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高中数学完整讲义——二项式定理4.二项式定理的应用1证明整除或求余数


高中数学讲义

证明整除或求余数

知识内容
1.二项式定理 ⑴二项式定理

? a ? b?

n

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 n n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ... ? Cn b ? n ? N? ?

个公式表示的定理叫做二项式定理.

⑵二项式系数、二项式的通项
0 n 1 n ?1 2 n?2 2 n n r Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ... ? Cn b 叫做 ? a ? b ? 的二项展开式,其中的系数 Cn ? r ? 0, 1, 2, ..., n? 叫做二
n

r n? r r a b 叫做二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项为展开式的第 r ?1 项: 项式系数,式中的 Cn

r n? r r Tr ?1 ? Cn a b .

⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式 ? a ? b ? 的展开式项数为 n ? 1 项,各项的幂指数状况是
n

①各项的次数都等于二项式的幂指数 n . ②字母 a 的按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到零,字母 b 按升幂排列,从第一项起, 次数由零逐项增 1 直到 n .

⑷几点注意
r n?r r a b 是 ? a ? b ? 的展开式的第 r ?1 项,这里 r ? 0, 1, 2, ..., n . ①通项 Tr ?1 ? Cn
n

r n?r r b a 是有区别的,应用二项式定理时,其 ②二项式 ? a ? b ? 的 r ?1 项和 ? b ? a ? 的展开式的第 r ?1 项 Cn
n n

中的 a 和 b 是不能随便交换的.
r ③注意二项式系数( Cn )与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一定为正,而项的系数有

时可为负. ④ 通 项 公 式 是 ? a ? b? 这 个 标 准 形 式 下 而 言 的 , 如 ? a ? b? 的 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 是
n n

r n?r r r n ?r r a b 是不同的,在这里对应项的 Tr ?1 ? ? ?1? Cn a b (只须把 ?b 看成 b 代入二项式定理)这与 Tr ?1 ? Cn
r

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r r r 二项式系数是相等的都是 Cn ,但项的系数一个是 ? ?1? Cn ,一个是 Cn ,可看出,二项式系数与项的系
r

数是不同的概念.
1 2 2 r r ⑤设 a ? 1, b ? x ,则得公式: ?1 ? x ? ? 1 ? Cn x ? Cn x ? ... ? Cn x ? ... ? xn . n

r n?r r ⑥通项是 Tr ?1 ? Cn a b ? r ? 0, 1, 2, ..., n ? 中含有 Tr ?1 , a , b , n , r 五个元素,

只要知道其中四个即可求第五个元素. ⑦当 n 不是很大, x 比较小时可以用展开式的前几项求 (1 ? x)n 的近似值.

2.二项式系数的性质 ⑴杨辉三角形:
对于 n 是较小的正整数时, 可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理, 二项式系数也可以直接用杨 辉三角计算. 杨辉三角有如下规律: “左、右两边斜行各数都是 1.其余各数都等于它肩上两个数字的和. ” ⑵二项式系数的性质:

? a ? b?

n

0 1 2 n r , Cn , Cn , ..., Cn 展开式的二项式系数是: Cn ,从函数的角度看 Cn 可以看成是 r 为自变量的函数

f ? r ? ,其定义域是: ?0, 1, 2, 3, ..., n? .
当 n ? 6 时, f ? r ? 的图象为下图:

这样我们利用“杨辉三角”和 n ? 6 时 f ? r ? 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质. ①对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
m n ?m ? Cn 事实上,这一性质可直接由公式 Cn 得到.

②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大; 如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大. 由于展开式各项的二项式系数顺次是

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0 1 Cn ? 1, Cn ?

n ? n ? 1? n 2 , Cn ? , 1 1? 2

3 Cn ?

n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1? 2 ? 3

, . . . ,
k , Cn ?

k ?1 Cn ?

n ? n ? 1?? n ? 2 ? ... ? n ? k ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? .... ? ? k ? 1?

n ? n ? 1?? n ? 2 ? ... ? n ? k ? 2 ?? n ? k ? 1? 1 ? 2 ? 3... ? ? k ? 1? k

, . . . ,

n Cn ?1 .

其中, 后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小 1 的数 (如 n , n ? 1, n ? 2, ... ) , 分母是乘以逐次增大的数(如 1,2,3,?) .因为,一个自然数乘以一个大于 1 的数则变大,而乘以
r 一个小于 1 的数则变小,从而当 k 依次取 1,2,3,?等值时, Cn 的值转化为不递增而递减了.又因为

与首末两端“等距离”的两项的式系数相等,所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小,且二项式系 数最大的项必在中间. 当 n 是偶数时, n ? 1 是奇数,展开式共有 n ? 1 项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数
n

最大,最大为 Cn2 . 当 n 是奇数时, n ? 1 是偶数,展开式共有 n ? 1 项,所以有中间两项. 这两项的二项式系数相等并且最大,最大为 Cn 2 ? Cn 2 .
0 1 2 r n ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? ... ? Cn ? 2n . ③二项式系数的和为 2n ,即 Cn
n ?1 n ?1

④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即
0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? Cn ? Cn ? ... ? 2n?1 .

常见题型有: 求展开式的某些特定项、项数、系数,二项式定理的逆用,赋值用,简单的组合数式问题.

典例分析
二项式定理的应用 1 证明整除或者求余数
【例1】 利用二项式定理证明: 32 n ? 2 ? 8n ? 9 是 64 的倍数.

【例2】 若 n ? N * ,证明: 32 n ? 3 ? 24n ? 37 能被 64 整除.

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【例3】 证明: (1 ? 3)2n ? (1 ? 3)2n (n ? N*) 能被 2

n ?1

整除.

【例4】 证明: (1 ? 3)2n?1 ? (1 ? 3)2n?1 (n ? N*) 能被 2

n ?1

整除.

【例5】 ⑴ 230 ? 3 除以 7 的余数________; ⑵ 5555 ? 15 除以 8 的余数是__________; ⑶ 1991
2000

除以 103 的余数是



100 【例6】 11 ? 1 的末尾连续零的个数是( ) A.7 B.5 C.3

D.2

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