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高中数学必修五第一章测试


第一章测试
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在△ABC 中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.非钝角三角形 52+62-82 3 解析 最大

边 AC 所对角为 B,则 cosB= =-20<0,∴B 为钝角. 2×5×6 答案 C 2.在△ABC 中,已知 a=1,b= 3,A=30° 为锐角,那么 A,B,C 的 ,B 大小关系为( ) A.A>B>C B.B>A>C C.C>B>A D.C>A>B a b bsinA 3 解析 由正弦定理sinA=sinB,∴sinB= a = 2 . ∵B 为锐角,∴B=60° ,则 C=90° ,故 C>B>A. 答案 C 3.在△ABC 中,已知 a=8,B=60° ,C=75° ,则 b 等于( ) A.4 2 B.4 3 32 C.4 6 D. 3 asinB 解析 由 A+B+C=180° ,可求得 A=45° ,由正弦定理,得 b= sinA = 3 8× 2 8×sin60° sin45° = 2 =4 6. 2 答案 C a+b+c 4.在△ABC 中,A=60° ,a=3,则 等于( ) sinA+sinB+sinC 8 3 2 39 A. 3 B. 3 26 3 C. 3 D.2 3 解析 利用正弦定理及比例性质,得 a+b+c a 3 3 =sinA=sin60° = =2 3. sinA+sinB+sinC 3 2

答案 D 5.若三角形三边长之比是 1? 3? 2 ,则其所对角之比是( ) A.1? 2? 3 B .1? 3? 2 C.1? 2? 3 D. 2? 3? 2 a2+? 3a?2-?2a?2 解析 设三边长分别为 a, 3a,2a, 设最大角为 A, cosA= 则 2· 3a a· =0, ∴A=90° . ?2a?2+? 3a?2-a2 3 设最小角为 B,则 cosB= =2, 2· 3a 2a· ∴B=30° ,∴C=60° . 因此三角之比为 1? 2? 3. 答案 A 6.在△ABC 中,若 a=6,b=9,A=45° ,则此三角形有( ) A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不确定 2 9× 2 b a bsinA 3 2 解析 由sinB=sinA,得 sinB= a = 6 = 4 >1. ∴此三角形无解. 答案 A 7.已知△ABC 的外接圆半径为 R,且 2R(sin2A-sin2C)=( 2a-b)sinB(其中 a,b 分别为 A,B 的对边),那么角 C 的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析 根据正弦定理,原式可化为 2 c2 ? b ?a 2R?4R2-4R2?=( 2a-b)· , 2R ? ? ∴a2-c2=( 2a-b)b,∴a2+b2-c2= 2ab, a2+b2-c2 2 ∴cosC= 2ab = 2 ,∴C=45° . 答案 B 8.在△ABC 中,已知 sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,且满足 ab=4,则该 三角形的面积为( ) A.1 B.2 C. 2 D. 3 a b c 解析 由sinA=sinB=sinC=2R,又 sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C, 可得 a2+b2-ab=c2. a2+b2-c2 1 3 ∴cosC= 2ab =2,∴C=60° ,sinC= 2 . 1 ∴S△ABC=2absinC= 3. 答案 D

sinB 9.在△ABC 中,A=120° ,AB=5,BC=7,则sinC的值为( 8 A.5 5 C.3 解析 5 B.8 3 D.5

)

由余弦定理,得 AB2+AC2-BC2 cosA= ,解得 AC=3. 2AB· AC sinB AC 3 由正弦定理sinC=AB =5. 答案 D 10.在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 的大小为( ) 2π 5π A. 3 B. 6 3π π C. 4 D.3 AB2+AC2-BC2 52+32-72 1 解析 由余弦定理,得 cos∠BAC= = =-2,∴ 2AB· AC 2×5×3 2π ∠BAC= 3 . 答案 A 11.有一长为 1 km 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现要将倾斜角改为 10° ,则 坡底要加长( ) A.0.5 km B.1 km 3 C.1.5 km D. 2 km 解析 如图,AC=AB· sin20° =sin20° , AC BC=AB· cos20° =cos20° ,DC=tan10° =2cos210° , ∴DB=DC-BC=2cos210° -cos20° =1.

答案 B 12.已知△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=c= 6+ 2,且 A=75° ,则 b 为( ) A.2 B.4+2 3 C.4-2 3 D. 6- 2 解析 在△ABC 中,由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA,∵a=c,∴0= b2-2bccosA=b2-2b( 6+ 2)cos75° ,而 cos75° =cos(30° +45° )=cos30° cos45° 2 3 1 1 -sin30° sin45° 2 ( 2 -2)=4( 6- 2),∴b2-2b( 6+ 2)cos75° 2-2b( 6 = =b 1 + 2)·( 6- 2)=b2-2b=0,解得 b=2,或 b=0(舍去).故选 A. 4 答案 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线 上) 13 . 在 △ ABC 中 , A = 60° C = 45° b = 4 , 则 此 三 角 形 的 最 小 边 是 , , ____________. 解析 由 A+B+C=180° ,得 B=75° ,∴c 为最小边,由正弦定理,知 c= bsinC 4sin45° sinB = sin75°=4( 3-1). 答案 4( 3-1) 14.在△ABC 中,若 b=2a,B=A+60° ,则 A=________. 解析 由 B=A+60° ,得 1 3 sinB=sin(A+60° 2sinA+ 2 cosA. )= 又由 b=2a,知 sinB=2sinA. 1 3 ∴2sinA=2sinA+ 2 cosA. 3 3 即 sinA= cosA. 2 2 3 ∵cosA≠0,∴tanA= 3 . ∵0° <A<180° ,∴A=30° . 答案 30° 15.在△ABC 中,A+C=2B,BC=5,且△ABC 的面积为 10 3,则 B= ________,AB=________. 解析 由 A+C=2B 及 A+B+C=180° ,得 B=60° . 1 又 S=2AB· sinB, BC· 1 ∴10 3=2AB×5×sin60° ,∴AB=8. 答案 60° 8 16 . 在 △ ABC 中 , 已 知 (b + c)? ( + a)? ( + b) = 8? 9? 10, 则 c a sinA? sin B? sin C=________. 解析

?b+c=8k, 设?c+a=9k, ?a+b=10k,

可得 a?b?c=11? 9? 7.

∴sinA? sin B? sin C=11? 9? 7. 答案 11? 9? 7 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) a2 sinAcosB 17.(10 分)在△ABC 中,若b2=cosAsinB,判断△ABC 的形状. a2 a cosB 解 依据正弦定理,得b2=b· ,所以 acosA=bcosB.再由正弦定理,得 cosA sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B,因为 2A,2B∈(0,2π),故 2A=2B,或 2A

π +2B=π.从而 A=B,或 A+B=2,即△ABC 为等腰三角形,或直角三角形. 18.(12 分)锐角三角形 ABC 中,边 a,b 是方程 x2-2 3x+2=0 的两根, 角 A,B 满足 2sin(A+B)- 3=0.求: (1)角 C 的度数; (2)边 c 的长度及△ABC 的面积. 解 (1)由 2sin(A+B)- 3=0, 3 得 sin(A+B)= 2 . ∵△ABC 为锐角三角形, ∴A+B=120° ,∴∠C=60° . 2 (2)∵a,b 是方程 x -2 3x+2=0 的两个根, ∴a+b=2 3,ab=2. ∴c2=a2+b2-2abcosC =(a+b)2-3ab=12-6=6. ∴c= 6. 1 1 3 3 S△ABC=2absinC=2×2× 2 = 2 .

19. 分)如右图, (12 某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75° 距离为 12 6 , nmile,在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30° ,距离为 8 3 nmile,货轮由 A 处向 正北航行到 D 处时,再看灯塔 B 在北偏东 120° ,求: (1)A 处与 D 处的距离; (2)灯塔 C 与 D 处的距离. 分析 (1)要求 AD 的长,在△ABD 中,AB=12 6,B=45° ,可由正弦定理 求解;(2)要求 CD 的长,在△ACD 中,可由余弦定理求解. 解 (1)在△ABD 中,∠ADB=60° ,B=45° ,AB=12 6,由正弦定理,得 2 12 6× 2 ABsinB AD= = =24(nmile). sin∠ADB 3 2 (2)在△ADC 中,由余弦定理,得 CD2=AD2+AC2-2AD· cos30° AC· . 解得 CD=8 3(nmile). ∴A 处与 D 处的距离为 24 nmile,灯塔 C 与 D 处的距离为 8 3 nmile. A 20.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos 2 2 5 → → = 5 ,AB· =3. AC (1)求△ABC 的面积;

(2)若 b+c=6,求 a 的值. A 2 5 解 (1)∵cos 2 = 5 , A 3 4 ∴cosA=2cos2 2 -1=5,sinA=5. → AC → 又由AB· =3,得 bccosA=3,∴bc=5. 1 因此 S△ABC=2bcsinA=2. (2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6, ∴b=5,c=1,或 b=1,c=5. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA=20. ∴a=2 5. π 21.(12 分)在△ABC 中,已知内角 A=3,边 BC=2 3,设内角 B=x,周长 为 y. (1)求函数 y=f(x)的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解 π 2π (1)△ABC 的内角和 A+B+C=π,由 A=3,B>0,C>0,得 0<B< 3 .应

用正弦定理,得 BC 2 3 AC=sinA· sinB= π · sinx=4sinx. sin3 BC ?2π ? AB= sinC=4sin? 3 -x?. sinA ? ? ∵y=AB+BC+CA, 2π? ?2π ? ? ∴y=4sinx+4sin? 3 -x?+2 3?0<x< 3 ?. ? ? ? ? 3 1 (2)y=4(sinx+ 2 cosx+2sinx)+2 3 π =4 3sin(x+6)+2 3. π π 5π ∵6<x+6< 6 , π π π ∴当 x+6=2,即 x=3时,y 取得最大值 6 3. 22. 分)△ABC 中, B, 所对的边分别为 a, c, (12 A, C b, tanC= sin(B-A)=cosC. (1)求 A,C; (2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. sinA+sinB 解 (1)因为 tanC= , cosA+cosB sinC sinA+sinB 即cosC= , cosA+cosB sinA+sinB , cosA+cosB

所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,得 sin(C-A)=sin(B-C). 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 2π 即 2C=A+B,得 C=3,所以 B+A= 3 . 1 又因为 sin(B-A)=cosC=2, π 5π 则 B-A=6,或 B-A= 6 (舍去). π 5π 得 A=4,B=12. π π 所以 A=4,C=3. 6+ 2 1 (2)S△ABC=2acsinB= 8 ac=3+ 3, a c a c 又sinA=sinC,即 = . 2 3 2 2 得 a=2 2,c=2 3.


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