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让探究性学习在高三复习课中碰撞


数 学通报

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第2 期

让探究性学习在高三复习课中碰撞
苏立标
( 浙江省杭州师范学院附属高级中学 3 1 0 0 3 0

探究性学习是新课程改革的一个亮点,      已经走

交流和思维碰撞 , 引导学生进行探究性的学习.

/>进我们的课堂, 走进我们的高考. 探究性学习的课堂 教学有两个显著的特点, 其一是教学内容的问题化, 即以问题为中心组织教学内容; 其二是教学过程的 探索化, 即教师为学生创设学习情境, 提供解决问题 的材料, 由学生独立地探究、 发现问题和解决问题. 但在高三数学复习课中如何渗透探究性学习, 如何 选择探究性学习的素材, 构建起师生互动交流的平 台, 是高三复习课中常常碰到的问题, 而高三复习课 的探究性学习与高一、 高二的探究性学习又有很多 不同的地方, 所以本文试图从一个简单的案例出发, 在这方面作些探讨, 以便抛砖引玉.      美国著名数学教育家 G? 波利亚说: “ 一个专心 的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不 太复杂的题 目, 去帮助学生挖掘问题的各个方面, 使 得通过这道题, 就好像通过一道门户, 把学生引人一 个完整的理论领域. ” 事实上, 对于课本上的一些司 空见惯的例题、 习题等, 教师如果能够从学生思维发 展的最近点出发, 寻找知识和创新思维的生长点, 设 计问题情境, 引起学生认知的冲突, 从而激发学生探 究的热情 , 不断从一个问题引申到另一个问题, 让学 生在研究中感悟知识, 建构知识网络, 形成创新能 力, 这样能较大幅度地提高学生的复习效率. 在高三

问    题 ‘ , = x 1 是 我 们 非 常 熟 悉 的 函 数 , 也 是
最基本的初等函数, 在初中我们说它的图象是一条 双曲线, 这好像与我们学过的双曲线方程大相径庭, 这是为什么? 旁白 真是一石激起千层浪.      思维从 问题开 始, 越是这些熟是无睹的问题, 越能引起学生认知的 冲突, 从而激起学生探究的欲望与热情.

师:      如果从函数的角度去思考, 你对函数 y=

工的 性 质 知 多 少 ?
x   

     生: 奇函数( 图象关于原点对称) , 在( 0 , +二) 上单调递减, 向下无限地与 x 轴接近; 在( 一}  , 0 ) 上

单调递减, 向 下无限 地与 y 轴接近.
     师: 还有哪些性质呢? 它的反函数又是什么? 生:      与原函数本身是一样的. 师:      这又告诉我们什么呢? 能否小结一下我们刚 才得出的性质吗?

生:      函 数本身关于直线y二: 对称. ( 小结: 有一
个对称中心, 有一条对称轴, 有两条无限接近永远不

出 复习 课中, 笔者曾经以《 曲径探幽: 从 y二工说
去》 为素材设计了探究性学习的教案, 学生探究思 维活跃 , 收到了预期的效果. 下面摘录的是教学过程 的一些片段 : 1 创设情境问题      “ 问题是数学的』 b 脏” , 数学学习的实质就是学 会解决数学问题, 学会怎样用数学的眼光提出问题 和解决问题. 在高三复习课中, 我们教师可以设计有 效问题情境, 借助于问题情境, 教师和学生之间进行

相交的直线) 师:      其实, 这已经告诉我们原点 0是对称中心, 直线y二: 是它的一条对称轴, 还有一句似曾 相识 的话“ 与x 轴y 轴无限接近但永远不相交” 又暗示着
什么?

     生: ( 顿悟) ……渐近线. ( 这时学生的思维似乎 是“ 豁然开朗” ) 师:      这两条渐近线的位置关系怎样? 这说明什
么?

生:      两条渐近线相互垂直, 所以它是等轴双曲

线, 得出 离心率W 2 J .
     师: 能否根据以上的分析, 得出它的顶点坐标, 求出它的焦点坐标及准线方程?

2 0 0 7 年

第4 6 卷

第2 期

数学通报

生:      由对称轴 Y=x 与双曲线的交点( 0,  1 ) ,
( 一1 , 一1 ) , 得出顶点坐标, 由两个顶点的坐标得出

问 题3 如果再把函数 Y

= 手 与 函 数 Y = x 相
k ,        ,
l人

实轴长2 a = 2 涯, 从而推出。 二。 a = 2 的 值, 焦点坐

加, 又得到一个新的函 数 Y二劣 + 一

>0 ) , 这也

标为( 径, , F 2 ) 和( 一 涯, 一 , F 2 ) .
     点评 从函数的观点, 从方程的思想, 来探究 同样的一个问题, 真可谓是双管齐下, 珠联璧合. 至 此学生的思维活跃, 探究的热情高涨, 所以有必要把 问题再引申, 再拓展. 同时在这里, 也可以设计双曲 线的一些性质在其中让学生去发现去探究, 体验探 索的乐趣与成功的喜悦. 这种探究能够有效地唤醒 学生的学习潜能, 激发封存的记忆, 开启封闭的心 智, 使学生受益匪浅. 例 1           ( 2 0 0 4 年杭州市高考模拟试题) 已知函数

是一个重要的函数, 可以说是集函数和方程为一体 的“ 两栖” 函数, 对于这个函数又有什么性质呢? 这 时可引导学生学会用导数的眼光去审视函数的性 质, 并能用得到的函数性质去解题, 这样使学生不断
经历“ 从题 目中来 , 到题 目中去” 的过程.

例3        ( 2 0 0 5 年上海市春

季高考试题) 已 知函 数f ( x ) 二x+ a的定义域为( 0 ,
+0 0) , 且f ( 2 )二2 + 点P 是函数图象上的任意一

图 象C , 与C :  y ( 二 + a + 1 ) =a x +a a+ 21 关于直线 Y二x 对称, 且图象 C ' 关于点( 2 , 一 3 ) 对称, 则a 的
值为

点, 过点 P 分别作直线y=x 和y 轴的 垂线, 垂足分
别为 M,  N .      ( 1 ) 求a 的值; (      2 ) 问: } P M} ? I  P N  I 是否为定值? 若是, 则求 出该定值, 若不是, 则说明理由. (      3 ) 设 0为坐标原点, 求四边形 O M P N面积的 最小值.
3 延伸 探究 问题 问题 4

     ( A ) 3      ( B ) 一 2       ( C ) 2      ( D ) 一3 (      答案 ( C ) ) 分析 由题意知:      函数 C的对称中心为( -3 ,
a    x+a 2 +1 2 ) . 问 题转化为求函 数C :  y一 x + a + 1 的对称中

自, 这里可以从函数与方程两个方面去求对称中心.

例2 对于反比      例函数y

= x 1 , 探 讨 下 列 问 题 : (      1 ) 若点A ( , [ 2 - , 径)  , M为y = x 1 上 的 任 一 点 , 判

当 * < 。 时 , , 二 ? + - x k 的 图 象 又 女 口 何 ?
是否为双曲线? (答案是: 肯定的)

1       

断以线段 A M为直径的圆与圆护+ 尹二 2 的 位 置 关 系. ( 答案: 相外切) ( 2 ) ( 全国数学联赛题) 若正三角形的三个顶点

土上, 那 么尸 、 P ,  Q , R 在 y 二 Q ,  R 能否在同 一支上?
(        答案 : 不可能)

(      3 )  ( 2 0 0 5 年湖北省模拟试题) 在x y二1 上任取
不同三点 A , B , C , 判断△A B C 的垂心H与双曲线的 位置关系. ( 答案: 垂心 H在双曲线上) 2 探索新问题

   问 题 2女 口 果 把 函 数 , = x 1 变 为 一 般 的 反 比 例 函 数 , = x, k  ( k。 ) 又 女 口 何 呢 ? 以 上 的 叨 , 一 些 性 质 没
有变化, 哪一些性质有变化? (对称轴不变, 对称中心

     这一问题的提出, 再一次掀起了学生的探究的 热情, 这样又把问题“ 甩” 给学生, 将学习的主动权 还给学生, 而且将探究学习从课内延伸到课外, 将课 堂中意犹未尽的探究热情带出课堂. 这样, 通过层层 设置问题, 不断地纵向深人挖掘知识的内涵引导学 生自 主探索问题, 激发学生的好奇心与求知欲. 其实,      在高三数学复习课中, 教师可以充分挖掘 教材, 创设数学情境, 对学生所学的前后知识进行整 合, 在知识的交汇点、 在知识的“ 生长点” 上设置问 题, 引导学生不断去发现问题、 探究问题, 也是非常 好的探究性学习素材. 通过引导学生变更问题, 帮助 学生变式探求, 这样, 无论从内容的发散, 还是解题 思维的深人都能收到固本拓新之用, 收到“ 秀枝一

y =

x + —

不变, 离心率 f不变 ……)

株, 嫁接成林” 之效, 从而有利于发展学生的创新的
思维 .


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