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2013年高考数学一轮复习 第十三篇 推理证明、算法、复数 第2讲 直接证明与间接证明教案 理 新人教版


第2讲
【2013 年高考会这样考】

直接证明与间接证明

1. 在历年的高考中, 证明方法是常考内容, 考查的主要方式是对它们原理的理解和用法. 难 度多为中档题,也有高档题. 2.从考查形式上看,主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载 体,考查综合法、分析法、反证法等方法. 【复习指导】 在备考中,对本部分的内容,要抓住关键,即分析法、综合法、反证法,要搞清三种方法的 特点,把握三种方法在解决问题中的一般步骤,熟悉三种方法适用于解决的问题的类型,同 时 也 要 加 强 训 练 , 达 到 熟 能 生 巧 , 有 效 运 用 它 们 的 目 的 .

基础梳理 1.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. ②框图表示: P? Q1 → Q1? Q2 → Q2? Q3 →?→ Qn? Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示要证的结论). (2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫做 分析法. ②框图表示: Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 得到一个明显成立的条件 . 2.间接证明 一般地,由证明 p? q 转向证明:綈 q? r? ?? t.

t 与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而判定綈 q 为假,推出 q 为真的方法,叫做反证法.

一个关系 综合法与分析法的关系

1

分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件、基 础知识之间的关系,找到解决问题的思路,再运用综合法证明,或者在证明时将两种方法交 叉使用. 两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命题进行推理,没有用假设命 题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的. (2)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)?”“即要 证?”“就要证?”等分析到一个明显成立的结论 P,再说明所要证明的数学问题成立. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)p= ab+ cd,q= ma+nc· 为正数),则 p、q 的大小为( A.p≥q 解析 q= B.p≤q ). C.p>q D.不确定

b d + (m、n、a、b、c、d 均 m n

mad nbc ab+ + +cd≥ ab+2 abcd+cd n m mad abc = 时取等号. n m

= ab+ cd=p,当且仅当 答案 B

2.设 a=lg 2+lg 5,b=e (x<0),则 a 与 b 大小关系为( A.a>b C.a=b
x

x

).

B.a<b D.a≤b

解析 a=lg 2+lg 5=1,b=e ,当 x<0 时,0<b<1. ∴a>b. 答案 A 3.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,正确的反设为( A.a,b,c 都是奇数 B.a,b,c 都是偶数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 解析 ∵a,b,c 恰有一个偶数,即 a,b,c 中只有一个偶数,其反面是有两个或两个以上 偶数或没有一个偶数即全都是奇数,故只有 D 正确. 答案 D 4.(2012·广州调研)设 a、b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( A.b-a>0 B.a +b <0
3 3

).

).

C.a -b <0

2

2

D.b+a>0

解析 ∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.
2

答案 D 5.在用反证法证明数学命题时,如果原命题的否定事项不止一个时,必须将结论的否定情 况逐一驳倒,才能肯定原命题的正确. 例如:在△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP, 用反证法证明时应分:假设________和________两类. 答案 ∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP

考向一 综合法的应用 【例 1】? 设 a,b,c>0,证明: + + ≥a+b+c. [审题视点] 用综合法证明,可考虑运用基本不等式. 证明 ∵a,b,c>0,根据均值不等式, 有 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c.

a2 b2 c2 b c a

a2 b

b2 c

c2 a

a2 b2 c2 三式相加: + + +a+b+c≥2(a+b+c). b c a
当且仅当 a=b=c 时取等号.

a2 b2 c2 即 + + ≥a+b+c. b c a
综合法是一种由因导果的证明方法,即由已知条件出发,推导出所要证明的等式 或不等式成立.因此,综合法又叫做顺推证法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎 推理方法,这就要保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的正确性. 1 1 【训练 1】 设 a,b 为互不相等的正数,且 a+b=1,证明: + >4.

a b

证明

1 1 ?1 1? b a + =? + ?·(a+b)=2+ + ≥2+2=4.

a b ?a b?

a b

1 1 又 a 与 b 不相等.故 + >4.

a b

考向二 分析法的应用

?a+mb?2≤a +mb . 【例 2】? 已知 m>0,a,b∈R,求证:? ? 1+m ? 1+m ?
[审题视点] 先去分母,合并同类项,化成积式. 证明 ∵m>0,∴1+m>0. 所以要证原不等式成立, 只需证明(a+mb) ≤(1+m)(a +mb ),
2 2 2

2

2

3

即证 m(a -2ab+b )≥0, 即证(a-b) ≥0,而(a-b) ≥0 显然成立, 故原不等式得证. 逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条 件,正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键. 【训练 2】 已知 a,b,m 都是正数,且 a<b. 求证:
2 2

2

2

a+m a > . b+m b a+m a > ,由于 a,b,m 都是正数, b+m b

证明 要证明

只需证 a(b+m)<b(a+m), 只需证 am<bm, 由于 m>0,所以,只需证 a<b. 已知 a<b,所以原不等式成立. (说明:本题还可用作差比较法、综合法、反证法) 考向三 反证法的应用 【例 3】? 已知函数 f(x)=a +
x

x-2 (a>1). x+1

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明 f(x)=0 没有负根. [审题视点] 第(1)问用单调增函数的定义证明;第(2)问假设存在 x0<0 后,应推导出 x0 的 范围与 x0<0 矛盾即可. 证明 (1)法一 任取 x1,x2∈(-1,+∞),不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,ax2-x1>1,且

ax1>0.
所以 ax2 - ax1 = ax1(ax2 - x1 -1)>0.又因为 x1 +1>0, x2 +1>0,所以 ? x2-2? ?

x2-2 x1-2 - = x2+1 x1+1

x1+1? -? x1-2? ? x2+1? 3? x2-x1? = >0, ? x2+1? ? x1+1? ? x2+1? ? x1+1? x2-2 x1-2 - >0, x2+1 x1+1

于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 3 x 法二 f′(x)=a ln a+ ? x+1?
2

>0,

∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0, ax0=- 则

x0-2 x0-2 , 0<ax0<1, 又 所以 0<- x0+1 x0+1

4

1 <1,即 <x0<2,与 x0<0(x0≠-1)假设矛盾.故 f(x0)=0 没有负根. 2 当一个命题的结论是以“至多”,“至少”、“唯一”或以否定形式出现时,宜 用反证法来证, 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾, 矛盾可以是: ①与已知条件矛盾; ②与假设矛盾;③与定义、公理、定理矛盾;④与事实矛盾等方面,反证法常常是解决某些 “疑难”问题的有力工具,是数学证明中的一件有力武器. 【训练 3】 已知 a,b 为非零向量,且 a,b 不平行,求证:向量 a+b 与 a-b 不平行. 证明 假设向量 a+b 与 a-b 平行, 即存在实数 λ 使 a+b=λ (a-b)成立, 则(1-λ )a+(1+λ )b=0,∵a,b 不平行,
?1-λ =0, ? ∴? ? ?1+λ =0, ?λ =1, ? 得? ? ?λ =-1,

所以方程组无解,故假设不成立,故原命题成 立.

规范解答 24——怎样用反证法证明问题 【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法,其基本特点是反设结论,导出矛盾,当问题 从正面证明无法入手时,就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中,对反证法的考查往往 是在试题中某个重要的步骤进行. 【解决方案】 首先反设,且反设必须恰当,然后再推理、得出矛盾,最后肯定. 【示例】? (本题满分 12 分)(2011·安徽)设直线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数

k1,k2 满足 k1k2+2=0.
(1)证明 l1 与 l2 相交; (2)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x +y =1 上. 第(1)问采用反证法,第(2)问解 l1 与 l2 的交点坐标,代入椭圆方程验证. [解答示范] 证明 (1)假设 l1 与 l2 不相交,
2 2

则 l1 与 l2 平行或重合,有 k1=k2,(2 分) 代入 k1k2+2=0,得 k1+2=0.(4 分) 这与 k1 为实数的事实相矛盾,从而 k1≠k2,即 l1 与 l2 相交.(6 分) (2)由方程组?
?y=k1x+1, ? ? ?y=k2x-1,
2

5

2 ?x=k -k , ? 解得交点 P 的坐标(x,y)为? k +k ?y=k -k . ?
2 2 2 1 1 1

(9 分)

从而 2x +y =2?
2 2 2 2

? 2 ?2+?k2+k1?2 ? ? ? ?k2-k1? ?k2-k1?
2 2

8+k2+k1+2k1k2 k1+k2+4 = 2 2 = 2 2 =1, k2+k1-2k1k2 k1+k2+4 此即表明交点 P(x,y)在椭圆 2x +y =1 上.(12 分) 用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2) 必须从否定结论进行推理, 即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多 样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是 明显的. 【试一试】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列. [尝试解答] (1)当 n=1 时,a1+S1=2a1=2,则 a1=1. 1 又 an+Sn=2,所以 an+1+Sn+1=2,两式相减得 an+1= an, 2 1 1 所以{an}是首项为 1,公比为 的等比数列,所以 an= n-1. 2 2 (2)反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且 p,q,
2 2

r∈N*),
1 1 1 r-q r-p 则 2· q= p+ r,所以 2·2 =2 +1.① 2 2 2 又因为 p<q<r,所以 r-q,r-p∈N . 所以①式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立,所以假设不成立,原命题得证.
*

6


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