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高考数学二轮复习习题精选(附答案)


第1章

集合与简易逻辑 集 合

§ 1–1

一、集合的概念 1.1.1 在“① 难解的题目;② 方程 x2+1=0 在实数集内的解;③ 直角坐 标平面上第四象限内的所有点;④ 很多多项式”中,能够组成集合的是( ). (A) ②③ (B) ①③ (C) ②④ (D) ①②④ 解析 由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合,答案为 A. 1.1.2 下列集合中,有限集是( ). (A) {x|x<10,x∈N} (B) {x|x<10,x∈Z} (C) {x|x2<10,x∈Q} (D) {x|x=y+10,y∈R} 解析 由 N 表示自然数集得{x|x<10,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9}是有限集,答案为 A. 1.1.3 若集合 M={x|x≤6},a=,则下列结论中正确的是( ). (B) a M (C) {a}∈M (D) a?M

(A) {a} M 解析 1.1.4 ( ).

因为 <6,则 ∈M,{a} M,所以,答案为 A. 已知集合 A={0,1},B={y|y2=1-x2,x∈A},则 A 与 B 的关系是 (B) A B (C) A∈B (D) A B

(A) A=B 解析 1.1.5

由已知得集合 B={-1,0,1},所以,A B,答案为 B. 下列四个关系中,正确的是( ). (B) 0?{0} (C) {0}∈{0,1} (D) 0∈{0 , 1}

(A) ?∈{0} 解析

?与{0},{0}与{0,1}是两个集合间的关系,这种关系不应用表达

元素与集合间关系的“∈”来表达;而 0∈{0},又 0 是集合{0,1}中的元素, 所以,0∈{0,1}是正确的,答案为 D. 1.1.6 设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则 b-a=( ). (A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) -2 解析 由已知得 0∈{1,a+b,a},而 a≠0,于是,只能 a+b=0,则= -1,又 -1∈{1,a+b,a},所以,a=-1,b=1,b-a=2,答案为 C. 1.1.7 用适当的方式写出下列集合: (1) 组成中国国旗的颜色名称的集合 (2) 不大于 6 的非负整数所组成的集合
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; ;

(3) 所有正奇数组成的集合 ; (4) 方程 x3+6=0 的实数解构成的集合 ; 2 (5) 不等式 x -5x+4<0 的解集 ; (6) 直角坐标平面中,第一象限内的所有点组成的集合 ; (7) 直角坐标平面中,直线 y=2x-1 上的所有点组成的集合 . 解析 (1) 组成中国国旗的颜色名称的集合是{红,黄}. (2) 不大于 6 的非负整数所组成的集合是{0,1,2,3,4,5,6}. (3) 所有正奇数组成的集合是{x|x=2k+1,k∈N}. (4) 方程 x3+6=0 的实数解构成的集合是{x|x3+6=0,x∈R}. (5) 不等式 x2-5x+4<0 的解集{x|x2-5x+4<0}或写成{x|1<x<4}. (6) 直角坐标平面中,第一象限内的所有点组成的集合是{(x,y)|x>0 且 y>0}. (7) 直角坐标平面中,直线 y=2x-1 上的所有点组成的集合是{(x,y)|y=2x -1}. 1.1.8 = 已知集合 A={1,3,x},集合 B={1,x2},若有 B A 且 x?B,则 A

. 解析 由 x2∈A 及 x?B 得 x2=3,解得 x=± ,经检验此 x 的值符合集合中元 素的互异性,所以,集合 A={1,3,}或{1,3,-}. 1.1.9 集合 A={x|-3≤x≤2},B={x|2m-1≤x≤2m+1},若 B?A,则 m 的取 值范围是 . 解析 由已知可得解得-1≤m≤. 1.1.10 若集合 M={0,1,2},N={(x,y)|x-2y+1≥0 且 x-2y-1≤0, x,y∈M},则 N 中元素的个数为( ). (A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) 2 解析 将点(0,0),(1,1),(2,2),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1, 2),(2,1)的坐标代入不等式组可知只有点(0,0),(1,1),(1,0),(2,1)四个 点在集合 N 内,所以,答案为 C. 1.1.11 定义集合运算:A☉B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合 A= {0,1},B={2,3},则集合 A☉B 的所有元素之和为( ). (A) 0 (B) 6 (C) 12 (D) 18 解析 由已知可得 A☉B={0,6,12},所以,A☉B 中所有元素之和为 18,答案为 D. 1.1.12 设⊕是 R 上的一个运算,A 是 R 的非空子集,若对任意 a,b∈A, 有 a⊕b∈A,则称 A 对运算⊕封闭.下列数集对加法,减法,乘法和除法(除数 不等于零)四则运算都封闭的是( ). (A) 自然数集 (B) 整数集 (C) 有理数集 (D) 无理 数集 解析 任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数,任意两个无理
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数的积不一定是无理数,而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理 数,所以,有理数集对加法,减法,乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封 闭的,答案为 C. 1.1.13 集合 M={x|a1x>b1},N={x|a2x>b2},其中常数 a1b1a2b2≠0,则“” 是“M=N”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 若 a1=b1=1,a2=b2=-1,则有,此时,M={x|x>1},N= {x|x<1},M≠N; 若 M=N,则必有 a1a2>0,于是,M=,N=, 或者,M=,N=,于是,,即, 所以,“”是“M=N”的必要不充分条件,答案为 B. 1.1.14 题: ① 2ab 一定属于 M ② 2ab 一定不属于 M ③ -2ab 一定属于 M ④ -2ab 一定不属于 M 其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号). 2 2 解析 由(a-b) ≥0 和(a+b) ≥0 对任意 a,b∈R 恒成立可得 2ab≤a2+b2,- 2ab≤a2+b2,所以,2ab∈M,-2ab∈M,在上述四个命题中,①和③是正确 的. 1.1.15 已知集合 A 是非零实数集的子集,并且有如下性质:对任意 x∈A,必有 3-∈A.问: (1) 集合 A 可否有且仅有一个元素?如果可以,求出所有满足要求的集合 A;若不可以,则说明理由; (2) 集合 A 可否有且仅有两个元素?如果可以,求出所有满足要求的集合 A;若不可以,则说明理由. 解析 (1) 若集合 A 中有且仅有一个元素 x,则 3-=x,即 x2-3x+2=0, 解得 x=1 或 x=2,所以,集合{1}和{2}是两个满足要求的单元集. (2) 集合{1,2}是满足要求的二元集.若集合 A={a,b}是满足要求的二元 集,并且即则 a=b,矛盾,所以,满足要求的二元集只能是{1,2}. 1.1.16 同时满足{1} A?{1,2,3,4,5},且 A 中所有元素之和为奇数的 已知集合 M={x|x≤a2+b2},其中 a,b 是常数.给出下列四个命

集合 A 的个数是( ). (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 解析 若 A 为二元集,则 A 可为{1,2}、{1,4};若 A 为三元集,则 A 可 为{1,2,4}、{1,3,5};若 A 为四元集,则 A 可为{1,2,3,5}、{1,3, 4,5};若 A 为五元集,则 A 可为{1,2,3,4,5},所以,共有 7 个符合条件 的集合,答案为 C.

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1.1.17 的是( ).

对于集合 A 和 B,当 A B 时,下列集合之间的关系一定不能成立 (B) ? B (C) B=? (D) A=?

(A) ??A

解析 由于不存在集合是空集的真子集,所以,由 A B 可得 B≠?,所以, 答案为 C. 1.1.18 下列各组集合中,M 与 P 表示同一个集合的是( ). (A) M={(1,-3)},P={(-3,1)} (B) M=?,P={0} (C) M={y|y=x2+1,x∈R},P={(x,y)|y=x2+1,x∈R} (D) M={y|y=x2+1,x∈R},P={t|t=(y-1)2+1,y∈R} 解析 (1,-3)与(-3,1)是平面直角坐标系中两个不相同的点;集合{0} 中有一个元素,它不是空集. 集合 M={y|y=x2+1,x∈R}是二次函数 y=x2+1 的因变量的集合,它是 一个数集,而集合 P={(x,y)|y=x2+1,x∈R}表示平面直角坐标系中的一条抛 物线,它是点的集合. 集合 M={y|y=x2+1,x∈R}={t|t=(y-1)2+1,y∈R}={y|y≥1},所以, 答案为 D. 1.1.19 集: 解析 写出集合 A={(x,y)|x2+y2=2 且 x+y=0}的所有子 . 集合 A={(1,-1),(-1,1)},所以,A 的所有子集是?,{(1,-

1)},{(-1,1)},{(1,-1),(-1,1)}. 1.1.20 用适当的方式写出下列集合并化简: (1) 方程 x2+2=0 的全体实数解组成的集合: ; (2) 函数 y=3x+2,1≤x≤3 的所有因变量组成的集合: ; 2 (3) 函数 y=-x +4x+3,x∈R 的所有因变量组成的集 合: . 解析 (1) 方程 x2+2=0 的全体实数解组成的集合是{x|x2+2=0,x∈R}= ?; (2) 函数 y=3x+2,1≤x≤3 的所有因变量组成的集合是{y|y=3x+2,1≤x≤3} ={y|5≤y≤11}; (3) 函数 y=-x2+4x+3,x∈R 的所有因变量组成的集合是{y|y=-x2+4x +3,x∈R}={y|y≤7}. 1.1.21 已知集合{x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}中有且仅有一个元素,则 a 的值是 . 解析 要使得集合{x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}中有且仅有一个元素, 则 a=0 或 Δ=22-4a=0,所以,a=0 或 a=1.
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1.1.22 关于 x 的不等式≤的解集是 A,关于 x 的不等式 x2-3(a+1)x+2(3a +1)≤0 (其中 a∈R)的解集是 B,求使 A?B 的 a 的取值范围. 解析 不等式≤的解集 A=[2a,a2+1]. 不等式 x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0 即为(x-2)(x-3a-1)≤0. 若 a≥,则 B=[2,3a+1];若 a<,则 B=[3a+1,2]. 由 A?B 得或解得 1≤a≤3 或 a=-1. 所以,a 的取值范围是 a=-1 或 1≤a≤3. 1.1.23 已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-1)=0},C= {x|x2-bx+2=0,x∈R},若 B?A,C?A,求实数 a,b 应满足的条件. 解析 集合 A={1,2},而 x2-ax+(a-1)=0 即为(x-1)(x-a+1)=0,若 a-1=1,即 a=2,则 B={1}满足;若 a-1≠1,即 a≠2,则 B={1,a-1},由 B?A 知 a-1=2,即 a=3.对于集合 C,由 C?A 知,若 C=?,则 Δ=(-b)2 -8<0,解得-2<b<2;若 C 为单元集,则 Δ=(-b)2-8=0,此时 C={}或 C= {-},与 C?A 矛盾;若 C={1,2},即 C 中方程两根为 1 和 2,则 b=3.所 以,a,b 应满足的条件是 a=2 或 a=3 而 -2<b<2 或 b=3. 1.1.24 已知集合 A={(x,y)|y=-x2+mx-1},B={(x,y)|x+y=3, 0≤x≤3},若有且仅有一个点同时属于集合 A 和 B,求实数 m 的取值范围. 解析 由已知得抛物线与线段有且仅有一个交点.由得 x2-(1+m)x+4=0,该方程在区间[0,3]上只有一个解. 若 Δ=(m+1)2-16=0,则 m=3 或 m=-5,如果 m=3,解得 x=2;如果 m=-5,解得 x=-2?[0,3],于是 m=-5 舍去. 若 Δ>0,则记 f(x)=x2-(1+m)x+4,此时,只需 f(3)<0,即 9-3(m+1)+ 4<0,解得 m>. 所以,m 的取值范围是 m>或 m=3. 1.1.25 设集合 M={1,2,3,4,5,6},S1,S2,?,Sk 都是 M 的含两个 元素的子集,且满足:对任意的 Si={ai,bi},Sj={aj,bj}(i≠j,i,j∈{1,2, 3,?,k}),都有 min≠min(min{x,y}表示两个数 x,y 中的较小者),则 k 的最 大值是( ). (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 解析 集合 M 的所有两元子集是{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1, 6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5}, {4,6},{5,6},共计 15 个,其中,不同 min (i=1,2,?,15)有共 11 个, 所以,答案为 B. 1.1.26 设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a,b∈P,都有 a +b,a-b,ab,∈P (除数 b≠0),则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数 域;数集 F={a+b|a,b∈Q}也是数域.有下列命题: ① 整数集是数域; ② 若有理数集 Q?M,则数集 M 必为数域; ③ 数域必为无限集; ④ 存在无穷多个数域.
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其中正确的命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号填 上). 解析 因为任意两个整数的商不一定是整数,故命题①不正确;当集合 M =Q∪{}时,由于 1∈Q,而?M,故命题②不正确;由数域 P 的定义知,必有 =1∈P,从而 2∈P,则 3∈P,?,所以,整数集 Z?P,故数域 P 中必有无穷 多个元素,命题③正确;由于数集 F={a+b|a,b∈Q}是数域,则将其中的换 成,?等仍为数域,所以数域有无穷多个,命题④正确. 所以,在上述四个命题中,正确命题的序号是③,④. 1.1.27 非空集合 G 关于运算⊕满足:(1) 对任意 a,b∈G,都有 a⊕b∈ G;(2) 存在 e∈G,使得对一切 a∈G,都有 a⊕e=e⊕a=a,则称 G 关于运算 ⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算: ① G={非负整数},⊕为整数的加法; ② G={偶数},⊕为整数的乘法; ③ G={平面向量},⊕为平面向量的加法; ④ G={二次三项式},⊕多项式的乘法; ⑤ G={虚数},⊕为复数的乘法. 其中 G 关于运算⊕为“融洽集”的是 (写出所有“融洽集”的序 号). 解析 对于非负整数集以及加法运算,两个非负整数之和一定是非负整 数,其中 e=0;对于偶数集和乘法运算,其中不存在满足要求的元素 e;对于 平面向量集合以及向量的加法运算,任意两个平面向量之和仍为该平面内的向 量,e=;对于二次三项式集合以及多项式的乘法,其中不存在满足要求的元素 e;对于虚数集和复数的乘法运算,其中不存在满足要求的元素 e,所以,集合 G 关于运算⊕为“融洽集”的是①和③. 1.1.28 已知集合 S={x|x=m2+n2,m,n∈Z}.求证:若 a,b∈S,则 ab ∈S. 解析 由 a,b∈S 得存在整数 p,q,r,s,使得 a=p2+q2,b=r2+s2,则 ab=(p2+q2)(r2+s2)=p2r2+q2s2+p2s2+q2r2=(pr+qs)2+(ps-qr)2,其中 pr+qs 和 ps-qr 都是整数,所以,ab∈S. 1.1.29 已知集合 A={x|x=12a+8b,a,b∈Z},B={y|y=20c+16d,c,d ∈Z}.判断集合 A 与集合 B 之间存在什么关系,并说明理由. 解析 若 y∈B,即 y=20c+16d=12c+8(c+2d),因为 c,d∈Z,则有 c+ 2d∈Z,得 y∈A,于是 B?A;若 x∈A,则 x=12a+8b=60a-48a+40b-32b =20(3a+2b)+16(-3a-2b),因为 a,b∈Z,则有 3a+2b,-3a-2b∈Z,于 是 A?B.所以,A=B. 1.1.30 若 f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,A={x|x=f(x),x∈R},B={x|x= f[f(x)],x∈C}. (1) 写出集合 A 与 B 之间的关系,并证明; (2) 当 A ={ -1 ,3}时,用列举 法表示集合 B. 解析 (1) 任取 x∈A,则 f(x)=x,于是,f [ f(x)]=f(x)=x,即有 x∈B,所
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以有 A?B,但由于 x=f[f(x)]必为四次方程,在复数集 C 上有 4 个根,所以 A B. (2) 当 A={-1,3}时,即方程 x2+ax+b=x 的两根为-1、3,于是-1+3 =-(a-1),(-1)× 3=b,所以 a=-1,b=-3,即 f(x)=x2-x-3,此时,集 合 B 中的方程为(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x,即(x2-x-3)2-x2=0,(x2- 3)(x2-2x-3)=0,所以,B={-1,3,,-}. 1.1.31 已知 A={(x,y)|x2+y2+4x+4y+7=0,x,y∈R},B={(x,y)|xy =-10,x,y∈R}. (1) 对于直线 m 和直线外的一点 P,用“m 上的点与点 P 距离的最小值”定 义点 P 到直线 m 的距离与原有的点线距离概念是等价的.试以类似的方式给出 一个点集 A 与 B 的“距离”的定义; (2) 依照(1)中的定义求出 A 与 B 的“距离”. 解析 (1) 定义:在点集 A,B 中分别任取一点,所取两点间的距离若有最 小值,则此最小值称为点集 A 与 B 的“距离”. (2) 集合 A 中的点构成一个圆,其方程是(x+2)2+(y+2)2=1,圆心 C(- 2,-2),半径为 1,设 P(x,y)为曲线 xy=-10 上任意一点,则|PC|2=(x+2)2 +(y+2)2=x2+y2+4(x+y)+8=(x+y)2-2xy+4(x+y)+8=(x+y)2+4(x+y)+ 28=(x+y+2)2+24. 当且仅当即或时,|PC=24,|PC|最小值=2,所以,A 与 B 的“距离”为 2- 1. 二、集合的运算 1.1.32 已知全集 I={a1,a2,a3,a4,a5,a6},集合 A={a1,a3,a4, a5},B={a1,a4},则 A∩?IB=( ). (A) {a1,a4} (B) {a2,a6} (C) {a3,a5} (D) {a2,a3,a5,a6} 解析 ?IB={a2,a3,a5,a6},所以,A∩?IB={a3,a5},答案为 C. 1.1.33 若集合 M={x||x|≤2},N={x|x2-3x=0},则 M∩N=( ). (A) {3} (B) {0} (C) {0,2} {0,3} 解析 M=[-2,2],N={0,3},所以 M∩N={0},答案为 B. 1.1.34 设 A,B,I 均为非空集合,且满足 A?B?I, 则下列各式中错误的是( ). (A) (?IA)∪B=I (B) (?IA)∪(?IB)=I

(D)

题 1.1.34

(C) A∩(?IB)=? (D) (?IA)∩(?IB)=(?IB) 解析 集合 A,B,I 的关系如图所示,可知(?IA)∪(?IB)=?IA≠I,所以,答 案为 B.
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1.1.35 设全集 I={2,3,5},A={|a-5|,2},?IA={5},则 a 的值为 ( ). (A) 2 (B) 8 (C) 2 或 8 (D) -2 或 8 解析 由 A∪?IA=I 得|a-5|=3,所以 a=2 或 8,答案为 C. 1.1.36 设集合 M={x|a1x2+b1x+c1=0},N={x|a2x2+b2x+c2=0},则方 程(a1x2+b1x+c1)(a2x2+b2x+c2)=0 的解集是( ). (A) M∩N (B) M∪N (C) N (D) M 2 2 2 解析 由(a1x +b1x+c1)(a2x +b2x+c2)=0 可得(a1x +b1x+c1)=0 或(a2x2+ b2x+c2)=0,所以,该方程的解集是 M∪N,答案为 B. 1.1.37 若集合 M={(x,y)|x+y=0},P={(x,y)|x-y=2},则 M∩P= ( ). (A) (1,-1) (B) {x=1}∪{y=-1} (C) {1,-1} (D) {(1,-1)} 解析 由得所以,M∩P={(1,-1)},答案为 D. 1.1.38 满足 M?{a1,a2,a3,a4},且 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 M 的个数是( ). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解析 由 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}知 a1、a2∈M,a3?M,a4 可以在集合 M 也可以不在集合 M 中,所以,满足要求的集合 M 的个数是 2 个.答案为 B. 1.1.39 若 A,B,C 为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( ). (A) A?C (B) C?A (C) A≠C (D) A=? 解析 任取 x∈A,则 x∈A∪B=B∩C,于是,x∈B∩C,则 x∈C,所以, A?C,答案为 A. 1.1.40 ∪C= 解析 已知 A={x|x≤7},B={x|x<2},C={x|x>5},则 A∩B= ;A∩B∩C= . 由已知得 A∩B={x|x<2},A∪C=R,A∩B∩C=?. ;A

1.1.41 若集合 A={x|-2<x<1 或 x>1},B= {x|a≤x≤b}满足 A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3},则 a= ;b= . 解析 在数轴上画出集合 A∪B 和 A∩B 可得 a=1,b=3. 1.1.42 全集 U 的子集 A、B、C 的关系如图所示:其中三 个圆分别表示集合 A、B、C,试用集合 A、B、C 的运算结果表 述图中的阴影所代表的集合: . 解析 图中的阴影部分表示集合?UA∩B∩C.
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题 1.1.41

题 1.1.42

1.1.43 已知 a>b>0,全集 I=R,集合 M=,N=,P={x|b<x<},则下列 关系式中正确的是( ). (A) P=M∩?IN (B) P=?IM∩N (C) P=M∪N (D) P=M∩N 题 1.1.43 解析 由 a>b>0 得 b<<<a,将集合 M,N 表示在数 轴上可知 P= M∩?IN,答案为 A. 1.1.44 对于集合 A,B,C,“A∩C=B∩C”是“A=B”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 若 A=B,则显然有 A∩C=B∩C;反之,若 C={1},A={1,2},B ={1,3},此时 A∩C=B∩C={1},但 A≠B,所以,“A∩C=B∩C”是“A= B”的必要不充分条件,答案为 B. 1.1.45 设全集 I={(x,y)|x,y∈R},集合 M=,N={(x,y)|y≠x+1},那 么?I(M∪N)=( ). (A) ? (B) {(2,3)}

(C) (2,3) (D) {(x,y)|y=x+1} 解析 集合 I 表示平面上所有的点,集合 M 表示直线 y=x+1 上除(2,3)外 的所有点,集合 N 表示不在直线 y=x+1 上的所有点,所以 M∪N 表示平面上 除(2,3)外的所有点,所以,?I(M∪N)是集合{(2,3)},答案为 B. 1.1.46 若全集 I=R,f(x),g(x)都是定义域为 R 的函数,P={x|f(x)<0},Q ={x|g(x)≥0},则不等式组的解集用 P,Q 表示为 . 解析 由已知可得不等式 g(x)<0 的解集是?IQ,所以,不等式组的解集是 P∩?IQ. 1.1.47 设 P 表示△ABC 所在平面上的点,则集合{P|PA=PB}∩{P|PB=PC} = . 解析 由已知得点 P 到△ABC 三顶点等距,所以,{P|PA=PB}∩{P|PB= PC}={△ABC 的外心}. 1.1.48 集合 A={(x,y)|ax+y=1},B={(x,y)|x+ay=1},C={(x,y)|x2 +y2=1},分别求使得集合(A∪B)∩C 为含有两个元素和三个元素的集合的 a 的 值. 解析 集合 A、B 分别表示过定点(0,1)和(1,0)的两条直线,集合 C 表示 单位圆,且(0,1),(1,0)∈C,若(A∪B)∩C 含有两个元素,则两直线重合或同 时与圆相切,可得 a=1 或 a=0.若(A∪B)∩C 含有三个元素,即表明两条直线 与圆有且仅有三个公共点,由于两直线或同时与圆相切,或同时与圆不相切, 则必须有上述两条直线的交点在圆上,两直线的交点是,则=1,所以,a=- 1± . 1.1.49 若集合 A 是一个有限集,我们以 f(A)表示该集合中元素的个数.例
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如:f(?)=0,f({a})=1 等等. (1) 已知集合 M={(x,y)|y=x2,x∈R},若集合 N={(x,y)|y=b},其中 b 是实常数,求 f(M∩N)的值; (2) 已知集合 M={(x,y)|y=x2,x∈Z},若集合 P={(x,y)|y=x+p},其中 p 是实常数,如果存在整数 k 使得(k,k2)∈M∩P,求证:f(M∩P)=2. 解析 (1) 若 b<0,则 f(M∩N)=0;若 b=0,则 f(M∩N)=1;若 b>0,则 f(M∩N)=2. (2) 由已知可得关于 x 的方程 x2=x+p 有一个根是 k,则 k2=k+p,即 p= k2-k,于是,方程 x2=x+p 即为 x2-x-(k-1)k=0,即(x-k)(x+k-1)=0,解 得 x=k 或 x=1-k,所以,M∩P={(k,k2),(1-k,(1-k)2)},由 k 是整数得 k≠1-k,则 f(M∩N)=2. 1.1.50 设全集为 R,A={x|x2-5x-6>0},B={x‖x-5|<a}(a 是常数),且 11∈B,则( ). (A) ?RA∪B=R (B) A∪?RB=R (C) ?RA∪?RB=R (D) A∪B=R 解析 集合 A={x|x>6 或 x<-1},由 11∈B 得|11-5|<a,即 a>6,集合 B =(5-a,5+a),此时 5-a<-1,5+a>6,所以,A∪B=R,答案为 D. 1.1.51 已知 P={y|y=x2+1,x∈R},Q={y|y=x+1,x∈R},则 P∩Q= ( ). (A) {(0,1),(1,0)} (B) {0,1} (C) {1,2} (D) {y|y≥1} 2 解析 集合 P,Q 分别是函数 y=x +1,y=x+1 的值域,于是 P=[1,+ ∞),Q=R,所以 P∩Q=[1,+∞),答案为 D. 1.1.52 设 A、B 是两个非空集合,定义 A 与 B 的“差 集”为 A-B={x|x∈A,且 x?B},则 A-(A-B)=( ). (A) B (B) A∩B (C) A∪B (D) A 解析 由“差集”的定义可知集合 A–B 如图中阴影部 分所示,所以,A-(A-B)=A∩B,答案为 B. 1.1.53 已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB) 中有 n 个元素,若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为( ). (A) mn (B) m+n (C) n-m (D) m-n 解析 由文氏图可得 A∩B 的元素个数为 m-n,答案为 D.

题 1.1.52

题 1.1.53

1.1.54 设全集 U=N*,集合 A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=3n,n∈ N*},则?U(A∪B)=( ). (A) {x|x=6n,n∈N*} (B) {x|x=6n± 1,n∈N*} (C) {x|x=6n± 2,n∈N*} (D) {x|x=6n± 3,n∈N*} 解析 对于 x=2n,n∈N*,若 n=3k (k∈N*),则 x=6k;若 n=3k-1 (k∈
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N*),则 x=6k-2;若 n=3k-2 (k∈N*),则 x=6k-4,对于 x=3n,若 n=2k (k∈N*),则 x=6k;若 n=2k-1 (k∈N*),则 x=6k-3,所以,?U(A∪B)= {x|x =6n± 1,n∈N*},答案为 B. 1.1.55 我们称(P,Q)为“有序集合对”,其中 P,Q 是集合,当 P≠Q 时,认为(P,Q)与(Q,P)是两个不同的“有序集合对”.那么,使得 A∪B= {a,b}成立的“有序集合对”(A,B)共有( )个. (A) 9 (B) 4 (C) 7 (D) 16 解析 若 A=?,则只能 B={a,b};若 A={a},则 B 可以为{b}或{a, b};若 A={b},则 B 可以为{a}或{a,b};若 A={a,b},则 B 可以是?, {a},{b},{a,b}这四个集合中的某一个,所以,使得 A∪B={a,b}成立的 “有序集合对”(A,B)共有 9 个,答案为 A. 1.1.56 有限集合 S 中元素的个数记做 card(S).设 A,B 都为有限集合,给出下列命题: ① A∩B=?的充要条件是 card(A∪B)=card(A)+ card(B); ② A?B 的必要条件是 card(A)≤card(B); ③ A?B 的充分条件是 card(A)≤card(B); ④ A=B 的充要条件是 card(A)=card(B), 其中真命题的序号是( ). (A) ③,④ (B) ①,② ②,③ 解析 card(B).

题 1.1.56

(C) ①,④

(D)

用文氏图可知,当 A∩B=?时,必有 card(A∪B)=card(A)+

反之,若 card(A∪B)=card(A)+card(B),也必有 A∩B=?. 于是,card(A∪B)=card(A)+card(B)是 A∩B=?的充要条件; 若 A?B,则 card(A)≤card(B);反之,当 card(A)≤card(B)时,未必有 A?B, 于是,card(A)≤card(B)是 A?B 的必要条件;当 card(A)≤card(B)时,有可能有 A?B,于是,card(A)≤card(B)是 A?B 的既不充分,也不必要条件;card(A)= card(B)是 A=B 的必要不充分条件,所以,答案为 B. 1.1.57 若非空集合 A,B,C 满足 A∪B=C,且 B 不是 A 的子集,则 ( ). (A) x∈C 是 x∈A 的充分条件但不是必要条件 (B) x∈C 是 x∈A 的必要条件但不是充分条件 (C) x∈C 是 x∈A 的充要条件 (D) x∈C 既不是 x∈A 的充分条件,也不是 x∈A 的必要条件 解析 若 x∈A,则一定有 x∈A∪B=C,于是,x∈C 是 x∈A 的必要条 件;如果 x∈C=A∪B 时必有 x∈A,则 C?A,即 A∪B?A,于是,任取 y∈ B?A∪B?A,则 y∈A,B?A,矛盾,所以,x∈C 是 x∈A 的必要条件但不是充 分条件,答案为 B.
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1.1.58 已知集合 M={2,3,m2+4m+2},P={0,7,m2+4m-2,2-m} 满足 M∩P={3,7},则实数 m 的值是 . 2 解析 由已知得 7∈M,则 m +4m+2=7,解得 m=1 或 m=-5.若 m= 1,则 m2+4m-2=3,2-m=1.若 m=-5,2-m=7,与集合中元素的互异 性矛盾,所以,m 的值是 1. 1.1.59 如果全集 U={a,b,c,d,e,f},A={a, b,c,d},A∩B={a},?U(A∪B)={f},则 B = . 解析 由表示集合 U,A,B 的图形可得只有 e∈(? A )∩ B,所以,B={a,e}. U

题 1.1.59

1.1.60 如果全集 U 含有 12 个元素,P,Q 都是 U 的子 集,P∩Q 中含有 2 个元素,?UP∩?UQ 含有 4 个元素,?UP∩Q 含有 3 个元素,则 P 含有 个元素;Q 含有 题 1.1.60 个元素. 解析 由表示集合 U,P,Q 的图形可得 P,Q 中各有 5 个元素. 1.1.61 集合 A={x|x=5k+3,k∈N}, B={x|x=7k+2,k∈N},则 A∩B 中的最小元素是 . 解析 由已知可得集合 A={3,8,13,18,23,28,33,?}, B={2, 9,16,23,30,?},所以,A∩B 中的最小元素是 23. 1.1.62 已知集合 A={x|-8≤x≤6},B={x|x≤m},若 A .
题 1.1.62

∪B≠B 且 A∩B≠?,则 m 的取值范围是 解析

将集合 A,B 表示在数轴上可知 m 的取值范围是-8≤m<6.

1.1.63 已知常数 a 是正整数,集合 A=, B={x‖x|<2a,x∈Z},则集合 A∪B 中所有元素之和为 . 解析 由|x-a|<a+可得-<x<2a+,而 x∈Z,于是,A={0,1,2, 3,?,2a-1,2a},由|x|<2a 得-2a<x<2a,又 x∈Z,则 B={-(2a-1),- (2a-2),?,(2a-2),(2a-1)}. 于是,A∪B={-(2a-1),-(2a-2),?,-1,0,1,?,(2a-2),(2a -1),2a},其中所有元素之和为 2a. 1.1.64 我们将 b-a 称为集合{x|a≤x≤b}的“长度”.若集合 M=,N=, 且 M 和 N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集,则集合 M∩N 的―长度‖的最小值是( ). (A) (B) (C) (D) 解析 集合 M 和 N 的“长度”分别是和,又 M 和 N 都是集合{x|0≤x≤1}的 子集,于是,当 m=,n=0 时,集合 M∩N 的“长度”取得最小值,答案为 B.
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1.1.65

已知集合 A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R},且 A∩R =?,求实


数 m 的取值范围. 解析 若 A=?,则 Δ=(m+2)2-4<0,解得-4<m<0;

若 A≠?,则由 x2+(m+2)x+1=0 没有正数根得解得 m≥0.所以,m 的取 值范围是 m>-4. 1.1.66 ∈R}. 若集合 A={x|x2-2ax+a=0,x∈R},B={x|x2-4x+a+5=0,x

(1) 若 A=B=?,求 a 的取值范围; (2) 若 A 和 B 中至少有一个是?,求 a 的取值范围; (3) 若 A 和 B 中有且仅有一个是?,求 a 的取值范围. 解析 (1) 若 A=?,则 4a2-4a<0,解得 0<a<1.若 B=?,则 16-4(a+

5)<0,解得 a>-1,所以,使 A=B=?成立的 a 的取值范围是 0<a<1. (2) 设 A'=(0,1),B'=(-1,+∞),则使 A 和 B 中至少有一个是?的实数 a ∈ A'∪B',即使 A 和 B 中至少有一个是?的实数 a 的取值范围是 a>-1. (3) 使 A 和 B 中有且仅有一个是?的 a∈[A'∩(?RB')]∪[(?RA')∩B'],所以,使 A 和 B 中有且仅有一个是?的 a 的取值范围是-1<a≤0 或 a≥1. § 1–2 简易逻辑 一、命题 1.2.1 如果一个命题的逆命题是真命题,那么这个命题的( ). (A) 否命题必是真命题 (B) 否命题必是假命题 (C) 原命题必是假命题 (D) 逆否命题必是真命题 解析 一个命题的逆命题与否命题真假相同,答案为 A. 1.2.2 命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( ). (A) 不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 (B) 存在 x∈R,x3-x2+1≤0 (C) 存在 x∈R,x3-x2+1>0 (D) 对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 解析 “对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在 x∈R,使得 x3- x2+1>0”,答案为 C.
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1.2.3 与命题“若 a?M,则 b?M”等价的命题是( ). (A) 若 b∈M,则 a?M (B) 若 b?M,则 a∈M (C) 若 b∈M,则 a∈M (D) 若 a?M,则 b∈M 解析 逆否命题与原命题互为等价命题,原命题的逆否命题为“若 b∈M, 则 a∈M”,所以,答案为 C. 1.2.4 设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(k)≥k2 成立 时,总可以推出 f(k+1)≥(k+1)2 成立”,那么,下列命题总成立的是( ). (A) 若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k2 成立 (B) 若 f(5)≥25 成立,则当 k≤5 时,均有 f(k)≥k2 成立 (C) 若 f(7)<49 成立,则当 k≥8 时,均有 f(k)<k2 成立 (D) 若 f(4)=25 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k2 成立 解析 由 25>16 得 f(4)=25 使得 f(4)≥42 成立,由已知可得当 k≥4 时,均有 f(k)≥k2 成立,答案为 D. 1.2.5 命题“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( ). (A) 若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1 (B) 若-1<x<1,则 x2<1 (C) 若 x>1 或 x<-1,则 x2>1 (D) 若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 解析 命题“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是“若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1”,答案为 D. 1.2.6 在原命题“若 A∪B≠B,则 A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否 命题这四个命题中,真命题的个数是 . 解析 原命题的逆否命题为“若 A∩B=A,则 A∪B=B”.当 A∩B=A 时,任取 x∈A=A∩B,必有 x∈B,则 A?B,必有 A∪B=B 成立,所以,逆否 命题和原命题都是真命题. 原命题的否命题为“若 A∪B=B,则 A∩B=A”,同上,可知否命题和逆 命题也都是真命题.所以,在这四个命题中,真命题的个数是 4. 1.2.7 若 a,b 都是非零实数,证明:|a|+|b|=|a+b|与 ab>0 等价. 解析 若|a|+|b|=|a+b|,则(|a|+|b|)2=|a+b|2,a2+b2+2|a||b|=a2+b2+ 2ab,于是,|ab|=ab,可得 ab>0; 若 ab>0,则 或于是,|a|+|b|=|a+b|. 所以,当 a,b 都是非零实数时,|a|+|b|=|a+b|与 ab>0 等价. 1.2.8 已知 A 和 B 都是非空集合,证明:“A∪B=A∩B”与“A=B”是等 价的. 解析 若 A∪B=A∩B,则任取 x∈A,必有 x∈A∪B=A∩B,于是,x∈ A∩B,则 x∈B,所以,A?B,同理可得 B?A,于是,A=B;若 A=B,则显然 有 A∪B=A∩B,所以,“A∪B=A∩B”与“A=B”是等价的. 1.2.9 已知 a,b,c 是实数,则与“a,b,c 互不相等”等价的是( ). (A) a≠b 且 b≠c (B) (a-b)(b-c)(c-a)≠0
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(C) (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0 (D) a2,b2,c2 互不相等 解析 由于不相等关系不具有传递性,当 a≠b 且 b≠c,a 与 c 可能相等; 由(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0 可得 a=b,b=c,c=a 中至少有一个不成 立,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0 等价于“a,b,c 不全相等”,而不能等价 于“a,b,c 互不相等”; a=-1,b=0,c=1,此时 a,b,c 互不相等,但 a2=c2,所以,“a, b,c 互不相等”与“a2,b2,c2 互不相等”不是等价的; a≠b 等价于 a-b≠0,“a,b,c 互不相等”等价于 a-b≠0,b-c≠0,c- a≠0 同时成立,所以,“a,b,c 互不相等”与“(a-b)(b-c)(c-a)≠0”等价, 答案为 B. 1.2.10 命题“若 ab=0,则 a、b 中至少有一个为零”的逆否命题 为 . 解析 原命题的逆否命题为“若 a、b 均不为零,则 ab≠0”. 1.2.11 给出下列四个命题:① 若 x2=y2,则 x=y;② 若 x≠y,则 x2≠y2; ③ 若 x2≠y2,则 x≠y;④ 若 x≠y 且 x≠-y,则 x2≠y2,其中真命题的序号 是 . 解析 由 x2=y2 可得 x=y 或 x=-y,命题①不成立;若 x=-y≠0,此时 x≠y,而 x2=y2,于是,命题②不成立;若 x2≠y2 时有 x=y,则可得 x2=y2,矛 盾,于是,命题③成立;对于 x≠y 且 x≠-y,如果 x2=y2,则有 x=y 或 x=- y,即 x=y 与 x=-y 至少有一个成立,矛盾,于是,命题④成立.所以,上述 四个命题中,真命题的序号是③和④. 1.2.12 已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实根.命题 q:方 程 4x2+ 4(m-2)x+1=0 没有实根.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求实 数 m 的取值范围. 解析 当命题 p 为真时,应有解得 m>2.当命题 q 为真时,应有 Δ=16(m 2 -2) -16<0,解得 1<m<3.于是,使“p 或 q”为真的 m 的取值范围是 m>1, 使“p 且 q”为假的 m 的取值范围是 m≤2 或 m≥3,所以,使两者同时成立的 m 的取值范围是 m≥3 或 1<m≤2. 1.2.13 某人要在一张 3× 3 的表格中填入 9 个数(填的数有正有 a1 a1 a1 负),他要使得表中任意一行的三个数之和为正,而任意一列的三 1 2 3 a2 a2 a2 个数之和为负.求证:他一定不能写出满足要求的数表. 1 2 3 解析 若此人能写出满足要求的数表,则由 a11+a12+a13>0, a a a 3 3 3 a21+a22+a23>0,a31+a32+a33>0 可得数表中的九个数之和为正; 1 2 3 同时,又有 a11+a21+a31<0,a12+a22+a32<0,a13+a23+a33<0,则 数表中的九个数之和为负,矛盾,所以,此人一定不能写出满足要求的数表. 1.2.14 设 a,b∈R,A={(x,y)|y=ax+b,x∈Z},B={(x,y)|y=3x2+ 15,x∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144}都是平面 xOy 内的点的集合.求证:不存在 a,b,使得 A∩B≠?,且点(a,b)∈C 同时成立.
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解析 设满足要求的 a,b 存在,则 P(a,b)∈C,即 a2+b2≤144. 由得 ax+b-(3x2+15)=0,在 aOb 平面内,原点到直线 ax+b-(3x2+15) =0 的距离是=3≥12,其中等号当且仅当 3,即 x2=3 时成立,但它与 x∈Z 矛 盾,所以,使 A∩B≠?成立的(a,b)必有 >12,与 a2+b2≤144 矛盾,所以,满足 要求的 a,b 不存在. 1.2.15 中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”,“平行关系”等 等,如果集合 A 中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件: (1) 自反性:对于任意 a∈A,都有 a~a; (2) 对称性:对于 a,b∈A,若 a~b,则有 b~a; (3) 传递性:对于 a,b,c∈A,若 a~b,b~c,则有 a~c,则称“~”是集合 A 的一个等价关系,例如:“数的相等”是等价关系,而“直线的平行”不是 等价关系(自反性不成立),请你再列出三个等价关系: . 解析 由集合、角、向量的性质可知,“集合相等”、“角相等”、“向 量相等”都是满足要求的等价关系. 1.2.16 已知函数 f(x)在 R 上是增函数,a,b∈R.写出命题“若 a+b>0, 则 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)”的逆命题,并判断其真假.若所写命题是真命题, 给出证明;若所写命题是假命题,给出反例. 解析 所求逆命题为:已知函数 f(x)在 R 上是增函数,a,b∈R.若 f(a)+ f(b)>f(-a)+f(-b),则 a+b>0.该命题是真命题.证明如下: 若 a+b≤0,即 a≤-b,由函数 f(x)在 R 上是增函数得 f(a)≤f(-b),同理 f(b)≤f(-a),由此可得 f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b),与已知条件矛盾.所以,a+ b>0. 二、充分条件和必要条件 1.2.17 两个圆“周长相等”是“面积相等”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 两个圆周长相等,则由 2πr1=2πr2 得两圆半径 r1=r2,则两圆面积相 等,反之亦然,所以,两个圆“周长相等”是“面积相等”的充要条件,答案 为 C. 1.2.18 P:四边形四条边长相等,Q:四边形是平行四边形,则 P 是 Q 的 ( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 当四边形的四条边长相同时,它是菱形,一定是平行四边形;反 之,一个平行四边形的四条边长不一定都相等,所以,P 是 Q 的充分不必要条 件,答案为 A. 1.2.19 的( ). 已知 a,b,c,d 都是实数,则“a=b 且 c=d”是“a+c=b+d”
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(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 对于实数 a,b,c,d,如果 a=b 且 c=d,则有 a-b=0,c-d= 0,则 a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)=0,于是,a+c=b+d;反之,如果 a= 1,b=2,c=4,d=3,有 a+c=b+d,但此时 a≠b,c≠d,所以,“a=b 且 c =d”是“a+c=b+d”的充分不必要条件,答案为 A. 1.2.20 已知 a,b,c 是实数,则“a=b”是“ac=bc”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 如果 a=b,则 a-b=0,于是,ac-bc=(a-b)c=0,可得 ac= bc;反之,如果 c=0,a=1,b=2,此时有 ac=bc,但 a≠b,所以,“a=b” 是“ac=bc”的充分不必要条件,答案为 A. 1.2.21 设 m,n 是整数,则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 ( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 如果 m,n 均为偶数,则 m+n 一定是偶数;反之,如果 m=1,n= 3,m+n=4 为偶数,但此时 m 和 n 都不是偶数,所以,“m,n 均为偶数”是 “m+n 是偶数”的充分而不必要条件,答案为 A. 1.2.22 设集合 A,B 是全集 U 的两个子集,则 A B 是?

UA∪B=U 的(

). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析

题 1.2.22

由表示集合 U,A,B 关系的图形可知当 A B 时必有?UA∪B=U 成

立,反之,当 A=B 时,也有?UA∪B=U 成立,即 A 是 B 的真子集不是?UA∪B =U 成立的必要条件,所以,答案为 A. 1.2.23 对于集合 M 和 P,“x∈M 或 x∈P”是“x∈ M∩P”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 题 1.2.23 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 由表示集合 M,P 的图形可知当 x∈M 或 x∈P 时不一定有 x∈ M∩P,而当 x∈M∩P 时必有 x∈M 或 x∈P,所以,“x∈M 或 x∈P”是“x∈ M∩P”的必要不充分条件,答案为 B.
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1.2.24 如果 x,y 是实数,那么“cos x=cos y”是“x=y”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 当 cos x=cos y 时,不一定有 x=y,而当 x=y 时,必有 cos x=cos y,所以,“cos x=cos y”是“x=y”的必要不充分条件,答案为 B. 1.2.25 使不等式(1-|x|)(1+x)>0 成立的充要条件为( ). (A) x<-1 或 x>1 (B) -1<x<1 (C) x>-1 且 x≠1 (D) x<1 且 x≠-1 解析 此不等式等价于或解得-1<x<1 或 x<-1,即为 x<1 且 x≠-1,所 以,答案为 D. 1.2.26 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一个正数根和一个负数根的充要条 件是( ). (A) ab>0 (B) ab<0 (C) ac>0 (D) ac<0 2 解析 若一元二次方程 ax +bx+c=0 有一个正数根 x1 和一个负数根 x2, 则 x1x2=<0,则 ac<0;反之,若 ac<0,一元二次方程的判别式 Δ=b2- 4ac>0,此方程一定有两个实数根,且两根之积为<0,这两个实数根一定是一个 正数和一个负数,所以,一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一个正数根和一个负 数根的充要条件是 ac<0,答案为 D. 1.2.27 “x>1”是“<1”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 若 x>1,则-1=<0,即<1;反之,如果 x<0,则有<1,此时,x>1 不成立,所以,“x>1”是“<1”的充分不必要条件,答案为 A. 1.2.28 已知 x 是实数,则“x≠1”是“x2-4x+3≠0”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 2 解析 如果 x=3,则 x≠1,此时 x -4x+3=(x-1)(x-3)=0;反之,如果 x2-4x+3≠0,即(x-3)(x-1)≠0,则 x≠3 且 x≠1,所以,“x≠1”是“x2-4x+ 3≠0”的必要不充分条件,答案为 B. 1.2.29 “一个正整数的个位数字是 5”是“这个正整数是 5 的倍数”的 ( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 如果一个正整数的个位数是 5,即此正整数一定可表示成 10k+5(k 是非负整数),它一定是 5 的倍数;反之,可写成 10n(n 是正整数)的正整数一定 是 5 的倍数,但它的个位数不是 5,所以,“一个正整数的个位数字是 5”是 “这个正整数是 5 的倍数”的充分不必要条件,答案为 A. 1.2.30 对于集合 A,B,下列四个命题中正确的是( ).
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(A)“A 不是 B 的子集”的充要条件是“对任意 x∈A 都有 x?B” (B) “A 不是 B 的子集”的充要条件是“A∩B=?” (C) “A 不是 B 的子集”的充要条件是“B 不是 A 的子集” (D) “A 不是 B 的子集”的充要条件是“存在 x∈A,使得 x?B” 解析 由于 A 不是 B 的子集,则至少存在一个 x0∈A 有 x0?B,并不要求对 任意的 x∈A 有 x?B,但是,对任意 x∈A 都有 x?B,则 A 一定不是 B 的子集, 所以,“对任意 x∈A 都有 x?B”是“A 不是 B 的子集”的充分不必要条件. 若 A 不是 B 的子集,不一定有 A∩B=?,例如 A={1,2,3},B={2, 3},反之,当 A∩B=?时,不一定能推出 A 不是 B 的子集,例如 A=?,则 A 必是 B 的子集,所以,“A∩B=?”是“A 不是 B 的子集”的既不充分也不必 要条件. 由 A 不是 B 的子集不一定能推出 B 不是 A 的子集,例如 A={1,2,3},B ={2,3},反之亦然,所以,“B 不是 A 的子集”是“A 不是 B 的子集”的既 不充分也不必要条件. 根据子集的概念可知“存在 x∈A,使得 x?B”是“A 不是 B 的子集”的充 要条件. 所以,答案为 D. 1.2.31 已知函数 f(x)=(a2-1)x2+(a-1)x+3,则 f(x)>0 对任意的 x∈R 恒 成立的充要条件是 . 解析 当 a=1 时,f(x)=3>0 恒成立.而当 a=-1 时,f(x)=-2x+3 不是 对一切 x∈R 都有 f(x)>0 成立. 当 a≠±1 时,使 f(x)>0 对一切 x∈R 都成立的充要条件是解得 a>1 或 a<-, 所以,使 f(x)>0 对任意的 x∈R 恒成立充要条件是 a≥1 或 a<-. 1.2.32 证明:“关于 x 的方程 ax3+bx2+cx+d=0 有一个根为-1”的充 要条件是“a+c=b+d”. 解析 若 a+c=b+d,则方程 ax3+bx2+cx+d=0 即为 ax3+bx2+cx+a+ c-b=0,于是,a(x3+1)+b(x2-1)+c(x+1)=0,(x+1)[a(x2-x+1)+b(x-1) +c]=0,所以,x= -1 是方程 ax3+bx2+cx+d=0 的一个根;反之,如果 x= -1 是方程 ax3+bx2+cx+d=0 的一个根,则有 a× (-1)3+b× (-1)2+c× (-1)+ 3 2 d=0,于是,a+c=b+d,所以,“关于 x 的方程 ax +bx +cx+d=0 有一个 根为-1”的充要条件是“a+c=b+d”. 1.2.33 (1) 证明:是的充分不必要条件; (2) 指出成立的充要条件. 解析 (1) 当 a>3 且 b>3 时,必有 a+b>6,ab>9 成立. 反之,在 a+b>6 且 ab>9 的条件下,不一定有 a>3 且 b>3 成立,如 a=1, b=10. 所以,是的充分不必要条件.
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(2) 成立的充要条件是 1.2.34 证明:A?B 是(A∩C)?(B∩C)的充分不必要条件. 解析 当 A?B 时,任取 x∈B∩C 有 x∈B 且 x∈C,于是有 x∈A 且 x∈C, 则 x∈A∩C,所以,A?B 是(A∩C)?(B∩C)的充分条件,而 C=?使(A∩C)?(B∩C) 成立,但 B 不一定是 A 的子集,所以,A?B 是(A∩C)?(B∩C)充分不必要条件. 1.2.35 “a≠b”是否为“关于 x 的方程 a(ax-1)=b(bx-1)有解”的充要条 件?若是,请予以证明;若不是,请指出它是什么条件?并请说明理由. 解析 对于未知数是 x 的方程(a2-b2)x=a-b,如果 a=1 而 b=-1,此时 有 a≠b,而原方程是 0× x=2,此方程无解,于是,“a≠b”不是“关于 x 的方程 a(ax-1)=b(bx-1)有解”的充分条件;反之,如果 a=b,则关于 x 的方程(a2- b2)x=a-b 即为 0× x=0,此方程的解集为 R,则“a≠b”不是“关于 x 的方程 a(ax-1)=b(bx-1)有解”的必要条件,即“a≠b”是“关于 x 的方程 a(ax-1)= b(bx-1)有解”的既不充分也不必要条件. 1.2.36 如果系数 a1,b1,c1 和 a2,b2,c2 都是非零常数的方程 a1x2+b1x+ c1=0 和 a2x2+b2x+c2=0 的解集分别是 A 和 B,求证:“”是“A=B”的充要 条件. 解析 充分性:若 x0∈A,即 x0 是方程 a1x2+b1x+c1=0 的根,则 a1+b1x0 +c1=0,而非零实数 a1,b1,c1 和 a2,b2,c2 满足,设=k≠0,则可得 k(a2+ b2x0+c2)=0,于是 a2+b2x0+c2=0,即 x0 是方程 a2x2+b2x+c2=0 的根,即 x0 ∈B,则 A?B,同理可证 B?A,所以 A=B. 必要性:若 x1,x2 是方程 a1x2+b1x+c1=0 的根,x'1,x'2 是 a2x2+b2x+c2= 0 的根,则 x1+x2=-,x1x2=,x'1+x'2=-,x'1x'2=,由 A=B 得 x1+x2=x'1+ x'2 且 x1x2=x'1x'2,则-=-且,所以有.

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第2章 § 2 –1





函数的概念与性质

一、映射与函数 2.1.1 已知映射 f:A→B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4}, 集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象,且对任意的 a∈A,在 B 中和它 对应的元素是|a|,则集合 B 中元素的个数是( ). (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 解析 由已知得-3 和 3 的象都是 3;-2 和 2 的象都是 2;-1 和 1 的象都 是 1,而 4 的象是 4,所以,B={1,2,3,4},B 中有 4 个元素,答案为 A. 2.1.2 已知 f(x)=,则下列关系中不正确的是( ). (A) f(x)=f(-x) (B) f(-x)=f (C) f(|x|)=f(-x) (D) f(|x|)=-f 解析 f(-x)==f(x),f=-f(x),f(|x|)==f(x)=-f,所以,答案为 B. 2.1.3 对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d)当且仅当 a=c,b=d;运算“?”为:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad);运算“?” 为:(a,b) ? (c,d)=(a+c,b+d).设 p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0), 则(1,2) ? (p,q)=( ). (A) (4,0) (B) (2,0) (C) (0,2) (D) (0,-4) 解析 由已知可得解得则(1,2) ? (p,q)=(2,0),答案为 B. 2.1.4 在下列各组函数中,两个函数相同的是( ). (A) f(x)=与 g(x)= (B) f(x)=与 g(x)=· (C) f(x)=2x,x∈{0,1,2,3}与 g(x)=+1,x∈{0,1,2,3} (D) f(x)=|x|与 g(x)= 解析 对于 f(x)=与 g(x)=,应有 f(x)=x,g(x)=|x|,它们的对应法则不 同,是两个不同的函数;函数 f(x)=的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞),而函数 g(x)=· 的定义域是[1,+∞),它们是两个不同的函数;对于函数 f(x)=2x,f(0) =1,f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,而对于函数 g(x)=+1,g(0)=1,g(1)=2,g(2) =4,g(3)=8,所以,这是两个相同的函数;函数 f(x)=|x|的定义域是 R,而函 数 g(x)=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),它们是两个不同的函数.所以,答 案为 C. 2.1.5 函数 y=x+的图象是( ).

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解析 2.1.6

函数 y=所以,答案为 C. 函数 y=的图象是( ).

解析 函数 y=即为 y=1-,它的定义域是{x|x≠1,x∈R},值域是 {y|y≠1,y∈R},由描点法可得此函数的图象是 B. 2.1.7 已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出 x f(x) 1 1 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1

(1) 求 f[g(1)]的值;(2) 求满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值. 解析 (1) 由已知可得 g(1)=3,则 f[g(1)]=f(3)=1. (2) f[g(1)]=1,而 g[f(1)]=3;f[g(2)]=3,g[f(2)]=1;f[g(3)]=1,g[f(3)]= 3,所以,满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值是 x=2. 2.1.8 已知函数 f(x)=若 a≠b,则[(a+b)+(a-b)· f(a-b)]的值( ). (A) 一定是 a (B) 一定是 b (C) 是 a,b 中较大的数 (D) 是 a,b 中较小的数 解析 若 a>b 则[(a+b)+(a-b)f(a-b)]=[(a+b)+(a-b)]=a; 若 a<b,则[(a+b)+(a-b)f(a-b)]=[(a+b)-(a-b)]=b,所以,答案为 C. 2.1.9 已知函数 f(x)= 解析 f(x)+g(x)= g(x)=则 f(x)+g(x)= .

2.1.10 已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,则 f(2)= . 解析 由已知可得-32-8a-2b-8=10,即 8a+2b=-50,f(2)=32+8a +2b-8=-26.
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2.1.11 设函数 f(x)=若 f(x)=3,则 x= . 解析 若 x+2=3,则 x=1,与 x≤-1 矛盾;若 x2=3,则 x=± ,由- 1<x<2 得 x=;若 2x=3,则 x=,与 x≥2 矛盾,所以,只有当 x=时,f(x)=3. 2.1.12 写出下列函数的值域: (1) y=1-: ; (2) y=: ; (3) y=: ; (4) y=x-1 (1≤x≤4 且 x∈Z): . 解析 (1) 函数 y=1-的值域是{y|y≠1,y∈R}. (2) 由 2x2-4x+3=2(x-1)2+1≥1 得函数 y=的值域是(0,5]. (3) 由 2x2-4x+1=2(x-1)2-1≥-1 得函数 y=的值域是{y|y>0 或 y≤-1}. (4) 函数 y=x-1 (1≤x≤4 且 x∈Z)的值域是{0,1,2,3}. 2.1.13 已知 A、B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/时的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/时的速度返回 A 地,把汽车 离开 A 地的距离 s(千米)表示成时间 t(小时)的函数为( ). (A) s=60t (B) s=60t+50t (C) s= (D) s= 解析 由匀速运动中路程与时间的关系可得答案为 D. 2.1.14 设[x]表示不超过 x 的最大整数,对于给定的 n∈N*,定义,x∈[1, ∞),则当 x∈[,3)时,函数的值域是( ). (A) (B) (C) ∪[28,56) (D) ∪ 解析 若≤x<2,则[x]=1,此时,,则 4<≤; 若 2≤x<3,则[x]=2,,则<≤28. 于是,所求值域是∪,答案为 D. 2.1.15 在下列四个函数中,满足性质:“对于区间[1,2]上的任意 x1,x2 (x1≠x2),|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|恒成立”的只有( ). (A) f(x)= (B) f(x)=|x| (C) f(x)=2x (D) 2 f(x)=x 解析 任取 x1,x2∈[1,2](x1≠x2),对于函数 f(x)=,|f(x1)-f(x2)|==<|x1- x2|; 对于函数 f(x)=|x|,|f(x1)-f(x2)|=||x1|-|x2||=|x1-x2|; 对于函数 f(x)=2x,|f(1)-f(2)|=2>1=|x1-x2|; 对于函数 f(x)=x2,|f(x1)-f(x2)|=||=|x1+x2||x1-x2|>2|x1-x2|>|x1-x2|,所 以,答案为 A. 2.1.16 函数 f(x)=的定义域是 . 解析 函数自变量 x 应满足解得 所以,函数 f(x)的定义域是{x|x>3 或 x≤1}.
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2.1.17 已知 a<0,则函数 f(x)=的定义域是 . 解析 函数 f(x)=的自变量 x 应满足由 a<0 及 x2≤a2 得 a≤x≤-a,则 x+ a≤0,于是,由|x+a|+a≠0 得-x-a+a≠0,所以,原函数的定义域是[a,0)∪ (0,-a]. 2.1.18 设满足 y≥|x-1|的点(x,y)的集合为 A,满足 y≤-|x|+2 的点(x,y) 的集合为 B,则 A∩B 所表示的图形的面积是 . 解析 函数 y=|x-1|和 y=-|x|+2 的图象形成的封闭区域是由函数 y=x- 1,y=-x+1,y=-x+2,y=x+2 围成的矩形,此矩形的顶点是,(1,0),, (0,2),它的面积是. 2.1.19 从装满 20 升纯酒精的容器里倒出 1 升,然后用水填满,再倒出 1 升混合溶液后又用水填满,这样继续进行.如果倒完第 k 次(k≥1)时共倒出纯酒 精 x 升,设倒完第 k+1 次时共倒出纯酒精 f(x)升,则函数 f(x)的表达式为 . 解析 由于倒完第 k 次共倒出纯酒精 x 升,则第 k+1 次倒时,容器中还有 纯酒精 20-x 升,第 k+1 次倒出了纯酒精(20-x),所以,f(x)=x+(20-x)=1 +x (1≤x<20). 2.1.20 设函数 f(x)=x2+x+的定义域是[n,n+1] (n 是正整数),则 f(x)的 值域中整数的个数是 . 解析 f(x)=在[n,n+1]上单调递增,f(n+1)=n2+3n+,f(n)=n2+n+, 函数 f(x)值域中的最大整数是 n2+3n+2,最小整数是 n2+n+1,所以,值域中 共有 n2+3n+2-(n2+n)=2n+2 个整数. 2.1.21 满足 f(x)=x 的 x 称为函数 f(x)的不动点.已知 f(x)= (a,b∈R)有绝 对值相等,符号相反的不动点,则 a,b 所满足的条件是 . 解析 由已知可得关于 x 的方程=x,即 x2+(b-2)x-a=0 有两个互为相 反数的根 x1 和 x2,于是,x1+x2=-(b-2)=0,解得 b=2,此时,原方程为 x2 =a,则必须有 a>0,所以,a 和 b 应满足 b=2 且 a>0. 2.1.22 记实数 a1,a2, ,an 中的最小值是 min{a1,

a2, ,an},例如 min{-1.1,-2.3,6}=-2.3,那么, 定义域为 R 的函数 f(x)=min{x,2-x2}的最大值是 . 解析 由函数 f(x)的定义可作出其图象(如图所示):抛 物线 y=2-x2 与直线 y=x 的一个交点是(1,1),所以,当 题 2.1.22 x=1 时,f(x)取得最大值 1. 2.1.23 求函数 y=的定义域. 解析 函数的自变量 x 应满足 若+2=0,则有 x+8+4+4=5x+20,=x+2,解得 x=1 或 x=-4,经 检验,x=-4 是方程 +2=的增根,亦即使得+2=0 成立的实数只有 x=1,所 以,函数的定义域是{x|x≥-4 且 x≠1}.
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2.1.24 求函数 y=的定义域(其中 k 是常数). 解析 函数的自变量 x 应满足即 所以,若 2k>2,即 k>1 时,函数 f(x)的定义域是[2k,+∞);若-2≤2k≤2, 即-1≤k≤1 时,函数 f(x)的定义域是(2,+∞);若 2k<-2,即 k<-1 时,函数 f(x)的定义域是[2k,-2)∪(2,+∞). 2.1.25 作出下列函数的图象: (1) y= (2) y=; (3) y= (4) y=2-|x-x2|. 解析 (1) 函数 y=的图象如图 2.1.25(1)所示.

题 2.1.25(1) (2) 函数 y=即为 y=其图象如图 2.1.25(2)所示. (3) 函数 y=的图象如图 2.1.25(3)所示.

题 2.1.25(2)

题 2.1.25(3) 题 2.1.25(4) 2 (4) 函数 y=2-|x-x |即为 y=其图象如图 2.1.25(4)所示. 2.1.26 作函数 y=的图象. 解析 函数应满足|x|-x≠0,即此函数的定义域是 x<0,所以,y=,即 y=-.若 x=-,y=; x=-,y= 0,x=-1,y=,x=-2,y=,函数图象如图 2.1.26 所 示. 2.1.27 求函数 y=的值域. 解析 函数 y=+1+|-1|=所以,函数的值域是{y|y≥2}. 2.1.28 集合 M 是实数集 R 的任意一个子集,函数 fM(x)在实数集 M 上定义 如下:fM(x)=求证:对任意以实数为元素的集合 A,B,必有 fA∩B(x)= fA(x)fB(x). 解析 由函数 fM(x)在实数集 M 上定义可得 fA∩B(x)= 若 x∈A 且 x∈B,即 x∈A∩B 时,有 fA(x)=1 且 fB(x)=1,则 fA(x)fB(x)=1; 若 x∈A 且 x?B,则 fA(x)=1 而 fB(x)=0,那么 fA(x)fB(x)=0;
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题 2.1.26

若 x?A 且 x∈B,则 fA(x)=0 而 fB(x)=1,那么 fA(x)fB(x)=0; 若 x?A 且 x?B,则 fA(x)=0 且 fB(x)=0,那么 fA(x)fB(x)=0, 对于“x∈A 且 x?B”,“x?A 且 x∈B”,“x?A 且 x?B”,都可得 x?A∩B, 则当 x?A∩B 时,必有 fA(x)fB(x)=0,那么,fA(x)fB(x)= 所以,对任意以实数为元素的集合 A,B,必有 fA∩B(x)=fA(x)fB(x). 2.1.29 已知 f,则 f(x)的解析式可以是( ). (A) (B) - (C) (D) - 解析 令=t,则 x=,于是 f(t)=,即 f(x)=,答案为 C. 2.1.30 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所 示,则( ). (A) b∈(-∞,0) (B) b∈(0,1) (C) b∈(1,2) (D) b∈(2,+∞) 解析 由函数图象可知方程 f(x)=0 的根为 0、1、2,于 是可设 f(x)=ax(x-1)(x-2),则 ax3-3ax2+2ax=ax3+bx2+ cx+d,b=-3a,又当 x>2 时有 f(x)>0,于是有 a>0,所以, b<0,答案为 A.

题 2.1.30

2.1.31 函数 y=f(2x-1)的定义域是[0,1),则函数 y=f(1-3x)的定义域 是 . (A) (B) (C) (D) 解析 由 0≤x<1 得-1≤2x-1<1,令 t=2x-1,于是,函数 y=f(t)的定义域 是[-1,1),则函数 y=f(1-3x)的自变量应满足-1≤1-3x<1,所以,它的定义 域是,答案为 C. 2.1.32 已知函数 f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数 x,f(x)与 g(x)的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( ). (A) (0,2) (B) (0,8) (C) (2,8) (D) (-∞,0) 解析 若 m=0,则 f(x)=-8x+1,g(x)=0,不符合要求;若 m<0,则 g(x) =mx,当 x>0 时,g(x)<0,当 x<0 时,g(x)>0,而此时函数 f(x)=2mx2-2(4- m)x+1 的图象是开口向下的抛物线,一定存在 x0>0 有 f(x0)<0,所以,m<0 不符 合要求;若 m>0,则 g(x)=mx,当 x>0 时,g(x)>0,当 x≤0 时,g(x)≤0,函数 f(x) =2mx2-2(4-m)x+1 当 x≤0 时必须有 f(x)>0 恒成立,而此时函数 f(x)的图象开 口向上,于是,必须有或解得 4≤m<8 或 0<m<4,所以,m 的取值范围是 0<m<8,答案为 B. 2.1.33 给出下面三个函数:(1) y=;(2) y=|x-1|-|x+3|;(3) y=,在这 些函数中,其值域中仅含有有限个整数的函数有( )个. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解析 函数 y=即 y=的定义域是 R,值域是[1,+∞),值域中有无穷多个
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正整数;函数 y=|x-1|-|x+3|即为 y=它的值域是[-4,4],其中只有有限个 整数;由函数 y=可得(y-1)x2+(2-3y)x+3y-4=0,若 y=1,则 x=-1,若 y≠1,则关于 x 的方程其判别式 Δ=(2-3y)2-4(y-1)(3y-4)≥0,即 3y2-16y+ 12≤0,解得≤y≤,其中满足 y≠1 的整数有 y=2,3,4,并且当 y=2 时,解得 x =2± ,y=3 时,x=1 或 x=,y=4 时,x=2 或 x=,所以,在函数 y=的值域 中,有且仅有 4 个整数.所以,在给出的三个函数中,值域中仅含有有限个整 数的函数有 2 个,答案为 C. 2.1.34 已知函数 y=f(x)的定义域是 R,则函数 y=f(x-1)的图象与函数 y =f(1-x)的图象一定关于( ). (A) 直线 y=0 对称 (B) 直线 x=0 对称 (C) 直线 y=1 对称 (D) 直线 x=1 对称 解析 设(x0,y0)是函数 y=f(x-1)图象上的任意一点,则 y0=f(x0-1),点 (x0,y0)关于直线 x=1 的对称点是(2-x0,y0),f[1-(2-x0)]=f(x0-1)=y0,所 以,点(2-x0,y0)在函数 y=f(1-x)的图象上,函数 y=f(x-1)的图象与函数 y= f(1-x)的图象一定关于直线 x=1 对称,答案为 D. 2.1.35 已知集合 A={y|y=x2-4x+6,x∈R,y∈N*},集合 B={y|y=-x2 -2x+18,x∈R,y∈N*},则 A∩B= . 解析 y=x2-4x+6=(x-2)2+2,于是 A={2,3,4,5,6, },y=-x2

-2x+18=-(x+1)2+19,则 B={19,18,17,16,15, ,1},所以,A∩B ={2,3,4,5, ,15,16,17,18,19}. 2.1.36 若函数 y=3x2-31x+10 的自变量都是正整数,则此函数的最小值 是 . 解析 函数 y=3x2-31x+10 即为 y=3 -,而 x∈N*,所以,当 x=5 时, y 最小值=-70. 2.1.37 已知函数 f(x)=x2+ax+b 满足 |f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=,则 f(x)= . 解析 由已知可得二次函数 f(x)的图象的顶点坐标是,并有 f(1)=f(3)=, 则 a=-4,b=,所以,f(x)=x2-4x+. 2.1.38 已知 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)当 x=3 时取得最小值 4,且其图象在 y 轴上的截距是 13,则 a= ,b= ,c= . 解析 由已知可设 f(x)=a(x-3)2+4,当 x=0 时 y=13,解得 a=1,即 f(x) =x2-6x+13,所以,a=1,b=-6,c=13. 2.1.39 已知一个二次函数,当 x=1 时有最大值 2,它的图象截 x 轴所得到 的线段长是,则此二次函数的解析式是 . 解析 由已知可得二次函数图象与 x 轴两个交点的横坐标分别是 1-和 1 +,则可设其解析式为 f(x)=a,并有 f(1)=2,解得 a=-4,所以,该二次函数
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的解析式是 f(x)=-4x2+8x-2. 2.1.40 若函数 f(x)=的定义域是 R,则 k 的取值范围是 . 解析 若 k=0,则 f(x)=,定义域是 R.若 k≠0,则应有 16k2-12k<0,解 得 0<k<,所以,k 的取值范围是 0≤k<. 2.1.41 函数 f(x)的定义域是[0,1],则函数 f(1-2x)的定义域是 . 解析 由已知得函数 y=f(1-2x)应满足 0≤1-2x≤1,即它的定义域是. 2.1.42 函数 f(x)=2x+1-的最大值是 . 解析 f(x)=-(+1)2+5,而 ≥0,所以,当 x=时,f(x)取得最大值. 2.1.43 函数 y=(x2-x)2+4(x2-x)+3 的最小值是 . 解析 y=(x2-x+2)2-1,而 x2-x+2=≥,所以,y≥-1,当 x=时,y 取 得最小值. 2.1.44 已知 t 为常数,函数 y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为 2, 则 t= . 解析 记 f(x)=(x-1)2-1-t,可得函数 y=|f(x)|的图象关于直线 x=1 对 称.若-1-t≥0 即 t≤-1 时,则函数 y=|x2-2x-t|在[0,3]上最大值为 f(3)=3 -t=2,则 t=1,矛盾.若-1-t<0 且 f(3)=3-t≥0,即-1<t≤3 时,如果 1+ t≤3-t,亦即-1<t≤1 时,函数 y=|f(x)|当 x=3 时取得最大值 3-t=2,解得 t= 1.如果 1+t>3-t,亦即 1<t≤3 时,函数 y=|f(x)|当 x=1 时取得最大值 1+t= 2,矛盾.如果 3-t<0,则函数 y=|f(x)|当 x=1 时取得最大 1+t=2,矛盾.所 以,t=1. 2.1.45 若 x,y∈R,且 3x2+2y2=2x,则 x2+y2 的最大值是 . 解析 由 2y2=2x-3x2≥0 得 0≤x≤,x2+y2=-+x=-(x-1)2+,所以,当 x=时,x2+y2 取得最大值. 2.1.46 已知函数 y=x+3 的定义域是[0,+∞),则其最小值是 . 解析 由已知可得 y2-2xy+x2=9x2-18x+27,即 8x2+(2y-18)x+27-y2 =0,关于 x 的方程有实数解,则判别式 Δ=(2y-18)2-32(27-y2)≥0,即 y2- 2y-15≥0,(y-5)(y+3)≥0,由原函数的定义域是[0,+∞)可知有 y>0,于是, y≥5,若 y=5,则 4x2-4x+1=0,解得 x=. 所以,当 x=时,函数 y=x+3 取得最小值 5. 2.1.47 设 f(x)=f1(x)=,且 fn(x)=fn-1[f(x)],则 f(1)+f(2)+ +f(n)+f1(1)+ .

f2(1) + +fn(1)=

解析 f2(x)=f1[f(x)]=, f3(x)=f2[f(x)]=, f4(x)=f3[f(x)]=.
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由此可得 fn(x)=,则 f(k)+fk(1)==1,所以,f(1)+f(2)+ +f(n)+f1(1)+ f2(1) + +fn(1)=n. 2.1.48 定义在 N*上的函数 f(n)满足 f(1)=1,且 f(n+1)=则 f(2008)= . 解析 f(2008)=f(2007+1)=f(2007)=f(2006)=f(2005)=f(2004)=f(2003)= f(2002)=f(2001)= =f(2)=f(1)=. 2.1.49 集合 A={(x,y)|y=a|x|,x∈R},B={(x,y)|y=x+a,x∈R},已 知集合 A∩B 中有且仅有一个元素,则常数 a 的取值范围是 . 解析 由函数 f(x)=a|x|的图象和函数 g(x)=x+a 的图象的位置关系可知, 使集合 A∩B 中有且仅有一个元素的常数 a 的取值范围是-1≤a≤1. 2.1.50 已知函数 f(x)满足 2f(x)+3f(-x)=2x2-3x+5,则 f(x)= 解析 由已知可得 解得 f(x)=x2+3x+1. 2.1.51 如图所示,已知四边形 ABCD 在映射 f: (x,y)→(x-1,y+2)作用下的象集为四边形 A'B'C'D', 四边形 ABCD 的面积等于 6,试求四边形 A'B'C'D'的面 积. 解析 映射 f:(x,y)→(x-1,y+2)的作用是将点 P(x,y)向左平移一个单位并向上平移两个单位,四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'必定全等,所以,四边形 A'B'C'D'的面积等于 6. .

题 2.1.51

2.1.52 已知 m 为实数,将函数 f(x)=x2-2mx+m-1 (0≤x≤2)的最小值记为 g(m),试求 g(m)的最大值. 解析 f(x)=(x-m)2-m2+m-1,若 m<0,则当 x=0 时 f(x)取得最小值 m -1;若 0≤m≤2,则当 x=m 时 f(x)取得最小值-m2+m-1;若 m>2,则当 x=2 时 f(x)取得最小值 3-3m,所以,g(m)= 当 m<0 时,g(m)<-1,当 m>2 时,g(m)<-3,当 0≤m≤2 时,g(m)=-,此 时-3≤g(m)≤-,所以,g(m)的最大值是-. 2.1.53 已知 m,α,β 都是实数,α+β=m,αβ=,求 α2+β2 的最小值. 解析 α2+β2=(α+β)2-2αβ=m2-(m+2)=,而 α,β 是关于 x 的方程 x2- mx+=0 的两个实数根,于是,Δ=m2-(m+2)≥0,解得 m≥2 或 m≤-1,所 以,当 m=-1 时,α2+β2 取得最小值. 2.1.54 已知函数 f(x)=x2-2kx+2 在 x≥-1 时恒有 f(x)≥k,求实数 k 的取值 范围. 解析 关于 x 的不等式 x2-2kx+2≥k,即 x2-2kx+2-k≥0 在 x≥-1 时恒成 立,则有或解得-1≤k≤1 或-3≤k<-1,所以,k 的取值范围是-3≤k≤1.
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2.1.55 已知 f(x)=ax2+bx(a、b 为常数,a≠0)满足 f(2)=0,且 f(x)=x 有相 等的实数根, (1) 求 f(x); (2) 是否存在 m、n (m<n),使 f(x)的定义域为[m,n],而值域为[2m,2n]? 解析 (1) f(x)=x 即为 ax2+(b-1)x=0 有相等的实数根,则 Δ=(b-1)2= 0,又 f(2)=4a+2b=0,解得 a=-,b=1,即 f(x)=-x2+x. (2) 因为 f(x)=-x2+x=-(x-1)2+≤,可得 2n≤,即 n≤,则 f(x)在[m,n]上 是增函数,所以,由 f(m)=2m,f(n)=2n 及 m<n 得 m=-2,n=0,所以,存在 m=-2,n=0,使 f(x)的定义域为[m,n],而值域为[2m,2n]. 2.1.56 若函数 f(x)=x2+(a+1)2+|x+a-1|的最小值大于 5,试求实数 a 的 取值范围. 解析 f(x)= 若 1-a≥,即 a≤,此时 a2+3a-<a2+a+,函数图象如图(题 2.1.56(1)), 于是,当 x=时,f(x)最小值=a2+a+;

题 2.1.56(1) 题 2.1.56(2) 题 2.1.56(3) 若-<1-a<,即<a<,函数图象如图(题 2.1.56(2)),于是,当 x=1-a 时, f(x)最小值=(1-a)2+(1+a)2; 若 1-a≤-,即 a≥,此时 a2+3a->a2+a+,函数图象如图(题 2.1.56(3)),于是,当 x=-时,f(x)最小值=a2+3a-, 于是或或 解得 a<(-1-)或<a<或 a≥. 所以,a 的取值范围是 a<(-1-)或 a>. 2.1.57 求函数 y=的最值. 解析 由已知得(2-y)x2+(2-y)x+3-y=0,并由 x∈R 得当 y≠2 时,Δ= (2-y)2-4(2-y)(3-y)≥0,即 3y2-16y+20≤0,(3y-10)(y-2)≤0,解得 2<y≤,
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当 x=-,y=;并且,不存在 x 使得 y=2,所以,函数有最大值,没有最小 值. 2.1.58 已知函数 y=的最大值是 9,最小值是 1,求 a,b 的值. 解析 由已知得(y-a)x2+8x+y-b=0,则 Δ=64-4(y-a)(y-b)≥0,即关 于 y 的不等式 y2-(a+b)y+ab-16≤0 的解是 1≤y≤9,于是解得 2.1.59 求函数 y=的值域. 解析 函数的定义域是 3≤x≤5,y2=2+2,即 y2=2+2,于是,2≤y2≤4,所 以,函数的值域是[,2]. 2.1.60 若常数 a>b>0,当-1≤x≤1 时,求函数 y=的最大值和最小 值. 解析 由 y=可得 x=,则≤1,于是 a2(y2-2y+1)≤b2(y2+2y+1),即(a+ b)(a-b)y2-2(a2+b2)y+(a-b)(a+b)≤0,[(a-b)y-(a+b)][(a+b)y-(a- b)]≤0,<0,所以,≤y≤,当 x=-1 时,y 取得最小值,当 x=1 时,y 取得最大 值. 2.1.61 对于函数 f(x),记 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)].问:是否存在一次 函数 f(x),使得 fn(x)=f(x)对任意正整数 n 都成立?若存在,求出所有满足要求的 f(x);若不存在,则说明理由. 解析 设 f(x)=ax+b (a≠0),则 f2(x)=f[f1(x)],即 f2(x)=a(ax+b)+b,于 是,ax+b=a2x+ab+b 对任意 x∈R 恒成立,于是,由 a≠0 解得 如果 f(x)=x,则当 f1(x)=f(x)时,显然 fn+1(x)=f[fn(x)]对任意正整数 n 都成 立,所以,f(x)=x. 2.1.62 已知函数 f(x)=3x+4,分别根据下列条件求函数 y=g(x)的解析 式. (1) y=g(x)的图象由 y=f(x)的图象向左平移一个单位,再向下平移 2 个单位 得到, (2) y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称, (3) y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于直线 y=1 对称, (4) y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于直线 y=-x 对称, (5) y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于点 P(a,b)中心对称. 解析 设 P(x,y)是函数 f(x)=3x+4 图象变换后所得新图象上的任意一 点,它是由原图象上的点 P'(x',y')变换得到的. (1) 所以,y+2=3(x+1)+4,即 g(x)=3x+5. (2) 所以,y=-3x+4,即 g(x)=-3x+4. (3) 所以,2-y=3x+4,即 g(x)=-3x-2. (4) 所以,-x=3(-y)+4,即 g(x)=(x+4). (5) 所以,2b-y=3(2a-x)+4,即 g(x)=3x+2b-6a-4. 2.1.63 将抛物线 y=x2-2x+4 上的任意一点保持横坐标不变,纵坐标压 缩为原来的,求所得新抛物线的解析式.
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解析 设 P(x,y)是函数 y=x2-2x+4 图象变换后所得新图象上的任意一 点,它是由原图象上的点 P'(x',y')变换得到的,则所以,压缩变换后的抛物线 方程是 y=x2-x+2. 2.1.64 指出函数 y=|x|的图象与函数 y=的图象之间的关系. 解析 函数 y=即为 y=‖x|-1|,它可以由函数 y=|x|的图象先向下平移 1 个单位,再将所得图象在 x 轴下方的部分作关于 x 轴的对称变换而得到. 2.1.65 已知函数 y=的图象关于直线 y=x 对称,求实数 m 的值. 解析 显然,(5,0)是函数 y=图象上的一点,则(5,0)点关于直线 y=x 的 对称点(0,5)也在此函数的图象上,于是 5=-,即 m=-1. 设(x0,y0)是函数 y=图象上的任意一点,则 y0=,它关于直线 y=x 的对称 点是(y0,x0),于是=x0,所以,点(y0,x0)也在函数 y=的图象上,即函数 y=的 图象关于直线 y=x 对称. 2.1.66 已知函数 y=f(x)是定义域为 R 的函数,求证:函数 F(x)=f(x)-f(a -x)的图象关于点中心对称. 解析 设(x0,y0)是函数 F(x)=f(x)-f(a-x)图象上的任意一点,则 y0=f(x0) -f(a-x0),再设(x0,y0)关于点的中心对称点是(x,y),则 于是,F(a-x0)=f(a -x0)-f[a-(a-x0)]=-[f(x0)-f(a-x0)]=-y0,所以,点(a-x0,-y0)在函数 F(x)=f(x)-f(a-x)的图象上,则函数 F(x)=f(x)-f(a-x)的图象关于点中心对 称. 2.1.67 函数 f(x)=ax2+bx+c 和函数 g(x)=cx2+bx+a (其中 ac≠0,a≠c)的 值域分别是 M 和 N,则一定有( ). (A) M=N (B) M?N (C) N?M (D) M∩N≠? 解析 f(1)=a+b+c,g(1)=c+b+a,即 f(1)=g(1),所以,1∈M 且 1∈

N,M∩N≠?,答案为 D. 2.1.68 对于函数 f(x)=x2+x+a (a>0),若存在实数 m 使得 f(m)<0 成立, 则一定有( ). (A) f(m-1)<0 且 f(m+1)<0 (B) f(m-1)<0 且 f(m+1)>0 (C) f(m-1)>0 且 f(m+1)<0 (D) f(m-1)>0 且 f(m+1)>0 2 2 解析 由已知得 m +m+a<0,则 m +m<-a<0,于是,-1<m<0.f(m-1) 2 =m -m+a>0,f(m+1)=m2+m+a+2(m+1)>0,所以,答案为 D. 2.1.69 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy (x,y∈R),f(1) =2,则 f(-3)等于( ). (A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 9 解析 由已知可得 f(0+0)=f(0)+f(0)+2× 0× 0,则 f(0)=0, 于是 f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)+2x× (-x),即 f(x)+f(-x)=2x2.而 f(1+1)
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=f(1)+f(1)+2× 1× 1,解得 f(2)=6,f(2+1)=f(2)+f(1)+2× 2× 1,则 f(3)=12, 所以,f(-3)=-f(3)+2× 32=6,答案为 C. 2.1.70 若函数 y=f(x)对一切实数 a,b 都满足 f(a+b)=f(a)+f(b),且 f(1) =8,则 f= . 解析 令 a=b=0,则由 f(0+0)=f(0)+f(0)得 f(0)=0,于是,f[x+(-x)]= f(x)+f(-x), 则 f(x)+f(-x)=0,令 a=b=,则 f=f+f,可得 f=4,所以,f=-4. 2.1.71 直角坐标平面上横、纵坐标都是整数的点称为“格点”.图象上有 且仅有 n 个格点的函数称为“n 阶格点函数”,试写出一个“一阶格点函数” 的解析式: ;再写出一个“二阶格点函数”的解析式: . 解析 函数 y=x 是“一阶格点函数”(它的图象只经过格点(0,0)).函数 y =是“二阶格点函数”(它的图象只经过格点(1,1)和(-1,-1)). 2.1.72 集合 A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈ A},若 C?B,试求常数 a 的取值范围. 解析 集合 B={y|-1≤y≤2a+3},若-2≤a<0,则集合 C=[a2,4],由 C?B 得解得 a≥,与 a<0 矛盾;若 0≤a≤2,则 C=[0,4],由 C?B 得 4≤2a+3, 解得≤a≤2;若 a>2,则 C=[0,a2],由 C?B 得 a2≤2a+3,解得 2<a≤3,所以, a 的取值范围是≤a≤3. 2.1.73 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (1) 若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (2) 设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析表达式. 解析 (1) f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2,则 f(1)=1.f(f(0))=f(0),所以,f(a) =a. (2) 令 t=f(x)-x2+x,则由已知得 f(t)=t,于是,必须对任意的 x∈R 都有 x0=f(x)-x2+x,则当 x=x0 时也有 x0=f(x0)-+x0,于是,-x0=0,解得 x0=1 或 x0=0. 若 x0=0,则 f(x)=x2-x,方程 f(x)=x 即为 x2-x=x,它有两解,所以,x0 =0 不符合要求. 若 x0=1,则 f(x)=x2-x+1,方程 f(x)=x 即为 x2-x+1=x,它有唯一解, 所以,x0=1,f(x)=x2-x+1. 2.1.74 对集合{1,2,3, ,n}及其每一个非空子集,定义“交替和”如

下:按递减次序排列该子集中的数,然后从最大数开始交替地进行减、加后面 的数得到“和”,例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是 9-6+4-2+1=6, 集合{5}的交替和为 5. (1) 当 n=1,n=2,n=3 时分别求所有这种“交替和”的总和 S1,S2, S3; (2) 求当 n=16 时所有这种“交替和”的总和. 解析 (1) n=1,则集合为{1},所以,S1=1.
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n=2,则集合为{1,2},其所有子集的“交替和”为 1,2,2-1,所以, S2=4. n=3,则集合为{1,2,3},其所有子集的―交替和‖为 1,2,3,2-1,3- 1,3-2,3-2+1,所以,S3=12. (2) 对于集合{1,2,3, ,n},将它的 2n 个子集分成两类:不含 n 的为一 类(包括空集),含有 n 的为另一类.这两类各含 2n-1 个子集.建立它们的映射 如下:{n,a1,a2, ,ak}?{a1,a2, ,ak},其中 a1>a2> >ak.显然这是一 个一一映射且这两个子集的―交替和‖分别为:n-a1+a2-a3+ +(-1)kak 和 a1 -a2+a3- +(-1)k-1ak,它们的和为 n,所以,Sn=n× 2n-1,当 n=16 时,S16 =16× 215=524 288. 2.1.75 函数 f 和 g 都是二次函数,g(x)=-f(100- x),并且 f 的图象过 g 图象的顶点.两个图象与 x 轴有四 个横坐标是 x1,x2,x3,x4(依次递增)的交点,x3-x2= 150,求 x4-x1 的值. 解析 设(x',y')是函数 y=f(x)图象上的任意一点, 则此点关于(50,0)的对称点(x,y)有即所以,函数 y=f(x) 题 2.1.75 的图象关于点(50,0)的对称曲线的解析式是-y=f(100 -x),即函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象关于点(50,0)中心对称,由已知可得函数 f 和函数 g 的图象的相对位置关系如图所示,x3=50+75=125,x2=50-75=- 25,则 f(x)=a(x-x4)(x+25),而(x1+x4)=50,x1=100-x4,于是,g(x)=-a(x -125)(x-100+x4). 由函数 f 图象的顶点在函数 g 的图象上得到 f=g,则 a=-a ,即(-25- x4)(25+x4)=-(x4-275)(-225+3x4),+50x4+625=3-1050x4+252× 9× 11,亦 2 即-550x4+25 × 49=0,所以,x4=275+150,x4-x1=2x4-100=450+300. 二、函数的单调性和奇偶性 2.1.76 函数 f(x)=x|x|-2x 是( ). (A) 偶函数,且在(-1,1)上是增函数 (B) 奇函数,且在(-1,1)上是减函数 (C) 偶函数,且在(-1,1)上是减函数 (D) 奇函数,且在(-1,1)上是增函数 解析 f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-(x|x|-2x)=-f(x),所以,函数 f(x)是奇 函数. 若 x≥0,则 f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,在(0,1)上函数 f(x)单调递减,又由 f(x)是奇函数可得它在(-1,1)上单调递减,答案为 B. 2.1.77 已知二次函数 f(x)=a1x2+b1x+c1 和 g(x)=a2x2+b2x+c2 使得 f(x)+ g(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,则它们的系数应满足的关系是 . 解析 只有当函数 f(x)+g(x)=(a1+a2)x2+(b1+b2)x+c1+c2 为一次函数
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时,才能使得 f(x)+g(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,所以,函数 f(x)和 g(x)的 系数应满足 a1+a2=0 且 b1+b2≠0. 2.1.78 若函数 f(x)=在(-2,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是 . 解析 f(x)=,即 f(x)=a+在(-2,+∞)上单调递增,则 1-2a<0,所以, a 的取值范围是 a>. 2.1.79 函数 f(x)=的单调递增区间是 . 解析 函数 f(x)的定义域是(0,+∞),而在(0,+∞)上函数 f1(x)=和 f2(x)= -都单调递增,所以,函数 f(x)=的单调递增区间是(0,+∞). 2.1.80 指出下列函数的奇偶性并证明结论: (1) f(x)=+1: ; (2) G(x)=[f(x)-f(-x)] (-a<x<a,其中常数 a>0): ; (3) f(x)=: ; (4) f(x)=: . 解析 (1) f(-x)=+1=+1=f(x),所以,函数 f(x)=+1 是偶函数. (2) G(-x)=[f(-x)-f(x)]=-[f(x)-f(-x)]=-G(x),所以,函数 G(x)=[f(x) -f(-x)] (-a<x<a,其中常数 a>0)是奇函数. (3) f(-x)==-f(x),所以,函数 f(x)=是奇函数. (4) 函数 f(x)=的定义域是{x|x≠1,x∈R},而 f(-1)=1, 所以,函数 f(x)=既不是奇函数,也不是偶函数. 2.1.81 若函数 f(x)=ax+b 的定义域和值域都是[1,2],求 a 和 b 的值. 解析 若 a>0,则函数 f(x)=ax+b 在(-∞,+∞)上单调递增,解得 若 a<0,则函数 f(x)=ax+b 在(-∞,+∞)上单调递减,解得 2.1.82 设函数 f(x)=x+ (a>0). (1) 求证:函数 f(x)在(,+∞)上单调递增; (2) 若函数 f(x)在(a-2,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围. 解析 (1) 设<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=,于是,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以,函数 f(x)在(,+∞)上单调递增. (2) 由问题(1)的结论可得 a-2≥,即(+1)(-2)≥0,所以,a 的取值范围是 a≥4. 2.1.83 “a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的 ( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 函数 f(x)=|x-a|在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, 所以,“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必 要条件,答案为 A. 2.1.84 已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则函数 F(x)=f(x)-f(-x)
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是( ). (A) 奇函数,且在(-∞,+∞)上单调递增 (B) 偶函数,且在(-∞,+∞)上单调递增 (C) 奇函数,且在(-∞,+∞)上单调递减 (D) 偶函数,且在(-∞,+∞)上单调递减 解析 F(-x)=f(-x)-f[-(-x)],即 F(-x)=-[f(x)-f(-x)],于是,F(- x)=-F(x),所以,F(x)是奇函数. 设 x1<x2,由已知得 f(x1)>f(x2),-x1>-x2,f(-x1)<f(-x2),-f(-x1)>- f(-x2),则 f(x1)-f(-x1)>f(x2)-f(-x2),即 F(x1)>F(x2),所以,F(x)在(-∞,+ ∞)上单调递减,答案为 C. 2.1.85 设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时 f(x)是单调函数,则满足 f(x)= f 的所有 x 之和为( ). (A) -3 (B) 3 (C) -8 (D) 8 解析 由已知可得 x=或-x=,即 x2+3x-3=0 或 x2+5x+3=0,于是, 由韦达定理可得所有符合要求的 x 的和为-3+(-5)=-8,答案为 C. 2.1.86 已知函数 f(x)的定义域是一个无限集,那么,在定义域中存在无穷 多个实数 x 使得 f(-x)=f(x)成立是 f(x)为偶函数的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 由偶函数的概念可知答案为 B. 2.1.87 已知 y=f(x)是定义在 R 上的单调函数,实数 x1<x2,λ≠-1,α=,β =,若|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)|,则( ). (A) λ<0 (B) λ=0 (C) 0<λ<1 (D) λ≥1 解析 由|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)|及 y=f(x)在(-∞,+∞)上单调函数可得区 间(x1,x2)应是区间(α,β)的子集,即|x1-x2|<|α-β|,于是,|x1-x2|<,即|1+ λ|<|1-λ|,所以,λ 的取值范围是 λ<0,答案为 A. 2.1.88 对于 a,b∈R,定义 min{a,b}=若函数 f(x) -min{|x+t|,|x-2|}是偶函数,则 t= . 解析 考察函数 y=|x-2|和 y=|x+t|的图象可知 t =2. 2.1.89 函数 f(x)=|x+2|+|x-1|+|x|的单调递增区 间是 . 解析 函数 f(x)=所以,函数 f(x)的单调递增区间是(0,+∞). 2.1.90 求证:函数 f(x)=是奇函数. 解析 f(x)= =,
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题 2.1.88

此函数的定义域是{x|x≠0,x∈R},并且 f(-x)=-f(x),所以,它是奇函 数. 2.1.91 指出 f(x)=的单调性. 解析 函数 f(x)=的自变量 x 应满足 即此函数的定义域是[2,6)∪(6,10]. 若 2<x1<x2<6,则>>0,于是,0<f(x1)<f(x2),同理,当 6<x1<x2<10 时,也有 f(x1)<f(x2)<0. 所以,函数 f(x)=在[2,6),(6,10]上单调递增. 2.1.92 已知函数 f(x)=. (1) 指出函数 f(x)的单调性,并予以证明; (2) 画出函数 f(x)的大致图象. 解析 (1) 设 x1<x2,则 y1-y2=,于是,当 x1<x2< -2 或-2<x1<x2<2 或 2<x1<x2 时,都有 y1>y2. 所以,函数 y=在(-∞,-2),(-2,2),(2,+∞) 题 2.1.92 上单调递减. (2) 函数 y=的图象如图所示. (注:关于函数 y= 的图象,应当以虚线的形式作直线 x=2 和 x=-2 表示 该函数的定义域,函数图象应体现出不断趋近于这两条直线,应当表现函数的 图象过点. 2.1.93 已知奇函数 y=f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,若 f(m-1)+f(2m -1)>0,求实数 m 的取值范围. 解析 由已知可得 f(m-1)>-f(2m-1)=f(1-2m),再由函数 f(x)的定义域 是(-2,2)及在定义域上为减函数得所以,m 的取值范围是-<m<. 2.1.94 若函数 f(x)=(a-x)|x-1|在(-∞,+∞)上是减函数,求 a 的值. 解析 f(x)= 若 a=1,则 f(x)=函数 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. 当 a>1 和 a<1 时函数 f(x)的图象如图所示,它们都不是(-∞,+∞)上的减 函数,所以,a=1.

题 2.1.94(1)

题 2.1.94(2)

2.1.95 已知 f(x)和 g(x)都是定义在 R 上的奇函数,若 F(x)=af(x)+bg(x)+ 2 在(0,+∞)上有最大值为 5,求 F(x)在(-∞,0)上的最小值. 解析 由已知得当 x>0 时有 af(x)+bg(x)+2≤5,则 af(x)+bg(x)≤3. 若 x<0,则-x>0,F(x)=af(x)+bg(x)+2=-af(-x)-bg(-x)+2=- [af(-x)+bg(-x)]+)2≥-3+2,
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所以,F(x)在(-∞,0)上的最小值为-1. 2.1.96 对于判断函数 y=在(-1,1)上的单调性问题,某同学给出了如下 的解法: 令 x=cosθ (0<θ<π),则 y=cotθ,由于 y=cotθ 在(0,π)上单调递减,所 以,此函数在(-1,1)上为减函数. 上述结论是否正确,试说明理由. 解析 结论错误,设 x1<x2,即 cosθ1<cosθ2,其中 θ1,θ2∈(0,π),则 θ1>θ2,而 y=cotθ 在(0,π)上单调递减,于是 cotθ1<cotθ2,即 y1<y2,所以,函 数 y=在(-1,1)上是单调递增函数. 2.1.97 写出函数 f(x)=为奇函数的充要条件并证明你的结论. 解析 若 a=0,则 f(x)=,不存在实数 x 能使得 f(x)有意义,于是 a≠0; 若 a>0,则函数自变量 x 必须满足-a≤x≤a,此时 f(x)=,必有 x+2a>0, 即该函数的定义域是[-a,a],于是有 f(0)=≠0,该函数一定不是奇函数; 若 a<0,则函数自变量 x 必须满足 a≤x≤-a,此时 f(x)=,该函数的定义域 是[-a,0)∪(0,a],并有 f(-x)=-f(x),即此函数是奇函数,所以,函数 f(x) =为奇函数的充要条件是 a<0. 2.1.98 下列函数中,在(1,+∞)上为增函数的是( ). (A) y=(x-2)2 (B) y= (C) y= (D) y= 2 解析 函数 y=(x-2) 在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增;函 数 y=即为 y=-,它在(-∞,1),(1,+∞)上单调递增;函数 y=在(-∞,- 1),(-1,+∞)上单调递减;函数 y=即为 y=,它的定义域是(-∞,-2]∪ [4,+∞),它在(-∞,-2]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增,所以,答案 为 B. 2.1.99 函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( ). (A) ab=0 (B) a+b=0 (C) a=b (D) a2+b2=0 解析 因为函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数,则对任意 x∈R 有 f(-x)=-f(x) 成立,于是,由 f(0)=0 得 b=0,再由 f(-1)=-f(1)得-|-1+a|=-|1+a|,解 得 a=0,此时,f(x)=x|x|,显然为奇函数,所以,函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函 数的充要条件是 a=b=0,即 a2+b2=0,答案为 D. 2.1.100 已知函数 y=f(x)是偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x) =0 的所有实根之和为( ). (A) 4 (B) 2 (C) 1 (D) 0 解析 设 x0 是方程 f(x)=0 的一个根,则 f(-x0)=f(x0)=0,-x0 也是方程 f(x)=0 的根,所以,方程 f(x)=0 的四个实根之和是 0,答案为 D. 2.1.101 函数 f(x)= ( ). (A) 是奇函数,但不是偶函数
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(B) 是偶函数,但不是奇函数

(C) 既是奇函数,又是偶函数 (D) 既不是奇函数,也不是偶函数 解析 对于任意的 x∈{x|x≠0,x∈R},若 x>0,则-x<0,于是 f(-x)=- x(1-x)= -f(x),若 x<0,则-x>0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x),所以,函 数 f(x)是奇函数,答案为 A. 2.1.102 定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,若 f(a)<f(b),则 一定可得( ). (A) a<b (B) a>b (C) |a|<|b| (D) 0≤a<b 或 a>b≥0 解析 对于定义域为 R 的偶函数,若 x≥0,则 f(|x|)=f(x),若 x<0,则 f(|x|) =f(-x)=f(x),所以,定义域为 R 的偶函数 f(x)对于任意 x∈R,有 f(|x|)=f(x), 于是由 f(a)<f(b)可得 f(|a|)<f(|b|),而|a|≥0,|b|≥0,再由 f(x)在[0,+∞)上是增函 数得|a|<|b|,答案为 C. 2.1.103 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为 ( ). (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 解析 由 f(x+2)=-f(x)得 f[(x+2)+2]=-f(x+2),则 f(x+4)=f(x),于 是,f(6)=f(2).而定义域为 R 的奇函数一定有 f(0)=0,又 f(0+2)=-f(0),则 f(2)=0,所以,f(6)=0,答案为 B. 2.1.104 定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x)f(x+2)=13,若 f(1)=2,则 f(99) =( ). (A) 13 (B) 2 (C) (D) 解析 由已知可得 f(x+2)f(x+4)=13,于是,f(x+4)=f(x),则 f(99)= f(3),而 f(1)f(1+2)=13,所以,f(99)= ,答案为 C. 2.1.105 在 R 上定义的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x),若 f(x)在区间 [1,2]上是减函数,则 f(x)( ). (A) 在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 (B) 在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 (C) 在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 (D) 在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 解析 由 f(x)=f(2-x)得 f(1+x)=f[2-(1+x)],即 f(1+x)=f(1-x),函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)在[0,1]上单调递增.f(2+x)=f[2- (2+x)],即 f(x+2)=f(-x),又 f(-x)=f(x),于是,f(x+2)=f(x),函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,所以,函数 f(x)在[-2,-1]上单调递增,在[3,4]上单 调递减,答案为 B. 2.1.106 函数 f(x)=|x-n|的最小值为( (A) 190 (B) 171 45
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). (C) 90 (D)

解析

在区间(-∞,1),[1,2),[2,3), ,[9,10)上,函数 f(x)解析式

中 x 的系数都是负数,在区间[10,11),[11,12), ,[18,19),[19,+∞) 上,函数 f(x)解析式中 x 的系数都是正数,所以,函数 f(x)在(-∞,10)上单调递 减,在(10,+∞)上单调递增,所以,当 x=10 时,函数 f(x)取得最小值 2× (9+8 +7+6+5+4+3+2+1)=90,答案为 C. 2.1.107 若函数 f(x)=|x-m|-mx 存在最小值,则常数 m 的取值范围 是 . 解析 f(x)=由函数的单调性可知,要使得 f(x)有最小值,应有所以,m 的 取值范围是-1≤m≤1. 2.1.108 若函数 f(x)= (a≠1)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范 围是 . 解析 函数 f(x)的自变量 x 应满足 3-ax≥0,若 a<0,则此函数的定义域是 x≥,此时 a-1<0,该函数在(0,1]上是减函数;若 a=0,则 f(x)=-,不符合 要求;若 a>0,则此函数的定义域是 x≤,并且函数 g(x)=在定义域上单调递 减,于是,要使得函数 f(x)=在(0,1]上单调递减,必须有则 1<a≤3,所以,a 的取值范围是 a<0 或 1<a≤3. 2.1.109 函数 y=的值域是 . 解析 y=,而函数 y=的定义域是[3,+∞),它在[3, +∞)上单调递减,所以,函数 y=的值域是(0,2]. 2.1.110 设函数 f(x)=为奇函数,则 a= . 解析 由函数 f(x)是奇函数可得 f(-1)=-f(1),而 f(-1)=0,于是,f(1)= 2(1+a)=0,解得 a=-1,则 f(x)=对任意满足 x≠0 的实数 x 都有 f(-x)=- f(x),即函数 f(x)是奇函数,所以,a=-1. 若 f(x)是偶函数而 g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=,则 f(x) = ;g(x)= . 解析 由已知得于是 解得 f(x)=,g(x)=. 2.1.112 已知定义域为 R 的奇函数 f(x)当 x≥0 时 f(x)=x(1-x),则此函数的 解析式是 . 解析 若 x<0,则-x>0,f(x)=-f(-x)=-(-x)[1-(-x)]=x(1+x),所 以,f(x)= 2.1.113 已知定义域是 R 的奇函数 f(x)对任意的 x∈R 满足 f(x+2)=- f(x),当-1≤x≤1 时,f(x)=x,则方程 f(x)=-的解集是 . 解析 由已知得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),即函数 y=f(x)是以 4 为周期的周期函数.当 1≤x≤3 时,-1≤x-2≤1,f(x-2)=(x-2),而 f(x-2)= f(x+2)=-f(x),于是,f(x)=-(x-2).
40

2.1.111

所以,f(x)=,其中 k∈Z,方程 f(x)=-的解集为{x|x=4k-1,k∈Z}. 2.1.114 已知定义域为 R 的奇函数 y=f(x)在(-∞,0)上是减函数,求证:y =f(x)在(0,+∞)上也是减函数. 解析 设 x1>x2>0,则-x1<-x2<0,于是有 f(-x1)>f(-x2),由 f(x)是奇函数 得-f(x1)>-f(x2),所以,f(x1)<f(x2),函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数. 2.1.115 已知函数 f(x)=的最小值是,求 a 的值. 解析 若 a≥0,则函数 f(x)的定义域是[0,+∞),且在[0,+∞)上单调递 增,当 x=0 时,y 最小值=,于是,解得 a=. 若 a<0,则函数 f(x)的定义域是[-a,+∞),且在[-a,+∞)上单调递增, 当 x=-a 时,y 最小值=,于是,解得 a=-. 所以,a 的值是或-. 2.1.116 如果定义域为实数集 D 的函数 f(x)同时满足以下两个条件: ① f(x)在 D 上或是单调递增函数,或是单调递减函数; ② 存在区间[a,b]?D,使得 f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b], 这样的函数我们称为“闭函数”. (1) 定义域为 R 的函数 y=-x3 是否为“闭函数”?请说明理由; (2) 若函数 f(x)=-x+1 (x∈[a,b]),问:它能否成为“闭函数”?请说明 理由. 解析 (1) 设 x1<x2,则 y1-y2=-=(x2-x1)(+x1x2+)=(x2-x1)>0,即 y1>y2,所以,函数 y=-x3 在(-∞,+∞)上单调递减.若它是“闭函数”,则 解得所以,函数 y=-x3 是“闭函数”. (2) 由 f(x)=(x-1)2+得若它是“闭函数”,则或关于 t 的方程 t2-4t+2=0 有两个不相等的实数解 t=2± ,则 a=2-与 a≥1 矛盾. 2 2 由(b -a )=0 及 a<b≤1 得 a+b=0,于是 a2+2=0,矛盾. 所以,函数 f(x)=-x+1(x∈[a,b])不能成为“闭函数”. 2.1.117 已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R),指出函数 f(x)的奇偶性, 并说明理由. 解析 若 a=0,则函数 f(x)=x2 是偶函数. 若 a≠0,则 f(1)=1+a,f(-1)=1-a,f(-1)≠f(1)且 f(-1)≠-f(1),所以, 此时函数 f(x)是非奇非偶函数. 2.1.118 指出函数 f(x)=x2+的单调性. 解析 设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=. 若 x1<x2<0,则 f(x1)-f(x2)>0;若 0<x1<x2<,则 x1x2(x1+x2)-3<0,f(x1)- f(x2)>0; 若<x1<x2,则 x1x2(x1+x2)-3>0,f(x1)-f(x2)<0,所以,函数 f(x)=x2+在(- ∞,0),上单调递减,在上单调递增. 2.1.119 已知定义域是 R 的函数 f(x)当 x>0 时 f(x)<1,且对任意实数 x,y 有 f(x+y)=f(x)f(y),f(2)=,f(0)≠0.
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(1) 求证:函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减; (2) 解不等式:f(x)f(3x-1)<. 解析 (1) 由已知得 f(0+0)=f(0)f(0),而 f(0)≠0,得 f(0)=1,f[x+(-x)]= f(x)f(-x),则 f(-x)f(x)=1,于是,对任意的 x∈R 都有 f(x)≠0,又 f≥0,所以 f(x)>0. 设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-f(x1)f(x2-x1),由 x2-x1>0 得 f(x2-x1)<1,则 f(x1)>f(x1)f(x2-x1),即 f(x1)-f(x2)>0,所以,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减. (2) 由 f(1+1)=f(1)f(1)得 f(2)=[f(1)]2,又 f(x)>0,所以 f(1)=,f(1+2)= f(1)f(2)=,则不等式 f(x)f(3x-1)<即为 f(x+3x-1)<f(3),于是,x+3x-1>3,所 以,x>1. 2.1.120 设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+ x),且在闭区间[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0. (1) 判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2) 求方程 f(x)=0 在闭区间[-2005,2005]上根的个数,并证明你的结论. 解析 (1) 在 f(2-x)=f(2+x)中,令 x=3,得 f(-1)=f(5),又 f(5)≠0,从而 f(-1)≠0,但 f(1)=0,所以 f(-1)≠f(1),且 f(-1)≠-f(1),所以,f(x)既不是奇函 数,也不是偶函数. (2) f(10+x)=f[7+(3+x)]=f[7-(3+x)]=f(4-x)=f[2+(2-x)]=f[2-(2-x)] =f(x),即 f(x)是以 10 为周期的周期函数,于是对任意整数 n,都有 f(10n+1)= f(1)=0,f(10n+3)=f(3)=0,即 x=10n+1 和 x=10n+3 (n∈Z)都是方程 f(x)= 0 的根,由-2005≤10n+1≤2005 解得-200≤n≤200,由-2005≤10n+3≤2005 解 得-200≤n≤200,即方程 f(x)=0 在[-2005,2005]上至少有 802 个根. 对于 x0∈(7,10],若 f(x0)=0,则有 f(14-x0)=f[7+(7-x0)]=f[7-(7-x0)] =0,而 4≤14-x0<7,与[0,7]中只有 f(1)=f(3)=0 矛盾,即 f(x)=0 在[0,10] 上只有 f(1)=f(3)=0. 对于 x0∈[-2005,2005],且 x0≠10n+1,x0≠10n+3 (n∈Z),若 f(x0)=0, 一定存在整数 k0 使 10k0≤x0<10k0+10,则 0≤x0-10k0<10,而 f(x0-10k0)=f(x0) =0,并且 x0-10k0≠1,x0-10k0≠3,与[0,10]中只有 f(1)=f(3)=0 矛盾,所 以,在[-2005,2005]上,方程 f(x)=0 有且仅有 802 个根. 2.1.121 设 f(x)= g(x)是二次函数,若 f(g(x))的值域是[0,+∞),则 g(x)的 值域是( ). (A) (-∞,-1]∪[1,+∞) (B) (-∞,-1]∪[0,+∞) (C) [0,+∞) (D) [1,+∞) 解析 函数 f(x)在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,且 x≤-1 时,f(x)≥1,x>-1 时,f(x)>-1,而二次函数的值域或为(-∞,a],或为 [b,+∞),所以,要使得函数 f(g(x))的值域是[0,+∞),则 g(x)的值域必须是 [0,+∞),答案为 C. 2.1.122 若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)= f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是( ). (A) f(x)为奇函数 (B) f(x)为偶函数
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(C) f(x)+1 为奇函数 (D) f(x)+1 为偶函数 解析 令 x1=x2=0 可得 f(0)=-1,又 f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)+1,于是, f(-x)+1=-[f(x)+1],所以,函数 f(x)+1 为奇函数,答案为 C. 2.1.123 函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则( ). (A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)=f(x+2) (D) f(x+3)是奇函数 解析 若 f(x)=sinπx,则 f(x+1)=sin(x+1)π,f(x+1)=-sinπx,f(x-1)= sin(x-1)π,f(x-1)=-sinπx,此时,函数 f(x+1)和 f(x-1)都是奇函数,而 f(x) 也是奇函数,结论 A 不正确. 若 f(x)=cos,则 f(x+1)=cos=-sin,f(x-1)=cos=sin,此时,函数 f(x+ 1)和 f(x-1)都是奇函数,而 f(x)是偶函数,结论 B 不正确. 如果 f(x)=f(x+2)正确,则 f(x-1)=f(x-1+2),由 f(x+1)是奇函数得 f(-x +1)=-f (1+x). 于是,f(x-1)=-f(1-x),f[(x+1)-1]=-f[1-(x+1)],则 f(x)=-f(- x),函数 f(x)一定是奇函数,由结论 B 可知 f(x)=f(x+2)不正确. 由已知可得 f(1-x)=-f(x+1)且 f(-x-1)=-f(x-1),f(x+3)=f[1+(2+ x)]=-f[1-(2+x)]=-f(-1-x)=f(x-1),f(3-x)=f[1+(2-x)]=-f[1-(2-x)] =-f(x-1). 所以,f(3-x)=-f(3+x),函数 f(x+3)是奇函数,答案为 D. 2.1.124 已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任 意实数 x 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x),则的值是( ). (A) 0 (B) (C) 1 (D) 解析 令 x=-,则-,由 f(x)是偶函数得 f=f,则 f=0. 令 x=0,则 0× f(0+1)=(1+0)f(0),于是,f(0)=0.令 x=,则,即,令 x =,则,可得 f=0,f=0. 所以,f=f(0)=0,答案为 A. 2.1.125 若存在常数 p>0,使得函数 f(x)满足 f(px)=f (x∈R),则 f(x)的一个 正周期为 . 解析 f=f=f=f(x),所以,函数 f(x)是以为周期的周期函数. 2.1.126 设函数 f(x)=-,对于集合 M=[a,b] (a<b),集合 N={y|y= f(x),x∈M},问:是否存在实数 a,b 使 M=N 成立?若存在,求出 a,b 的值; 若不存在,说明理由. 解析 由 f(-x)=-f(x)可知函数 f(x)是一个奇函数.当 x≥0 时,f(x)=-,即 f(x)=-1+,在(0,+∞)上它是减函数,又由它是奇函数可得函数 f(x)在(-∞, +∞)是减函数,于是由 M=N 得即=a,解得 a=b=0,与 a<b 矛盾,所以,满 足要求的实数 a,b 不存在. 2.1.127 试说明函数 f(x)=的单调递增区间. 解析 设-1≤x1<x2≤1,则 f(x1)-f(x2)=<0,即 f(x1)<f(x2),所以,函数 f(x)
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=的单调递增区间是[-1,1]. 2.1.128 已知函数 f(t)=t+ (t>0).记 max{a,b}= (1) 若 0<k<m,求函数 g1(x)=max{f(kx),f(mx)}的最小值; (2) 若 0<k<m<n,求函数 g2(x)=max{f(kx),f(mx),f(nx)}的最小值. 解析 (1) f(kx)-f(mx)=kx+, 由 0<k<m 得当 0<x<,f(kx)>f(mx),于是,g1(x)=而函数 f(t)=t+在(0,1)上单调 递减,在(1,+∞)上单调递增,于是,函数 f(kx)=kx+在上单调递减,在上单 调递增,函数 f(mx)=mx+在上单调递减,在上单调递增,又<<,所以,函数 g1(x)在上单调递减,在上单调递增,当 x=时,g1(x)取得最小值. (2) 由 0<k<m<n 得 0<<<,同理可得 g2(x)= 当 x=时,g2(x)取得最小值. 三、反函数 2.1.129 函数 y=的反函数与其原函数相同的条件是( ). (A) a=0,b=0 (B) a=1,b∈R (C) a=1,b≠-1,b∈R (D) a=-1,b=0 解析 由原函数得 bxy-y=ax+1,即 x=,于是,反函数为 y=,所以, 对定义域中一切 x 都成立,即 bx2-x+bx-1=abx2+bx-a2x-a,解得 a=1,b 可取任意实数,答案为 B. 2.1.130 已知函数 y=x+m 与 y=nx-6 互为反函数,则 m= ;n . 解析 由原函数得 x=3y-3m,所以,反函数是 y=3x-3m,则 n=3,m =2. = 2.1.131 若点(1,2)在函数 y=的图象上,又在它的反函数的图象上,则 a = ;b= . 解析 点(1,2)在反函数的图象上,则该点关于直线 y=x 的对称点在原函 数的图象上,于是 解得 2.1.132 设函数 y=f(x)存在反函数 y=f-1(x),且函数 y=x-f(x)的图象过点 (1,2),则函数 y=f-1(x)-x 的图象一定过点 . 解析 由已知可得 2=1-f(1),则 f(1)=-1,即函数 y=f(x)的图象过点 (1,-1),则函数 y=f-1(x)的图象过点(-1,1),当 x=-1 时,函数 y=f-1(x)-x 有 y=2,所以,函数 y=f-1(x)-x 的图象一定过点(-1,2). 2.1.133 “函数 f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数 f(x)在 R 上为增函数”的 ( ). (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析 存在反函数的函数一定是一一对应的函数,它在定义域上可能是增 函数,也可能是减函数.而定义域上的增函数一定是一一对应的函数,它一定 存在反函数,所以,“函数 f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数 f(x)在 R 上为增函 数”的必要不充分条件,答案为 B.
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2.1.134 定义域是 R 的奇函数 y=f(x)有反函数 y=f-1(x),那么,坐标平面 上的点( )一定在 y=f-1(x)的图象上. (A) (-f(a),a) (B) (-f(a),-a) -1 (C) (-a,f (a)) (D) (a,f-1(-a)) 解析 由函数 f(x)是奇函数得 f(-x)=-f(x),于是,f-1[-f(a)]=f-1[f(-a)] =-a,所以,点(-f(a),-a)一定在 y=f-1(x)的图象上,答案为 B. 2.1.135 已知函数 y=f(x)(x∈R)的图象与其反函数 y=f-1(x)的图象重合, 若 x≤0 时,f(x)=x2,则 x>0 时 f(x)= . 解析 原函数的图象与反函数的图象关于直线 y=x 对称,若函数 y=f(x)的 图象与其反函数的图象重合,则原函数图象上的点(x,y)关于直线 y=x 的对称 点(y,x)在其反函数的图象上.所以,当 x≤0 时 f(x)=x2,则当 x>0 时,y=-. 2.1.136 函数 y=的图象与其反函数的图象围成的封闭 区域的面积是 . 解析 由 y=+2 得 x=3(y-2),y≥2, 由 y=3x+2 得 x=,y<2,所以,原函数的反函数是 y =原函数与反函数的图象围成以(2,0),(3,3),(0,2), (-1,-1)为顶点的菱形,它的两条对角线长是 2 和 4,其 面积 S=4× × × 2=8.

题 2.1.136

2.1.137 函数 y=-1 (x≤0)的反函数是( ). (A) y= (x≥-1) (B) y=- (x≥-1) (C) y= (x≥0) (D) y=- (x≥0) 2 3 解析 由已知得 x =(y+1) ,于是 x=- (y≥-1),所以,反函数是 y= - (x≥-1),答案为 B. 2.1.138 设函数 f(x)= (0≤x<1)的反函数为 f-1(x),则( ). (A) f-1(x)在其定义域上是增函数且最大值为 1 (B) f-1(x)在其定义域上是减函数且最小值为 0 (C) f-1(x)在其定义域上是减函数且最大值为 1 (D) f-1(x)在其定义域上是增函数且最小值为 0 解析 由 0≤x<1 可得 0<1-≤1,则 f(x)≥1,所以,函数 f(x)= (0≤x<1)的反 函数是 f-1(x)=(x≥1).设 1≤x1≤x2,则 f-1(x1)-f-1(x2)=1-<0. 所以,f-1(x)在其定义域上是增函数且最小值为 0,答案为 D. 2.1.139 能是( ). 若函数 f(x)的反函数为 f-1(x),则函数 f(x-1)与 f-1(x-1)的图象可

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解析 函数 y=f(x-1)和 y=f-1(x-1)的图象分别是由函数 y=f(x)和 y=f- 1 (x)的图象向右平移一个单位得到的,于是,它们的图象关于直线 y=x-1 对 称,所以,答案为 A. 2.1.140 函数 y= (x≤1)的反函数的定义域是( ). (A) [0,+∞) (B) (2,+∞) (C) (-∞,1] (D) [,+∞) 2 2 解析 x -2x+3=(x-1) +2≥2,即原函数的值域是[,+∞),所以,反函 数的定义域是[,+∞),答案为 D. 2.1.141 若 f(x)=,则 f-1(x)= . - 2 解析 由已知得 y =2x-1,y≥0,所以,f 1(x)= (x≥0). 2.1.142 函数 y=- (-1≤x≤0)的反函数为 . 2 2 解析 由原函数得 y =1-x (-1≤y≤0),于是,x=- (y∈[-1,0]),所 以,反函数为 y=- (x∈[-1,0]). 2.1.143 函数 y=的反函数是 . 2 解析 当 0≤x≤1 时,y=x -1,于是 x=,-1≤y≤0,当-1≤x<0 时,y= 2 x ,于是,x=-,0<y≤1,所以,反函数为 y= 2.1.144 函数 f(x)=x|x|+2x 的反函数是 . 2 解析 函数 f(x)=当 x≥0 时,y=(x+1) -1,x=-1+,y≥0; 当 x<0 时,y=-(x-1)2+1,x=1-,y<0,所以,反函数是 f-1(x)= 2.1.145 已知函数 f(x)满足 f-1(2x+1)=4x+7,则 f(2x+1)= . 解析 由已知得 f-1=4× +7,即 f-1(x)=2x+5,x=[f-1(x)-5],所以,f(x) =,f(2x+1)=x-2. 2.1.146 设 f(x)=4x-2x+1 (x≤0),则 f-1(-1)= . -1 p p+1 解析 设 f (-1)=p,则 f(p)=-1,即 4 -2 =-1,即(2p-1)2=0,2p =1,p=0,所以,f-1(-1)=0. 2.1.147 已知 f(x)=的反函数 f-1(x)图象的对称中心为(-1,3),则 a = . 解析 由反函数的图象与原函数的图象关于直线 y=x 对称得函数 f(x)的图 象的对称中心为(3,-1),而函数 f(x)=图象的对称中心为(a+1,-1),所以, a+1=3,即 a=2.
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2.1.148 设有三个函数,第一个函数是 y=f(x),它的反函数为第二个函 数,第三个函数与第二个函数图象关于直线 x+y=0 对称,则第三个函数的解 析式为 . 解析 第二个函数为 y=f-1(x),在第三个函数图象上任取一点(x,y),则点 (-y,-x)在第二个函数的图象上,即-x=f-1(-y),所以,第三个函数的解析 式是 y=-f(-x). 2.1.149 函数 y=f(x)存在反函数 y=f-1(x),把 y=f(x)的图象在直角坐标平 面内绕原点顺时针旋转 90° 后得到的图象所表示的函数为 . 解析 设(x,y)是原函数图象作旋转变换后所得曲线上的任意一点,则它是 由原函数图象上的点(-y,x)得到的,于是 x=f(-y),所以,旋转后所得曲线是 - 函数 y=-f 1(x)的图象. 2.1.150 已知定义域为 R 的函数 y=f(x-1)是奇函数,y=g(x)是 y=f(x)的 反函数,若 x1+x2=0,则 g(x1)+g(x2)= . 解析 由 y=f(x-1)是奇函数得 f(-x-1)=-f(x-1),即 f(-1-x)+f(-1 +x)=0,则函数 y=f(x)图象关于点(-1,0)中心对称.由函数 y=g(x)是 y=f(x) 的反函数可得 y=g(x)的图象关于点(0,-1)对称,于是,当 x1+x2=0 时,[g(x1) +g(x2)]=-1,即 g(x1)+g(x2)=-2. 2.1.151 已知函数 f(x)=,若函数 y=g(x)的图象与函数 y=f-1(x+1)的图象 关于直线 y=x 对称,求 g(11)的值. 解析 函数 y=f-1(x+1)有 f(y)=x+1,即 y=f-1(x+1)的反函数是 y=f(x)- 1,于是,g(x)=f(x)-1,所以,g(11)=f(11)-1=. 2.1.152 若一个函数的反函数与原函数是相同的,则称它为“自反函 数”.例如:函数 f(x)=x 是“自反函数”. 如果一个函数的图象经过有限次平移、对称、旋转、伸缩变换后,能与另 一个函数的图象重合,我们便认为这两个函数是“同类的”. (1) 是否存在与 f(x)=x“同类的”“自反函数”?如果存在,请给出所有满 足要求的函数;如果不存在,说明理由; (2) 是否存在与 f(x)=x“不同类的”“自反函数”?如果存在,而且在这类 “自反函数”中不止有一个函数,请指出这些函数的解析式的一个共同点. 解析 (1) 因为 f(x)=x 表示直线,它经过有限次平移、对称、旋转、伸缩 变换后仍为直线,故若存在符合条件的函数,则它的图象必为直线,所以,设 符合条件的函数解析式为 y=ax+b,则它的反函数为 y=,由它是“自反函 数”得=ax+b,则解得 或 所以,与 f(x)=x“同类的”“自反函数”为 y=-x+b (b∈R). (2) 显然,函数 y=是“自反函数”,并且与 y=x 是“不同类的”.而函数 g(x)= (c≠0)与 y=是“同类的”.它的反函数是 y=,若它是“自反函数”则, 于是,bd-d2x+bcx-cdx2=-ab+bcx-a2x+acx2,即(a+d)[cx2+(d-a)x- b]≡0. 所以,函数 g(x)= (c≠0)成为“自反函数”的条件是 a+d=0.
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§ 2–2

幂函数、指数函数、对数函数

一、幂函数 2.2.1 已知函数 y=f(x)和 y=g(x)都是幂函数,则下列函数中,不是幂函数 的是( ). (A) y=f(x)g(x) (B) y=f(g(x)) (C) y=g(f(x)) (D) y=f(x)+g(x) α β 解析 设 f(x)=x ,g(x)=x ,则 f(x)g(x)=xα+β;f(g(x))=(xβ)α,即 f(g(x))= xβα;g(f(x))=(xα)β,即 g(f(x))=xαβ;f(x)+g(x)=xα+xβ 不是幂函数,答案为 D. 2.2.2 下列各函数图象中,表示 y=的是( ).

解析

函数 y=是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,答案为 C.

2.2.3 图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象,已 知 n 取± 2,± 四个值,则相应于曲线 c1,c2,c3,c4 的 n 依 次为( ). (A) -2,-,2 (B) 2,,-,-2 (C) -,-2,2, (D) 2,,-2,- 题 2.2.3 解析 由 c1,c2 的图象知这两个函数在(0,+∞)上单调 递增,则 n1>0,n2>0,而且 >,所以,n1=2,n2=,同理,n3=-,n4=-2, 答案为 B. 2.2.4 f(x)= 在[-1,1]上是( ). (A) 增函数且是奇函数 (B) 增函数且是偶函数 (C) 减函数且是奇函数 (D) 减函数且是偶函数 解析 f(-x)==-=-f(x),所以,它是奇函数,而幂函数 f(x)= 在(0,+ ∞)上单调递增,并由它是奇函数可得它在[-1,1]上单调递增,答案为 A. 2.2.5 已知函数 f(x)=(p,q 是互质整数)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+ ∞)上单调递减,则( ). (A) p 为奇数,q 为偶数,且 pq<0 (B) p 为奇数,q 为偶数,且 pq>0 (C) p 为偶数,q 为奇数,且 pq<0 (D) p 为偶数,q 为奇数,且 pq>0 解析 由函数 f(x)=的图象关于 y 轴对称可得该函数是偶函数,则 q 是偶 数,p 是奇数,并由此函数在(0,+∞)上单调递减得<0,则 pq<0,所以,答案 为 A. 2.2.6 下列命题中正确的是( ).
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(A) 幂函数的图象一定过点(0,0)和点(1,1) (B) 若函数 f(x)=xn 是奇函数,则它在定义域上单调递增 (C) 幂函数的图象上的点一定不在第四象限 (D) 幂函数的图象不可能是直线 解析 幂函数 y=x-1 的图象不过点(0,0),它在(-∞,0),(0,+∞)上单调 递减,于是 A,B 都不正确.幂函数 y=x 的图象是直线,D 不正确.当 x>0 时,f(x)=xα>0 必成立,所以,幂函数的图象上的点一定不在第四象限,答案为 C. 2.2.7 下列关于幂函数的命题中正确的是( ). (A) 不存在非奇非偶的幂函数 (B) 如果一个幂函数是奇函数,则它的图象一定过原点 (C) 如果幂函数的图象不过点(-1,1),则它一定不是偶函数 (D) 若两个幂函数的图象有三个不同的公共点,则这两个幂函数一定是相 同的 解析 幂函数 y= 既不是奇函数,也不是偶函数.幂函数 y=x-1 是奇函 数,它的图象不过原点.幂函数 y=x2 和幂函数 y=x4 有三公共点(1,1),(0, 0),(-1,1),它们是不同的幂函数,于是 A,B,D 都不正确.若幂函数是偶 函数,则 f(-1)=f(1)=1,其图象一定过点(-1,1),所以,答案为 C. 2.2.8 对于幂函数 f(x)=xα(α 是有理数)给出以下三个命题: ① 存在图象关于原点中心对称的幂函数; ② 存在图象关于 y 轴轴对称的幂函数; ③ 存在图象与直线 y=x 不重合,但关于直线 y=x 对称的幂函数. 其中真命题的个数是( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3 2 解析 幂函数 y=x 是奇函数,所以,结论①正确;幂函数 y=x 是偶函 数,所以,结论②正确; 幂函数 y=的图象关于直线 y=x 对称,所以,结论③ 正确,答案为 D. 2.2.9 幂函数 y=xα,对于给定的有理数 α,其定义域与值域相同,则此幂 函数( ). (A) 一定是奇函数 (B) 一定是偶函数 (C) 一定不是奇函数 (D) 一定不是偶函数 解析 函数 y=的定义域和值域都是[0,+∞),它既不是奇函数,也不是偶 函数;函数 y=x3 的定义域和值域都是 R,它是奇函数;如果一个幂函数是偶函 数,它的图象一定分布在第一和第二象限,它的值域是(0,+∞)或[0,+∞), 与它的定义域不同,所以,如果一个幂函数的定义域与值域相同,它一定不是 偶函数,答案为 D. 2.2.10 已知集合 A={f(x)|f(x)是幂函数且为奇函数},集合 B={f(x)|f(x)是 幂函数且在(-∞,+∞)上单调递增},集合 C={f(x)|f(x)是幂函数且图象过原 点},则( ). (A) A=B∩C (B) B=A∩C
49

(C) C=A∩B (D) A=B∪C 解析 幂函数的图象如果过原点,则此幂函数一定在[0,+∞)上单调递 增,所以,图象过原点且为奇函数的幂函数一定在(-∞,+∞)上单调递增,答 案为 B. 2.2.11 写出下列函数的定义域和值域: (1) 函数 y=的定义域是 ;值域是 ; (2) 函数 y=的定义域是 ;值域是 ; (3) 函数 y=的定义域是 ;值域是 ; (4) 函数 y=的定义域是 ;值域是 ; (5) 函数 y=2 的定义域是 ;值域是 ; (6) 函数 y=5 的定义域是 ;值域是 . 解 (1) 函数 y=的定义域是 R,值域是 R. (2) 函数 y=的定义域是 R,值域是{y|y≥0}. (3) 函数 y=的定义域是{x|x≠0,x∈R},值域是{y|y≠0,y∈R}. (4) 函数 y=的定义域是{x|x≠0,x∈R},值域是{y|y>0}. (5) 函数 y=2 的定义域是{x|x>-1},值域是{y|y>0}. (6) 函数 y=5 的定义域是,值域是{y|y≥0}. 2.2.12 已知幂函数的图象过点,则此幂函数的单调性是 . α α 解析 设 f(x)=x ,则=8 ,则 α=-,函数 y=在(-∞,0),(0,+∞)上单 调递减. 2.2.13 已知幂函数 f(x)=的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递减 的,则整数 a= . 解析 由幂函数的单调性得 a2+2a-3<0,解得-3<a<1,由 a 是整数得 a 的可能取值是-2,-1,0,只有当 a=-1 时,函数 f(x)=是偶函数,所以,a =-1. 2.2.14 若 0<a<1,则下列不等式中正确的是( ). (A) 2a>2-a>0.2a (B) 0.2a>2-a>2a (C) 2-a>0.2a>2a (D) 2a>0.2a>2-a 解析 函数 f(x)=xa 在(0,+∞)上单调递增,则 2a>0.5a>0.2a,即 2a>2- a >0.2a,所以,答案为 A. 2.2.15 函数 f(x)=x-的图象是( ).

解析 函数 f(x)=x-是奇函数,并由函数 y=x 和函数 y=-都是(0,+∞) 上的增函数得函数 f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增,所以,函数 f(x)=x-的图
50

象是 C. 2.2.16 函数 y=(x+1 的反函数的图象不经过( ). (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 解析 函数 y=(x+1 的反函数是 y=-1,它的图象可由函数 y=的图象向 下平移一个单位得到,而函数 y=的图象过原点,并分布在第一和第三象限, 所以,函数 y=-1 的图象不经过第二象限,答案为 B. 2.2.17 在以下给出的三个函数中:① y=;② y=;③ y=x2,对任意 x1>0 和 x2>0 (x1≠x2)都有 f<成立的函数的个数是( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2 解析 考察函数 y=、y=、y=x 的图象可知,对任意 x1>0 和 x2>0 (x1≠x2),y=和 y=x2 都有 f<成立,而函数 y=使得 f>,所以,答案为 C. 2.2.18 若<,则 a 的取值范围是 . 解析 由函数 y= 在(-∞,+∞)上单调递增得 a+1<3-2a,所以,a 的取 值范围是 a<. 2.2.19 若实数 a 满足 >,则 a 的取值范围是 . 解析 函数 y=的定义域是(0,+∞),在(0,+∞)上单调递减,于是 0<2a -1<a+1,所以,a 的取值范围是<a<2. 2.2.20 幂函数 y=xt 的图象,当 x∈(0,1)时,在直线 y=x 上方,当 x∈ (1,+∞)时,在直线 y=x 下方,求实数 t 的取值范围. 解析 当 0<x<1 时,若 t>1,则 t-1>0,0<xt-1<1,于是 xt<x,此时函数 y =xt 在(0,1)上的图象在直线 y=x 的下方,矛盾.若 t<1,则 t-1<0,xt-1>1, xt>x,此时函数 y=xt 在(0,1)上的图象在直线 y=x 的上方,所 以,t 的取值范围是 t<1. 2.2.21 已知 f(x)=x3+ax2+3x+b 满足 f(0)=-1,并有 f(x +1)=-f(1-x)对任意 x∈R 都成立,试求 a,b 的值,并作出 该函数的图象. 解析 由 f(0)=-1 得 b=-1,由 f(x+1)=-f(1-x)得 (x+1)3+a(x+1)2+3(x+1)-1=-[(1-x)3+a(1-x)2+3(1 -x)-1],于是, x3+3x2+3x+1+ax2+2ax+a+3x+3-1=-(1-3x+3x2 题 2.2.21 -x3+a-2ax+ax2+3-3x-1), 即 6x2+2ax2+2a+6=0 对任意 x∈R 都成立,所以,a=-3,f(x)=(x- 1)3. 2.2.22 作函数 f(x)=的图象. 解析 函数 y=(-x 的图象与函数 y=的图象关于 y 轴对称,所以,
51

题 2.2.22

函数 f(x)=的图象如图所示. 2.2.23 指出函数 y=(|x|-1)-2 的单调性. 解析 函数 y=函数 y=(x-1)-2 的图象由函数 y=x-2 的图象向右平移 1 个 单位得到,所以,函数 y=(|x|-1)-2 在(1,+∞)上单调递减,在(0,1)上单调递 增,而函数 y=(|x|-1)-2 是偶函数,于是,此函数在(-1,0)上单调递减,在 (-∞,-1)上单调递增. 2.2.24 已知函数 f(x)=,g(x)=. (1) 证明:f(x)是奇函数,并求 f(x)的单调区间; (2) 分别计算 f(4)-5f(2)g(2)和 f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数 f(x) 和 g(x)的对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式,并加以证明. 解析 (1) f(-x)==-=-f(x),所以,f(x)是奇函数. 函数 y= 在(0,+∞)上单调递增,函数 y=在(0,+∞)上单调递减,则函数 y=- 在(0,+∞)上单调递增,再由函数 f(x)是奇函数得函数 f(x)在(-∞,0), (0,+∞)上单调递增. (2) f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,猜想有 f(x2)-5f(x)g(x)= 0(x≠0).证明如下: 若 x≠0,则 f(x2)-5f(x)g(x)=-5· · =0. 2.2.25 若 <,求 a 的取值范围. 解析 函数 y=的定义域是{x|x≠0,x∈R},它是奇函数,在(-∞,0), (0,+∞)上单调递减. 于是有 0<3-2a<a+1 或 3-2a<a+1<0 或 所以,a 的取值范围是解得<a<或 a<-1. 2.2.26 称使 f(x)=x 的点 x 为映射 f 的不动点,假设 f(x),g(x)都有不动 点,则下列陈述中正确的是( ). (A) f(g(x))与 f(x)具有相同数目的不动点 (B) f(g(x))与 g(x)具有相同数目的不动点 (C) f(g(x))一定有不动点 (D) f(g(x))可以没有不动点 解析 若 f(x)=x2,它有两个不动点 x=1 和 x=0,函数 g(x)=,它有两个 不动点 x=1 和 x=-1,而函数 f(g(x))=只有一个不动点 x=1,所以,结论 A 和结论 B 都不正确. 若 f(x)=-,它有不动点 x=-1,g(x)=,它有不动点 x=0 和 x=1,而函 数 f(g(x))=-没有不动点,所以,结论 C 不正确而结论 D 正确,答案为 D. 二、指数与指数函数 2.2.27 下列各组函数中,图象关于 y 轴对称的是( ). (A) y=4x 与 y= (B) y=4x 与 y=-4x (C) y=2-2x 与 y=- (D) y=4x 与 y=22x 解析 由指数函数的图象知函数 y=4x 的图象与函数 y=的图象关于 y 轴对 称,答案为 A.
52

2.2.28 已知 f(x)=,g(x)=,则下列关系式中不正确的是( ). (A) [g(x)]2-[f(x)]2=1 (B) f(2x)=2f(x)g(x) (C) g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2 (D) f(-x)g(x)=f(x)g(-x) 解析 [g(x)]2-[f(x)]2=(e2x+e-2x+2-e2x-e-2x+2)=1. f(2x)=(e2x-e-2x),2f(x)g(x)=(ex-e-x)(ex+e-x)=(e2x-e-2x). g(2x)=(e2x+e-2x),[g(x)]2+[f(x)]2=(e2x+e-2x+2+e2x+e-2x-2)=(e2x+e-
2x

).

f(-x)g(x)=(e-x-ex)(ex+e-x)=(e-2x-e2x),f(x)g(-x)=(ex-e-x)(e-x+ex)= (e2x- - e 2x),所以,答案为 D. 2.2.29 函数 y=2-的值域是( ). (A) {y|y≠2,y∈R} (B) {y|y<2} (C) {y|y<1 或 1<y<2} (D) {y|y>2} 解析 由≠0 得 0<<1 或>1,所以,1<y<2 或 y<1,答案为 C. 2.2.30 已知指数函数的图象过点(3,64),则此函数的解析式是 . x 解析 由已知可设所求函数为 f(x)=a ,而 f(3)=64,则 a=4,于是,所求 指数函数为 f(x)=4x. 2.2.31 设 0<a<1,则函数 f(x)=的定义域是 解析 函数自变量 x 应满足解得 所以,函数 f(x)的定义域为{x|x<2,x≠±1}. .

2.2.32 函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,则 a 的值是 . 解析 若 a>1,则函数 f(x)=ax 在[1,2]上单调递增,于是,a2-a=,解得 a=. 若 0<a<1,则函数 f(x)=ax 在[1,2]上单调递减,于是,a-a2=,解得 a =. 所以,a=或 a=. 2.2.33 下列各函数中,不是指数函数的是( ). (A) y= (B) y=2x (C) y= (D) y=2-x 解析 函数 y=即为 y=()x,函数 y=2-x 即为 y=,它们都是指数函数,由 幂函数的概念知函数 y=是幂函数,不是指数函数,答案为 A. 2.2.34 函数 y=3-|x|的单调递减区间是( ). (A) 不存在的 (B) (-∞,0) (C) (0,+∞) (D) (-∞,+∞)
53

解析

函数 y=所以,它的单调递减区间是(0,+∞),答案为 C.

2.2.35 函数 f(x)=2|x|-2-|x|( ). (A) 不存在单调递减区间 (B) 在(-∞,0)上单调递减 (C) 在(0,+∞)上单调递减 (D) 在(-∞,+∞)上单调递减 解析 f(x)=而函数 y=2x-在(-∞,+∞)上单调递增,又函数 f(x)是偶函 数,所以,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,答案为 B. 2.2.36 函数 f(x)= (0<a<1)的图象是( ).

解析

f(x)=所以,此函数的图象是答案 D.

2.2.37 若 0<a<1,x=a,y=aa,z=(aa)a,则下列不等式中成立的是( ). (A) x<y<z (B) z<y<x (C) z<x<y (D) x<z<y 解析 由 0<a<1 得 0<a2<a<1,则 >aa>a,即 z>y>x,所以,答案为 A. 2.2.38 已知函数 f(x)=在(-∞,+∞)上单调递减,则 a 的取值范围是 解析 由已知得 0<a-<1,即则 所以,a 的取值范围是 1<a<或-1<a<. .

2.2.39 设某地在海拔 x(m)处的大气压是 y(Pa),y 与 x 满足 y=cekx,其中 c,k 都是常数.如果某游客从大气压为 1.01× 105(Pa)的海平面地区到了海拔为 2400(m),大气压为 0.90× 105(Pa)的一个高原地区,感觉没有明显的高原反映, 于是便准备攀登当地海拔为 5596(m)的雪山,从身体氧气需求考虑(当人体处于 大气压低于 0.775× 105(Pa)的地区时,有可能发生生命危险),你是否认为该游客 太冒险? 解析 由 x=0 时 y=1.01× 105 得 c=1.01× 105,当 x=2400 时 y=0.90× 105 得 0.90× 105=1.01× 105e2400k,解得 k=ln,则 y=1.01× 105,当海拔高度 x= 5596(m)时,该地区的大气压 y≈0.772×105(Pa)<0.775× 105(Pa),所以,该游客有 冒险之嫌. 2.2.40 已知 f(x)=,g(x)=(a>0 且 a≠1),确定 x 的取值范围,使得 f(x)>g(x). 解析 若 a>1,则 2x2-3x+1>x2+2x-5,即 x2-5x+6>0,解得 x>3 或 x<2; 若 0<a<1,则 2x2-3x+1<x2+2x-5,即 x2-5x+6<0,解得 2<x<3.
54

2.2.41 设函数 f(x)=2|x+1|-|x-1|,求使 f(x)≥2 成立的 x 的取值范围. 解析 由已知得 2|x+1|-|x-1|≥,于是,|x+1|-|x-1|≥. 则或或解得 x>1 或≤x≤1,所以,x 的取值范围是 x≥. 2.2.42 若 x∈R 且 x≠0,求证:<. 解析 ,若 x>0,则 2x>1,于是<0; 若 x<0,则 0<2x<1,于是<0,所以,<. 2.2.43 若 a>0,试确定 a2,aa,,a-1 的大小关系. 解析 . 若 a>1,则函数 f(x)=ax 在(-∞,+∞)上单调递增. - - 如果 a>2,则由-1<<2<a 得 a 1<<a2<aa;如果 a=2,则 a 1<<a2=aa;如 果 1<a<2,则 a-1<<aa<a2. 若 a=1,则 a-1==a2=aa. 若 0<a<1,则函数 f(x)=ax 在(-∞,+∞)上单调递减. - - 如果<a<1,则 a 1>>aa>a2;如果 a=,则 a 1>=aa>a2;如果 0<a<,则 a-1>aa>>a2. 2.2.44 若函数 y=+1 的定义域是-3<x≤2,求此函数的最大值和最小值. 解析 由-3<x≤2 得≤<8,y=,当 x=1 时,y 最小值=,此函数没有最大值. 2.2.45 设 a>0,f(x)=是 R 上的偶函数. (1) 求 a 的值; (2) 证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数. 解析 (1) 由 f(x)=是 R 上的偶函数可得, 即 e2x(a2-1)=a2-1 对任意实数 x 恒成立,则 a2-1=0,又 a>0,则 a= 1,即 f(x)=ex+e-x. (2) 设 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=()-()=(),而 1<<,则<0,1->0,可得 f(x1)-f(x2)<0,所以,f(x)=ex+e-x 在(0,+∞)是单调递增函数. 2.2.46 指出函数 y=的定义域、值域及单调性. 解析 函数 y=的自变量 x 必须满足 9-≥0,则 x2-4x+5≤2,即(x-1)(x- 3)≤0,所以,此函数的定义域是[1,3]. 当 1≤x≤3 时,x2-4x+5=(x-2)2+1,则 1≤x2-4x+5≤2,于是,0≤9- ≤6,0≤y≤,即此函数的值域是[0,]. 在[1,2]上,函数 x2-4x+5 单调递减,于是,函数 y=在[1,2]上单调递 增,在[2,3]上单调递减. 2.2.47 若函数 f(x)对任意 x1,x2∈D 都有 f≤[f(x1)+f(x2)],则称函数 f(x)在 D 上是“下凸函数”.求证:函数 f(x)=4x+4-x 在(-∞,+∞)上是“下凸函 数”. 解析 [f(x1)+f(x2)]-f()-=[-2· -2· ]=[()2+()2]≥0,于是,f≤[f(x1)+ f(x2)],
55

所以,函数 f(x)=4x+4-x 在(-∞,+∞)上是“下凸函数”. 2.2.48 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体: 存在非零常数 T,对任意 x∈R,有 f(x+T)=Tf(x)成立. 设函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象与 y=x 的图象有公共点,证明:f(x)=ax ∈M. 解析 由函数 f(x)=ax 的图象与直线 y=x 有公共点可知关于 x 的方程 ax=x 存在解 T,并且一定有 T≠0,即 aT=T,于是,f(x+T)=ax+T=Tax=Tf(x),所 以,此时 f(x)=ax∈M. 2.2.49 为了得到函数 y=21-2x 的图象,应将函数 y=4-x 的图象 ( ). (A) 向左平移 1 个单位 (B) 向右平移 1 个单位 (C) 向左平移个单位 (D) 向右平移个单位 -x 1-2x 解析 y=2 即为 y=2· 4 ,亦即 y=,所以,应将函数 y=4-x 的图象向 右平移个单位,答案为 D. 2.2.50 若 0<a<1,b<-1,则函数 f(x)=ax+b 的图象不经过( ). (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 x 解析 由于 b<-1,则函数 f(x)=a +b 的图象可由函数 g(x)=ax 的图象向 下平移|b|个单位得到,函数 f(x)的图象与 y 轴的交点(0,b+1)在 x 轴的下方,而 函数 g(x)=ax 在(-∞,+∞)上单调递减,所以,函数 f(x)=ax+b 的图象不经过 第一象限,答案为 A. 2.2.51 当 0<a<b<1 时,下列不等式中正确的是( ). (A) (1-a>(1-a)b (B) (1+a)a>(1+b)b (C) (1-a)b> (D) (1-a)a>(1-b)b 解析 由 0<a<1 得 0<1-a<1,则函数 f(x)=(1-a)x 在(-∞,+∞)上单调递 减,由 0<b<1 得>b,所以,<(1-a)b. 由 a>0 得函数 f(x)=(1+a)x 在(-∞,+∞)上单调递增,于是(1+a)a<(1+ a)b,由 b>0 得函数 g(x)=xb 在(0,+∞)上单调递增,则(1+a)b<(1+b)b,所以, (1+a)a<(1+b)b. 由函数 f(x)=(1-a)x 在(-∞,+∞)上单调递减及 b>得(1-a)b<. 由函数 f(x)=(1-b)x 在(-∞,+∞)上单调递减及 a<b 得(1-b)a>(1-b)b,再 由函数 g(x)=xa 在(0,+∞)上单调递增及 1-a>1-b>0 得(1-a)a>(1-b)a,所 以,(1-a)a>(1-b)b,答案为 D. 2.2.52 若函数 f(x),g(x)分别为 R 上的奇函数,偶函数,且满足 f(x)-g(x) =e ,则有( ). (A) f(2)<f(3)<g(0) (B) g(0)<f(3)<f(2) (C) f(2)<g(0)<f(3) (D) g(0)<f(2)<f(3) 解析 由已知可得 f(-x)-g(-x)=e-x,并由奇函数 f(x)和偶函数 g(x)得到 -f(x)-g(x)=e-x,则 g(x)=-(ex+e-x),g(0)=-1,f(x)=(ex-e-x)在(-∞,+ ∞)上单调递增,于是,f(3)>f(2)>f(0)=0,所以,g(0)<f(2)<f(3),答案为 D.
x

56

2.2.53 对实数 a,b 定义运算“?”为 a?b=ab.则下列命题中正确命题 的个数是( ). ① a?b=b?a; ② (a?b)?c=a?(b?c); ③ a?(b+c)=(a?b)+(a?c), (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解析 若 a=2,b=1,则 a?b=2,b?a=1,此时,a?b≠b?a; 若 a=2,b=1,c=2,则(a?b)?c=4,a?(b?c)=2,此时, (a?b)?c≠a?(b?c); 若 a=1,b=2,c=2,则 a?(b+c)=1,(a?b)+(a?c)=2,此时,a?(b +c)≠(a?b)+(a?c); 所以,答案为 A. 2.2.54 函数 f(x)=的大致图象是 .

解析 函数 f(x)=的定义域是{x|x≠0,x∈R}.f(-x)==-f(x),所以,该 函数是奇函数.f(x)==1+,当 x>0 时,e2x>1,且在(0,+∞)上单调递减,所 以,该函数的大致图象是 A. 2.2.55 已知 3a=0.618,若 a∈,k∈Z,则 k= . 解析 <0.618<1,则<3a<1,所以,-<a<0,k=0. 2.2.56 指数函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=d x 的图象 如图所示,则 a,b,c,d 及 1 这 5 个数的大小关系 是 . 解析 考察函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=d x 的图象 与直线 x=1 的交点可得 c>d>1>a>b. 2.2.57 函数 y=的值域是 . 解析 由已知得 y=,则 102x=>0,解得-1<y<1,所 以,该函数的值域是{y|-1<y<1}.

题 2.2.56

2.2.58 函数 y=的反函数的定义域是 . 解析 由已知得 ex=>0,解得-1<y<1,由反函数的定义域等于原函数的 值域得反函数的定义域是(-1,1). 2.2.59 已知 0<a<1,则 a,aa,从大到小的排列顺序是
57



解析 由 0<a<1 得函数 f(x)=ax 在(-∞,+∞)上单调递减,于是, a0>aa>a,即 a<aa<1,所以 aa>>a. 2.2.60 设 M={x|x=2m-2n,m>n,m,n∈N*},P={x|1900<x<2009,x∈ N*},则 M∩P 中所有元素之和为 . 解析 设 x=2m-2n=2n(2m-n-1)∈M∩P,则 1900<2n(2m-n-1)<2009,于 是,2n≤2n(2m-n-1)<2009,则 n 可能的值是 1,2,3, ,10,则 1900<1900+ 2n<2m<2009+2n≤2009+210=3033,所以,只能 m=11,则 1900+2n<211<2009 +2n,只能 n=6 或 n=7,即集合 M∩P={211-26,211-27},其中的元素的和 为 3904. 2.2.61 作出下列函数的大致图象: (1) y=2|x-2|; (2) y=|2x-2|. 解析 (1) 函数 y=2|x-2|的图象可由函数 y=2|x|的图象向右平移 2 个单位得 到,其图象如图 2.2.61(1)所示. (2) 函数 y=|2x-2|的图象可由函数 y=2x 的图象向下平移 2 个单位,再作所 得曲线在 x 轴下方部分关于 x 轴的对称曲线,从而得到函数 y=|2x-2|的图象如 图 2.2.61(2)所示.

题 2.2.61(1)

题 2.2.61(2)

2.2.62 正数 m 满足>(mm)2,求 m 的取值范围. 解析 原不等式即为 >m2m,于是,或解得 0<m<1 或 m>2. 2.2.63 求函数 f(x)=3x+1+9x-12 的反函数 f-1(x)的定义域. 解析 函数 f(x)=3x+1+9x-12=9x+3× 3x-12=-12-,而 3x>0,所以 f(x)>-12,即函数 f(x)的值域是(-12,+∞),所以,f-1(x)的定义域是(-12,+ ∞). 2.2.64 已知函数 f(x)=32x-(k+1)· 3x+2 对任意的 x∈R 都有 f(x)>0 成立, 求 k 的取值范围. 解析 对任意 x∈R 都有 3x>0,则对任意 x∈R 使得 f(x)>0 总成立, 应有(k+1)≤0 或解得 k≤-1 或-1<k<2-1,所以,k 的取值范围是 k<2- 1. 2.2.65 求函数 f(x)=4x+4-x-2a(2x+2-x)的最小值,并指出使 f(x)取得最
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小值时 x 的值. 解析 函数 f(x)=(2x+2-x)2-2a(2x+2-x)-2=(2x+2-x-a)2-a2-2,而 2x +2-x≥2,于是,若 a≥2,则当 2x+2-x=a 时,函数取得最小值-a2-2,此时有 22x-a× 2x+1=0,解得 x=log2(a± )-1. -x x 若 a<2,则当 2 +2 =2,即 22x-2× 2x+1=0,2x=1,x=0 时,函数取得 最小值 2-4a. 2.2.66 正实数 x1,x2 及函数 f(x)满足 4x=,且 f(x1)+f(x2)=1,求 f(x1+x2) 的最小值. 解析 由已知可解得 f(x)=,则=1,+3≥2+3,即(-3)(+1)≥0,于是, ≥9. 又 f(x1+x2)==1-≥,所以,f(x1+x2)的最小值是. 2.2.67 设 a、b∈R+,比较 aabb 与 abba 的大小. 解析 =aa-bbb-a=. 若 a>b>0,则>1,a-b>0,于是>1;若 a=b>0,则 =1;若 b>a>0,则 0<<1,a-b<0,于是>1. 所以,aabb≥abba,其中等号当且仅当 a=b 时成立. 2.2.68 已知 2x+3y+5z=7,2x-1+3y+5z+1=11,求 2x+1+3y+5z-1 的取值 范围. 解析 由已知得解得则 1<5z<,于是 2x+1+3y+5z-1=16× 5z-16+15-9× 5z +× 5z=× 5z-1,所以,<2x+1+3y+5z-1<11. 2.2.69 已知 f(x)=,其中 a>0,a≠1. (1) 求证:函数 f(x)的图象关于点中心对称; (2) 求 f+f+f+ +f 的值. 解析 (1) 设(x,y)是函数 f(x)=图象上的任意一点,则 y=,它关于点的对 称点是(1-x,1-y),则 f(1-x)== =1-,即点(1-x,1-y)在函数 f(x)=的 图象上,所以,该函数的图象关于点中心对称. (2) 点与点 (n=1,2,3,4)都关于点中心对称,于是,f+f+f+?+f=4× 1 +. 2.2.70 设函数 f(x)=,其中实常数 a≥-1.试研究该函数的基本性质并给 出相应的结论. 解析 函数 f(x)=的定义域是 R. 若 a=-1,则此函数的值域是{-1};若 a>-1,则 2x=>0,解得- 1<f(x)<a,即此函数的值域是(-1,a). 若 a=-1,则 f(x)=-1,此时该函数为偶函数;若 a=1,即 f(x)=, 则 f(-x)==-f(x),所以,若 a=1,该函数是奇函数; 若 a>-1 且 a≠1,则 f(1)=,f(-1)=,此时,f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1), 函数 f(x)是非奇非偶函数. 设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=,如果 a>-1,则 f(x1)-f(x2)>0,所以,当 a=-
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1 时,函数 f(x)是常数函数;当 a>-1 时,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递减. 2.2.71 已知函数 f1(x)=,f2(x)=2· (x∈R,p1,p2 为常数). 函数 f(x)定义为:对每个给定的实数 x,f(x)= (1) 求 f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充分必要条件(用 p1,p2 表示); (2) 设 a,b 是两个实数,满足 a<b,且 p1,p2∈(a,b),若 f(a)=f(b),求 证:函数 f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为(闭区间[m,n]的长度定 义为 n-m). 解析 (1) 由 f(x)=f1(x)得≤2·对任意 x∈R 恒成立,则|x-p1|-|x- p2|≤log32. 若 p1≤p2,则|x-p1|-|x-p2|=应有最大值 p2-p1≤log32. 若 p1>p2,则|x-p1|-|x-p2|=应有最大值 p1-p2≤log32. 所以,f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充分必要条件是|p2-p1|≤log32. (2) 若|p2-p1|≤log32,则 f1(x)≤f2(x)对任意 x∈R 恒成立,则 f(x)=f1(x)=此 时,函数 f(x)在[p1,b]上单调递增. 而由 f(a)=f(b)得,于是,p1-a=b-p1,p1=,则单调递增区间长度为 b- p1=. 若|p2-p1|>log32,设 p1≤p2,于是,p2-p1>log32. 当 a≤x≤p1 时,f1(x)=≤<2·=f2(x),则 f(x)=f1(x). 当 p2≤x≤b 时,f1(x)=· >2· =f2(x),则 f(x)=f2(x). 当 p1<x<p2 时,设 f1(x)<f2(x),即<2· ,解得 x<(p1+p2+log32),此时,(p1+ p2+log32)-p1=(p2-p1+log32)>0,(p1+p2+log32)-p2=(p1-p2+log32)<0,即 p1<(p1+p2+log32)<p2,则 f(x)= 所以,函数 f(x)的单调递增区间是,[p2,b]. 又由 f(a)=f(b)得=2· ,于是,p1+p2=a+b+log32,单调递增区间的长度 和为 b-p2+(p1+p2+log32)-p1=. 若|p2-p1|>log32,设 p1>p2,于是,p1-p2>log32. 当 a≤x≤p2 时,f1(x)=· >2· =f2(x),则 f(x)=f2(x). 当 p1≤x≤b 时,f1(x)=<<2· =f2(x),则 f(x)=f1(x). 当 p2<x<p1 时,设 f2(x)<f1(x),即 2· <,解得 x<(p1+p2-log32),此时,(p1+ p2-log32)-p1=(p2-p1-log32)<0,(p1+p2-log32)-p2=(p1-p2-log32)>0,即 p2<(p1+p2-log32)<p1,则 f(x)= 所以,函数 f(x)的单调递增区间是,[p1,b]. 又由 f(a)=f(b)得 2· ,于是,p1+p2=a+b-log32,单调递增区间的长度和 为 b-p1+(p1+p2-log32)-p2=. 综上所述,函数 f(x)在区间[a,b]上的单调递增区间的长度之和为. 三、对数与对数函数 2.2.72 若 log2(log3(log4x))=log3(log4(log2y))=log4(log2(log3z))=0,则 x+y +z=( ). (A) 50 (B) 58 (C) 89 (D) 111 3 解析 由已知得 log3(log4x)=1,即 log4x=3,所以 x=4 =64,同理,y=
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24=16,z=32=9,所以,x+y+z=89,答案为 C. 2.2.73 已知 x=,则 x 的值属于区间( ). (A) (-2,-1) (B) (1,2) (C) (-3,-2) (D) (2,3) 解析 x==log32+log35=log310,而 32<10<33,所以,x∈(2,3),答案为 D. 2.2.74 若 a=,b=,c=,则( ). (A) a<b<c (B) c<b<a (C) c<a<b (D) b<a<c 解析 由 52<25 得 2ln5<5ln2,于是,<,由 23<32 得 3ln2<2ln3,于是,<, 所以,c<a<b,答案为 C. 2.2.75 若 0<a<1,则函数 f(x)=loga(5+x)的图象不经过( ). (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 解析 函数 f(x)=loga(5+x)在(-5,+∞)上单调递减,且其图象过点(-4, 0),所以,该函数的图象不经过第一象限,答案为 A. 2.2.76 已知 1<x<d,令 a=(logdx)2,b=logd(x2),c=logd(logdx),则( ). (A) a<b<c (B) a<c<b (C) c<b<a (D) c<a<b 解析 由 1<x<d 得 0<logdx<1,则 logd(logdx)<0,a-b=(logdx)2-2logdx= (logdx-2)logdx<0. 所以,logd(x2)>(logdx)2>0>logd(logdx),即 b>a>c,答案为 D. 2.2.77 计算:(1) log2= ; (2) log8(log2)= ; (3) 3log3-log3log34+log3= ; (4) -lg5= . 解析 (1) 原式=log2. (2) 原式=log8=-log82=-log8=-. (3) 原式=log3-log3+log3+log37 =log327-log38-log37+log34+log32+log37=3. (4) 由 0<lg2<1,得原式=-lg5=1-lg2-lg5=0. 2.2.78 (log25+log40.2)(log52+log250.5)= 解析 原式= =. .

2.2.79 若正整数 m 满足 10m-1<2512<10m,则 m= .(已知 lg2≈0.3010) 解析 由已知得 m-1<512lg2<m,则 154.112<m<155.112,又 m 是正整 数,所以,m=155.
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2.2.80 函数 y=log(2x-1)的定义域是 . 解析 函数的自变量 x 应满足所以,函数的定义域是. 2.2.81 如果 a>0,a≠1,则“logaM 2=logaN 2”是“M=N”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (B) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 2 2 解析 loga(-1) =loga1 ,于是,“logaM 2=logaN 2”不是“M=N”的充 分条件;M=N=0 时,“logaM 2=logaN 2”不成立,所以,“logaM 2=logaN 2 ”是“M=N”的既不充分也不必要条件,答案为 D. 2.2.82 函数 y=21-x+3(x∈R)的反函数是( ). (A) y=log2 (B) y=log2 (C) y=log2 (D) y=log2 1-x 解析 由 y=2 +3 得 1-x=log2(y-3),所以,反函数为 y=1-log2(x- 3),即为 y=log2,答案为 A. 2.2.83 已知 f(x)=ax,g(x)=-logbx,且 lga+lgb=0,a≠1,b≠1,则 y= f(x)与 y=g(x)的图象( ). (A) 关于直线 x+y=0 对称 (B) 关于直线 x-y=0 对称 (C) 关于 y 轴轴对称 (D) 关于原点中心对称 解析 由 lga+lgb=0 得 lgab=0,则 ab=1,即 b=,于是,g(x)=-x= logax,所以,函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y=x 对称,答案为 B. 2.2.84 已知函数 f(x)=2x+3,f-1(x)是 f(x)的反函数,若 mn=16 (m,n∈R + ),则 f-1(m)+f-1(n)的值为( ). (A) -2 (B) 1 (C) 4 (D) 10 -1 -1 -1 解析 由已知可得 f (x)=-3+log2x,则 f (m)+f (n)=-6+log2m+ log2n=-6+log2mn=-2,所以,答案为 A. 2.2.85 由关系式 logxy=3 所确定的函数 y=f(x)的图象是( ).

解析 2.2.86

由已知得 y=x3 其中,y>0,x>0 且 x≠1,所以,答案为 B. 函数 y=的图象是( ).

62

解析

函数 y=即为 y=亦即为 y=所以,答案为 A.

2.2.87 “a=-”是“函数 f(x)=ln(ex+1)+ax 为偶函数”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 x 解析 函数 f(x)=ln(e +1)+ax 的定义域是 R,由它是偶函数得 ln(e-x+1) -ax=ln(ex+1)+ax 对任意 x∈R 恒成立,于是,ln(ex+1)-lnex=ln(ex+1)+ 2ax. 所以,“a=-”是“函数 f(x)=ln(ex+1)+ax 为偶函数”的充要条件,答 案为 C. 2.2.88 下列函数中,定义域和值域都是 R 的函数是( ). (A) y=log2|x| (B) y=log23x (C) y= (D) y=(log23)x 解析 函数 y=log2|x|的定义域是{x|x≠0,x∈R},值域是 R; 函数 y=log23x 即为 y=xlog23,其定义域和值域都是 R; 函数 y=的定义域是{x|x>0},值域是{y|y>0}; 函数 y=(log23)x 的定义域是 R,值域是{y|y>0}. 所以,答案为 B. 2.2.89 若定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f=0,则不 等式 f>0 的解是( ). (A) (B) (2,+∞) (C) ∪ (D) ∪(2,+∞) 解析 由 f(x)是偶函数得 f=f=0,再由 f(x)在[0,+∞) 上是增函数及 f>0 得 x>或 x<-,所以,0<x<或 x>2,答案为 C. 2.2.90 已知 f(x)=ax,g(x)=bx,当 f(x1)=g(x2)=3 时,x1>x2,则 a 与 b 的 大小关系不可能成立的是( ). (A) b>a>1 (B) a>1>b>0 (C) 0<a<b<1 (D) b>1>a>0 解析 由已知得 x1=loga3,x2=logb3,>,而 lg3>0,于是,>0. 或则 lgb>lga>0 或 0>lgb>lga 或 lga>0>lgb,即 b>a>1 或 1>b>a>0 或 a>1>b>0,不可能有 b>1>a>0,答案为 D. 2.2.91 若 lg(x+y)=lgx+lgy,则 x+y 的取值范围是( ). (A) (0,1] (B) [2,+∞) (C) (0,4] (D) [4,+∞) 解析 由 lg(x+y)=lgx+lgy 得 x+y=xy≤,所以,x+y≥4,即 x+y 的取值 范围是[4,+∞),答案为 D. 2.2.92 (A) (C) 不等式 4x-6x-9x>0 的解集是( ). (B) (D)
63

解析

由已知可得-1>0,则>,所以,x<lo,答案为 D.

2.2.93 已知 f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值范围是( ). (A) (0,1) (B) (C) (D) 解析 由已知可得常数 a 必须有解得≤a<,所以,答案为 C. 2.2.94 已知正方形 ABCD 的面积为 36,BC 平行于 x 轴,顶点 A、B 和 C 分别在函数 y=3logax、y=2logax 和 y=logax(其中 a>1)的图象上,则实数 a 的 值为( ). (A) (B) (C) (D) 解析 由已知可设点 A(xA,yA),B(xA,yB),C(xC,yB),则 3logaxA-2logaxA =6,logaxC=2logaxA,而 xC-xA=6,于是,xA=a6,xC=,a12-a6=6,(a6- 3)(a6+2)=0,解得 a=,所以,答案为 C. 2.2.95 函数 y=log4(1-2x+x2)的图象是( ).

解析 函数 y=log4(1-2x+x2)即为 y=log4(x-1)2,亦即为 y=log2|x-1|, 它的定义域是{x|x≠1,x∈R},它在(1,+∞)上单调递增,其图象关于直线 x=1 对称,所以,答案为 B. 2.2.96 若不等式(x-1)2<logax 当 1<x<2 时恒成立,则常数 a 的取值范围是 ( ). (A) (0,1) (B) (1,2) (C) (1,2] (D) [1,2] 解析 考察函数 f(x)=(x-1)2 和 g(x)=logax 的图象可知必须有 a>1,并有(2 -1)2≤loga2,所以,a 的取值范围是 1<a≤2,所以,答案为 C. 2.2.97 给出函数 f(x)=则 f(log23)的值是 . 解析 由 2<3<4 得 1<log23<2,4<3+log23<5,于是,f(log23)=f(1+log23) =f(2+log23)=f(3+log23)=. 2.2.98 函数 y=的定义域为 . 解析 函数自变量 x 应满足于是,0<-8≤1,所以,函数的定义域为 {x|9≤x<-3}. 2.2.99 若函数 y=loga(1-x)在[0,1)上是增函数,则 a 的取值范围是 . 解析 设 g(x)=1-x,0<x1<x2<1,则 g(x1)>g(x2)>0,要使 logag(x1)<logag(x2) 成立,则 0<a<1.
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2.2.100 设 f(x)=log3(x+6)的反函数为 f-1(x),若(f-1(m)+6)· (f-1(n)+6)= 27,则 f(m+n)= . 解析 由已知可得 f-1(x)=3x-6,于是,(3m-6+6)(3n-6+6)=27,解得 m+n=3,所以,f(m+n)=log3(3+6)=2. 2.2.101 若函数 f(x)=loga(x+1)的定义域和值域都是[0,1],则 a 的值 是 . 解析 若 a>1,则函数 f(x)=loga(x+1)在(-1,+∞)上单调递增,而 f(0)= 0,则应有 f(1)=1,于是,loga2=1,解得 a=2.若 0<a<1,则函数 f(x)=loga(x +1)在(-1,∞)上单调递减,则应有 f(0)=1 且 f(1)=0,矛盾.所以,a 的值是 2. 2.2.102 若 loga2>log2a,则 a 的取值范围是 . 解析 由已知可得>,则>0,于是,lga<-lg2 或 0<lga<lg2,所以,a 的取 值范围是 0<a<或 1<a<2. 2.2.103 计算:. 解析 原式= =. 2.2.104 已知 a>2,求证:loga(a-1)· loga(a+1)<1. 解析 由已知可得 loga(a+1)>loga(a-1)>0,则 2≤loga(a-1)+loga(a+1)= loga(a2-1)<logaa2=2,所以,loga(a-1)· loga(a+1)<1. 2.2.105 已知 1≤x≤10,且 xy2=100,求(lgx)2+(lgy)2 的最大值和最小值, 并指出取最大值和最小值时相应的 x 和 y 的值. 解析 由 xy2=100 得 y=,于是,(lgx)2+(lgy)2=(lgx)2+(1-lg)2=(lgx)2+ (lgx)2-lgx+1=,而 0≤lgx≤1,所以,当 lgx=,即 x=,y=时,(lgx)2+(lgy)2 取得最小值,当 lgx=1,即 x=10,y=时,(lgx)2+(lgy)2 取得最大值. 2.2.106 已知 2x+7x+3≤0,求函数 y=log2log2 的最大值和最小值. 解析 由已知得(lox+3)(2lox+1)≤0,于是,-3≤lox≤-,则≤log2x≤3,y= log2log2=(log2x-1)(log2x-2)=,所以,当 log2x=,x=2 时,y 最小值=-,当 log2x=3,x=8 时,y 最大值=2. 2.2.107 已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]的定义域是 R,求实数 a 的取值范围. 解析 由已知得关于 x 的不等式(a2-1)x2+(a+1)x+1>0 对任意的 x∈R 恒 成立. 若 a2=1,则 a=-1 满足要求而 a=1 不满足. 若 a2≠1,则有解得 a>或 a<-1. 所以,a 的取值范围是 a>或 a≤-1. 2.2.108 若 x>0,y>0,且 2x+5y=20,求 lgx+lgy 的最大值. 解析 由已知可得 20=2x+5y≥2,则 xy≤10,于是,lgx+lgy=lgxy≤1,所
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以,lgx+lgy 的最大值是 1. 2.2.109 解不等式 logx(5x2-8x+3)>2. 解析 或所以,x>或<x<. 2.2.110 解不等式:|x-log0.5x|<x+|log0.5x|. 解析 由已知可得 x>0,则 x2-2xlog0.5x+(log0.5x)2<x2+2x|log0.5x|+ (log0.5x)2,2x(log0.5x+|log0.5x|)>0,所以,原不等式的解是 0<x<1. 2.2.111 对于函数 f (x ) =lg,若 f = 1, f =2 ,其中- 1< y <1 ,-1<z<1, 求 f(y)和 f(z). 解析 由已知可得 lg=1 及 lg=2,则=10,=100. 于是,=10,=100,lg+lg=1,lg+lg=2,即有所以, 2.2.112 解关于 x 的不等式:2x(22x-1)<λ(2x-2-x). 解析 不等式 2x(22x-1)<λ(2x-2-x)即为 2x(22x-1)<(22x-1) ,而 2x>0 对任 意的 x∈R 恒成立,于是有(22x-1)(22x-λ)<0. 若 λ>1,则 1<22x<λ,0<x<log2λ; 若 λ=1,则(22x-1)2<0,不等式的解集是?; 若 λ<1,则 λ<22x<1,如果 0<λ<1,则 log2λ<x<0;如果 λ≤0,则 x<0. 2.2.113 已知函数 f(x)=loga(a-kax)(其中 a>0,a≠1). (1) 若 0<a<1,且函数 f(x)的定义域是集合{x|x≥1}的子集,求 k 取值范围; (2) 若 a>1,且函数 f(x)存在与原函数相同的反函数,求 k 的值. 解析 (1) 函数 f(x)的自变量 x 应满足 a-kax>0.如果 k≤0,则函数的定义 域是 R,不满足要求.如果 k>0,则 a1-x>k,1-x<logak,即此函数的定义域是 x>1-logak,由已知得 1-logak≥1,所以,k 的取值范围是 k≥1. (2) 令 y=loga(a-kax)得 ay=a-kax,则 x=loga,于是,f-1(x)=loga,loga =loga(a-kax),即 a-ax=ka-k2ax 在函数 f(x)和 f -1(x)定义域的交集上恒成立, 所以,k=1. 2.2.114 的值等于( ). (A) 3 (B) 解析 原式=,答案为 B. 2.2.115 的值是( ). (A) 正有理数 (B) 负有理数 数 解析 原式=,所以,答案为 A.

(C)

(D)

(C) 无理数

(D) 正整

2.2.116 函数 y=-5-x 的图象与 y=log5x 的图象关于 ( ). (A) x 轴对称 (B) y 轴对称
66

(C) 直线 y=x 对称 (D) 直线 y=-x 对称 解析 函数 y=-5-x 的图象与函数 y=的图象关于 x 轴对称,它的图象与 函数 y=log5x 的图象如图所示,两条曲线关于直线 y=-x 对称,答案为 D.
题 2.2.116

2.2.117 若函数 y=f(x-1)的图象与函数 y=ln+1 的图 象关于直线 y=x 对称,则 f(x)=( ). (A) e2x-1 (B) e2x (C) e2x+1 (D) e2x+2 解析 函数 y=ln+1 的反函数是 y=e2(x-1),则 f(x-1)=e2(x-1),于是,f(x) =e2x,答案为 B. 2.2.118 函数 y=log2(+2)(x>0)的反函数是( ). + + (A) y=4x-2x 1(x>2) (B) y=4x-2x 1(x>1) (C) y=4x-2x+2(x>2) (D) y=4x-2x+2(x>1) 解析 由已知可得=2y-2,y>2,所以,该函数的反函数是 y=4x-2x+ 2 (x>2),答案为 C. 2.2.119 与方程 y=e2x-2ex+1 (x≥0)的曲线关于直线 y=x 对称的曲线的方 程为( ). (A) y=ln(1+) (B) y=ln(1-) (C) y=-ln(1+) (D) y=-ln(1-) 解析 由已知可得 y=(ex-1)2,y≥0,则 ex=1+,所以,该函数的反函数是 y =ln(1+),答案为 A. 2.2.120 是( ). 函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致

解析 分别将函数 y=log2x 和函数 y=2-x 的图象向上和向右平移一个单位 即得函数 f(x)=1+log2x 和 g(x)=2-x+1 的图象,所以,答案为 C. 2.2.121 图象经平移或翻转后仍不能与 y=log0.5x 的图象重合的是( ). (A) y=log0.5 (B) y=log0.5x2 -x (C) y=2 (D) y=log0.5 解析 函数 y=log0.5 即为 y=-log0.5x,它的图象与 y=log0.5x 的图象关 于 x 轴对称;函数 y=log0.5x2 的定义域是{x|x≠0,x∈R},而函数 y=log0.5x 的 定义域是{x|x>0},它们的图象不可能重合;函数 y=2-x 与函数 y=log0.5x 互为 反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称;函数 y=log0.5 即为 y=log0.5x+1, 其图象可由函数 y=log0.5x 的图象向上平移一个单位得到.所以,答案为 B.
67

2.2.122 对于函数 y=lg 的图象给出三个命题: (1) 存在直线 l1,函数 y=lg 的图象与函数 y=100· 10x 的图象关于直线 l1 对 称; (2) 存在直线 l2,函数 y=lg 的图象与函数 y=log0.1 的图象关于直线 l2 对 称; (3) 存在直线 l3,函数 y=lg 的图象与函数 y=log0.1x 的图象关于直线 l3 对 称, 上述命题中正确命题的个数是( ). (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 x 解析 函数 y=lg 与函数 y=100· 10 互为反函数,它们的图象关于直线 y= x 对称;函数 y=lg 即为 y=lgx-2,而函数 y=log0.1 即为 y=-lgx+2,它们的 图象关于 x 轴对称;函数 y=log0.1x=-lgx 的图象与函数 y=lgx-2 的图象关于 直线 y=-1 对称,上述三个命题都正确,答案为 A. 2.2.123 若不等式 loga(x2-2x+3)≤-1 对一切实数 x 都成立,则 a 的取值 范围是( ). (A) a≥2 (B) 1<a≤2 (C) ≤a<1 (D) 0<a≤ 2 解析 若 a>1,则 0<x -2x+3≤,此不等式对一切实数 x 都成立是不可能 的;若 0<a<1,则 x2-2x+3=(x-1)2+2≥对一切实数 x 都成立,于是,2≥,所 以,≤a<1,答案为 C. 2.2.124 定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x) 和一个偶函数 h(x)之和,如果 f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么( ). (A) g(x)=x,h(x)=lg(10x+10-x+2) (B) g(x)=[lg(10x+1)+x],h(x)=[lg(10x+1)-x] (C) g(x)=,h(x)=lg(10x+1)- (D) g(x)=-,h(x)=lg(10x+1)+ 解析 由已知得 g(x)+h(x)=lg(10x+1),g(-x)+h(-x)=lg(10-x+1),则 -g(x)+h(x)=lg,则 2h(x)=lg(10x+1)+lg(10x+1)-lg10x,所以,h(x)=lg(10x +1)-,g(x)=,答案为 C. 2.2.125 函数 f(x)=的反函数( ). (A) 是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数 (B) 是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数 (C) 是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数 (D) 是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数 解析 由已知得 e2x-2yex-1=0,解得 ex=y± ,而 ex>0,于是,ex=y+, 所以,反函数是 f -1(x)=ln(x+). f -1(-x)=ln[-x+]=ln=-f -1(x),即 f -1(x)是奇函数. 又当 0<x1<x2 时,x1+<x2+,f -1(x1)<f -1(x2),即 f -1(x)在(0,+∞)上是增函 数,所以,答案为 C. 2.2.126 若奇函数 f(x)满足 f=f 对任意实数 x 都成立,当 x∈(0,1)时,f(x) =3 -1,则 f 的值等于( ).
x

68

(A) - (B) - (C) - (D) 解析 由已知得 f(x+3)=f=f=f(x),即 f(x+3)=f(x),于是,f=f(-log336) =f(-2-log34)=f(1-log34). 由于 3<4<9,则 1<log34<2,-1<1-log34<0,即 0<log34-1<1, 则 f(36)=f(1-log34)=-f(log34-1)=-(-1)=-,所以,答案为 A. 2.2.127 若函数 f(x)的图象可由函数 y=lg(x+1)的图象绕坐标原点 O 逆时 针旋转得到,则 f(x)=( ). (A) 10-x-1 (B) 10x-1 (C) 1-10-x (D) 1-10x 解析 设 P(x,y)是函数 f(x)图象上的任意一点,则它是由函数 y=lg(x+1) 图象上的点(x',y')绕原点 O 逆时针旋转得到的,于是,则-x=lg(y+1),所 以,y=10-x-1,答案为 A. 2.2.128 已知定义域为 R 的偶函数 y=f (x)对 任意 x∈R 满足 f (1+x)=f (1-x),且当-1≤x≤1 时,f (x)=x2,则函数 y= f (x)与函数 y=log5x 的图 象的交点个数为( ). (A) 2 (B) 3 题 2.2.128 (C) 4 (D) 5 解析 由 f (1+x)=f (1-x)得 f [1+(1+x)]=f [1-(1+x)],又 f(-x)=f(x), 所以,f(x+2)=f(x),函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数,由当-1≤x≤1 时,f (x) =x2 得函数 f (x)的值域是[0,1],而当 x>5 时,log5x>1,当 0<x<1 时, log5x<0,于是考察函数 y=f (x)和 y=log5x 当 0≤x≤5 时的图象可知它们的交点的 个数是 4,答案为 C. 2.2.129 下列四个函数中,图象如图所示的只能是( ). (A) y=x+lgx (B) y=x-lgx (C) y=-x+lgx (D) y=-x-lgx 解析 取 x=,则 A 中 y=+lg=-4+<0,C 中 y=-4-<0 故排除 A、 C.取 x=1,则 D 中 y=-1,排除 D.所以,答案为 B.

题 2.2.129 题 2.2.130 2.2.130 已知函数 f(x)=lgx,对任意两个不相等的正数 x1,x2 给出以下三 个结论:① f(x1x2)=f(x1)+f(x2);② >0; ③ f>[f(x1)+f(x2)]. 其中正确结论的个数是( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解析 由对数的运算性质可知①正确;考察函数 f(x)=lgx 的图象可知,其 图象上任意两点的连线的斜率都是正数;并通过考察以 f(x1)和 f(x2)为上,下底 边长的直角梯形的中位线长与函数值 f 之间的关系可知③也是正确的,所以,
69

答案为 D. 2.2.131 已知 log189=a,18b=5,则用 a,b 表示 log3645= . 解析 由已知得 18a=9,再由 18b=5 得 18a+b=45,于是,log3645= log3618a+b=(a+b)log3618=. 2.2.132 已知:1<a<b<a2,试将 logab,logba,loga,logb 从大到小排 列: . 解析 由 0<<1 得 lg<0,又 0<lga<lgb,则 0<<,于是,0>>,即 0>logb>loga.由 1<a<b<a2 得 logaa<logab,即 1<logab,又 0<logba<logbb<logba2,于是,<logba<1,所以,logab>logba>>logb>loga. 2.2.133 设函数 f(x)=2x(x≤0)的反函数为 y=f 1(x),则函数 y=f 1(2x-1) 的定义域是 . 解析 由 y=2x 得 x=log2y,并由原函数的定义域是 x≤0 得原函数的值域是 0<y≤1,于是,反函数是 f -1(x)=log2x(0<x≤1),函数 y=f -1(2x-1)中自变量 x - 应满足 0<2x-1≤1,所以,函数 y=f 1(2x-1)的定义域是.
- -

2.2.134 函数 f(x)=lg(1+x)+lg(1-x)的反函数是 . 解析 由函数 y=lg(1-x2),则 x2=1-10y,x=-,由-<x<0 得<1- x2<1,于是,lg<y<0,所以,反函数是 y=-. 2.2.135 区间[a,b](a<b)的长度为 b-a,已知函数 f(x)=|log0.5x|的定义域 为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]长度的最大值为 . 解析 由 f(1)=0 得必须 a≤1 且 b≥1,令|log0.5x|=2,解得 x=4 或 x=,所 以,当 a=,b=4 时,区间[a,b]的长度取得最大值. 2.2.136 已知 2lg=lgx+lgy,求的值. 解析 由已知得=xy,则 x2-6xy+y2=0,-6+1=0,解得=3± 2,又 x- y>0,x>0,y>0,于是,>1,所以,=3+2. 2.2.137 设 a2+b2=c2,求证:log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)a· log(c-b)a. 2 2 2 2 解析 由 a =c -b 得 logaa =loga(c+b)(c-b),则 2=loga(c+b)+loga(c -b),2=,所以,log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)a· log(c-b)a. 2.2.138 不相等的两个正数 a,b 满足 algax=blgbx,求(ab)lgabx 的值. 解析 由已知得 lgalgax=lgblgbx,于是,(lga+lgx)lga=(lgb+lgx)lgb,即 (lga+lgb)(lga-lgb)=(lgb-lga)lgx,由 a≠b 得 lga≠lgb,lgabx=0,所以, (ab)lgabx=1. 2.2.139 计算:5lg20· . 解析 lg=(lg20)(lg5)+(lg0.5)=(1+lg2)(lg5)+(lg2)2=lg5+(lg5+lg2)(lg2) =1,所以,5lg20· =10.
70

2.2.140 已知 x=log2aa,y=log3a2a,求证:21-xy=3y-xy. 解析 1-xy=1-· , y-xy=. 于是,(1-xy)lg2=(y-xy)lg3,lg21-xy=lg3y-xy,所以,21-xy=3y-xy. 2.2.141 已知实数 a,b 满足 0<a<1,b>0,ab=ba,求证:a=b. 解析 由 ab=ba 得 blga=algb,则,而 0<a<1,则 lga<0,只能 lgb<0, 0<b<1. 若 0<a<b<1,则<1,lga<lgb<0,于是,>1,矛盾,同理可证不能有 0<b<a<1,所以,a=b. 2.2.142 作函数 y=的图象. 解析 函数 y=的定义域是{x|x>0,x≠1},并有 y=,则 y=10,其中 x>0,x≠1,其图象如图所示. 2.2.143 求函数 y=lg(ax-k· 2x)的定义域,其中 a,k 是 常数且 a>0,a≠2. 解析 函数的自变量 x 应满足 ax-k· 2x>0,即>k.若 k≤0,则定义域是 R; 若 k>0,a>2,则定义域是;若 k>0,0<a<2,则定义域是. 2.2.144 已知函数 f(x)=(x>0),奇函数 g(x)的定义域是 R,当 x>0 时,g(x) =f(x),试求 g(x)的解析式和它的反函数. 解析 若 x<0,则-x>0,于是,g(-x)=,又 g(-x)=-g(x),所以,- g(x)=,即 g(x)=-2x,由 g(x)为奇函数得 g(0)=-g(0),解得 g(0)=0,所以, g(x)= 它的反函数是 g-1(x)= 2.2.145 求函数 y=(3+2x-x2)的单调区间和值域. 解析 函数的自变量 x 应满足 3+2x-x2>0,即函数的定义域是(-1, 3).令 u=3+2x-x2,设-1<x1<x2<1,则 0<u1<u2,于是,y1>y2,所以,函数 y =(3+2x-x2) 的单调递减区间是(-1,1),单调递增区间是(1,3).而 u=-(x -1)2+4,于是,0<u≤4,所以,函数的值域是[-2,+∞). 2.2.146 设函数 f(x)=|x|. (1) 求 f(x)的定义域; (2) 若 f(x)>0,求 x 的取值范围; (3) 指出该函数的单调区间. 解析 (1) 函数的自变量 x 应满足所以,函数的定义域是(0,1)∪(1,+∞). (2) 由 f(x)>0 得 0<<1,则-1<x<1 且 x≠0,所以,x 的取值范围是<x<1 或 1<x<2. (3) 设 u=,若 x1>x2>1,则 x1<x2<0,于是,u1>u2>0,u1<u2,即 f(x1)<f(x2),所以,函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,同理可证,函数 f(x)在(0,1) 上单调递增. 2.2.147 已知函数 f(x)=loga(x+)(其中 a>0,a≠1),求函数 f(x)的反函数.
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题 2.2.142

解析 由原函数得 ay=x+,于是,a2y-2xay+x2=x2-2,x=.而原函数 的自变量 x 应满足 x+>0,若 x≤0,则由>-x 得-2>0,矛盾,只能 x>0,所 以,原函数的定义域是 x≥,若 a>1,原函数的值域为[loga,+∞);若 0<a<1, 原函数的值域为(-∞,loga]. 所以,若 a>1,反函数是 f -1(x)=(x∈[loga,+∞)); 若 0<a<1,反函数是 f -1(x)=(x∈(-∞,loga]). 2.2.148 证明:函数 f(x)=lg(x+)是奇函数. 解析 f(-x)=lg[-x+]=lg=lg(x+)-1=-f(x),所以,函数 f(x)=lg(x+) 是奇函数. 2.2.149 解不等式:log8(2-x)+log64(x+1)≥log4x. 解析 原不等式是≥,2log2(2-x)+log2(x+1)≥3log2x,则 log2(2-x)2(x+ 1)≥log2x3,解得 0<x≤. 2.2.150 解不等式:log0.5(2x-1)log0.5≤2. 解析 log0.5(2x-1)≤2,即[log0.5(2x-1)]2+log0.5(2x-1)-2≤0,[log0.5(2x-1) +2][log0.5(2x-1)-1]≤0,解得-2≤log0.5(2x-1)≤1,于是,≤2x-1≤4,≤2x≤5,所 以,log2≤x≤log25. 2.2.151 解关于 x 的不等式:|x-2|-|logax-2|<2. 解析 原不等式为-|logax-2|<2,即|2logax-2|-|logax-2|<2. 于是,或 或解得 1≤logax<2 或-2<logax<1,即-2<logax<2,所以,若 a>1,不等式 的解是<x<a2;若 0<a<1,则 a2<x<. 2.2.152 已知函数 y=x1-lgx 的定义域是 1≤x≤100,求此函数的最大值和最 小值. 解析 由已知得 0≤lgx≤2,lgy=(1-lgx)lgx=-,当 lgx=,即 x=时,y 最大 值=,当 lgx=2,即 x=100 时,y 最小值=. 2.2.153 解关于 x 的不等式:>. 解析 若 a>1,则 loga>logax4-logaa2,即(logax)2>logax-2, (2logax-1)(logax-4)>0,logax>4 或 logax<,所以,x>a4 或 0<x<.若 0<a<1,同理可得<logax<4,则 a4<x<. 2.2.154 已知函数 f(x)=logm,其中 m>1. (1) 指出函数 f(x)的奇偶性并说明理由; (2) 解关于 x 的不等式 f(x)≥logm(3x+1). 解析 f(-x)=logm=logm=-logm=-f(x),所以,函数 f(x)是奇函数. (2) 由 m>1 得不等式 logm≥logm(3x+1)有 解得-<x≤0 或≤x<1. 2.2.155 是否存在实数 a,使函数 f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是增函
72

数?如果存在,说明 a 可取哪些值;如果不存在,请说明理由. 解析 设 u(x)=ax2-x=a,而 a>0,则 u(x)在上单调递减,在上单调递 增. 若 0<a<1,要使函数 f(x)在[2,4]上是增函数,则必须使 u(x)在[2,4]上为 减函数,于是,应有此不等式组的解集是?. 若 a>1,要使函数 f(x)在[2,4]上是增函数,则必须使 u(x)在[2,4]上为增 函数,于是,应有所以,a 的取值范围是 a>1. 2.2.156 若 a=log2[log4(log84000)],则( ). (A) a>0 (B) a=0 (C) a<0 义 解析 由 83=512<4000<4096=84 得 3<log84000<4,于是, 0<log43<log4(log84000)<1,所以,a=log2[log4(log84000)]<0,答案为 C. 2.2.157 已知函数 f(x)=|log2(x+1)|,定义域内的实数 m,n 满足 m<n,f(m) =f(n),求证:m+n>0. 解析 函数 f(x)=|log2(x+1)|在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递 增.若 -1<m<n<0,则 f(m)>f(n);若 0<m<n,则 f(m)<f(n),于是,只能有- 1<m<0<n,此时,0<m+1<1. f(m)=|log2(m+1)|=-log2(m+1),又 n+1>1,f(n)=|log2(n+1)|=log2(n+ 1),由 f(m)=f(n)得-log2(m+1)=log2(n+1),则 log2(m+1)+log2(n+1)=0, log2(m+1)(n+1)=0,mn+m+n+1=1,所以,m+n=-mn>0. 2.2.158 对于在区间[m,n]上有意义的两个函数 f(x)和 g(x),如果对任意的 x∈[m,n],均有|f(x)-g(x)|≤1,则称 f(x)与 g(x)在[m,n]上是接近的,否则称 f(x) 与 g(x)在[m,n]上是非接近的.现有两个函数 f1(x)=loga(x-3a)与 f2(x)= loga(a>0,a≠1). (1) 若 f1(x)与 f2(x)在区间[a+2,a+3]上都有意义,求 a 的取值范围; (2) 讨论 f1(x)与 f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上是否是接近的? 解析 (1) 函数 y=f1(x)的定义域是 x>3a,函数 y=f2(x)的定义域是 x>a,要 使 f1(x)与 f2(x)在区间[a+2,a+3]上都有意义,则所以,a 的取值范围是 0<a<1. (2) 若 f1(x)与 f2(x)在区间[a+2,a+3]上是接近的,则≤1,即 a≤(x-3a)(x- a)≤对任意的 x∈[a+2,a+3]恒成立,令 g(x)=(x-3a)(x-a)=(x-2a)2-a2,由 0<a<1 得函数 g(x)图象的对称轴方程 x=2a<a+2,于是,应有即解得 0<a≤,即 当 a∈时,f1(x)与 f2(x)在区间[a+2,a+3]上是接近的,当 a∈时,f1(x)与 f2(x)在 区间[a+2,a+3]上是非接近的. 2.2.159 设 0<a<1,函数 f(x)=loga,g(x)=1+loga(x-1),设 f(x)与 g(x)定 义域的交集为 D,当[m,n]?D 时,f(x)在[m,n](m<n)上的值域为[g(n),g(m)], 求 a 的取值范围. 解析 函数 f(x)的定义域是(-∞,-3)∪(3,+∞),函数 g(x)的定义域是
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(D) a 无意

(1,+∞),则 D=(3,+∞),设 3<x1<x2,则<0,又 0<a<1,则 f(x1)>f(x2),则函 数 f(x)在(3,+∞)上是减函数,于是,应有即关于 x 的方程 f(x)=g(x),即=a(x -1),亦即 ax2+(2a-1)x+3-3a=0 在(3,+∞)上有两个不相等的实数解 x1, x2,于是,解得 0<a<. 2.2.160 定理:对于定义域为 D 的函数 y=f(x),若对任意的 x∈D 都有 f(a +x)+f(a-x)=2b 成立,则函数 y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称. (1) 证明:函数 f1(x)=2x-2-x 的图象是中心对称曲线,函数 f2(x)=x2 的图象 不是中心对称曲线; (2) 函数 f3(x)=log2 的图象是否为中心对称曲线?若是,求出其对称中心;若 不是,说明理由; (3) 如果定义域为 R 的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象都是关于点(a,b)中心对 称曲线,那么,在函数 y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x),y=f(x)g(x)和 y=中,选择 一个图象一定是中心对称曲线的函数,再选择一个图象可以不是中心对称曲线 的函数,分别说明其图象是或可以不是中心对称曲线的理由. 解析 (1) 函数 f1(x)=2x-2-x 的定义域是 R,对任意的 x∈R 都有 f1(-x)+ f1(x)=0,所以,此函数的图象关于点(0,0)中心对称. 函数 f2(x)=x2 的定义域是 R,若其图象关于点(a,b)中心对称,则 f2(a+x) +f2(a-x)=2b,即(a+x)2+(a-x)2=2b,亦即 x2=b-a2 对任意 x∈R 都成立, 矛盾,所以,函数 f2(x)=x2 的图象不是中心对称曲线. (2) 函数 f3(x)=log2 的定义域是 x<-2 或 x>2,若其图象关于点(a,b)中心对 称,则必有 a=0. 而 log2+log2=2b 对任意满足 x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)的 x 都成立,解得 b=1,所以,函数 f3(x)=log2 的图象关于点(0,1)中心对称. (3) 如果函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象都是关于点(a,b)中心对称曲线,则函 数 y=f(x)+g(x)的图象一定是中心对称曲线. 由条件可得 f(a+x)+f(a-x)+g(a+x)+g(a-x)=4b,所以,函数 y=f(x)+ g(x)的图象关于点(a,2b)中心对称; 如果函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象都是关于点(a,b)中心对称曲线,但函数 y=f(x)g(x)的图象可能不是中心对称曲线. 例如:函数 f(x)=g(x)=x 的图象都关于点(0,0)中心对称,但函数 y= f(x)g(x)即 y=x2 的图象不是中心对称曲线. (注:由 f(a+x)+f(a-x)-[g(a+x)+g(a-x)]=0 得 f(a+x)-g(a+x)+f(a-x) -g(a-x)=0,则函数 y=f(x)-g(x)的图象关于点(a,0)中心对称;若 f(x)=x5, g(x)=x3,它们的图象都关于原点中心对称,而函数 y=即 y=x2 的图象不是中 心对称曲线.) § 2–3 函数的应用 2.3.1 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密), 接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+ 2b,2b+c,2c+3d,4d.例如:明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当 接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文为( ). (A) 7,6,1,4 (B) 6,4,1,7 (C) 4,6,1,7 (D) 1,6,4,7
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解析

由已知可得解得所以,答案为 B.

2.3.2 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加 入相关数据组成传输信息.设定原信息为 a0a1a2,ai∈{0,1} (i=0,1,2),传 输信息为 h0a0a1a2h1,其中 h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为 0⊕0=0,0 ⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0,例如原信息为 111,则传输信息为 01111.信息在 传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是 ( ). (A) 11010 (B) 01100 (C) 10111 (D) 00011 解析 若收到的信息 10111 是正确的,则 a0=0,a1=a2=1,按规则,h0= 0⊕1=1,h1=1⊕1=0,矛盾,所以,答案为 C. 2.3.3 某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全 部租出;当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的 车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1) 当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2) 当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益 是多少? 解析 (1) 由已知可得未租出的车有=12 辆,所以,可租出 88 辆. (2) 设每辆车的月租金比 3000 元增加 50n 元(n 为非负整数),则公司月收益 y=(100-n)(3000+50n)-150(100-n)-50n=-50(n-21)2+307050,当 n=21 时 y 取得最大值,所以,当月租金定为 4050 元时,公司取得最大月收益 307050 元. 2.3.4 客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留 了半小时,然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地.下列描述客车从甲 地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中, 正确的是( ).

解析

由已知可得 s=所以,答案为 B.

2.3.5 数列{an}的通项公式是 an=,则{an}中数值最大 的项是( ). (A) a8 (B) a9 (C) a10 (D) 不存在 的 解析 点(n,an)都在函数 y==1+的图象上,该函数
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题 2.3.5

的定义域是{x|x∈R 且 x≠},在(-∞,)上单调递减且 y<1;在(,+∞)上单调递 减且 y>1,又 9<<10,所以,该数列中最大项是 a10,答案为 C. 2.3.6 某工厂去年的产值为 1000 万元,若每年递增 10%,则要使年产值超 过 1500 万元,则至少需要 年. 解析 设经过 n 年,年产值达到 1500 万元,于是,1000(1+10%)n≥1500, n≥log1.11.5≈4.254 ,所以,至少需要 5 年,才能使年产值超过 1500 万元. 2.3.7 在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得 n 次测量分

别得到 a1,a2, ,an 共 n 个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量:与其他近似值比较,a 与各数据的差的平方和最小,依此规 定,从 a1,a2, ,an 推出 a= . 解析 (a-a1)2+(a-a2)2+ +(a-an)2=na2-2(a1+ +an)a++ +,

所以,使得(a-a1)2+(a-a2)2+ +(a-an)2 取得最小值的 a=. 2.3.8 一只小船以 10m/s 的速度由南向北匀速驶过湖 面,在离湖面高 20m 的桥上,一辆汽车由西向东以 20m/s 的速度前进,如图.现在小船在水面 P 点以南的 40m 处, 汽车在桥上 Q 点以西 30m 处(其中 PQ⊥水面),则小船与汽 车间的最短距离为 m(不考虑汽车与小船本身的大小). 解析 经过时间 t,汽车与小船之间的距离 d 满足 d2=(40-10t)2+202+(30-20t)2=500t2-2000t+2900 =500(t-2)2+900,所以,当 t=2 时,d 取得最小值 30.

题 2.3.8

2.3.9 为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消 毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y(毫 克)与时间 t(小时)成正比,药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系 式为 y=(a 为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下 列问题: (1) 从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与 题 2.3.9 时间 t(小时)之间的函数关系式为 ; (2) 据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方 可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教 室. 解析 (1) 由已知可得当 t=0.1 时,y=1,则=1,于是,a=0.1,所以,从 药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系 式为 y= (2) 设≤0.25,则 2(t-0.1)≥1,解得 t≥0.6,所以,至少需要经过 0.6 小时, 学生才能回到教室.
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2.3.10 一个男孩在 90 秒时间内移动的速度与时间 的关系如图所示,他的行程是 1.84 千米,则 v 的值是 米/秒. 解析 由速度–时间曲线可知男孩先作匀减速运 动,而后作匀速运动,再作匀减速运动,第二次匀减 速运动的加速度 a2==-, 题 2.3.10 于是,男孩的第三段行程为 s3=24× 40+× × 402= 480(米),男孩第二段行程 s2=24× (50-20)=720(米),则男孩第一段行程 s1= 1840-480-720=640(米),第一段行程中男孩的加速度 a1=,则 640=20v- × × 202,解得 v=40(米/秒). 2.3.11 如图所示:用长为 m 的铁丝弯成下部为矩形,上部 为半圆形的框架,若矩形底边长为 2x,求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式,并指出定义域和最小值. 解析 由已知得矩形的另一边长为,则以 y=πx2+× 2x=-x2 +mx,由>0 得函数的定义域是 0<x<.当 x=,即 x=时,y 最小值 =.

题 2.3.11

2.3.12 某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷,为了解该地区沙漠面积的 变化情况,进行了连续 5 年的观测,并将每年年底的观测结果记录如下表.根 据此表所给的信息进行预测: (1) 如果不采取任何措施,那么到 2010 年底,该地区的沙漠面积将大约变 为多少万公顷? (2) 如果从 2000 年底后采取植树造林等措施,每年改造 0.6 万公顷沙漠,那 么到哪一年年底该地区沙漠面积可减少到 90 万公顷? 测 时 间 该地区沙漠比 原有 面积增加数(万 公顷) 观 1996 年年 1997 年年 1998 年年 1999 年年 2000 年年 底 底 底 底 底 0.2000 0.4000 0.6001 0.7999 1.0001

解析 (1) 由统计数据可知沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系近似地 为一次函数 y=kx+b,且 x=1 时,y=0.2;x=2 时,y=0.4,则 y=0.2x (x∈ N*),所以,从 1995 年年底到 2010 年年底,沙漠面积将增加 0.2× 15=3(万公 顷),于是,到 2010 年年底,该地区的沙漠面积约为 95+3=98(万公顷). (2) 设从 1996 年算起,第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷,由 已知可得 95+0.2x-0.6(x-5)≤90,解得 x≥20,所以,到 2015 年年底,该地区 沙漠面积可减少到 90 万公顷. 2.3.13 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图 1 的一条折线表示;西红柿 的种植成本与上市时间的关系用图 2 的抛物线段表示.
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图1

图2

(1) 写出图 1 表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t); 写出图 2 表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=g(t); (2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/102kg,时间单位:天) 解析 (1) f(t)=g(t)=(t-150)2+100(0≤t≤300). (2) f(t)-g(t)= 于是,当 0≤t≤200 时,-≤f(t)-g(t)≤100;当 200<t≤300 时,-≤f(t)- g(t)≤,所以,当 t=50 天时收益最大,最大收益为 100. 2.3.14 如图,在宽与长分别为 1 和 a(a>1)的长方形 中截得四边形 ABCD,求四边形 ABCD 面积 S 的最大值. 解析 S=a× 1-2× x2-2× (1-x)(a-x)=-2x2+(a+ 1)x=-2,而 0<x≤1,于是,若>1,即 a>3,则当 x=1 时,S 最大值=a-1; 若≤1,即 1<a≤3,则当 x=时,S 最大值=.

题 2.3.14

2.3.15 某班试用电子投票系统选举班干部候选人,全班 k 名同学都有选举 权和被选举权,他们的编号分别为 1,2, ,k,规定:同意按“1”,不同意 (含弃权)按“0”,令 aij=其中 i=1,2, ,k,且 j=1,2, ,k,则同时同 意第 1,2 号同学当选的人数为( ). (A) a11+a12+ +a1k+a21+a22+ +a2k (B) a11+a21+ +ak1+a12+a22+ +ak2 (C) a11a12+a21a22+ +ak1ak2 (D) a11a21+a12a22+ +a1ka2k 解析 根据 aij 的定义,如果第 i 号同时同意第 1,2 号同学当选,则有 ai1 =ai2=1,第 i 号同学是同时同意第 1,2 号同学当选的学生之一,可由 ai1ai2=1 表示第 i 号同学的这一票.反之,第 i 号同学不是同时同意第 1,2 号同学当 选,则 ai1 与 ai2 中至少有一个等于 0,此时 ai1ai2=0,由此可知同时同意第 1,2 号同学当选的人数为 a11a12+a21a22+ +ak1ak2,答案为 C. 2.3.16 方程 log2(x+4)=3x 实数解的个数是( ).
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(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解析 函数 y=log2(x+4)和 y=3x 的图象如图所示,所以,方程 log2(x+4) =3x 有两个实数解,答案为 C.

题 2.3.16

题 2.3.17

2.3.17 以 a、b、c 依次表示方程 2x+x=1、2x+x=2、3x+x=2 的解,则 a、b、c 的大小关系是( ). (A) c<b<a (B) a<b<c (C) a<c<b (D) c<a<b x x 解析 函数 y=2 ,y=3 ,y=1-x,y=2-x 的图象如图所示,由图可得 a<c<b,答案为 C. 2.3.18 已知 x1 是方程 x+lgx=3 的解,x2 是方程 x+ 10 =3 的解,则 x1+x2=( ). (A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 1 x 解析 函数 y=lgx,y=10 ,y=3-x 的图象如图所 示,由函数 y=lgx 的图象与函数 y=10x 的图象关于直线 y =x 对称得 x1+x2=3,答案为 B.
x

题 2.3.18

2.3.19 若 f(x)和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数,且方程 x-f[g(x)]=0 有实数解,则 g[f(x)]不可能是( ). (A) x2+x- (B) x2+x+ (C) x2- (D) x2+ 解析 由已知得存在 x0∈R 使得 f [g(x0)]=x0 成立. 若 g[f(x)]=x2+x+,则 g{f [g(x)]}=[g(x)]2+g(x)+,于是,g{f [g(x0)]}= [g(x0)]2+g(x0)+,则 g(x0)=[g(x0)]2+g(x0)+,[g(x0)]2=-,矛盾,所以,答案为 B. 2.3.20 若对任意 x∈R,不等式|x|≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( ). (A) a<-1 (B) |a|≤1 (C) |a|<1 (D) a≥1 解析 由函数 y=|x|和 f(x)=ax 的图象可得使不等式|x|≥ax 对任意 x∈R 恒成 立的 a 的取值范围是|a|≤1,答案为 B. 2.3.21 (A) 0 若不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈成立,则 a 的最小值为( ). (B) 2 (C) - (D) -3
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解析 由 x2+ax+1≥0 及 x∈可得 a≥-,函数 y=x+在(0,1)上单调递减, 则当 0<x≤时,x+≥,于是,-≤-,所以,使不等式 x2+ax+1≥0 对一切 x∈成 立的 a 的最小值为-,答案是 C. 2.3.22 如果关于 x 的方程|x2-2x+1+a|=a2-6 恰好有 两个相异实数解,则 a 的取值范围是 . 解析 令函数 f(x)=|x2-2x+1+a|,函数 g(x)=x2-2x+1 +a 的图象是开口向上,顶点坐标为(1,a)的抛物线. 若 a≥0,水平直线 y=a2-6 与抛物线 y=x2-2x+1+a 有 题 2.3.22 两个不同的交点,则解得 a>3. 2 若 a<0,则函数 y=|x -2x+1+a|的图象如图所示,水平 直线 y=a2-6 与函数 y=|x2-2x+1+a|的图象有两个不同的交点,其条件为解 得 a<-3 或 a=-,所以,常数 a 的取值范围是 a=-或 a<-3 或 a>3. 2.3.23 使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是 . 解析 函数 y=log2(-x)与函数 y=x+1 的图象如图所示,点(-1,0)是两 图象的公共点,所以此不等式的解是-1<x<0.

题 2.3.23

题 2.3.24

2.3.24 (1) 关于 x 的不等式|x-4|+|x+1|<a 的解集不是空集,则实数 a 的 取值范围是 ; (2) 关于 x 的不等式|x-4|+|x+1|>a 的解集为 R,则实数 a 的取值范围 是 . 解析 (1) 函数 y=|x-4|+|x+1|的图象如图所示,则使不等式|x-4|+|x+ 1|<a 的解集不是空集的 a 的取值范围是 a>5. (2) 不等式|x-4|+|x+1|>a 的解集是 R,则 a 的取值范围是 a<5. 2.3.25 已知关于 x 的方程 3x2+x+2loa=0 的两根 x1,x2 满足条件 -1<x1<0<x2<1,则实数 a 的取值范围是 . 解析 设 f(x)=3x2+x+2loa,则有即解得-1<a<0,所以,a 的取值范围是
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1<a<2. 2.3.26 α 是锐角,不等式(sinα)x+(cosα)x>1 的解集是 . 解析 由 α 是锐角可得 0<sinα、cosα<1,则函数 f(x)=(sinα)x+(cosα)x 在(- ∞,+∞)上单调递减,而 sin2α+cos2α=1,于是,当 x<2 时,(sinα)x+ (cosα)x>sin2α+cos2α=1,所以,原不等式的解集是{x|x<2}. 2.3.27 设 x0 是关于 x 的方程 ax=logax 的解其中 0<a<1,则 x0,a,1 的大小关系是 . 解析 若 0<a<1,考察函数 f(x)=ax 与 f -1(x)=logax 的图 象可知 a<x0<1.
题 2.3.27

2.3.28 三个同学对问题“关于 x 的不等式 x +25+|x - 5x |≥ax 在[1,12]上恒成立,求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说:“把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的 最值”. 丙说:“把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图象”. 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范 围是 . 解析 由已知可得 x++|x2-5x|≥a,x+≥10,|x2-5x|≥0,所以,当 x=5 时,x++|x2-5x|取得最小值 10,所以,a 的取值范围是 a≤10.
2

2

3

2.3.29 方程 x2+x-1=0 的解可视为函数 y=x+的图 象与函数 y=的图象交点的横坐标.若方程 x4+ax-4=0 的各个实根 x1,x2,…,xk (k≤4)所对应的点 (i=1, 2,…,k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围 是 . 解析 由 x4+ax-4=0 得 x3+a=,函数 y=的图象与 题 2.3.29 直线 y=x 相交于(2,2),(-2,-2)两点.若 a>0,函数 y =x3+a 的图象可由 y=x3 的图象向上平移 a 个单位得到, 当 a=6 时,点(-2,-2)在函数 y=x3+a 的图象上,考察 函数 y=x3+6,y=x3-6,y=及 y=x 的图象可知,a 的取值范围是 a<-6 或 a>6. 2.3.30 已知 A={x|-1<x<2},B={x|x2-(a-1)x+1<0},且 A∩B=B. (1) 求证:B?A; (2) 求实数 a 的取值范围. 解析 (1) 任取 x∈B=A∩B,则 x∈A,所以,B?A. (2) 若 B=?,则由 Δ=(a-1)2-4≤0 得-1≤a≤3; 若 B≠?,设 f(x)=x2-(a-1)x+1,则方程 x2-(a-1)x+1=0 的两根应在 [-1,2]之间,应有解得 3<a≤,所以,a 的取值范围为-1≤a≤.
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2.3.31 试就关于 x 的方程|x-a2-1|(x-2a)=4(a-1)2(其中 a>0,a≠1)的解 的个数给出相应的结论并说明理由. 解析 记 f(x)=|x-a2-1|(x-2a),则 f(x)= 2 亦即 f(x)=又<a +1, 于是,函数 f(x)在,(a2+1,+∞)上单调递增,在上单调递减,而 f(a2+1) =0,则 0<4(a-1)2<,即 a>5 时,函数 f(x)的图象与直线 y=4(a-1)2 有三个不 同的交点,即原方程有三个解;若 a=5,则原方程有两个解;若 0<a<5 且 a≠1,原方程有 1 个解. 2.3.32 有三个新兴城镇,分别位于 A,B,C 三点处, 且 AB=AC=a,BC=2b,今计划合建一个中心医院,为同 时方便三镇,准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处.(建立 坐标系如图) (1) 若希望点 P 到三镇距离平方和为最小,点 P 应位于 何处? (2) 若希望点 P 到三镇的最远距离为最小,点 P 应位于 何处? 题 2.3.32 解析 (1) A,B,C 的坐标分别为(0,),(-b,0),(b, 2 2 2 2 2 2 2 2 0),设 P(0,y),则 PA +PB +PC =(y-) +2(y +b )=3+a +b -(a2-b2), 所以,当 P 为△ABC 重心时,P 到三镇距离平方和最小. (2) 若 PA≥PB,即|y-|≥,两边平方可得 y≤,此时 y-≤=-<0,于是,P 到 三镇的最远距离 s(y)= 若≥0,则函数 s(y)在上单调递减,在上单调递增,所以,当 y=时,即 PA =PB,亦即点 P 为△ABC 的外心时,P 到三镇的最远距离最小; 若<0,则函数 s(y)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以, P 位于原点时它到三镇的最远距离最小. 2.3.33 关于 x 的不等式[(k2+6k+14)x-9][(k2+28)x-2k2-12k]<0 的解集 M 与整数集 Z 满足 M∩Z={1},求常数 k 的取值范围. 解析 设函数 f(x)=[(k2+6k+14)x-9][(k2+28)x-2k2-12k],不等式 f(x)<0 的解集 M 与整数集 Z 有 M∩Z={1},则方程[(k2+6k+14)x-9][(k2+28)x -2k2-12k]=0 在区间[0,1)和(1,2]中各有一个解,而 k2+6k+14=(k+3)2+ 5>0,k2+28>0 恒成立,于是,此抛物线开口向上,那么,即 其中 2k2+12k+19=2(k+3)2+1>0 恒成立, 则 所以 k 的取值范围是 k<-14 或 2<k≤. 2.3.34 解方程:3x+4x+5x=6x. 解析 由原方程可得=1,而函数 y=,y=,y=在(-∞,+∞)上都是单调 递减函数,于是,函数 f(x)=在(-∞,+∞)上是单调递减函数,又 f(3)=1,所 以,原方程的解是 x=3.
82

2.3.35 若函数 y=f(x)(x∈D)同时满足以下条件: ① 它在定义域 D 上是单调递增或单调递减函数; ② 存在区间[a,b]?D 使得 f(x)在[a,b]上的值域是[a,b], 我们将这样的函数称作闭函数. (1) 定义域为{x|x>0}的函数 y=2x-lgx 是不是闭函数?如果是,试找出[a, b];如果不是,试说明理由; (2) 求使得函数 f(x)=k+是闭函数的常数 k 的取值范围. 解析 (1) 当 x=时,y=+2;当 x=1 时,y=2;当 x=10 时,y=19,所 以,函数 y=2x-lgx 在(0,+∞)既不是单调递增函数,也不是单调递减函数, 所以,它不是闭函数. (2) 函数 f(x)=k+在[-2,+∞)上单调递增,如果它是闭函数,则存在两个 不相等的常数 a,b 使得成立,即关于 x 的方程 x=k+有两个不相等的根,k =,亦即直线 y=k 与曲线 y=(t≥0)有两个不同的交点,所以,-<k≤-2. 2.3.36 用水洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗一次的效果作 如下假定:用 1 个单位的水可洗掉蔬菜上残留农药量的,用水越多洗掉的农药 量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上,设用 x 单位量的水清洗一次以后,蔬 菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数 f(x). (1) 试规定 f(0)的值,并解释其实际意义; (2) 试根据假定写出函数 f(x)应满足的条件和具有的性质; (3) 设 f(x)=,现有 a(a>0)单位的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成 2 份后清洗两次,试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理 由. 解析 (1) f(0)=1,即未用水清洗则农药的残留量不变. (2) 函数 f(x)应满足 f(1)=,函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,函数 f(x)的值 域是(0,1]. (3) f,f,于是,,f(a)=-f(a)=2-=-,所以,若 0<a<2>f(a),即一次清洗 农药的残留量小;若 a=2,则两种清洗方式农药的残留量相同;若 a>2,则 <f(a),即两次清洗农药的残留量小. 2.3.37 已知 a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,则 ab+bc+ca 的最小值为 ( ). (A) (B) (C) - (D) 解析 由 解得 而 ab+bc+ca=[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]=,a+b+c 可能的值是,-, -. 又 0<<,所以,ab+bc+ca 的最小值是,答案为 B. 2.3.38 某地街道呈现东—西,南—北向的网格状,相邻街距都为 1.两街 道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下 述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.可 确定一个格点(除零售点外) 为发行站,使 6 个零售点沿街道到发行站之 间路程

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