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必修1 第一章 集合 知识点总结


乐清育才中学高一数学备课组主备人:吴婉靖审核人:李娟时间:2015.10.22 必修 1 第一章章末总结(阅读材料) 一、集合 1.相关概念 定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合 特征:确定性、互异性、无序性 表示法:列举法、描述法、维恩图法 常用数集的表示法:N、N*或 N ? 、Z、Q、R. 2.关系 ⑴集合与元素:“ ? ”或“ ? ” ⑵集

合与集合 ①子集:如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,称集合 A 为集合 B 的子集, 记作 A ? B 或 B ? A . ②相等:如果 A ? B 且 A ? B ,此时称集合 A 与集合 B 相等,记作 A ? B . ③真子集:如果 A ? B 且 A ? B ,我们称集合 A 是集合 B 的真子集,记作. ④空集:空集只有一个子集,即它本身; 空集是任何集合的子集,即 ? ? A ; 空集是任何非空集合的真子集. 3.运算 ⑴并集: A ? B ? x x?A 或 x?B? ⑵交集: A ? B ? x x?A 且 x?B? ⑶补集: CU A ? x x?U 且 x?A?

? ?

?

? ? ? ? ? ? A ? ? C U A? ? U ; A ? ? C U A? ? ? ; C U ? C U A? ? A ; C U U ? ? ; C U ? ? U ? ? ? ? ? ?
德· 摩根定律: CU ? A ? B ? ? ?CU A? ? ?CU B ? ; CU ? A ? B ? ? ?CU A? ? ?CU B ? ⑷运算律:① A ? ? B ? C ? ? ? A ? B ? ? C ;② A ? ? B ? C ? ? ? A ? B ? ? C ① A ? ? B ? C ? ? ? A ? B ? ? ? A ? C ? ;② A ? ? B ? C ? ? ? A ? B ? ? ? A ? C ? 二、函数 1.函数及其相关概念 共 4 页第 1 页

乐清育才中学高一数学备课组主备人:吴婉靖审核人:李娟时间:2015.10.22 ⑴定义:设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y ? f ? x ? , x ? A . ⑵三要素:定义域、对应法则、值域 ⑶函数表示法:列表法、图像法、解析法 ⑶函数相等:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称两个函数相等 ⑷区间:闭区间;开区间;半开半闭区间 ⑸无穷大:正无穷大 ?? ;负无穷大 ?? ⑹映射:设 A,B 是非空的集合,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素,在集合 B 中都有唯一确定的元素和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 2.函数的性质 ⑴单调性:设函数 f ? x ? 的定义域为 I,如果对于任意 x1 , x2 ? D ? I ①当 x1 ? x2 时,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ? x ? 在区间 D 上是增函数 ②当 x1 ? x2 时,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ? x ? 在区间 D 上是减函数 ③如果函数 f ? x ? 在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说 y ? f ? x ? 在区间 D 上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做函数 y ? f ? x ? 的单调区间 ⑵最值:设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ①对于任意 x ? I ,都有 f ? x ? ? M ;存在 x0 ? I ,使得 f ? x0 ? ? M ,则 M 为函数 y ? f ? x ? 的 最大值 ②对于任意 x ? I ,都有 f ? x ? ? m ;存在 x0 ? I ,使得 f ? x0 ? ? m ,则 m 为函数 y ? f ? x ? 的最 小值 ⑶奇偶性:如果对于函数 f ? x ? 定义域内的任意一个 x,都有 ① f ? ? x ? ? f ? x ? ,则 f ? x ? 为偶函数 ② f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,则 f ? x ? 为奇函数

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乐清育才中学高一数学备课组主备人:吴婉靖审核人:李娟时间:2015.10.22 3.函数图像变换 ⑴图像平移:左加右减,上加下减 ⑵图像翻折:

⑶图像对称: ①轴对称:关于直线 x ? a 对称—— f (a ? x) ? f (a ? x)
f ( x) ? f (2a ? x)

①点对称:关于点 ? a,0 ? 对称—— f (a ? x) ? ? f (a ? x )
f ( x) ? ? f (2a ? x)

关于点 ? a, b ? 对称—— f (a ? x) ? b ? b ? f (a ? x)
f ( x) ? 2b ? f (2a ? x)

三、应用题 例 1 已知函数 f ( x) ?

x ?1 ,证明 f ( x) 在 (1,??) 内是增函数. x?2

证明:对于任意的 1 ? x1 ? x2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 取值
f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 作差 x1 ? 2 x2 ? 2

x1 ? 2 ? 3 x2 ? 2 ? 3 ? x1 ? 2 x2 ? 2

?1?

3 3 ?1? 变形 x1 ? 2 x2 ? 2

?

3 ? x1 ? 2 ? ? 3 ? x2 ? 2 ?

? x2 ? 2 ?? x1 ? 2 ?
3 ? x1 ? x2 ?

?

? x2 ? 2 ?? x1 ? 2 ?

?0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 断号

· · · · · · · · · · · · · · · · · 结果 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,故 f ( x) 在 (1,??) 内是增函数·

共 4 页第 3 页

乐清育才中学高一数学备课组主备人:吴婉靖审核人:李娟时间:2015.10.22

例 2 已知函数 f ( x) ? ?

?? x 2 ? x, ( x ? 0) ,判断 f ( x) 的奇偶性. 2 ? x ? x, ( x ? 0)
2

解: ?x ? 0, ? x ? 0 , f ? ?x ? ? ? ?x ? ? ? ?x ? ? x2 ? x ? ? ? ?x2 ? x ? ? ? f ? x ?
?x ? 0, ? x ? 0 , f ? ?x? ? ? ? ?x ? ? ? ?x ? ? ?x2 ? x ? ? x2 ? x ? ? f ? x ?
2

?

?

x ? 0 时, f ? 0? ? 02 ? 0 ? 0 ,故 f ( x ) 是奇函数.

例 3 设 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 , x ? [a, a ? 1] , (a ? R) 求函数 f ( x) 的最小值 g (a ) 的解析式.
2

解: f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 ? ? x ? 2? ? 8
2

(化成定点式,判断对称轴与定义域的关系) ①当 a ? 1 ? 2 ,即 a ? 1 时,

g ? a ? ? f ? a ? 1? ? ? a ? 1? ? 8
2

②当 a ? 2 ? a ? 1 ,即 1 ? a ? 2 时,
g ? a ? ? f ? 2? ? ?8

③当 a ? 2 时,

g ? a ? ? f ? a ? ? a2 ? 4a ? 4
?? a ? 1?2 ? 8, a ? ? ??,1? ? ? ? g ? a ? ? ??8, a ? ?1, 2? ? 2 a ? 4a ? 4, a ? ? 2, ?? ? ? ?

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