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高中数学 人教A版选修1-1的单调性与导数


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3.3.1

3.3.1
【学习要求】

函数的单调性与导数

1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.
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2.能利用导数研究函数的单调性,并能够利用单调性证明一 些简单的不等式. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【学法指导】 结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数 正负之间的关系,体会数形结合思想,以直代曲思想.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.1

探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系 问题 1 观察高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的图象, h′(t)=-9.8t+6.5 的 及 图象,思考运动员从起跳到最高点,从最高点到入水的运 本 讲 动状态有什么区别.
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答案

(1)从起跳到最高点, 随 t 的增加而增加, h(t)是增 h 即

函数,h′(t)>0;

(2)从最高点到入水,h 随 t 的增加而减小,即 h(t)是减函数, h′(t)<0.

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3.3.1

问题 2 观察下面四个函数的图象,回答函数的单调性与其 导函数正负有何关系?

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答 (1)在区间(-∞,+∞)内,y′(x)=1>0,y(x)是增函数; (2)在区间(-∞,0)内,y′(x)=2x<0,y(x)是减函数; 在区间(0,+∞)内,y′(x)=2x>0,y(x)是增函数; (3)在区间(-∞,+∞)内,y′(x)=3x2≥0,y(x)是增函数;

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3.3.1

1 (4)在区间(-∞,0),(0,+∞)内,y′(x)=- 2<0,y(x)是减 x 函数.
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小结 一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这 个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数 y=f(x)在这个 区间内单调递减.

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3.3.1

问题 3 若函数 f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么 f′(x)一 定大于零吗? 答案
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由问题 2 中(3)知 f′(x)≥0 恒成立.
(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一

问题 4

个, 那么如何表示这些区间?试写出问题 2 中(4)的单调区间. (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系?
答案 (1)不能用“∪”连接, 只能用“, ”或“和”字隔开. 问题 2 中(4)的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).
(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的, 故 单调区间是定义域的子集.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.3.1

一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:
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导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0

函数的单调性 单调递 增 单调递 减 常函数

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例 1 已知导函数 f′(x)的下列信息: 当 1<x<4 时,f′(x)>0; 当 x>4,或 x<1 时,f′(x)<0; 当 x=4,或 x=1 时,f′(x)=0.
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3.3.1

试画出函数 f(x)图象的大致形状.

解 当 1<x<4 时,f′(x)>0,可知 f(x)在此区间内单调递增; 当 x>4,或 x<1 时,f′(x)<0,可知 f(x)在此区间内单调递减; 当 x=4,或 x=1 时,f′(x)=0,这两点比较特殊,我们称 它们为“临界点”.
综上,函数 f(x)图象的大致形状如图所示.

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小结

3.3.1

本题具有一定的开放性,图象不唯一,只要能抓住问

题的本质,即在相应区间上的单调性符合题意就可以了. 跟踪训练 1 函数 y=f(x)的图象如图所示,试画出导函数
f′(x)图象的大致形状.
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f′(x)图象的大致形状如下图:

注:图象形状不唯一.

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例 2 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=2x(ex-1)-x2; (2)f(x)=3x2-2ln x.
解 (1)f′(x)=2(ex-1+xex-x)
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3.3.1

=2(ex-1)(x+1).

当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;

当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;

当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.
故 f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增, 在(-1,0)上单调递减.

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(2)函数的定义域为(0,+∞), 3x2-1 2 f′(x)=6x- =2· . x x 3x2-1 令 f′(x)>0,即 2· >0, x
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3.3.1

3 3 解得- <x<0 或 x> . 3 3
3 又∵x>0,∴x> . 3

3x2-1 令 f′(x)<0,即 2· <0, x 3 3 解得 x<- 或 0<x< . 3 3 3 又∵x>0,∴0<x< . 3

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3.3.1

3 3 ∴f(x)的单调递增区间为( , +∞), 单调递减区间为(0, ). 3 3
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小结 求函数的单调区间的具体步骤是 (1)确定 f(x)的定义域;(2)计算导数 f′(x);(3)求出 f′(x) =0 的根(也可以直接解 f′(x)>0 和 f′(x)<0);(4)用 f′(x) =0 的根将 f(x)的定义域分成若干区间,列表考查这若干个 区间内 f′(x)的符号,进而确定 f(x)的单调区间.

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跟踪训练 2 求下列函数的单调区间: ex (1)f(x)=x2-ln x;(2)f(x)= ; x-2 (3)f(x)=sin x(1+cos x)(0≤x<2π).

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3.3.1

(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞).

1 ? 2x-1?? 2x+1? f′(x)=2x- = . x x

因为 x>0,所以 2x+1>0,
2 由 f′(x)>0 得 x> , 2

所以函数

? f(x)的单调递增区间为? ? ?

? 2 ? ,+∞?; 2 ?

2 由 f′(x)<0 得 x< , 2

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2? ? 所以函数 . 2? ? (2)函数 f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞). ex?x-2?-ex ex?x-3? f′(x)= = . ?x-2?2 ?x-2?2 因为 x∈(-∞,2)∪(2,+∞), 所以 ex>0,(x-2)2>0. 由 f′(x)>0 得 x>3,

3.3.1

又 x∈(0,+∞),

? f(x)的单调递减区间为?0, ? ?

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所以函数 f(x)的单调递增区间为(3,+∞);

由 f′(x)<0 得 x<3,
又定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),
所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).

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3.3.1

(3)f′(x)=cos x(1+cos x)+sin x(-sin x) =2cos2x+cos x-1=(2cos x-1)(cos x+1).
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因为 0≤x<2π,所以 cos x+1≥0, π 5π 由 f′(x)>0 得 0<x< 或 <x<2π; 3 3 π 5π 由 f′(x)<0 得 <x< , 3 3
? ? π? ?5π ? ? ? ? 故函数 f(x)的单调递增区间为?0,3?,? 3 ,2π?,单调递减 ? ? ? ? ?π 5π? ? ? 区间为?3, 3 ?. ? ?

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探究点二 函数的变化快慢与导数的关系 问题

3.3.1

我们知道导数的符号反映函数 y=f(x)的增减情况, 怎

样反映函数 y=f(x)增减的快慢呢?能否从导数的角度解 释变化的快慢呢?
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答案

一般地, 如果一个函数在某一范围内导数

的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得 快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图所示,函数 y =f(x)在 (0, b)或 (a,0)内的 图 象 “ 陡峭 ” ,在(b, +∞) 或(-∞,a)内的图象“平缓”.

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例 3

3.3.1

如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注

入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对 应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.

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解 (1)→B

(2)→A

(3)→D

(4)→C

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3.3.1

小结
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通过函数图象,不仅可以看出函数的增减,还可以看

出函数增减的快慢.从导数的角度研究了函数的单调性及增 减快慢后,我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象, 反之也可行.

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3.3.1

跟踪训练 3 已知 f′(x)是 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图 所示,则 f(x)的图象只可能是 ( )

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3.3.1

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? a+b? ? ? 解析 从 f′(x)的图象可以看出,在区间?a, 内,导数 2 ? ? ? ?a+b ? ? ? 递增;在区间? ,b?内,导数递减.即函数 f(x)的图象在 ? 2 ? ? ?a+b ? a+b? ? ? ? ? 内越来越陡峭,在? a, ,b?内越来越平缓. ? 2 ? ? ? ? 2 ?

答案

D

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.1

1.函数 f(x)=x+ln x 在(0,6)上是 A.单调增函数
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( A )

B.单调减函数 ? ?1 ? 1? ? ? ? ? C.在?0, ?上是减函数,在? ,6?上是增函数 e? ? ?e ? ? ?1 ? 1? ? ? ? D.在?0,e ?上是增函数,在?e ,6?上是减函数 ? ? ? ? ? 1 解析 ∵f′(x)=1+ >0, x ∴函数在(0,6)上单调递增.

练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,若 y=f′(x)的图 象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是( D )

3.3.1

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解析 由导函数的图象可知, x<0 时, 当 f′(x)>0, 即函数 f(x) 为增函数;当 0<x<2 时,f′(x)<0,即 f(x)为减函数;当 x>2 时,f′(x)>0,即函数 f(x)为增函数.观察选项易知 D 正确.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.1

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3.函数 f(x)=ln x-ax(a>0)的单调增区间为 ? ?1 ? 1? ? ? ? A.?0, ? B.? ,+∞ ? ? a? ? ?a ? C.(0,+∞) D.(0,a)

( A )

解析 f(x)的定义域为{x|x>0}, 1 由 f′(x)= -a>0, x 1 得 0<x< . a

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3.3.1

(2,+∞) 4.(1)函数 y=x2 - 4x+a 的增区间为 _________,减区间为 (-∞,2) __________.
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解析

y′=2x-4,令 y′>0,得 x>2;令 y′<0,得 x<2,

所以 y=x2-4x+a 的增区间为(2,+∞),
减区间为(-∞,2).

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.1
? 3? ? 3 ? ? 和? ,+∞? ? 3? ?3 ? ? ,

(2)函数f(x)=x3-x的增区间为 ? 3 3? ? ? -3,3? ? 减区间为______________. ? ?
2

? ? ?-∞,- ?

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3 3 解析 y′=3x -1,令 y′>0,得 x> 3 或 x<- 3 ;
3 3 令 y′<0,得- <x< , 3 3
所以 f(x)=x -x
3

? 的增区间为?-∞,- ? ?

? 3? ? 3 ? ? 和? ,+∞?,减 ? 3? ?3 ? ?

3 3 区间为(- , ). 3 3

3.3.1

1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性,导数绝对 值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢
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程度. 2.利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为 (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0; (4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间.


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