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江苏省高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10:平面向量


江苏省高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 10:平面向量
一、填空题 b 满足 1 . ( 江 苏 省 宿 迁 市 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 摸 底 考 试 数 学 试 卷 ) 已 知 非 零 向 量 a ,

(a ? 2b )? a , (b? 2a )? , b 则向量 a 与 b 的夹角为______.

【答案】

π 3

2 . (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题)如图,在△ABC 中,D,E 分别为边 BC,AC 的中点. F 为

边 AB 上.

的,且

,则 x+y 的值为____

【答案】

5 2

3 . (江苏省徐州市 2014 届高三上学期期中考试数学试题) 已知 O 是 ?ABC 的外心, AB ? 6, AC ? 10 ,若

AO ? x ? AB ? y ? AC 且 2 x ? 10 y ? 5 ,则 cos ?BAC ? _____________.
【答案】

1 3

4 . (江苏省盐城市 2014 届高三上学期期中考试数学试题) 在 ?ABC 中,若 (CA ? CB ) ? AB ?

??? ? ??? ? ??? ?

? 2 ??? | AB |2 ,则 5

tan A = ________. tan B 7 【答案】 3
5 . (江苏省兴化市 2014 届高三第一学期期中调研测试)已知在 ?ABC 中, AB ? BC ? 3 , AC ? 4 ,设 O 是

?ABC 的内心,若 AO ? m AB ? n AC ,则 m : n ? __★__.
【答案】 4 : 3

提示一:利用夹角相等,则有

AO ? AB | AB |

?

AO ? AC AC

.

提示二:利用角平分线定理,根据相似比求得 AO ?

4 3 AB ? AC 10 10

6 . (江苏省沛县歌风中学 (如皋办学) 2014 届高三 10 月月考数学试题) 已知非零向量 a,b 满足|a|=|a+b|=1,a

与 b 夹角为 120°,则向量 b 的模为________. 【答案】1
7 . (江苏省启东中学 2014 届高三上学期期中模拟数学试题)如图, 在等腰三角形 ABC 中, 底边 BC

? 2,

??? ? 1 ??? ? ??? ? ???? 1 AD ? DC , AE ? EB , 若 BD ? AC ? ? , 则 CE ? AB =_____. 2 2
第 1 页,共 9 页

【答案】 ?

4 3

8 . ( 江 苏省无 锡市 2014 届 高三 上学期 期中调 研考试 数学 试题) 在 ?ABC 中 , M 为 AB 的的三等分

点 , AM : AB ? 1: 3, N 为 AC 的 中 点 , BN 与 CM 交 于 点 E , AB ? m, AC ? n , 则

??? ?

?? ??? ?

?

??? ? AE ? _____________________.
【答案】

1 ?? 2 ? m? n 5 5

9 . (江苏省常州市武进区 2014 届高三上学期期中考试数学 ( 理 ) 试题) 在平面直角坐标系中, O 是坐标原

点, A? 2,0? , B ? 0,1? ,则点集

?P OP ? ?OA ? ?OB, ? ? ? ? 1, ?, ? ? R? 所表示的平面区域的面积是________.
??? ? ??? ? ??? ?
【答案】4 10. (江苏省兴化市 2014 届高三第一学期期中调研测试)设向量 a、b 满足:|a| ?

3 ,|b| ? 1 ,a·b ?

3 ,则 2

向量 a 与 b 的夹角为__★__.
【答案】

? 6

11. (江苏省沛县歌风中学 (如皋办学) 2014 届高三 10 月月考数学试题) 向量 a ? (1,2),b ? (?2,3),若ma ? nb

与 a ? 2b 共线(其中 m, n ? R, 且n ? 0)则 .

m 等于_ n

?
【答案】

1 2

b、 c 都是单位向量,且 a ? b 12. (江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数学试题) 已知 a 、
则 a ? c 的值为_________.
【答案】

? ? ?

?

?

? ?c,

? ?

1 2

13 . (江苏省盐城市 2014 届高三上学期期中考试数学试题) 在 ?ABC 中 , BC

? 6 , BC 边上的高为 2 ,则

??? ? ???? AB ? AC 的最小值为__ ______.
【答案】 ?5
第 2 页,共 9 页

14. (江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数学试题)已知 ?ABC 是边长为 4 的正三角形,D、P

是 ?ABC 内部两点,且满足 AD ?

????

? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? 1 ??? ( AB ? AC ), AP ? AD ? BC ,则 ?APD 的面积为__________. 4 8

【答案】

3 4

15 . (江苏省南京市第五十五中学 2014 届高三上学期第一次月考数学试题) P是 ?ABC 所在平面内一点 , 若

CB ? ? PA ? PB ,其中 ? ? R ,则P点一定在
(A) ?ABC 内部 【答案】B (B)AC 边所在直线上 (C)AB 边所在直线上 (D)BC 边所在直线上

16 . (江苏省启东中学 2014 届高三上学期期中模拟数学试题) 已知 a ? (1, sin

2

x),b ? (2, sin2x) , 其中

? ? ? ? x ? ? 0, ? ? ,若 a ? b ? a ? b ,
则 tan x =_____. 【答案】1;
17 . (江苏省泰州中学 2014 届第一学学期高三数学摸底考试) 在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知

=(3,﹣

1),

=(0,2).若

?

=0,



,则实数 λ 的值为__________.

【答案】2 18. (江苏省泰州市姜堰区 2014 届高三上学期期中考试数学试题)如图, A, B, C 是直线上三点, P 是直线外一

??? ? ??? ? 点, AB ? BC ? 1 , ?APB ? 90? , ?BPC ? 30? ,则 PA ? PC =________.

P 300 l
【答案】 ?

A

B

C

4 7

19 . (江苏省南莫中学 2014 届高三 10 月自主检测数学试题) 已知向量 a 的模为 2, 向量 e 为单位向

量, e ? (a ? e) ,则向量 a 与 e 的夹角大小为_______.
【答案】

? ; 3

20. (江苏省诚贤中学 2014 届高三上学期摸底考试数学试题)已知向量 a 与 b 的夹角为 60?,且|a|=1,|b|=2,

那么 (a ? b)2 的值为________.
【答案】7 21 . ( 江 苏 省 沛 县 歌 风 中 学 ( 如 皋 办 学 ) 2014 届 高 三 10 月 月 考 数 学 试 题 ) 已 知 O 为 △ABC 的 外

心, AB ? 2a, AC ?

2 , ?BAC ? 120 0 , 若 AO ? ? AB ? ? AC ,则 ? ? ? 的最小值为____ a
第 3 页,共 9 页

【答案】2 22. (江苏省泰州市姜堰区张甸中学 2014 届高三数学期中模拟试卷) 已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? (?1,3) ,则 a

?

?

?

与 b 夹角的余弦值为___________

?

【答案】

2 ; 2

23 . ( 江 苏 省 常 州 市 武 进 区 2014 届 高 三 上 学 期 期 中考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已知 a, b 是非零向量且满 足

(a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是________.
【答案】

? 3
▲ .
? ? ? ? ? ?

24. (江苏省扬州中学 2014 届高三开学检测数学试题)已知正方形 ABCD 的边长为 1,若点 E 是 AB 边上

的动 点,则 DE ? DC 的最大值为
【答案】1

25. (江苏省淮安市车桥中学 2014 届高三 9 月期初测试数学试题) 若向量 a 、b 满足| a |=1,| b |=2,且 a 与 b

? ? ? 的夹角为 ,则| a +2 b |=_______ 3
【答案】

21

26 . ( 江 苏 省 连 云 港 市 赣 榆 县 清 华 园 双 语 学 校 2014 届 高 三 10 月 月 考 数 学 试 题 ) 已 知 向 量

a=(2,1),a·b=10,|a+b |? 5 2 ,则|b|=__________
【答案】5 27. (江苏省盐城市 2014 届高三上学期期中考试数学试题) 设向量 a ? (1, x), b ? (?3, 4) ,若 a // b ,则实数 x 的

?

?

? ?

值为________.
【答案】 ?

4 3

28 .( 江 苏 省 常 州 市 武 进 区 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 向 量

a ? (1,3) , b ? (?2,1) , c ? (3, 2) .若向量 c 与向量 ka ? b 共线,
则实数 k ? ________.
【答案】 ?1 29 . ( 江 苏 省 沛 县 歌 风 中 学 ( 如 皋 办 学 ) 2014 届 高 三 10 月 月 考 数 学 试 题 ) 若 等 腰 梯 形 ABCD
? 中, AB // CD , AB ? 3 , BC ? 2 , ?ABC ? 45 ,则 AC ? BD 的值为____________

???? ??? ?

【答案】3 30( .江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试 (9 月) 数学试卷) 设 x ?R,向量 a ? ( x,1), b ? (3, ?2) 且 a ? b ,
第 4 页,共 9 页

则 x= ______.
【答案】

? ? a ? (1, 2) a 31. (江苏省无锡市洛社高级中学 2014 届高三 10 月月考数学试题)设平面向量 ,与向量 ? (1, 2) 共
线的单位向量坐标为_______.
【答案】 (

2 3

2 5 5 5 2 5 ,? ) , ) 或 (? 5 5 5 5
?

32. (江苏省扬州市扬州中学 2014 届高三 10 月月考数学试题)已知向量 a ? (1 ? 2 x,2) , b = ? 2, ?1? ,若 a// b ,

?

?

?

则实数 x ? ______.
【答案】 二、解答题 33 . ( 江 苏 省 南 莫 中 学 2014 届 高 三 10 月 自 主 检 测 数 学 试 题 ) 设

5 2

? ? ? a ? ( x,1) , b ? (2, ?1) , c ? ( x ? m, m ?1) ( x ? R, m ? R ).
(Ⅰ)若 a 与 b 的夹角为钝角,求 x 的取值范围; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 a ? c ? a ? c .

?

?

? ?

? ?

? ? 1 ;又当 x ? ?2 时, a 与 b 的夹角为 ? , 2 ? ? 1 所以当 a 与 b 的夹角为钝角时, x 的取值范围为 (??, ?2) ? (?2, ) 2 ? ? ? ? ? ? (2)由 a ? c ? a ? c 知, a ? c ? 0 ,即 ( x ? 1)[ x ? (m ? 1)] ? 0 ;
【答案】(1)由题知: a ? b ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ?

? ?

当 m ? 2 时,解集为 {x m ?1 ? x ? 1} ; 当 m ? 2 时,解集为空集; 当 m ? 2 时,解集为 {x 1 ? x ? m ?1}
34. (江苏省徐州市 2014 届高三上学期期中考试数学试题)设向量 a ? (2,sin ? ), b ? (1,cos? ),? 为锐角.

?

?

(1)若 a ? b ?

? ?

(2)若 a / / b ,求 sin(2? ?

?

?

13 ,求 sin ? ? cos ? 的值; 6

?

3

) 的值.
= 13 1 , 所以 sinθ cosθ = , 6 6

【答案】解:(1)因为 a·b =2 + sinθ cosθ

所以(sinθ +cosθ ) = 1+2sinθ cosθ = (2)因为 a∥b,所以 tanθ = 2,

2

3 2 3 .又因为 θ 为锐角,所以 sinθ + cosθ = 4 3

第 5 页,共 9 页

所以 sin2θ = 2sinθ cosθ = cos2θ = cos θ -sin θ = 所以 sin(2θ +
2 2

2sinθ cosθ 2tanθ 4 = = , 2 2 2 sin θ +cos θ tan θ +1 5
2 2

cos θ -sin θ 2 2 sin θ +cos θ

=

1-tan θ 3 = — 2 tan θ +1 5

2

π 1 3 1 4 3 3 4-3 3 ) = sin2θ + cos2θ = × + ×(- ) = 3 2 2 2 5 2 5 10

35. (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三 10 月月考数学试题)已知在等边三角形 ABC 中,点 P 为线

段 AB 上一点,且 AP ? ? AB(0 ? ? ? 1) . (1)若等边三角形边长为 6,且 ? ?

??? ?

??? ?

1 ,求 CP ; 3

(2)若 CP ? AB ? PA ? PB ,求实数 ? 的取值范围.
【答案】(1)当 ? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? 1 ??? ? 1 时, AP ? AB , 3 3

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 1 CP ? (CA ? AP) 2 ? CA ? 2CA ? AP ? AP ? 62 ? 2 ? 6 ? 2 ? ? 22 ? 28 . 2
∴ | CP |? 2 7 (2)设等边三角形的边长为 a ,则

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 CP ? AB ? (CA ? AP) ? AB ? (CA ? ? AB) ? AB ? ? a 2 ? ?a 2 , 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? PB ? PA ? ( AB ? AP) ? ? AB ? ( AB ? ? AB) ? ??a2 ? ?2a2
1 1 2 2? 2 2? 2 a ? ?a 2 ? ??a 2 ? ? 2 a 2 ,∴ ? 2 ? 2? ? ? 0 ,∴ . ??? 2 2 2 2

即?

又 0 ? ? ? 0 ,∴

2? 2 ? ? ? 1. 2

36 . ( 江 苏 省 无 锡 市 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 调 研 考 试 数 学 试 题 ) 已 知 向 量

?? ? m, n 的 夹 角 为 45 ? , 则

?? ? ? ?? ? ? ?? ? | m |? 1,| n |? 2 ,又 a ? 2m ? n, b ? ?3m ? n .
(1)求 a 与 b 的夹角;(2)设 c ? ta ? b, d ? 2m ? n ,若 c / / d ,求实数 t 的值.
【答案】

?

?

?

? ?? ?

?? ?

?

? ?

第 6 页,共 9 页

37. (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三 10 月月考数学试题)设

(Ⅰ)求实数 ? 的值; (Ⅱ)若 a ? b ?

? ? ? a ? (cos ? , (? ? 1) sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), (? ? 0, 0 ? ? ? ? ? ) 是平面上的两个向量,若向量 2 ? ? ? ? a ? b 与 a ? b 互相垂直.
? ?

4 4 ,且 tan ? ? ,求 tan ? 的值. 5 3 ?2 ?2 ? ? ? ? 【答案】(Ⅰ)由题设可得 (a ? b) ? (a ? b) ? 0, 即 a ? b ? 0,
代入 a, b 坐标可得 cos2 ? +(? ?1)2 sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 0 .

? ?

?(? ?1)2 sin 2 ? ? sin 2 ? ? 0, ? 0 ? ? ?
? ?

?
2

, ? ? 0,? ? ? 2 . 4 , 5

(Ⅱ)由(1)知, a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ?

?0 ? ? ? ? ?

3 3 ? ? ? ? ? 0 ? sin(? ? ? ) ? ? , tan(? ? ? ) ? ? . 2 2 5 4 3 4 ? ? tan(? ? ? ) ? tan ? 4 3 ? 7 . ? tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? = 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ? 1 ? (? 3 ) ? 4 24 4 3 7 ? tan ? ? 24

?

? ?

?

第 7 页,共 9 页

38( .江苏省淮安市车桥中学 2014 届高三 9 月期初测试数学试题) 已知平面向量 a=(1,2sinθ ),b=(5cosθ ,3).

(1)若 a∥b,求 sin2θ 的值; π (2)若 a⊥b,求 tan(θ + )的值. 4
【答案】 (1)因为 a∥b,所以 1×3-2sinθ ×5cosθ =0,

3 即 5sin2θ -3=0,所以 sin2θ = 5 (2)因为 a⊥b,所以 1×5cosθ +2sinθ ×3=0 5 所以 tanθ =6 π tanθ +tan 4 1 π 所以 tan(θ + )= = 4 π 11 1-tanθ tan 4

39 . (江苏省启东中学 2014 届高三上学期期中模拟数学试题) 已知 a, b, c 是同一平面内的三个向量 , 其中

? ??

? a ? (1, 2) ? ? ? ? (1)若 | c |? 2 5 ,且 c // a ,求: c 的坐标 ? ? ? ? ? ? ? 5 (2)若 | b |? ,且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 2 ? ? ? ? 【答案】解:设 c ? ( x, y) 由 c // a及 | c |? 2 5 得

? ? ?1? y ? 2 ? x ? 0 ? x ? 2 ? x ? ?2 所以 , c ? (2, 4) 或 c ? (?2, ?4) , ? 或 ? 2 ? ? 2 ? y ? 4 ? y ? ?4 ? x ? y ? 20 ? ? ? ? ? ? ? ? (2)∵ a ? 2b 与 2a ? b 垂直,∴ (a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0
即 2a ? 3a ? b ? 2b ? 0 ;∴ a ? b ? ?

?2

? ?

?2

? ?

? ? a ?b ∴ cos ? ? ? ? ? ?1,∵ ? ?[0, ? ] ∴ ? ? ? | a || b |
40. (江苏省泰州市姜堰区 2014 届高三上学期期中考试数学试题)设平面向量 a ? ( 3 ,?1), b ? ( ,

5 2

1 3 ) ,若 2 2

存在实数 m(m ? 0) 和角 ? ,其中 ? ? (?

? ?

, ) ,使向量 c ? a ? (tan 2 ? ? 3)b, d ? ?ma ? b ? tan ? ,且 2 2

c?d.
(Ⅰ)求 m ? f (? ) 的关系式; (Ⅱ)若 ? ? [?

? ?

, ] ,求 f (? ) 的最小值,并求出此时的 ? 值. 6 3

【答案】解: (Ⅰ)∵ c

? d ,且 a ? b ? 0, a ? 2, b ? 1 ,∴ c ? d ? ?ma ? (tan 3 ? ? 3 tan ? )b ? 0
第 8 页,共 9 页

2

2

∴ m ? f (? ) ?

1 ? ? (tan 3 ? ? 3 tan ? ),? ? (? , ) 4 2 2

(Ⅱ)设 t ? tan ? ,又∵ ? ? [?

? ?

3 1 , 3 ] ,则 m ? g (t ) ? (t 3 ? 3t ) , ] ,∴ t ? [? 3 6 3 4

m' ? g ' (t ) ?
∴ t ? (?

3 2 (t ? 1) 令 g ' (t ) ? 0 得 t ? ?1 (舍去) t ? 1 4

3 ? ,1) 时 g ' (t ) ? 0 , t ? (1, 3 ) 时 g ' (t ) ? 0 ,∴ t ? 1 时,即 ? ? 时, 3 4
1 2

g (1) 为极小值也是最小值, g (t ) 最小值为 ?

41. (江苏省如皋中学 2014 届高三上学期期中模拟数学试卷)如图,在△OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一

点, OP ? x ? OA ? y ? OB. (1)若 BP ? PA ,求 x , y 的值; (2)若 BP ? 3PA , | OA |? 4 , | OB |? 2 ,且 OA 与 OB 的夹角为 60°时,求 OP ? AB 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

【答案】(1)∵ BP ? PA ,

??? ?

??? ?

∴ BO ? OP ? PO ? OA ,即 2OP ? OB ? OA ,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

? 1 ??? ? 1 ??? 1 1 OA ? OB ,即 x ? , y ? 2 2 2 2 ??? ? ??? ? (2)∵ BP ? 3PA ,
∴ OP ? ∴ BO ? OP ? 3PO ? 3OA ,即 4OP ? OB ? 3OA

??? ?

??? ? ??? ?
??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 1 ??? ? 3 ??? OA ? OB 4 4 3 1 ∴x ? ,y ? 4 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 ? 1 ??? OP ? AB ? ( OA ? OB ) ? (OB ? OA) 4 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 3 ? OB ? OB ? OA ? OA ? OA ? OB 4 4 2 1 3 1 1 ? ? 2 2 ? ? 4 2 ? ? 4 ? 2 ? ? ?9 4 4 2 2
∴ OP ?
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