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2015年广东省高中数学竞赛模拟试题2(含答案详解)


2015 年广东省高中数学竞赛模拟试题二
(考试时间:2015 年 6 月 27 日上午 10:00-11:20) 题 号 一 9 二 10 11 合 计

得 分 评卷人 复核人 注意事项:
1.本试卷共二大题,全卷满分 120 分。 2.用圆珠笔或钢笔作答。 3.解题书写不要超过装订线。 4.不能使用计算器。

一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.
1.有编号分别为 1,2,3,4,5,6 的 6 个红球和 6 个黑球,从中取出 4 个,则取出的球的 编号互不相同的概率为 2.设 P 为△ ABC 内一点,且满足 AP ? .

S 1 1 AB ? AC ,则 ?PBC ? 3 4 S ?ABC



3. 已知函数 f ( x ) ?

2 sin( x ?

) ? x2 ? x 4 的最大值为 M , 最小值为 m , 则 M ? m 的值是 x 2 ? cos x

?



4.若实数 x , y 满足 4 x ? 4 y ? 2 x ?1 ? 2 y ?1 ,则 u ? 2 x ? 2 y 的取值范围是 5.数列 {a n } 满足 an?1 ? 2an ? 1 ( n ? 1 ) ,且 a1 ? p 为奇质数,那么 {a n } 中 在或不存在)为合数的项.

. (填存

6.棱锥 S ? ABC 的底面是正三角形 ABC ,侧面 SAC 垂直于底面,另两个侧面同底面所成的 二面角都是 45? ,则二面角 A ? SC ? B 的正切值为 .

7.已知圆 C : x 2 ? ( y ? 5) 2 ? 9 , M 、 N 是 x 轴上任意两个不同的点,且以 MN 为直径的 圆与圆 C 外切,点 A 在 y 轴上,且 ?MAN 为定值,则 A 点的坐标是 .

8.已知集合 A ? {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} ,一一映射 f : A ? A 满足条件:对于任意的 x ? A ,有

f ( f ( f ( x))) ? x ,则满足条件的映射 f 的个数是
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二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
9. (本题满分 16 分) 得分 评卷人 . 设 A 、 B 是椭圆 x 2 ? 5 y 2 ? 1 上的两个动点,且 OA ? OB ( O 为坐标原点) .求 | AB | 的最大值和最小值.

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10. (本题满分 20 分) 得分 评卷人 设 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? 3x ? c ,g ( x) ? 3x ? dx3 , a , b , c , d ? R. (1)求所有的 d ,使得当 x ?[?1 , 1] 时, | g ( x) |? 1 ; (2)求所有的 a , b , c ,使得当 x ?[?1 , 1] 时, | f ( x) |? 1 .

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11. (本题满分 20 分) 得分 评卷人 已知 x , y , z ? R+,且 x ? y ? z ? 1 ,求证:

y4 x4 z4 1 ? ? ? . 2 2 2 y (1 ? y ) z (1 ? z ) x(1 ? x ) 8

参考答案: 1、

16 33

8、81

9 3、2 16 30 6 9、 , 5 3
2、

4、 (2,4]

5、存在

6、 7

7、 (0,4) , (0,?4) 11、略

10、 d ? 2 ; a ? ?4, b ? 0, c ? 0

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2015 年广东省高中数学竞赛模拟试题二详解

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