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高一数学竞赛班测试卷(三角函数)


高一数学竞赛班测试卷(三角函数)
考试时间:135 分钟 满分:200 分
一.选择题:本大题共 9 小题,每小题 8 分,共 72 分 1. 已知 f(x)是定义在(0,3)上的函数,f(x)的图象如图 5—1 所示,那么不等式 f (x)cosx<0 的解集是( )

A.(0,1)∪(2,3)

? B.(1, 2

? )∪( 2

,3)

? C.(0,1)∪( 2

,3)

D.(0,1)∪(1,3)

图 5—1

? ? ?? ?? , ? 2.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? 3 4 ? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等
于( )

2 A. 3
2 2

3 B. 2

C.2

D.3 ) B.{x|2kπ +

3.若 sin x>cos x,则 x 的取值范围是( A.{x|2kπ -

3 ? π <x<2kπ + ,k∈Z} 4 4
,k∈Z}

5 ? <x<2kπ + π ,k∈Z} 4 4

C.{x|kπ -

? ? <x<kπ + 4 4

D.{x|kπ +

? 3 <x<kπ + π ,k∈Z} 4 4
x?

4.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在

?
4 处取得最

y? f(
小值,则函数

3? ? x) 4 是(



A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

3? ,0) B.偶函数且它的图象关于点 2 对称 (
D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

3? ,0) C.奇函数且它的图象关于点 2 对称 (

5.设 M={平面内的点(a,b)},N={f(x)|f(x)=acos 2x+bsin 2x},给出 M 到 N 的映射 f:(a,b)→f(x)=acos 2x+bsin 2x,则点(1, 3)的象 f(x)的最小正周期为( )

1

A.π

B.2π

π C. 2

D.

π 4

1 sin235°- 2 6.化简 =( cos 10°cos 80° A.-2 1 B.- 2

) C.-1 D.1 )

3 7.已知 tan α =- ,且 tan(sin α )>tan(cos α ),则 sin α 的值为( 4 3 A.- 5 8.函数 f(x)=cos2x+sin( 3 B. 5 C.± ) 3 5 4 D.- 5

? +x)是( 2

A.非奇非偶函数 C.仅有最大值的偶函数
2

B.仅有最小值的奇函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数

9.已知方程 x +4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tan ? 、tanβ ,且 ? ,β ∈

? ?
(- 2 2 ),则 tan

,

???
2
的值是( )

1 A. 2

B.-2

4 C. 3

1 D. 2 或-2

二.填空题:本大题共 9 小题,每小题 8 分,共 72 分 10. 函数 f(x)=(

1 |cosx| ) 在[-π 3

,π ]上的单调减区间为_________.

? ? 3 3? 5 11.设 ? ∈( 4 4 ),β ∈(0, 4 ),cos( ? - 4 )= 5 ,sin( 4 +β )= 13 ,
,
则 sin( ? +β )=_________.

? 3?

? 3? 12 3 12.已知 2 <β < ? < 4 ,cos( ? -β )= 13 ,sin( ? +β )=- 5 ,求 sin2 ? 的值
_________.

? 2 ? 2 13.函数 f(x)=sin x+2cos x 在区间?- π ,θ ?上的最大值为 1,则 θ 的值是 ? 3 ?

2

14.sin

2 6 7 π ,cos π ,tan π 从小到大的顺序是 5 5 5

.

?sin(?x 2 ), ?1 ? x ? 0 ? 15 . 函 数 f ( x ) ? ? x ?1 , 若 f (1) ? f (a) ? 2 , 则 a 的 所 有 可 能 值 为 ?e , x ? 0 ?
______________. 16. 函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? ?0,2? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点, 则 k 的取值范围是__________。 17. ABC 中, 在△ 已知 A、、 成等差数列, tan B C 则

A C A C ? tan ? 3 tan tan 的值为__________. 2 2 2 2

3 ? 1 18.已知 sin ? = 5 , ? ∈( 2 ,π ),tan(π -β )= 2 ,则 tan( ? -2β )=_________.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分 19(本小题满分 16 分) 设关于 x 的函数 y=2cos x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a), 试确定满足 f(a)= 值,并对此时的 a 值求 y 的最大值.
2

1 的a 2

3

20(本小题满分 20 分)不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值.

21(本小题满分 20 分) 已知 M (a, b), N (sin ?x, cos?x)(? ? 0) ,记

f ( x) ? OM ? ON

(O 为坐标原点) 。若

f (x) 的最小正周期为 2,并且当
(Ⅰ)求函数 f (x) 的表达式;

x?

1 3 时, f (x) 的最大值为 5。

(Ⅱ)对任意的整数 n,在区间 (n, n ? 1) 内是否存在曲线 y ? f (x) 的对称轴? 若存在,求其方程;若不存在,说明理由。

4

滁州中学 2011 级数学竞赛班周考(6)答案
考试时间:135 分钟 满分:200 分
一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 8 分,共 72 分 1. 已知 f(x)是定义在(0,3)上的函数,f(x)的图象如图 5—1 所示,那么不等式 f(x) cosx<0 的解集是( )

A.(0,1)∪(2,3)

? B.(1, 2

? )∪( 2

,3)

? C.(0,1)∪( 2
1.C.对照

,3)

D.(0,1)∪(1,3)

图 5—1

y ? cos x 图像,当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 , cos x ? 0 ,

故 f ( x) cos x ? 0

x ? ( ,3) x ? (0,1) ? ( ,3) 2 2 当 时, f ( x) ? 0 , cos x ? 0 ,故 f ( x) cos x ? 0 ,故
? ? ?? ?? , ? 2.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? 3 4 ? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等
于( )

?

?

2 A. 3

3 B. 2

C.2

D.3

2.B.由 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 的图像特征知,当 T=

4?

?
3 时 ? 取得的最小值等于

2? 3 ? 4? 2 3
3.若 sin2x>cos2x,则 x 的取值范围是( A.{x|2kπ - ) B.{x|2kπ +

3 ? π <x<2kπ + ,k∈Z} 4 4
<x<kπ +

? 4

<x<2kπ +

5 π ,k∈Z} 4

C.{x|kπ -

? 4

? 4

,k∈Z}

D.{x|kπ +

? 4

<x<kπ +

3 π ,k∈Z} 4

5

3.D.由 sin2x>cos2x 得 cos2x<0,得 2kπ +

? 3 3 ? <2x<2kπ + π 即 kπ + <x<kπ + π 2 2 4 4
x?

4.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在

?
4 处取得最

y? f(
小值,则函数

3? ? x) 4 是(



A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

3? ,0) B.偶函数且它的图象关于点 2 对称 (
D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

3? ,0) C.奇函数且它的图象关于点 2 对称 ( f ( x) ? sin( x ?
4. 依题意不妨设 D.

3? 3? 3? 3? ) y ? f ( ? x) ? sin[( ? x) ? ] ? ? sin x 4 则 4 4 4

5.设 M={平面内的点(a,b)},N={f(x)|f(x)=acos 2x+bsin 2x},给出 M 到 N 的映射 f:(a, b)→f(x)=acos 2x+bsin 2x,则点(1, 3)的象 f(x)的最小正周期为( A.π B.2π π C. 2 2π ∴T= =π 2 π D. 4 )

π 5.A f(x)=cos 2x+ 3sin 2x=2sin?2x+6? ? ? 1 2 6.化简 =( cos 10° 80° cos sin235° - A.-2 ) B.- 1 2

C.-1

D.1

1-cos 70° 1 1 1 - - cos 70° 2 2 2 2 6.C = = =-1.故选 C. cos 10° 80° cos 10°sin 10° 1 cos · sin 20° 2 sin235° - 3 7.已知 tan α=- ,且 tan(sin α)>tan(cos α),则 sin α 的值为( 4 3 A.- 5 3 B. 5 3 C.± 5 )

4 D.- 5

7.B ∵sin α,cos α∈[-1,1],且 y=tan x 在[-1,1]上递增, 3 ∴sin α>cos α.而 tan α=- <0, 4 3 ∴sin α>0,且 cos α<0. ∴sin α= ,选 B. 5

6

8.函数 f(x)=cos2x+sin(

? +x)是( 2

)

A.非奇非偶函数 C.仅有最大值的偶函数

B.仅有最小值的奇函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数 1 2 1 ? 8 解析:f(x)=cos2x+sin( +x)=2cos2x-1+cosx=2[(cosx+ ) ? ]-1. 8 2 2 2 答案:D 9.已知方程 x +4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tan ? 、tanβ ,且 ? ,β ∈
2

? ?
(- 2 2 ),则 tan

,

???
2
的值是( )

1 A. 2

B.-2

4 C. 3

1 D. 2 或-2

解析:∵a>1,tanα +tanβ =-4a<0. tan ? tanβ =3a+1>0, 又 ? 、β ∈(- 2 , 2 )∴ ? 、β ∈(- 2 ,0),则 2 ∈(- 2 ,0),

? ?

?

???

?

??? 2 tan tan ? ? tan ? ? 4a 4 4 2 ? ? , 又 tan(? ? ?) ? ? ??? 3 1 ? tan ? tan ? 1 ? (3a ? 1) 3 1 ? tan 2 2 ? +β )= 又 tan( ,

??? 解得 tan 2 =-2. 答案:B
二、填空题:本大题共 9 小题,每小题 8 分,共 72 分

1 |cosx| ) 在[-π ,π ]上的单调减区间为_________. 3 ? ? 10 解:在[-π ,π ]上,y=|cosx|的单调递增区间是[- ,0]及[ ,π ].而 f(x)依| 2 2 ? ? cosx|取值的递增而递减,故[- ,0]及[ ,π ]为 f(x)的递减区间. 2 2
10. 函数 f(x)=( 11.设 ? ∈( 4 4 ),β ∈(0, 4 ),cos( ? - 4 )= 5 ,sin( 4 +β )= 13 , 则 sin( ? +β )=_________.

? 3?
,

?

?

3

3?

5

? 3? ? ? ? 3 , 11.解析:α ∈( 4 4 ),α - 4 ∈(0, 2 ),又 cos(α - 4 )= 5 .

7

? 4 ? 3? 3? 3? 5 3? 12 ? sin(? ? ) ? , ? ? (0, ).? ? ? ? ( , ?).sin( ? ?) ? ,? cos( ? ?) ? ? . 4 5 4 4 4 4 13 4 13 ? 3? ? ? sin(? ? ?) ? sin[(? ? ) ? ( ? ?) ? ] 4 4 2 ? 3? ? ? cos[(? ? ) ? ( ? ?)] 4 4 ? 3? ? 3? 3 12 4 5 56 ? ? cos(? ? ) ? cos( ? ?) ? sin(? ? ) ? sin( ? ?) ? ? ? (? ) ? ? ? . 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即sin(? ? ?) ? 65

56 答案: 65

? 3? 12 3 12.已知 2 <β < ? < 4 ,cos( ? -β )= 13 ,sin( ? +β )=- 5 ,求 sin2 ? 的值_________.
? 3? ? 3? 2 <β < ? < 4 ,∴0< ? -β < 4 .π < ? +β < 4 , 12.解法一:∵ 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? 5 4 , cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ? . 13 5

∴sin( ? -β )=

∴sin2 ? =sin[( ? -β )+(

? +β )]=sin( ? -β )cos( ? +β )+cos( ? -β )sin( ? +β )

?

5 4 12 3 56 ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 5 65

5 4 72 解法二: ∵sin(α -β )= 13 ,cos(α +β )=- 5 ,∴sin2α +sin2β =2sin(α +β )cos(α -β )=- 65 40 1 72 40 56 (? ? ) ? ? 65 sin2α -sin2β =2cos(α +β )sin(α -β )=- 65 ∴sin2α = 2 65 65
2 13.函数 f(x)=sin2x+2cos x 在区间?-3π,θ?上的最大值为 1,则 θ 的值是 ? ? 2π 13.因为 f(x)=sin2x+2cos x=-cos2x+2cos x+1=-(cos x-1)2+2,又其在区间?- 3 ,θ?上的最 ? ? π 大值为 1,故数形结合知 θ=- . 2

14.sin

2 6 7 π ,cos π ,tan π 从小到大的顺序是 5 5 5

.

8

14. cos ? ? sin ? ? tan ? .

6 5

2 5

7 5

2 sin ? 6 7 2 5 ? sin 2 ? ? 0 因为 cos π <0, tan π =tan π = 2 5 5 5 5 cos ? 5
15 . 函 数 f ( x ) ? ? ______________. 15. 1,?

?sin(?x 2 ), ?1 ? x ? 0 ? , 若 f (1) ? f (a) ? 2 , 则 a 的 所 有 可 能 值 为 ?e x ?1 , x ? 0 ?

2 1?1 2 .依题意 f (1) ? e ? 1, 又f (1) ? f (a) ? 2 ,所以 f (a) ? 1令 sin(? x ) ? 1 得 2

x??

2 2 (舍去正值) ,所以 x ? ? 或x= 1 2 2

16. 函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? ?0,2? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点, 则 k 的取值范围是__________。

? ? ? ? ?3 ? ?3sin x, x ? ?0, 2 ? ? ? 2 ? , 2? ? ? ? ? ? ? 16. (1,3) .画出 f ( x ) ? ? 的图像,数形结合可解得 ? ? sin x, x ? ? ? , 3 ? ? ?2 2 ? ? ? ? ?
17.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,则 tan __________. 17. 答案: 3 解析:∵A+B+C=π ,A+C=2B,

A C A C ? tan ? 3 tan tan 的值为 2 2 2 2

?A?C ?

2? A?C A C A C , tan( ) ? 3, tan ? tan ? 3 (1 ? tan tan ) 3 2 2 2 2 2 A C A C 故 tan ? tan ? 3 tan tan ? 3. 2 2 2 2

3 ? 1 18.已知 sin ? = 5 , ? ∈( 2 ,π ),tan(π -β )= 2 ,则 tan( ? -2β )=_________. 3 ? 4 3 1 5 ,α ∈( 2 ,π ),∴cosα =- 5 则 tanα =- 4 ,又 tan(π -β )= 2 18.解析:∵sinα =

9

1 2 ? (? ) 2 tan ? 2 ? ? 4. tan 2? ? ? 2 1 2 3 1 ? tan ? 1 ? (? ) 2 3 4 ? ? (? ) tan ? ? tan 2 ? 7 4 3 tan(? ? 2?) ? ? ? 1 7 3 4 1 ? tan ? ? tan 2? 24 1 ? (? ) ? (? ) 4 3 可得 tanβ =- 2 , 答案: 24
三、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分 19(本小题满分 16 分) 设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a), 试确定满足 f(a)= 并对此时的 a 值求 y 的最大值. 19 解:由 y=2(cosx-

1 的 a 值, 2

a 2 a 2 ? 4a ? 2 )- 及 cosx∈[-1,1]得: 2 2

( a ? ?2 ) ?1 ? 2 ? a ? 2 a ? 1 ( ?2 ? a ? 2 ) f(a)= ?? ? 2 ( a ? 2) ?1 ? 4a ?

1 1 1 1 a2 ,∴1-4a= ? a= ?[2,+∞ ) ;故- -2a-1= ,解得:a=-1,此时, 2 2 2 8 2 1 1 y=2(cosx+ )2+ ,当 cosx=1 时,即 x=2kπ ,k∈Z,ymax=5. 2 2
∵f(a)= 20(本小题满分 20 分) 不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值. 20 解法一:sin220°+cos280°+ 3 sin220°cos80°

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80° 2 2 1 1 =1- cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 =1- cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°)+ 3 sin20°(cos60°cos20°- 2 2 sin60°sin20°)
=

1 1 3 3 3 cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin220° 4 4 2 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= 4 4 4
=1- 解法二:设 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80° y=cos220°+sin280°- 3 cos20°sin80°,则
10

x+y=1+1- 3 sin60°=

1 ,x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100° 2

=-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0 ∴x=y=

1 1 ,即 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°= . 4 4

21(本小题满分 20 分) 已知 M (a, b), N (sin ?x, cos?x)(? ? 0) ,记

f ( x) ? OM ? ON (O 为坐标原点) 。若

f (x) 的最小正周期为 2,并且当
(Ⅰ)求函数 f (x) 的表达式;

x?

1 3 时, f (x) 的最大值为 5。

(Ⅱ)对任意的整数 n,在区间 (n, n ? 1) 内是否存在曲线 y ? f (x) 的对称轴? 若存在,求其方程;若不存在,说明理由。 21.解: (1) f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x ? 5 sin(?x ? ? ) ,

? 2? ?? ?2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f (1) ? 5 f ( x) ? 5 sin(?x ? ) ?? ? 6 ? 3 ? 6 。 由已知得 ? ,得 ,所以
x ? x0 (Ⅱ)曲线 y ? f (x) 有对称轴 的充要条件是

? ? ? 1 5 sin(?x0 ? ) ? ?5 ? ?x0 ? ? k? ? ? x0 ? k ? 6 6 2 3 , k ? Z 。由
1 n ? k ? ? n ? 1 ? k ? n( n ? Z ) 3 , 所以在区间 (n, n ? 1) 内存在曲线 y ? f (x) 的对称轴, 其 1 x ? n ? (n ? Z ) 3 方程是 。

11

12


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