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上海中学高三数学综合练习(四)


高三数学综合练习四
一.选择题 1. 已知函数 f(x)=ax+a-x,且 f(1)=3, 则 f(0)+f(1)+f(2)的值是 A.14 B. 13 C. 12 ( D. 11 ) )

2. 设 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x 2 ? 1 ,则对任意实数 a,b,a+b?0 是 f(a)+f(b)?0( A. 充分必要条件 B

. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流 的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离 比到 B 的距离远 2 km.现要在曲线 PQ 上 选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运 货物.经测算,从 M 到 B、M 到 C 修建公 路的费用都是 a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是 ( A.(2 7 -2)a 万元 C.(2 7 +1) a 万元 B.5a 万元 D.(2 3 +3) a 万元

?

?

)

4. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 x=S2n+S22n, y=Sn(S2n+S3n)的大小关系是( ) A. x?y B.x=y C.x?y D. 不确定 二.填空题 5. 若函数 y=?log2x?的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度 b-a 的最小值 为 . 6.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x?[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于 x 的方程 f(x)=kx+k+1(k?-1)有四个根,则 k 取值范围是 . 7. 已知函数 f(x)=Acos2(ωx+ ? )+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,f(x)的图象在 y 轴上的截距为 2, 其相邻两对称轴间的距离为 2,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(100)=____________ 8. 如图,在杨辉三角中,斜线 l 上方,从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,?, 记其前 n 项和为 Sn,则 S19 等于____________. 1 1 1 1 1 1 ? ? 5 ? 4 10 ? 3 6 10 ? 2 3 4 5 ? 1 1 1 1 1 ? l

9. 在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,若 a、b、c 成等差数列,sinB= 的面积为

4 且△ABC 5

3 ,则 b= _________ . 2
2 2

10. 若对终边不在坐标轴上的任意角 x,不等式 sinx+cosx?m?tan x+cot x 恒成立,则实数 m 的取 值范围是 ;

11. 对正整数 n,设抛物线 y2=2(2n+1)x,过点 P(2n,0)任作直线 l 交抛物线于 An , Bn 两点,则数列

???? ???? ? ? OAn ? OBn { } 的前 n 项和为_ 2(n ? 1)

_

12. 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长都相等,M 是 BB1 的中点,则 BC1 与平面 AC1M 所成角 的大小是__________. 13. 设抛物线 y=ax2(a>0)与直线 y=kx+b 有两个公共点,其横坐标是 x1,x2,而 x3 是直线与 x 轴交点 的横坐标,则 x1,x2,x3 的关系是_________. 14. 满足?z-z0?+?z+2i?=4 的复数 z 在复平面上对应的点 Z 的轨迹是线段,则复数 z0 在复平面上 对应的点的轨迹是__________ 15. 在?ABC 中,三个顶点的坐标分别是 A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点 P(x,y)在?ABC 内部运动,若点 P 满足 PA ? 2PB ? 3PC ? 0 ,则 S?PAC:S?ABC=_______ 16. 近几年来,在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏,游戏规则如下: ①在 9×9 的九宫格子中,分成 9 个 3×3 的小九宫格,用 1 到 9 这 9 个数字填满整个格子; ②每一行与每一列都有 1 到 9 的数字,每个小九宫格里也有 1 到 9 的数字,并且一个数字在 每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次,既不能重复 4 也不能少. 9 A 3 5 7 那么 A 处应填入的数字为__________. 2 6 3 5 三.解答题 4 2 8 6 9 17. 已知函数 f(x)=a+msin2x+ncos2x 的图象经过点 A(0,1), 1 7 B(

? ? ?? ,1),且当 x? ?0, ? 时, f(x)取得最大值 2 2 -1.(1) 4 ? 4?
1

6 2 8

9 2

3 9 8

5 7

4 B 6 5

?? 4 求 f(x)的解析式;(2)是否存在向量 m ,使得将 f(x)的图 ?? ?? ?? 象按向量 m 平移后可以得到一个奇函数的图象?若存在, 求出 m 最小的 m ;若不存在, 说明理
由.

18. 在五棱锥 P-ABCDE 中,PA=AB=AE=2a,PB=PE= 2 2 a,BC=DE=a,∠EAB=∠ABC=∠ DEA=90° .G 为 PE 的中点。 (1)求 AG 与平面 PDE 所成角的大小 (2)求点 C 到平面 PDE 的距离

19.(1)如图, 设点 P, 是线段 AB 的三等分点, OA ? a ,OB ? b , Q 若 试用 a ,b 表示 OP ,OQ , 并判断 OP ? OQ 与 OA ? OB 的关系; (2)受(1)的启示,如果点 A1,A2,A3,?,An-1 是 AB 的 n(n?3)等分点,你能得到什么结论?请证 明你的结论。
B Q P A

b

a

O

20. 设数列{an}和{bn}满足 a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{an+1-an}(n?N*)是等差数列,数列 {bn-2}(n?N*)是等比数列。(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)是否存在 k?N*,使 a k ? bk ? (0, ) ?若存在,求出 k;若不存在,说明理由。

1 2

21. 在直角坐标平面上,O 为原点,M 为动点, | OM |? 5 , ON ?

2 5 OM . 过点 M 作 MM1⊥ 5

y 轴于 M1, N 作 NN1⊥x 轴于点 N1, 过 点 OT ? M1M ? N1 N . 记点 T 的轨迹为曲线 C, A(5,0)、 B(1,0),过点 A 作直线 l 交曲线 C 于两个不同的点 P、Q(点 Q 在 A 与 P 之间). (1)求曲线 C 的方程; (2)问是否存在直线 l,使得|BP|=|BQ|;若存在,求出直线 l 方程,若不存在,说明 理由

22. 已知函数 f(x)=ax +2bx+4c(a,b,c?R,a?0) 2 (1)若函数 f(x)的图像与直线 y ? ? x 均无公共点,求证:4b -16ac<-1 (2)若 b ? 4, c ?

2

3 时,对于给定的负数 a,有一个最大的正数 M(a),使 x?[0,M(a)] 时,都有 4

?f(x)??5,求 a 为何值时 M(a)最大?并求 M(a)的最大值。 (3)若 a>0,且 a+b=1,又?x??2 时,恒有?f(x)??2,求 f(x)的解析式;

答案及错误率 一.选择题 1.C (0.03) 2.A 二.填空题 5.

(0.22)

3.A (0.17) 4.B (0.28)

3 (0.03) 4

(- , (0.2) 0) 6.
10. [ 2, 2] (0.09)

1 3

7.200 (0.31) 11. ?n ? n (0.4)
2

8. 283 (0.17) 12. arcsin

9. 2 (0.31)

1 4

(0.28)

13. x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) x3 15.1:3 (0.43) 三.解答题

(0.2) 14. 以 (0,-2)为圆心以 4 为半径的圆 (0.4) 16.1 (0.46)

17.

(1) f ( x) ? 2 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 (2)( ,1) 8

?

?

(0.31)

2 a (0.11) 2 ??? 2 ? 1 ? ???? 1 ? 2 ? ??? ???? ??? ???? ? ? ? 19. OP ? a ? b, OQ ? a ? b, OP ? OQ ? OA ? OQ 3 3 3 3 ???? ???? ? ?????? n ? 1 ? ? OA1 ? OA 2 ? ? ? OAn ? 1? ( a ? b) (0.11) 2
18.(1) 90
?

(0.06)

(2)

20. (1)an ?

n2 ? 7n ? 18 1 , bn ? ( )n ?3 ? 2 2 2

(2)不存在

(0.2)

21.(1)

x2 y 2 ? ? 1 (2) 不存在 (0.22) 5 4

22(1)证明略(0.08) (2) a ? ?8, M (a) ?

1? 5 (0.51) (3) f ( x) ? x2 ? 2 2

(0.75)


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