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2009全国高中数学联赛试题及答案


2009 年全国高中数学联赛
受中国数学会委托,2009 年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。中国数学会普 及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。 2009 年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部 2000 年《全日制普通高级中学数 学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基 础知识和基本技能的掌握情况, 以及综合和灵活运

用的能力。 全卷包括 8 填空题和 3 道大题, 满分 100 分。答卷时间为 80 分钟。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括 4 道大题,其中一道平面几何题,试卷满分 200 分。答卷时问为 150 分钟。

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一、填空(每小题 7 分,共 56 分) x 1. 若函数 f ? x ? ? 且 f ( n ) ? x ? ? f ? f ? f ? f ? x ?? ? ,则 f ? 99? ?1? ? ?? ? ?? ??? ???? ? 1 ? x2
n



2. 已知直线 L : x ? y ? 9 ? 0 和圆 M : 2 x ? 2 y ? 8x ? 8 y ? 1 ? 0 ,点 A 在直线 L 上, B , 为 圆 M 上 两 点 , 在 ?ABC 中 , ?BAC ? 45? , AB 过 圆 心 M , 则 点 A 横 坐 标 范 围 C 为 . ?y≥0 ? 3. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 ? y ≤ x , N 是随 t 变化的区域,它由 ?y≤2 ? x ?
2 2

不 等 式 t ≤ x ≤ t ? 1 所 确 定 , t 的 取 值 范 围 是 0 ≤ t ≤1 , 则 M 和 N 的 公 共 面 积 是 函 数 f ?t ? ? . 4. 使不等式
1 1 1 1 ? ??? ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 n ?1 n ? 2 2n ? 1 3

. x2 y 2 5. 椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 上任意两点 P ,Q ,若 O ?O ,则乘积 OP ? OQ 的最 P Q a b 小值为 . 6. 若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 . 7. 一个由若干行数字组成的数表, 从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数 之和,最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的 数是 (可以用指数表示) 8. 某车站每天 8 00 ~ 9 00 , 9 00 ~10 00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随 ∶ ∶ ∶ ∶ 机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 到站时刻 概率

a 的值为

8 10 ∶ 9 10 ∶

8 30 ∶ 9 30 ∶

8 50 ∶ 9 50 ∶

1 1 6 2 一旅客 8 20 到车站,则它候车时间的数学期望为 ∶ 二、解答题

1 3 (精确到分).
x2 y 2 ? ? 1 交于不同两 16 12

1. (14 分)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭圆

x2 y 2 点 A , B ,与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l ,使得向量 4 12 ???? ??? ? AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

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2. (15 分) 已知 p , ? q ? 0 ? 是实数, 方程 x2 ? px ? q ? 0 有两个实根 ? ,? , 数列 ?an ? q 满足 a1 ? p , a2 ? p 2 ? q , an ? pan?1 ? qan?2 ? n ? 3 , , ? 4 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式(用 ? , ? 表示); (Ⅱ)若 p ? 1 , q ?
1 ,求 ?an ? 的前 n 项和. 4

3. (15 分)求函数 y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值.

加试 一、填空(共 4 小题,每小题 50 分,共 200 分)
? 9. 如图, M , N 分别为锐角三角形 ?ABC ( ?A ? ?B )的外接圆 ? 上弧 BC 、 ? 的 AC 中点.过点 C 作 PC ∥MN 交圆 ? 于 P 点, I 为 ?ABC 的内心,连接 PI 并延长交圆 ? 于 T . ⑴求证: MP ? MT ? NP ? NT ; ⑵在弧 ? (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , T , B ),记 ?AQC , △QCB 的内 AB

心分别为 I1 , I 2 ,
P N I T A Q C M

B

求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆.

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10. 求证不等式: 1 ? n k ? ?1 ? ? ? 2 ? ? ln n ≤ , n ? 1 ,2,… 2 ? k ?1 k ? 1 ?

11. 设 k ,l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 C k 与 l 互素. m

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x ?x8 19 1 ? 2 5x 2x 6 2x ? x 8 7 2 2 9 ?x x 3x 5 3x 6 3 7 ? 3 8 3 9 中每行的数互不相同, 6 列中每列的三数之和为 1,x17 ? x28 ? x39 ? 0 ,x27 ,x37 ,x18 ,x38 , 前
1 5

12. 在非负数构成的 3 ? 9 数表 ? x1 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4x ? P ? ? x 1 x2 2 x 2 3 x 2 4 x 2 ?x x x x x ? 31 32 33 34

x

1 6

x

1 7

x19 , x29 均大于.如果 P 的前三列构成的数表
? x1 1 x 1 2 x ? 3 1 ? ? S ? ? x 1 x2 2 x?2 3 2 ?x x x ? 3 ? 31 32 ?3 ? x1k ? ? ? 满足下面的性质 (O) :对于数表 P 中的任意一列 ? x2 k ? ( k ? 1 ,2,…,9)均存在某个 ?x ? ? 3k ? i ? ?1,2 , ? 使得 3

⑶ xik ≤ ui ? min ?xi1 ,xi 2 ,xi 3 ? .求证:

(ⅰ)最小值 ui ? min ?xi1 ,xi 2 ,xi 3? , i ? 1 ,2,3 一定自数表 S 的不同列.
? x1k * ? ? ? (ⅱ)存在数表 P 中唯一的一列 ? x2 k * ? , k * ≠1 ,2,3 使得 3 ? 3 数表 ? ?x ? ? ? 3k* ? ? x11 x12 x1k * ? ? ? S ? ? ? x21 x22 x2 k * ? ? ? x31 x32 x ? ? 3k * ? ? 仍然具有性质 (O) .

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