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云南省德宏州芒市一中2015-2016学年高一上学期期末数学试卷


2015-2016 学年云南省德宏州芒市一中高一(上)期末数学试卷
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5}则?U(A∪B) ( A.{6,8} B.{5,7} C.{4,6,7} D.{1,3,5,6,8}



2.函数 y= A.

(1,2]

的定义域是( B. (1,2) C. (2,+∞) ﹣α)= D.

) D. (﹣∞,2)

3.已知 sinα= ,则 cos( A.﹣ B.﹣ C.

4.函数 A.4π B.2π C.π D.

的最小正周期是(



5.函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点所在的区间为( A. B. C.

) D. (1,2)

6.已知 α 为第二象限角,且 A. B. C. D.

,则 tan(π+α)的值是(



7.要得到 A.向左平移 C.向左平移 个单位

的图象,只需将 y=3sin2x 的图象( B.向右平移 个单位



个单位 D .向右平移
0.5

个单位

8.已知 a=log0.60.5,b=ln0.5,c=0.6 .则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a

[来源:学科网 ZXXK]

9.若 f (x)= A.1 B.﹣1 C.﹣ D.

,则 f(f(3) )=(



10.函数 y=log2(x+1)的图象大致是(



A.

B.

C.

D. 11.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( A.y= B.y=e﹣x C.y=﹣x +1 D.y=lg|x|
2



12.已知函数 f(x)=sin(x﹣

) (x∈R) ,下面结论错误的是(



A.函数 f(x)的最小正周期为 2π B.函数 f(x)在区 间[0, ]上是增函数

C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.若 ,则 = .

14.log35?log56?log69= 15.函数 y=cos(2x﹣

. )的单调递减区间为 .

16.一种新款手机的价格原来是 a 元,在今后 m 个月内,价格平均每月减少 p%,则这款手机 的价格 y 元随月数 x 变化的函数解析式: .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分) 17.设 U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},C={x|a≤x≤a+1}, a 为实数, (1)分别求 A∩B,A∪(?UB) ; (2)若 B∩C=C,求 a 的取值范围.

18.已知 f(α)=



(1)化简 f(α) ; (2)若角 α 终边上一点的坐标为(5a,12a) ,a≠0,求 f(α)的值. 19.某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时,每天可卖出 100 个.现在他采 用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品销售单价每涨 1 元,销售量就减少 10 个,问他将售价每个定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大值. 20.函数 y=Asin(ωx+?) , (A>0,ω>0,0<?<π)在一个周期内的图象如图所示. (1)求该函数的解析式. (2)当 时,求该函数的值域.

21.已知函数 f(x)=loga(1+x) ,g(x)=loga(1﹣x) ,其中(a>0 且 a≠1) ,设 h(x)=f(x) ﹣g(x) . (1)判断 h(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(3)=2,求使 h(x)>0 成立的 x 的集合. 22.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,满足 f(0)=2,f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1 (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区 间; (Ⅲ)当 x∈[﹣1,2]时,求函数的最大值和最小值.
2

2015-2016 学年云南省德宏州芒市一中高一(上)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5}则?U(A∪B) ( ) A.{6,8} B.{5,7} C.{4,6,7} D.{1,3,5,6,8} 【考点】补集及其运算;并集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】由已知中 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},我们根 据集合并集的运算法则求出 A∪B,再利用集合补集的运算法则即可得到答案. 【解答】解:∵U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5} ∴A∪B={1,2,3,4,5,7}, ∴Cu(A∪B)={6,8} 故选 A 【点评】本题考查的知识点是集合补集及其运算,集合并集及其运算,属于简单题型,处理 时要“求稳不求快”

2.函数 y=

的定义域是(



A. (1,2] B. (1,2) C. (2,+∞) D. (﹣∞,2) 【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 【专题】计算题. 【分析】由函数的解析式知,令真数 x﹣1>0,根据 即 x≠2 最后取交集,解出函数的定义域. 【解答】解:∵log2(x﹣1) ,∴x﹣1>0,x>1 根据 ,得出 x≤2,又在分母上不等于 0,即 x≠2 ,得出 x≤2,又在分母上不等于 0,

∴函数 y=

的定义域是(1,2)

故选 B. 【点评】本题主要考查对数及开方的取值范围,同时考查了分数函数等来确定函数的定义域, 属基础题.

3.已知 sinα= ,则 cos( A.﹣ B.﹣ C.

﹣α)= D.

【考点】运用诱导公式化简求值. 【专题】三角函数的求值. 【分析】原式利用诱导公式化简,将 sinα 的值代入即可求出值. 【解答】解:∵sinα= , ∴cos( ﹣α)=sinα= .

故选 C 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

4.函数 A.4π B.2π C.π D.

的最小正周期是(



【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】直接利用三角函数 y=Asin(ωx+φ)的周期公式 T= 即可. 【解答】解:由三角函数的周期公式可知, 函数 进行求解,求出函数的周期

[来源:学.科.网]

的最小正周期是

=4π.

故选:A. 【点评】本题考查三角函数的周期公式的应用,熟练掌握三角函数 y=Asin(ωx+φ)的周期公 式 T= 是解题的关键,属于基础题,是送分题.

5.函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点所在的区间为( A. B. C.

) D. (1,2)

【考点】函数零点的判定定理. 【专题】计算题. 【分析】由于连续函数 f(x)=log2x+2x﹣1 满足 f( )=﹣1<0,f(1)=1>0,根据函数零 点判定定理,由此求得函数的零点所在的区间. 【解答】解:由于连续函数 f(x)= log2x+2x﹣1 满足 f( )=﹣1<0,f(1)=1>0, 且函数在区间 . 故选 B. 【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用,属于基础题. 上单调递增,故函数 f(x)=log2x+2x﹣1 的零点所在的区间为

6.已知 α 为第二象限角,且 A. B. C. D.

,则 tan(π+α)的值是(



【考点】诱导公式的作用;同角三角函数间的基本关系. 【专题】三角函数的求值. 【分析】 由 α 为第二象限角, 根据 sinα 的值, 利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值, 进而求出 tanα 的值,原式利用诱导公式化简,将 tanα 的值代入计算即可求出值. 【解答】解:∵α 为第二象限角,sinα= , ∴cosα=﹣ ∴tanα= =﹣ , =﹣ ,

则 tan(π+α)=tanα=﹣ . 故选 D 【点评】此题考查了诱导公式的作用,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系 是解本题的关键.

7.要得到 A.向左平移 C.向左平移 个单位

的图象,只需将 y=3sin2x 的图象( B.向右平移 个单位



个单位 D.向右平移

个单位

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题. 【分析】根据左加右减的原则进行左右平移即可. 【解答】解:∵ ∴只需将 y=3sin2x 的图象向左平移 个单位 ,

故选 C. 【点评】本题主要考查三角函数的平移.三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减. 8.已知 a=log0.60.5,b=ln0.5,c=0.6 .则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【考点】对数值大小的比较. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论. 0.5 【解答】解:log0.60.5>1,ln0.5<0,0<0.6 <1, 即 a>1,b<0,0<c<1,
0.5

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

故 a>c>b, 故选:B 【点评】本题主要考查函数值的大小比较,利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的 关键.

9.若 f(x)= A.1 B.﹣1 C.﹣ D.

,则 f(f(3) )=(



【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】直接利用分段函数由里及外逐步求解即可. 【解答】解:f(x)= =﹣ . 故选:C. 【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 10.函数 y=log2(x+1)的图象大致是( ) ,则 f(f(3) )=f(1﹣6)=f(﹣5)=sin(﹣ )

A.

B.

C.

D. 【考点】对数函数的图像与性质;函数的图象与图象变化. 【专题】计算题. 【分析】函数 y=log2(x+1)的图象是把函数 y=log2x 的图象向左平移了一个单位得到的,由 此可得结论. 【解答】解:函数 y=log2(x+1)的图象是把函数 y=log2x 的图象向左平移了一个单位得到的, 定义域为(﹣1,+∞) , 过定点(0,0) ,在(﹣1,+∞)上是增函数, 故选 B.

【点评】本题主要考查对数函数的图象与性质,函数图象的变换,属于基础题. 11.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( A.y= B.y=e﹣x C.y=﹣x +1 D.y=lg|x|
2



【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】根据偶函数的定义,可得 C,D 是偶函数,其中 C 在区间(0,+∞)上单调递减,D 在区间(0,+∞)上单调递增,可得结论. 【解答】解:根据偶函数的定义,可得 C,D 是偶函数,其中 C 在区间(0,+∞)上单调递减, D 在区间(0,+∞)上单调递增, 故选:C. 【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. ) (x ∈R) ,下面结论错误的是(

12.已知函数 f(x)=sin(x﹣



A.函数 f(x)的最小正周期为 2π B.函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数

C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的奇偶性;正弦函数的单调性;正弦函数的 对称性. 【专题】常规题型. 【分析】先利用三角函数的诱导公式化简 f(x) ,利用三角函数的周期公式判断出 A 对;利用 余弦函数图象判断出 B;利用三角函数的奇偶性判断出 C,D. 【解答】解:∵y=sin(x﹣ y=cosx 在[0, )=﹣cosx,∴T=2π,A 正确; ]上是增函数,B 正确;

]上是减函数,y=﹣cosx 在[0,

由图象知 y=﹣cosx 关于直线 x=0 对称,C 正确. y=﹣cosx 是偶函数,D 错误. 故选 D 【点评】本题考查三角函数的诱导公式;三角函数的周期公式;三角函数的奇偶性. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.若 ,则 = .

【考点】同角三角函数基本关系的运用;弦切互化. 【专题】计算题. 【分析】分式的分子、分母同除 cosα,利用已知条件求出分式的值.

【解答】解:



故答案为: 【点评 】本题考查同角三角函数基本关系的应用,弦切互化,考查计算能力,是基础题. 14.log35?log56?log69= 2 . 【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题;规律型;函数的性质及应用. 【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可. 【解答】解:log35?log56?log69=2 =2.

故答案为:2. 【点评】本题考查对数运算法则的应用,考查计算能力. ],k∈Z .

15.函数 y=cos(2x﹣

)的单调递减区间为 [kπ+

,kπ+

【考点】余弦函数的单调性. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用余弦函数的单调性求得函数 y=cos(2x﹣ 【解答】解:对于函数 y=cos(2x﹣ 故函数的减区间为[kπ+ 故答案为:[kπ+ ,kπ+ ,kπ+ ) ,令 2kπ≤2x﹣ ],k∈Z, )的单调递减区间. ≤x≤kπ+ ,

≤2kπ+π,求得 kπ+

],k∈Z.
[来源:Z.xx.k.Com]

【点评】本题主要考查余弦函数的单调性,属于基础题.

16.一种新款手机的价格原来是 a 元,在今后 m 个月内,价格平均每月减少 p%,则这款手机 x 的价格 y 元随月数 x 变化的函数解析式: y=a(1﹣p%) (0≤x≤m) . 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】应用题;规律型;函数的性质及应用. 【分析】分别取 x=1,2,3,得出相应的价格表达式,归纳出,经过 x 个月后,价格为:a(1 x ﹣p%) ,x≤m. 【解答】解:根据题意,因为原价为 a 元,价格每月减少 p%,因此, 经过以一个月后(x=1) ,价格为:a(1﹣p%) , 再过一个月后(x=2) ,价格为:a(1﹣p%) (1﹣p%) , 再过一个月后(x=3) ,价格为:a(1﹣p%) (1﹣p%) (1﹣p%) , … 经过 x 个月后,价格为:a(1﹣p%) ,x≤m, x 所以,价格 y 元随月数 x 变化的函数解析式为:y=a(1﹣p%) (0≤x≤m) .
x

故答案为:y=a(1﹣p%) (0≤x≤m) . 【点评】本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法,通过自变量 x=1,2,3,观察出表达 式的特征,归纳出函数的解析式,属于基础题.
[来源:Zxxk.Com]

x

三、解答题(本大题共 6 个小 题,共 70 分) 17.设 U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},C={x|a≤x≤a+1},a 为实数, (1)分别求 A∩B,A∪(?UB) ; (2)若 B∩C=C,求 a 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】本题(1)先求出集合 B 的补集,再求出 A∪(?UB) ,得到本题结论; (2)由 B∩C=C 得到 C?B,再比较区间的端点,求出 a 的取值范围,得到本题结论. 【解答】解: (1)∵A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4}, ∴?uB={x|x≤2 或 x≥4}, ∴A∩B={x|2<x≤3},A∪(?UB)={x|x≤3 或 x≥4}. (2)∵B∩C=C, ∴C?B. ∵B={x|2<x<4},C={x|a≤x≤a+1}, ∴2<a,a+1<4, ∴2<a<3. 【点评】本题考查了集合运算的知识,本题难度不大,属于基础题.

18.已知 f(α)=



(1)化简 f(α) ; (2)若角 α 终边上一点的坐标为(5a,12a) ,a≠0,求 f(α)的值. 【考点】运用诱导公式化简求值. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】 (1)f(α)利用诱导公式化简,约分即可得到结果; (2) 由角 α 终边上一点的坐标, 利用任意角的三角函数定义求出 cosα 的值, 即可确定出 f (α) 的值. 【解答】解: (1)f(α)= (2)∵r= 当 a>0 时,cosα= = 当 a<0 时,cosα= =﹣ = =13|a|, ,此时 f(α)=cosα= =﹣ ; . =cosα;

,此时 f(α)=cosα=﹣

【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,以及同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握 诱导公式是解本题的关键 .

19.某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时,每天可卖出 100 个.现在他采 用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品销售单价每涨 1 元,销售量就减少 10 个,问他将售价每个定为多少元时,才能使每天所赚的 利润最大?并求出最大值. 【考点】根据实际问题选择函数类型;二次函数的性质. 【专题】应用题. 【分析】设每个提价 x 元(x≥0) ,利润为 y 元,根据每天的利润=每天销售总额﹣进货总额建 立函数关系,然后根据二次函数在闭区间上求值域的方法求出函数的最值. 【解答】解:设每个提价 x 元(x≥0) ,利润为 y 元;…(1 分) 日销量(100﹣10x)个;…(2 分) 每天销售总额为(10+x) (100﹣10x)元;…(3 分) 进货总额为 8(100﹣10x)元.…(4 分) 显然 100﹣10x>0,x<10.…(5 分) y=(10+x) (100﹣10x)﹣8(100﹣10x)…(7 分) 2 =﹣10x +80x+200…(8 分) 2 =﹣10(x﹣4) +360(0≤x<10)…(10 分) 当 x=4 时,y 取得最大值 360,…(11 分) 故销售单价为 14 元,最大利润为 360 元.…(12 分) 【点评】本题主要考查了根据实际问题选择函数类型,以及二次函数的性质,同时考查了建 模的能力,属于中档题. 20.函数 y=Asin(ωx+?) , (A>0,ω>0,0<?<π)在一个周期内的图象如图所示. (1)求该函数的解析式. (2)当 时,求该函数的值域.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数的值域. 【专题】数形结合;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)由图可知 A=2,由周期公式可得 ω=2,代入点(﹣ y=2sin(2x+ (2)由 ) ; ,可得 2x+ ∈[ ﹣(﹣ ,π],结合正弦函数的图象可得. )= , ,2)可得 ?= ,可得

【解答】解: (1)由图可知 A =2,T= 解得 ω=2,∴y=2sin(2x+?) ,

代入点(﹣ ∴sin(﹣

,2)可得 2=2sin(﹣ +?)=1,﹣ +?= , ) ;

+?) ,

+2kπ,k∈Z,

∵0<?<π,∴当 k=时,?= ∴函数的解析式为 y=2sin(2x+ (2)∵ ∴当 2x+ 当 2x+ = = 即 x= 即 x=﹣

,∴2x+

∈[

,π], ;

时,函数取最小值﹣ 时,函数取最大值 2,

故函数的值域为[﹣ ,2]. 【点评】本题考查三角函数的图象和性质,涉及三角函数的解析式求解和值域,属基础题. 21.已知函数 f(x)=loga(1+x) ,g(x)=loga(1﹣x) ,其中(a>0 且 a≠1) ,设 h(x)=f(x) ﹣g(x) . (1)判断 h(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(3)=2,求使 h(x)>0 成立的 x 的集合. 【考点】函数奇偶性的判断;对数函数的单调性与特殊点. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)由对数的意义,确定函数 h(x)的定义域,再验证 h(﹣x)与 h(x)的关系, 即可得到结论; (2)确定函数 h(x)的解析式,从而可得对数不等式,利用对数函数的单调性,即可求得使 h(x)>0 成立的 x 的集合. 【解答】解: (1)由题意得 1+x>0,即 x>﹣1,∴函数 f(x)的定义域为(﹣1,+∞) , 1﹣x>0,即 x<1,∴函数 g(x)的定义域为(﹣∞,1) , ∴函数 h(x)的定义域为(﹣1,1) . ∵对任意的 x∈(﹣1,1) ,﹣x∈(﹣1,1) , h(﹣x)=f(﹣x)﹣g(﹣x)=loga(1﹣x)﹣loga(1+x)=g(x)﹣f(x)=﹣h(x) , ∴h(x)是奇函数. …(6 分) (2)由 f(3)=2,得 a=2. 此时 h(x)=log2(1+x)﹣log2(1﹣x) , 由 h(x)>0 即 log2(1+x)﹣log2(1﹣x)>0, ∴log2(1+x)>log2(1﹣x) . 由 1+x>1﹣x>0,解得 0<x<1. 故使 h(x)>0 成立的 x 的集合是{x|0<x<1}. …(12 分) 【点评】本题考查函数奇偶性的判断,考查解不等式,考查对数的运算法则,属于中档题. 22.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,满足 f(0)=2,f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1 (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间;
2

(Ⅲ)当 x∈[﹣1,2]时,求函数的最大值和最小值. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义;抽象函数及其应用. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)利用已知条件列出方程组,即可求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)利用二次函数的对称轴,看看方向即可求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)利用函数的对称轴与 x∈[﹣1,2],直接求解函数的最大值和最小值. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 f(0)=2,得 c=2,又 f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1 得 2ax+a+b=2x﹣1,故
2

,解得:a=1,b=﹣2,

所以 f(x)=x ﹣2x+2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣(4 分) (Ⅱ)f(x)=x ﹣2x+2=(x﹣1) +1,图象对称轴为 x=1,且开口向上 所以,f(x)单调递增区间为(1,+∞) ,单调递减区间为(﹣∞,1) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 2 2 (Ⅲ)f(x)=x ﹣2x+2=(x﹣1) +1,对称轴为 x=1∈ [﹣1,2], 故 fmin(x)=f(1)=1,又 f(﹣1)=5,f(2)=2, 所以 fmax(x)=f(﹣1)=5.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 【点评】本题考查二次函数的最值,函数的解析式以及单调性的判断,考查计算能力.
2 2


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