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2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高一(下)期末数学试卷(理科)


2014-2015 学年浙江省温州市瑞安中学高一 (下) 期末数学试卷 (理 科)
一.选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.若直线的倾斜角为 120°,则直线的斜率为( A. B.

) C. D.

2.若非零实数 a,b 满足 a>b,则( A. B.

) C. a >b
2 2

/>
D. a >b

3

3

3.下列函数中,以

为最小正周期的偶函数是(



A. y=sin2x+cos2x C. y=cos(4x+ )

B. y=sin2xcos2x D. y=sin 2x﹣cos 2x
2 2

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若

=(



A.

B.

C.

D.

5.已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 的最小值为(



A. 3

B. 1

C. ﹣5

D. ﹣6 ) ”

6. “直线 l1: (m+1) x+y=2﹣m 和 l2: 4x+2my=﹣16 互相平行”的充要条件是“m 的值为 ( A. 1 或﹣2 B. ﹣2 C. D. 1

7.若 A.

, B.

,则 sinθ=( C.

) D.

8.若 log2x+log2y=3,则 2x+y 的最小值是( A. B. 8

) C. 10

D. 12

9.已知向量

与向量

的夹角为 120 ,若向量

0



,则

的值为(



A. 2

B.

C.

D.

10. 已知直线 y=kx+2k+1 与直线 y=﹣ x+2 的交点位于第一象限, 则实数 k 的取值范围是 ( A. ﹣ B. k 或 k C. ﹣6<k<2 D. k



二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 2 11.不等式 x ﹣2x<0 的解集为 . 12.原点到直线 2x+y﹣5=0 的距离等于 13.当函数 y=sinx﹣ . . .

cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=

14.已知锐角△ ABC 中,tanB=2,tanC=3,则角 A=

15.在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=5,BC=8,则

?

=



16.设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=4a2+3,S4=4a4+3,则 q= .

三、解答题(本大题共 4 小题.共 42 分) 17.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=3,b=8, =(cosA,sinB) , =(cosB,﹣sinA) ,又 (1)求角 C 的值; (2)求 c 及△ ABC 的面积. 18.已知直线 l 过点 C(4,1) , (1)若直线 l 在两坐标轴上截距相等,求直线 l 的方程. (2) 若直线 l 分别与 x 轴、 y 轴的正半轴相交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 记|OA|=a, |OB|=b, 求 a+b 的最小值,并写出此时直线 l 的方程. 19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n +n,n∈N ,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N .
2 * *

=



(1)求 an,bn; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn. 20. 已知二次函数 ( f x) =x +mx+1 (m 为整数) 且关于 x 的方程 ( f x) ﹣2=0 在区间 内有两个不同的实根, (1)求整数 m 的值; (2)若对一切 ,不等式 恒成立,求实数 t 的取值范围.
2

2014-2015 学年浙江省温州市瑞安中学高一 (下) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.若直线的倾斜角为 120°,则直线的斜率为( A. B.

) C. D.

考点:直线的斜率. 专题:计算题. 分析:根据直线的斜率等于倾斜角的正切值,根据 tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函数 值得到直线 l 的斜率即可. 解答: 解:因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值, 所以直线 l 的斜率 k=tan120°=tan(180°﹣60°)=﹣tan60°=﹣ . 故选 B 点评:此题比较简单,要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值,以及灵活运用诱 导公式及特殊角的三角函数值进行化简求值. 2.若非零实数 a,b 满足 a>b,则( A. B. ) C. a >b
2 2

D. a >b

3

3

考点:不等关系与不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:对于 A、B、C 取特殊值即可否定,对于 D 利用不等式的基本性质即可证明. 解答: 解:A.虽然 3>﹣2,但是 B.虽然 3>﹣2,但是
2 2

,故 A 不成立; ,故 B 不成立;

C.虽然 2>﹣3,但是 2 <(﹣3) ,故 C 不成立; D.∵a>b, ∴a ﹣b =(a﹣b) (a +ab+b )=(a﹣b)
3 3 3 3 2 2

>0,

∴a >b .因此正确. 故选 D. 点评:熟练掌握不等式的基本性质和利用特殊值否定答案是解题的关键.

3.下列函数中,以

为最小正周期的偶函数是(



A. y=sin2x+cos2x C. y=cos(4x+ )

B. y=sin2xcos2x D. y=sin 2x﹣cos 2x
2 2

考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:根据三角函数的奇偶性和周期性分别进行判断即可得到结论. 解答: 解:函数 y=sin2x+cos2x=sin(2x+ 函数 y=sin2xcos2x= sin4x 的周期为 函数 y=cos(4x+
2

)的周期为 ,且为奇函数;

=π,且为非奇非偶函数;

= =

)=sin4x 的周期为
2

,且为奇函数; = ,且为偶函数;

函数 y=sin 2x﹣cos 2x=﹣cos4x 的周期为

故选:D 点评:本题主要考查函数周期和奇偶性的判断,要求熟练掌握三角函数的图象和性质.

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A. B. C.

=(



D.

考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据等差数列的性质进行转化求解. 解答: 解:在等差数列中,

=

=

=

=

=

× =



故选:A 点评:本题主要考查等差数列前 n 项和公式的应用,根据等差数列性质转化为项之间的关系 是解决本题的关键.

5.已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 的最小值为(



A. 3 考点:简单线性规划.

B. 1

C. ﹣5

D. ﹣6

专题:不等式的解法及应用. 分析:由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得 答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

化目标函数 z=x+2y 为

,由图可知当直线

过 A(﹣1,﹣2)时 z 有最小值

为﹣1+2×(﹣2)=﹣5. 故选:C. 点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 6. “直线 l1: (m+1) x+y=2﹣m 和 l2: 4x+2my=﹣16 互相平行”的充要条件是“m 的值为 ( A. 1 或﹣2 B. ﹣2 C. D. 1 ) ”

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题:计算题. 分析:根据两条直线互相平行,和所给的选项中没有数字 0,得到比例形式的充要条件,分别 解出等式和不等式,舍去不合题意的 m 的值,得到结果. 解答: 解:∵直线 l1: (m+1)x+y=2﹣m 和 l2:4x+2my=﹣16 互相平行 ∴ ∴2m +2m=4,16m+16≠4m﹣8 2 ∴m +m﹣2=0,12m≠﹣24 ∴(m+2) (m﹣1)=0,m≠﹣2 ∴m=1 即“直线 l1: (m+1)x+y=2﹣m 和 l2:4x+2my=﹣16 互相平行”的充要条件是“m 的值为 1” 故选 D. 点评:本题考查充要条件、必要条件与充分条件的判断,及直线的一般式方程与直线的平行 关系,本题解题的关键是熟练掌握直线平行的充要条件,不要忽略去掉两条直线重合的情况, 本题是一个易错题,错选成 A 选项.
2

7.若 A.

, B.

,则 sinθ=( C.

) D.

考点:二倍角的正弦. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用同角三角函数的基本关系求得 cos2θ 的值,再利用二倍角的余弦公式, 求得 sinθ 的值. 解答: 解:∵ ∴cos2θ=﹣ , =﹣ ,
2

,∴2θ∈,

再根据 sinθ>0,cos2θ=﹣ =1﹣2sin θ,可得 sinθ=



故选:C. 点评:本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦公式,属于基础题. 8.若 log2x+log2y=3,则 2x+y 的最小值是( A. B. 8 考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由对数的运算可得 x,y 均为正数且 xy=8,故 2x+y≥2 解答: 解:∵log2x+log2y=3, 3 ∴x,y 均为正数且 log2xy=3,即 xy=2 =8, ∴2x+y≥2 =2 =8, 当且仅当 2x=y 即 x=2 且 y=4 时取等号, ∴2x+y 的最小值为 8 故选:B 点评:本题考查基本不等式,涉及对数的运算,属基础题. ,代值计算可得. ) C. 10

D. 12

9.已知向量

与向量

的夹角为 120 ,若向量

0



,则

的值为(



A. 2

B.

C.

D.

考点:平面向量的综合题. 专题:计算题.

分析:利用向量的数量积公式求出

,利用向量数量积的运算律求出



用向量垂直的充要条件求出向量的模长之间的关系 解答: 解:∵ ∴ 即 ∴| || |cos120°+ ∴ =0 = =0

∴ 故选 C 点评:本题考查向量的数量积的运用,要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量 的模和夹角或证明垂直

10. 已知直线 y=kx+2k+1 与直线 y=﹣ x+2 的交点位于第一象限, 则实数 k 的取值范围是 ( A. ﹣ B. k 或 k C. ﹣6<k<2 D. k



考点:两条直线的交点坐标. 分析:联立 ,可解得交点坐标(x,y) ,由于直线 y=kx+2k+1 与直线 y=﹣ x+2

的交点位于第一象限,可得

,解得即可.

解答: 解:联立

,解得



∵直线 y=kx+2k+1 与直线 y=﹣ x+2 的交点位于第一象限,



,解得



故选:A. 点评:本题考查了直线的交点、不等式的解法,属于基础题.

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.不等式 x ﹣2x<0 的解集为 {x|0<x<2} . 考点:一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:把原不等式的左边分解因式,再求出不等式的解集来. 解答: 解:不等式 x ﹣2x<0 可化为 x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2; ∴不等式的解集为{x|0<x<2}. 故答案为:{x|0<x<2}. 点评:本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,解题时应按照解不等式的一般步骤进 行解答即可,是基础题. 12.原点到直线 2x+y﹣5=0 的距离等于 .
2 2

考点:点到直线的距离公式. 专题:计算题;直线与圆. 分析:由点到直线的距离公式,结合题中数据加以计算即可得到所求距离. 解答: 解:∵原点坐标为(0,0) ∴原点到直线 2x+y﹣5=0 的距离 d= =

故答案为: 点评:本题给出直线方程,求原点到该直线的距离.着重考查了直线的方程、点到直线的距 离公式等知识,属于基础题.

13.当函数 y=sinx﹣

cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=



考点:三角函数的最值;两角和与差的正弦函数. 专题:计算题;压轴题. 分析:利用辅助角公式将 y=sinx﹣ ﹣ cosx 化为 y=2sin(x﹣ ) (0≤x<2π) ,即可求得 y=sinx

cosx(0≤x<2π)取得最大值时 x 的值. cosx=2( sinx﹣ cosx)=2sin(x﹣ ) .

解答: 解:∵y=sinx﹣ ∵0≤x<2π, ∴﹣ ≤x﹣ < , =

∴ymax=2,此时 x﹣



∴x=

. .

故答案为:

点评:本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数,着重考查辅助角公式的应用与正 弦函数的性质,将 y=sinx﹣ 于中档题. 14.已知锐角△ ABC 中,tanB=2,tanC=3,则角 A= cosx(0≤x<2π)化为 y=2sin(x﹣ ) (0≤x<2π)是关键,属



考点:两角和与差的正切函数. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用两角和的正切公式求得 tan(B+C) 的值,再利用诱导公式求得 tanA=﹣tan (B+C) 的值,可得 A 的值. 解答: 解:∵锐角△ ABC 中,tanB=2,tanC=3,∴tan(B+C)= ﹣1, 再结合 tanA=﹣tan(B+C)=1,A∈(0,π) ,∴A= 故答案为: . , = =

点评:本题主要考查两角和的正切公式、诱导公式的应用,根据三角函数的值求角,属于基 础题.

15.在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=5,BC=8,则

?

= 9 .

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: 利用几何图形得出 2 4
2 2

=



=

,平方相减即可

=
2

2

2

, ,求解 ? 数量积.

=

2

解答: 解:∵在△ ABC 中,M 是 BC 的中点, ∴2 = = , ,

∴∵AM=5,BC=8, ∴4 =4×25﹣64=36,



?

=9,

故答案为:9

点评:本题考察了平面向量的加减运算及几何意义,数量积,几何图形转化向量,属于中档 题,灵活计算即可.

16. 设公比为 q (q>0) 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S2=4a2+3, S4=4a4+3, 则 q=



考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据条件两个等式进行作差,结合等比数列的通项公式进行求解即可. 解答: 解:∵S2=4a2+3,①S4=4a4+3,②, ∴②﹣①得 S4﹣S2=4a4+3﹣4a2﹣3, 即 a4+a3=4a4﹣4a2, 则 3a4﹣a3﹣4a2=0 2 即 a2(3q ﹣q﹣4)=0, 2 即 3q ﹣q﹣4=0, 解得 q=﹣1(舍)或 q= , 故答案为: 点评:本题主要考查等比数列前 n 项和的应用,利用方程思想是解决本题的关键. 三、解答题(本大题共 4 小题.共 42 分) 17.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=3,b=8, =(cosA,sinB) , =(cosB,﹣sinA) ,又 (1)求角 C 的值; (2)求 c 及△ ABC 的面积. 考点:余弦定理;平面向量数量积的运算. 专题:解三角形;平面向量及应用. 分析: (1)由平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换可得 A+B 的范围即可得解. ,结合 = .

(2)利用余弦定理可求 c,根据三角形面积公式即可得解. 解答: 解: (1)由 ∵ ∴ , ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分)
2 2



,即



(2)由余弦定理得 c =a +b﹣2abcosC=49, ∴ ﹣﹣(10 分)

点评:本题主要考查了平面向量数量积的运算,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,三角 形面积公式的应用,属于基础题. 18.已知直线 l 过点 C(4,1) , (1)若直线 l 在两坐标轴上截距相等,求直线 l 的方程. (2) 若直线 l 分别与 x 轴、 y 轴的正半轴相交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 记|OA|=a, |OB|=b, 求 a+b 的最小值,并写出此时直线 l 的方程. 考点:直线的截距式方程. 专题:直线与圆. 分析: (1)直线 l 在两坐标轴上的截距相等,就是说过原点和不过原点两种,不过原点的 斜率为 ; (2)根据过点 C 得出 ,然后利用均值不等式得出 a=2b,进而得出 a 和 b 的值.

解答: 解: (1)若直线 l 过原点,设其方程为:y=kx, 又直线 l 过点 C(4,1) ,则 4k=1 ∴k= ∴y= 即 x﹣4y=0 ,

若直线 l 不过原点,设其方程为: ∵直线 l 过点 C(4,1) , ∴ 解得:a=5 直线 l 的方程为 x+y﹣5=0; 综上,l 的方程为 x﹣4y=0 或 x+y﹣5=0 (2)设 l 的方程为: ∵直线 l 过点 C(4,1) , ∴ (1) ,

∴a+b=(a+b) (

)=5+

=9 当且仅当

即 a=2b 时取等号,将 a=2b 与(1)式联立得 a=6,b=3,l 的方程为 x+2y﹣6=0 综上,a+b 的最小值为 9,l 的方程为 x+2y﹣6=0 点评:本题学生解题时容易漏掉直线过原点的情况,这是需要牢记. 19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n +n,n∈N ,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N . (1)求 an,bn; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn. 考点:数列的求和;等差关系的确定;等比关系的确定. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 Sn=2n +n 可得, 当 n=1 时,可求 a1=3, 当 n≥2 时,由 an=sn﹣sn﹣1 可求通项, 进而可求 bn (Ⅱ)由(Ⅰ)知,
2 2 2 * *

,利用错位相减可求数列的和

解答: 解: (Ⅰ)由 Sn=2n +n 可得,当 n=1 时,a1=s1=3 2 2 当 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1=2n +n﹣2(n﹣1) ﹣(n﹣1)=4n﹣1 而 n=1,a1=4﹣1=3 适合上式, 故 an=4n﹣1, 又∵an=4log2bn+3=4n﹣1 ∴ (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

2Tn=3×2+7×2 +…+(4n﹣5)?2 ∴

2

n﹣1

+(4n﹣1)?2

n

=(4n﹣1)?2

n

=(4n﹣1)?2 ﹣=(4n﹣5)?2 +5 点评:本题主要考查了数列的递推公式 的应用,数列求和的错位相减求和方法的应用.
2

n

n

在数列的通项公式求解中

20. 已知二次函数 ( f x) =x +mx+1 (m 为整数) 且关于 x 的方程 ( f x) ﹣2=0 在区间 内有两个不同的实根, (1)求整数 m 的值;

(2)若对一切

,不等式

恒成立,求实数 t 的取值范围.

考点:二次函数的性质;函数恒成立问题. 专题:综合题;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用方程根的分布把方程 f(x)﹣2=0 在区间 根转化为关于 m 的不等式组得答案; (2)由对一切 ,不等式 ,然后对 t 分类讨论得答案. 解答: 解: (1)∵f(x)=x +mx+1,∴f(x)﹣2=x +mx﹣1=0, 问题化为 x +mx﹣1=0 在区间
2 2 2

内有两个不同的实

恒成立,得到

内有两个不同的实根,



,解得



又 m∈Z,∴m=2; 2 2 (2)由(1)得 f(x)=x +2x+1=(x+1) , 由 当﹣2t ,得 ,即 t>1 时, , .

此不等式对一切

都成立的等价条件是

,此不等式组无解.

当﹣2t= 当﹣2t

,即 t=1 时, (x+2t) <0,矛盾. ,即 t<1 时,﹣2t ,

2

此不等式对一切

都成立的等价条件是

, 解得



综合可知,实数 t 的取值范围是(

) .

点评:本题考查二次函数的性质,考查了不等式恒成立问题,考查数学转化思想方法和分类 讨论的数学思想方法,是中档题.


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