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陕西省咸阳市西北农林科大附中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷


2015-2016 学年陕西省咸阳市西北农林科大附中高一(上)期中数 学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求) 1.已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x﹣y=4},那么 M∩N 为( ) A.x=3,y=﹣1 B. (3,﹣1) C.{3,﹣1} D.{(3,﹣1

)} 2. 下列五个写法: ①{0}∈{1, 2, 3}; ②??{0}; ③{0, 1, 2}?{1, 2, 0}; ④0∈?; ⑤0∩?=?, 其中错误写法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.设函数 f(x)=(2a﹣1)x+b 是 R 上的减函数,则有( A. B. C. D. )

4.若集合 A.{y|y≥1}

,则 M∩N=( B.{y|y>1} C.{y|y>0} D.{y|y≥0}
2 0.2



5.比较 a,b,c 的大小,其中 a=0.2 ,b=2 ,c=log0.22( A.b>c>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c



6.函数 y=

的定义域为(

) D.[3,+∞)

A. (﹣1,+∞) B. (﹣1,3)

C. (3,+∞)

7.设 x0 是方程 lnx+x=4 的解,则 x0 属于区间( ) A. (3,4) B. (2,3) C. (1,2) D. (0,1) 8.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( A.y=2x
3



B.y=|x|+1

C.y=﹣x +4 D.y=2

2

﹣|x|

9.若偶函数 f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,则( ) A.f(﹣1.5)<f(﹣1)<f(2) B.f(﹣1)<f(﹣1.5)<f(2) <f(﹣1.5) D.f(2)<f(﹣1.5)<f(﹣1)
x

C.f(2)<f(﹣1)

10.若函数 y=a +b﹣1(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有( A.0<a<1,且 b>0 B.a>1,且 b>0 C.0<a<1,且 b<0 D.a>1,且 b<0



二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.) 11.已知(x,y)在映射 f 的作用下的像是(x+2y,2x﹣y) ,在映射 f 下, (3,1)的原像 为 . 12.不等式 lg(x﹣1)<1 的解集是 . (用区间表示)

13.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x﹣2,则不等式 f(x)< 的 解集为 . .

14.下列说法中,正确的是
x x

①任取 x∈R 都有 3 >2 ﹣x x ②当 a>1 时,任取 x∈R 都有 a >a ﹣x ③y=( ) 是增函数 |x| ④y=2 的最小值为 1 ﹣x x ⑤在同一坐标系中,y=2 与 y=2 的图象对称于 y 轴.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知集合 A={x|﹣4<x<2},B={x|x<﹣5 或 x>1},C={x|m﹣1<x<m+1},m∈R. (1)求 A∩B; (2)若 A∩B?C,求实数 m 的取值范围.

16.化简:



17.某类产品按质量可分为 10 个档次,生产最低档次的产品,每件利润 6 元,如果产品每提 高一个档次,则利润增加 2 元,用同样的工时,最低档次每天生产 60 件,提高一个档次将少 生产 4 件产品,问生产第几档次的产品,所获利润最大?

18.已知函数



(1)求 (2)画出这个函数的图象; (3)求 f(x)的最大值.



19.已知函数 f(x)=

(1)判断函数的奇偶性; (2)证明 f(x)是 R 上的增函数.

四、选择题(共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分)

20.设函数

若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是(



A. (﹣1,1) +∞)

B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(1,

五、填空题(共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) x 21. 若函数 f (x) =a ﹣x﹣a (a>0, 且 a≠1) 有两个零点, 则实数 a 的取值范围是 22.若 f(x)=loga(2﹣ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是 .



六、解答题(共 1 小题,满分 15 分) 23.已知二次函数 f(x)=ax +bx, (a,b 为常数,且 a≠0)满足条件 f(﹣x+5)=f(x﹣3) , 且方程 f(x)=x 有两个相等的实根. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m,n(m<n) ,使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]与[3m,3n],若存 在,求出 m,n 的值,若不存在,请说明理由.
2

2015-2016 学年陕西省咸阳市西北农林科大附中高一(上) 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求) 1.已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x﹣y=4},那么 M∩N 为( ) A.x=3,y=﹣1 B. (3,﹣1) C.{3,﹣1} D.{(3,﹣1)} 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】将集合 M 与集合 N 中的方程联立组成方程组,求出方程组的解即可确定出两集合的 交集. 【解答】解:将集合 M 和集合 N 中的方程联立得: , ①+②得:2x=6, 解得:x=3, ①﹣②得:2y=﹣2, 解得:y=﹣1, ∴方程组的解为: ,

则 M∩N={(3,﹣1)}. 故选 D 【点评】此题考查了交集及其运算,以及二元一次方程组的解法,是一道基本题型,学生易 弄错集合中元素的性质. 2. 下列五个写法: ①{0}∈{1, 2, 3}; ②??{0}; ③{0, 1, 2}?{1, 2, 0}; ④0∈?; ⑤0∩?=?, 其中错误写法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】集合的含义. 【专题】阅读型. 【分析】据“∈”于元素与集合;“∩”用于集合与集合间;判断出①⑤错,?是不含任何元素的 集合且是任意集合的子集判断出②④ 的对错;据集合元素的三要素判断出③对 【解答】解:对于①,“∈”是用于元素与集合的关系故①错 对于②,?是任意集合的子集,故②对 对于③,集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对 对于④,因为?是不含任何元素的集合故④错 对于⑤,因为∩是用于集合与集合的关系的,故⑤错

故选 C 【点评】本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素. 3.设函数 f(x)=(2a﹣1)x+b 是 R 上的减函数,则有( A. B. C. D. )

【考点】一次函数的性质与图象;函数单调性的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据一次函数的单调性由 x 的系数可得 2a﹣1<0,解可得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)=(2a﹣1)x+b 是 R 上的减函数, 则 2a﹣1<0 ∴a< 故选 B. 【点评】本题主要考查一次函数的单调性. 4.若集合 ,则 M∩N=( )

A.{y|y≥1} B.{y|y>1} C.{y|y>0} D.{y|y≥0} 【考点】交集及其运算;指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 【专题】计算题. 【分析】求出指数函数 y=2 及函数 y= 解集中的公共部分即可得到两集合的交集. 【解答】解:由集合 M 中的函数 y=2 >0,得到函数的值域为 y>0, ∴集合 M={y|y>0}, 由集合 N 中的函数 y= ≥0,得到函数的值域为 y≥0,
x x

的值域,分别确定出集合 M 和 N,找出两集合

∴集合 N={y|y≥0}, 则 M∩N={y|y>0}. 故选 C 【点评】此题属于以函数的值域为平台,考查了交集的运算,是高考中常考的基本题型. 5.比较 a,b,c 的大小,其中 a=0.2 ,b=2 ,c=log0.22( ) A.b>c>a B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c 【考点】指数函数单调性的应用;不等式比较大小. 【专题】计算题. 2 【分析】将 log0.22 看作函数 y=log0.2x 当 x=2 时所对应的函数值小于零,将 a=0.2 看作函数 x 0.2 x y=0.2 当 x=2 时所对应的函数值小于 1, 将 b=2 看作函数 y=2 当 x=0.2 时所对应的函数值大 于 1. 【解答】解:根据对数函数的性质可知 c=log0.22<0 2 0.2 根据指数函数的性质可知 0<0.2 <1,2 >1 ∴b>a>c 故选 D
2 0.2

【点评】本题主要考查在数的比较中,我们要注意函数思想的应用.

6.函数 y=

的定义域为(



A. (﹣1,+∞) B. (﹣1,3) C. (3,+∞) D.[3,+∞) 【考点】对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】由对数式的真数大于 0,分母中根式内部的代数式大于 0 联立不等式组得答案. 【解答】解:由 ,解得 x>3.

∴函数 y=

的定义域为(3,+∞) .

故选:C. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查了指数不等式的解法,是基础题. 7.设 x0 是方程 lnx+x=4 的解,则 x0 属于区间( ) A. (3,4) B. (2,3) C. (1,2) D. (0,1) 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】设 f(x)=lnx+x﹣4,则由题意可得 x0 是函数 f(x)的零点,再由 f(2)f(3)<0 得 到 x0 所在的区间. 【解答】解:设 f(x)=lnx+x﹣4,由于 x0 是方程 lnx+x=4 的解,则 x0 是函数 f(x)的零点. 再由 f(2)=ln2﹣2<0,f(3)=ln3﹣1>0,f(2)f(3)<0, 可得 x0 属于区间(2,3) , 故选 B. 【点评】本题考查零点与方程的根的关系,以及函数零点判定定理的应用,属于基础题. 8.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是(
3 2
﹣|x|



A.y=2x B.y=|x|+1 C.y=﹣x +4 D.y=2 【考点】函数奇偶性的判断;函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质,对选项一一加以判断,即可得到既是偶函 数又在(0,+∞)上单调递增的函数. 3 3 【解答】解:对于 A.y=2x ,由 f(﹣x)=﹣2x =﹣f(x) ,为奇函数,故排除 A; 对于 B.y=|x|+1,由 f(﹣x)=|﹣x|+1=f(x) ,为偶函数,当 x>0 时,y=x+1,是增函数,故 B 正确; 2 对于 C.y=﹣x +4,有 f(﹣x)=f(x) ,是偶函数,但 x>0 时为减函数,故排除 C; ﹣|x| ﹣x 对于 D.y=2 ,有 f(﹣x)=f(x) ,是偶函数,当 x>0 时,y=2 ,为减函数,故排除 D. 故选 B. 【点评】本题考查函数的性质和运用,考查函数的奇偶性和单调性及运用,注意定义的运用, 以及函数的定义域,属于基础题和易错题.

9.若偶函数 f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,则( ) A.f(﹣1.5)<f(﹣1)<f(2) B.f(﹣1)<f(﹣1.5)<f(2) C.f(2)<f(﹣1) <f(﹣1.5) D.f(2)<f(﹣1.5)<f(﹣1) 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由函数的奇偶性、单调性把 f(2) 、f(﹣1.5) 、f(﹣1)转化到区间(﹣∞,﹣1]上 进行比较即可. 【解答】解:因为 f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数, 又﹣2<﹣1.5<﹣1≤﹣1,所以 f(﹣2)<f(﹣1.5)<f(﹣1) , 又 f(x)为偶函数,所以 f(2)<f(﹣1.5)<f(﹣1) . 故选 D. 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合运用,解决本题的关键是灵活运用函数性质 把 f(2) 、f(﹣1.5) 、f(﹣1)转化到区间(﹣∞,﹣1]上解决. 10.若函数 y=a +b﹣1(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有( ) A.0<a<1,且 b>0 B.a>1,且 b>0 C.0<a<1,且 b<0 D.a>1,且 b<0 【考点】指数函数的图像与性质. 【专题】数形结合. 【分析】观察到函数是一个指数型的函数,不妨作出其图象,从图象上看出其是一个减函数, 并且是由某个指数函数向下平移而得到的,故可得出结论. 0 【解答】解:如图所示,图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上(纵截距小于零) ,即 a +b﹣1 <0,且 0<a<1, ∴0<a<1,且 b<0.故选 C. 故应选 C.
x

【点评】考查指数型函数的图象与性质,本题由函数的图象可以看出其变化趋势,由图象特 征推测出参数的范围. 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.) 11.已知(x,y)在映射 f 的作用下的像是(x+2y,2x﹣y) ,在映射 f 下, (3,1)的原像为 (1,1) . 【考点】映射. 【专题】计算题;方程思想;函数的性质及应用. 【分析】设映射 f 下, (3,1)的原像为(x,y) ,则 x+2y=3,2x﹣y=1,解得答案. 【解答】解:设映射 f 下, (3,1)的原像为(x,y) , 则 x+2y=3,2x﹣y=1, 解得:x=y=1, 故映射 f 下, (3,1)的原像为(1,1) , 故答案为: (1,1)

【点评】本题考查的知识点是映射,方程思想,难度不大,属于基础题. 12.不等式 lg(x﹣1)<1 的解集是 (1,11) . (用区间表示) 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由不等式可得可得 0<x﹣1<10,从而求得不等式的解集. 【解答】解:由 lg(x﹣1)<1,可得 0<x﹣1<10,求得 1<x<11,故不等式的解集是(1, 11) , 故答案为 (1,11) . 【点评】本题主要对数函数的单调性和特殊点,对数不等式的解法,体现了转化的数学思想, 属于中档题.

13.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x﹣2,则不等式 f(x)< 的 解集为 {x|0≤x< 或 x< } .

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的奇偶性求出函数 f(x)的表达式,解不等式即可得到结论. 【解答】解:∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0, 当 x<0 时,﹣x>0, 此时 f(﹣x)=﹣x﹣2, ∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣x﹣2=﹣f(x) , 即 f(x)=x+2,x<0. 当 x=0 时,不等式 f(x)< 成立, 当 x>0 时,由 f(x)< 得 x﹣2< ,即 0<x< , 当 x<0 时,由 f(x)< 得 x+2< ,即 x< 综上不等式的解为 0≤x< 或 x< 故答案为:{x|0≤x< 或 x< } . ,

【点评】本题主要考查不等式的解法,利用函数的奇偶性求出函数 f(x)的表达式是解决本 题的关键,注意要进行分类讨论. 14.下列说法中,正确的是 ④⑤ . x x ①任取 x∈R 都有 3 >2 ﹣x x ②当 a>1 时,任取 x∈R 都有 a >a ﹣x ③y=( ) 是增函数 |x| ④y=2 的最小值为 1

⑤在同一坐标系中,y=2 与 y=2 的图象对称于 y 轴. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】阅读型;函数的性质及应用. 【分析】①可取 x=0,则 3 =2 =1,即可判断;②可取 x=0,则 a =a =1,即可判断; |x| 0 ③运用指数函数的单调性即可判断;④由于|x|≥0,则 2 ≥2 =1,即可得到最小值; ⑤由图象对称的特点,即可判断. 【解答】解:①可取 x=0,则 3 =2 =1,故①错; x ﹣x ②可取 x=0,则 a =a =1,故②错; ③y=( )
﹣x

x

﹣x

x

x

x

﹣x

x

x

即 y=(
|x| 0

) 在 R 上是单调减函数,故③错;

x

④由于|x|≥0,则 2 ≥2 =1,x=0,取最小值 1,故④对; ﹣x x ⑤由图象对称的特点可得,在同一坐标系中,y=2 与 y=2 的图象对称于 y 轴,故⑤对. 故答案为:④⑤ 【点评】本题考查函数的单调性及运用,函数的最值和图象的对称性,注意指数函数的单调 性和图象的运用,属于基础题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知集合 A={x|﹣4<x<2},B={x|x<﹣5 或 x>1},C={x|m﹣1<x<m+1},m∈R. (1)求 A∩B; (2)若 A∩B?C,求实数 m 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题;集合. 【分析】 (1)利用交集运算的定义,可求 A∩B; (2)利用(1)的结论,结合 A∩B?C,求实数 m 的取值范围. 【解答】解: (1)A∩B={x|1<x<2}(4 分) (2)因为 A∩B?C 所以 (8 分)

即 1≤m≤2(10 分) 【点评】本题考查集合的运算与关系,考查学生的计算能力,比较基础.

16.化简:



【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题. 【分析】根据指数运算法则和对数运算法则,把每一项分别化简求值即可得解 【解答】解:原式=

=

=6+5 =31

2

【点评】本题考查指数运算与对数运算,须注意根数、分式与指数幂的互化.要求熟练掌握 运算法则.属简单题 17.某类产品按质量可分为 10 个档次,生产最低档次的产品,每件利润 6 元,如果产品每提 高一个档次,则利润增加 2 元,用同样的工时,最低档次每天生产 60 件,提高一个档次将少 生产 4 件产品,问生产第几档次的产品,所获利润最大? 【考点】函数模型的选择与应用;二次函数的性质. 【专题】应用题. 【分析】先确定生产第 x 档次的产品,每件利润,生产的产品数,再利用配方法求出最大利 润. 【解答】解:设生产第 x 档次的产品利润为 y,由题意得,生产第 x 档次的产品,每件利润为 6+2(x﹣1)元,生产的产品数为 60﹣4(x﹣1)]件, ∴y=[6+2(x﹣1)][60﹣4(x﹣1)] 2 2 ∴y=(2x+4) (64﹣4x)=﹣8x +112x+256=﹣8(x﹣7) +648,x∈[1,10],x∈N+. ∴当 x=7 时,ymax=648(14 分) 答:生产第 7 档次的产品,所获利润最大. (15 分) 【点评】本题考查函数的选择与运用,考查配方法求二次函数的最值,解题的关键是确定二 次函数模型.

18.已知函数



(1)求



(2)画出这个函数的图象; (3)求 f(x)的最大值. 【考点】函数的最值及其几何意义;函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据自变量的取值不同,选择不对的解析式,即可求出相应的函数值; (2)分段函数的图象要分段画,本题中分三段,每段都为一次函数图象的一部分,利用一次 函数图象的画法即可画出 f(x)的图象; (3)由图象,数形结合即可求得函数 f(x)的最大值. 【解答】解: (1)由于 同样地, ,∴ . =5;

(2)函数 f(x)的图象由三段构成,每段都为一次函数图象的一部分,其图象如图; (3)由函数图象,数形结合可知当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值 6 ∴函数 f(x)的最大值为 6.

【点评】本题考查了分段函数图象的画法,利用函数图象求函数的最值,数形结合的思想方 法,属基础题.

19.已知函数 f(x)= (1)判断函数的奇偶性; (2)证明 f(x)是 R 上的增函数. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)可知定义域为 R,进而可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,可判奇函数; (2)用单调性的定义法,设任意 x1,x2∈R,且 x1<x2,化简可得 f(x1)﹣f(x2)<0,由单 调性的定义可得结论. 【解答】解: (1)由题意可知定义域为 x∈R, 而 f(﹣x)= ∴(x)是奇函数; (2)设任意 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)= ,

=

=



∵a>1,∴

,且



<0,即 f(x1)<f(x2) ,

∴f(x)是 R 上的增函数. 【点评】本题考查函数奇偶性,和单调性的判断与证明,属基础题.

四、选择题(共 1 小题,每小题 5 分,满分 5 分)

20.设函数

若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是(



A. (﹣1,1) B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) D. (﹣∞,﹣1)∪(1, +∞) 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【专题】计算题. 【分析】将变量 x0 按分段函数的范围分成两种情形,在此条件下分别进行求解,最后将满足 的条件进行合并. 【解答】解:当 x0≤0 时, 当 x0>0 时, 则 x0>1, ,则 x0<﹣1,

故 x0 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , 故选 D. 【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题,以及指数不等式与对数不等 式的解法,属于常规题. 五、填空题(共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) 21. 若函数 f (x) =a ﹣x﹣a (a>0, 且 a≠1) 有两个零点, 则实数 a 的取值范围是 (1, +∞) . 【考点】函数的零点. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据题设条件,分别作出令 g(x)=a (a>0,且 a≠1) ,h(x)=x+a,分 0<a<1, a>1 两种情况的图象,结合图象的交点坐标进行求解. 【解答】解:令 g(x)=a (a>0,且 a≠1) ,h(x)=x+a,分 0<a<1,a>1 两种情况.
x x x

在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图,若函数 f(x)=a ﹣x﹣a 有两个不同的零点,则 函数 g(x) ,h(x)的图象有两个不同的交点.根据画出的图象只有当 a>1 时符合题目要求. 故答案为: (1,+∞) 【点评】作出图象,数形结合,事半功倍. 22.若 f(x)=loga(2﹣ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是 1<a<2 . 【考点】复合函数的单调性.

x

【分析】本题必须保证:①使 loga(2﹣ax)有意义,即 a>0 且 a≠1,2﹣ax>0.②使 loga (2﹣ax)在[0,1]上是 x 的减函数.由于所给函数可分解为 y=logau,u=2﹣ax,其中 u=2﹣ax 在 a>0 时为减函数,所以必须 a>1;③[0,1]必须是 y=loga(2﹣ax)定义域的子集. 【解答】解:因为 f(x)在[0,1]上是 x 的减函数,所以 f(0)>f(1) , 即 loga2>loga(2﹣a) . ∴ ?1<a<2

故答案为:1<a<2. 【点评】本题综合了多个知识点,需要概念清楚,推理正确. (1)复合函数的单调性; (2) 真数大于零. 六、解答题(共 1 小题,满分 15 分) 2 23.已知二次函数 f(x)=ax +bx, (a,b 为常数,且 a≠0)满足条件 f(﹣x+5)=f(x﹣3) , 且方程 f(x)=x 有两个相等的实根. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m,n(m<n) ,使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]与[3m,3n],若存 在,求出 m,n 的值,若不存在,请说明理由. 【考点】二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值. 【专题】综合题. 【分析】 (1)由 f(﹣x+5)=f(x﹣3) ,得函数的对称轴为 x=1,又方程 f(x)=x 有两相等实 2 根,即 ax +(b﹣1)x=0 有两相等实根 0,由此可求出 a,b 的值. (2)本题主要是借助函数的单调性确定出函数在[m,n]上的单调性,找到区间中那个自变量 的函数值是 3m,3n,由此建立方程求解,若能解出值,说明存在,否则不存在. 【解答】解: (1)∵f(﹣x+5)=f(x﹣3) ,∴f(x)的对称轴为 x=1, 即﹣ =1 即 b=﹣2a.
2

∵f(x)=x 有两相等实根,∴ax +bx=x, 2 即 ax +(b﹣1)x=0 有两相等实根 0, ∴﹣ =0,

∴b=1,a=﹣ , ∴f(x)=﹣ x +x. (2)f(x)=﹣ x +x=﹣ (x﹣1) + ≤ , 故 3n≤ ,故 m<n≤ , 又函数的对称轴为 x=1,故 f(x)在[m,n]单调递增则有 f(m)=3m,f(n)=3n, 解得 m=0 或 m=﹣4,n=0 或 n=﹣4,又 m<n,故 m=﹣4,n=0. 【点评】本题考点是二次函数的性质考查综合利用函数的性质与图象转化解题, (1)中通过 有相等的 0 根这一特殊性求参数; (2)中解法入手最为巧妙,根据其图象开口向下这一性质,
2 2 2

求出函数的最大值,利用最大值解出参数 n 的取值范围,从而结合对称轴为 x=1 得出函数在 区间[m, n]单调性, 得到方程组 , 求参数, 题后应好好总结每个小题的转化规律.


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