e2 2 - 2e1 不能作为一组基底;④中,设 e1+ e2= λ(e1- e2),则 (1-
? ?1+ λ= 0, λ)e1+(1+ λ)e2=0,所以? 无解,所以 e1+ e2 与 e1- ? ?1- λ= 0,

e2 不共线,即 e1+ e2 与 e1- e2 可作为一组基底.

方法归纳 同一平面内的两个向量能不能作为基底, 关键是看它们共不共 线,在同一平面内,只要两个向量不共线,就可以作为一组基 底.

1. (1)设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线 AC 与 BD 的交点,下列向量组可作为表示这个 平行四边形所在平面的所有向量的基底的是 ( C ) → → → → → → → → ①AD 与 AB;②DA与BC;③CA与DC;④OD与OB. A.①② C.①③ 作为基底. B.④ D.①④

(2)设 a, b 不共线, c=2a- b, d=3a- 2b,试判断 c, d 能否

解:(1)判断两个向量能否作基底,只需看两个向量是否共线, → → → → 由图可知AD 与AB不共线,CA与 DC不共线,故①③可作为基 底. (2)假设存在唯一实数 λ,使得 c= λd, 则 2a- b= λ(3a- 2b),即 (2- 3λ)a+ (2λ-1)b=0. 因为 a, b 不共线,
? ?2-3λ=0, 所以? ? ? ?2λ - 1= 0

? ? 1 ?λ =2.

2 λ = , 3

所以这样的 λ 是不存在的,从而 c, d 不共线. 所以 c, d 能作为基底.

用基底表示向量
(1)如图,梯形 ABCD 中 AB∥ CD, AB= → → 2CD, 点 O 为空间任意一点, 设OA= a, OB= b, → → OC= c,则向量OD用 a,b, c 表示为( D ) A. a- b+ 2c B.a-b- 2c 1 1 C.- a+ b+ c 2 2 1 1 D. a- b+ c 2 2

(2)如图所示, D 是 BC 边的一个四等分点.

3→ 1→ AB+ AC 4 4 → → → → 试用基底AB,AC表示AD ,则AD = ________________.

(链接教材 P86 例 5)

[解析 ]

(1)因为 AB∥ CD, AB= 2CD,

→ 1→ 所以CD = BA, 2 → → → → OD=OA+ AC+CD → → → 1→ =OA+ OC-OA+ BA 2 1 1 → 1 → → =OC+ (OA- OB)= a- b+ c. 2 2 2

(2)因为 D 是 BC 边的四等分点, → 1→ 1 → → 所以BD = BC= (AC-AB), 4 4 → → → → 1 → → 所以AD =AB+BD =AB+ (AC- AB) 4 3→ 1→ = AB+ AC. 4 4

→ → → 若本例(2)中的条件不变,用基底AB,AC表示CD.

解:因为 D 是 BC 边的四等分点, 3→ 3→ → 3→ 3 → → 所以CD = CB= (AB-AC)= AB- AC. 4 4 4 4 → 3→ 3→ 即CD = AB- AC. 4 4

方法归纳 (1)根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示任意向 量.用基底表示向量,实质上主要是利用三角形法则或平行四 边形法则,进行向量的加减法运算. (2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形, 利用已知 向量表示未知向量,或找到已知向量与未知向量的关系,用方 程的观点求出未知向量.

→ → 2.(1)已知 AM 为△ ABC 的 BC 边上的中线,若AB= a,AC= → b,则AM= ( D ) 1 A. (a-b) 2 1 C.- (a+ b) 2 1 B.- (a-b) 2 1 D. (a+b) 2

(2)如果 3e1+ 4e2=a,2e1+ 3e2=b,其中 a,b 为已知向量,则 3a-4b ,e2= _____________( 3b-2a e1=__________ 用 a,b 表示).

(3)已知梯形 ABCD 中,AB∥ DC,且 AB=2CD,E、F 分别是 → → → DC、 AB 的中点, 设AD =a, AB=b, 试以 a、 b 为基底表示DC、 → → BC、EF.

→ → → 解:(1)因为BC=AC- AB=b-a, → 1→ 1 BM= BC= (b-a), 2 2 1 1 → → → 所以AM=AB+BM= a+ (b-a)= (a+ b). 2 2

? ?a=3e1+ 4e2, (2)由? 解得 e1= 3a-4b, e2=3b- 2a. ? ?b=2e1+ 3e2,

故填 3a- 4b 和 3b-2a. (3)如图,连接 FD, 因为 DC∥ AB, AB= 2CD, E、 F 分别是 DC、 AB 的中点, 所以 DC 綊 FB,

所以四边形 DCBF 为平行四边形. → → 1→ 1 所以DC=FB= AB= b, 2 2 1 → → → → → 1→ BC=FD = AD -AF=AD - AB= a- b, 2 2 → → → → → → 1→ EF=DF- DE=-FD -DE=-BC- DC 2 1 ? 1 1 1 ? =- a-2b - × b= b-a. ? ? 2 2 4

平面向量基本定理的应用

如图, 已知点 G 是△ ABC 的重心, 若 → → PQ 过△ ABC 的重心 G, 且AB= a, AC= b, → → AP= ma,AQ = n b(m>0,n>0),试问 m,n 的倒数和是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理 由.

→ → → 1 [解 ] 因为AB=a,AC= b,AD = (a+b), 2 → 2→ 1 所以AG = AD = (a+b), 3 3 由于 P、 G、 Q 三点共线, → → → → 则PG∥ GQ?PG= λGQ(λ 为正实数 ), → → → 1 因为PG=AG -AP= (a+ b)-ma 3 1 1 ? ? - m =3 ? ?a+3b, 1? 1 1 → → → ? GQ=AQ - AG = n b- (a+b)=- a+ n-3 b, 3 3 ? ?

1? ? 1 1 1 ? ? ? ? 所以 3- m a+ b= λ -3a+?n-3 ?b , ? ? 3 ? ? 1 1 ? ?1 1 ? ? 可得 3- m+3λ a+ 3- λn+3λ b= 0, ? ? ? ? 由于 a, b 不共线, 1 1 1 1 则必有 - m+ λ = - λn+ λ =0, 3 3 3 3 消去 λ,整理得 3mn= m+ n, 1 1 所以 + = 3 为定值. m n

方法归纳 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量作为基底. (2)将相关的向量用基底向量表示,将几何问题转化为向量问 题. (3)利用向量知识进行向量运算,得出向量问题的解. (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.

3. (1)如图,在矩形 OACB 中, E 和 F 分别是边 AC 和 BC 上 → → → 的点,满足 AC=3AE, BC= 3BF,若OC=λ OE+ μOF,其 中 λ,μ ∈ R,求 λ,μ 的值.

→ → (2)已知,在△ AOB 中,点 P 在直线 AB 上,且满足OP=2tPA → |PA| → + tOB(t∈ R),求 的值. → |PB|

→ → → 解:(1)在矩形 OACB 中,OC=OA+ OB, → → → → → → → OC= λOE+ μOF= λ(OA+AE)+ μ(OB+BF) → 1→ ? → 1→ ? = λ(OA+ OB)+ μ OB+ 3OA 3 ? ? 3λ + μ → 3μ + λ → = OA+ OB, 3 3 3λ + μ 3μ + λ 所以 =1, = 1, 3 3 3 所以 λ= μ= . 4

→ → → → → → → (2)PA=OA- OP,所以OP= 2t(OA-OP)+ tOB, → → → 即 (1+2t)OP= 2tOA+ tOB, 2t → t → → 得OP= OA+ OB. 1+2t 1 +2 t → → → 而 P, A, B 三点共线,所以存在实数 λ 使得AP= λAB,即OP 2t t → → = (1- λ)OA+ λOB,所以 + = 1, 1+2t 1+2t 解得 t= 1, → → → → → → 所以OP=2PA+ OB,得OP- OB=2PA, → |PA| 1 → → 即BP= 2PA,有 = . → 2 |PB|

易错警示

对平面向量基本定理理解不准确
致误

如图,在△ ABC 中,点 M 是边 BC 的中点, 点 N 在边 AC 上, 且 AN= 2NC.AM 与 BN 相交于点 P,则 AP∶ PM= ( B ) A. 1∶ 4 C. 4∶ 5 B.4∶1 D. 5∶ 4

[解析 ]

→ → 设BM= e1,CN = e2,

→ → → 则AM= AC+CM=- 3e2- e1, → → → BN =BC+ CN =2e1+ e2. 因为 A,P, M 和 B, P, N 分别共线, → → 所以存在实数 λ,μ ,使得AP= λAM=- λe1- 3λe2, → → BP= μBN = 2μe1+ μe2. → → → 故BA= BP-AP= (λ+ 2μ)e1+ (3λ+μ )e2,

→ → → 而BA= BC+CA= 2e1+3e2,
? ?λ +2μ=2, 由平面向量基本定理,得? 解得 ?3λ + μ=3, ?

? ? 3 ?μ =5.

4 λ = , 5

→ 4→ 所以AP= AM,所以 AP∶PM=4∶ 1. 5

[错因与防范 ]

(1)解答本题,常常因为对平面向量基本定理理

→ 解不准确,而导致不能正确地表示出BA,进而得出 AP∶PM 的错误结果. (2)为避免可能出现上述错误,应注意以下两点: ①充分挖掘题目中的有利条件,利用等量关系列出方程(组), 如本例中由 AM 与 BN 相交,得到相应三点共线,即 A, P, M 与 B,P,N 分别共线.由共线定理得两个方程,然后求解. ②用基底表示向量也是用向量解决问题的基础. 应根据条件灵 活应用, 通常以与待求向量密切相关的两个不共线向量作为基 底.

1 4.设 D, E 分别是△ ABC 的边 AB, BC 上的点, AD= AB, 2 2 → → → BE= BC.若 DE= λ1AB+ λ2AC(λ1,λ 2 为实数 ),则 λ1+λ2 的值 3 1 为 ________ . 2
1→ → → → 2→ 1→ 2 → → 解析:由题意DE=BE-BD = BC- BA= (AC-AB)+ AB 3 2 3 2 1→ 2→ 1 2 1 =- AB+ AC,于是 λ1=- , λ 2= ,故 λ1+λ2= . 6 3 6 3 2

1.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1,e2不共线,则

a+b与c=6e1-2e2的关系是(
A.不共线 C.相等 B.共线 D.不确定

)B

解析:因为a+b=3e1-e2,所以c=2(a+b). 所以a+b与c共线.

→ → 2. 如图, 在△ ABC 中, 已知 D 是 AB 边上的一点, 若AD = 2DB,
2 → 1→ → 3 CD = CA+ λCB,则 λ=_______________________ . 3

→ → → → 2→ → 2 → → 1→ 2 解析:CD =CA+ AD =CA+ AB=CA+ (CB- CA)= CA+ 3 3 3 3 2 → CB,故 λ= . 3

3.如图,设点 P, Q 是线段 AB 的三等分点,

1 2 b+ a → → → 3 3 若OA= a,OB= b,则OP= _____________ , 1 2 a+ b 3 3 OQ= ______________( 用 a, b 表示 ). → → → 1→ → 解析:OP=AP-AO = AB+OA 3

1 → → 2 → 1→ 2→ 1 = (OB-OA)+OA= OB+ OA= b+ a, 3 3 3 3 3 → → → 2→ → OQ=AQ -AO = AB+OA 3 2 → → 2 → 2→ 1→ 1 = OB-OA +OA= OB+ OA= a+ b. 3 3 3 3 3

(

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