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数形结合思想应用


解题策略训练 3 数形结合思想 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分.在每小题给出四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.(2006 甘肃重点中学二模,理 2)设集合 A={x|a-3<x<a+3},B={x|x<-1 或 x>2},若 A∪B=R, 则实数 a 的取值范围是( ) A.[-1,2] B.(-1,2) C.[-

2,1] D.(-2,1) 答案:B 解析: ?
? a ? 3 ? ? 1, ?a ? 3 ? 2, ? -1<a<2.

2.已知点 Q(4,0),点 P(x,y)抛物线 y=

x

2

+2 上一动点,则 y+|PQ|的最小值为(



4

A.11 答案:B 解析:抛物线 y=
x
2

B.6

C.1+ 2 6

D.1+ 2 5

+2 ? x2=4(y-2),焦点 F(0,3),准线方程为 y=1,

4

则 y+|PQ|=1+|PF|+|PQ|≥1+|FQ|=1+5=6. (当 F,P,Q 三点共线时“=”成立),所以 y+|FQ|的最小值为 6. 3.(2006 吉林实验中学月考,10)已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点,点 P 满足

AP ? BP ? CP
A.
1 4

=0,AP=λ PD,则实数λ 的值为( C.-2 D
1 2



B.2

答案:B

解析:由

AP ? BP ? CP
7 2

=0 知 P 为三角形 ABC 的重心,故λ =2.

4.(2006 北京东城教学目标检测.8)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影 是 M,点 A 的坐标是 A( A.
11 2

,4) ,则|PA|+|PM|的最小值是( C.
9 2 1 2 1 2 1 2

) D. 5

B.4

答案:C 解析:由已知抛物线的焦点坐标( ,0) ,准线方程 x=.
9 2

且 A 在抛物线外部,设 P 到准线

的距离为 d,则|PA|+|PM|的最小值为|AF|7 2 1 2
1 2

|AF|= (

?

) ?4
2

2

=5.∴最小值为 5-

=

.

? 2 x , x ? 1, ? 5.若函数 f(x)= ? 则 y=f(1-x)的图象可以是( log 1 x , x ? 1, ? 2 ?



答案:C
? 1 x ?1 ?( 2 ) , x ? 0, 解析:f(1-x)= ? ? log 1 (1 ? x ), x ? 0 , 2 ?

故选 C.
? x ? y ? 1 ? 0, ? 6.(2006 高考安徽卷, 10)如果实数 x、 满足条件 ? y ? 1 ? 0 , y 那么 2x-y 的最大值为 ( ? x ? y ? 1 ? 0. ?



A.2 B.1 C.-2 D.-3 答案:B 解析:作出可行域,如图所示,令 z=2x-y,则 y=2x-z,要求 z 的最大值,即-z 有最小值,当直 线 2x-y=z 过点(0,-1)时,z 最大,最大值为 z max=1.

7.(2006 江苏苏南八校,10)函数 f(x)= ? 根,那么 a 满足( )

? 1 ? x 2 (| x |? 1), ? ? | x | (| x |) ? 1, ?

如果方程 f(x)=a 有且只有一个实

A.a<0

B.0≤a<1

C.a=1

D.a>1

答案:C 解析:函数 f(x)的图象为单位圆的上半部分及射线 BE、AF 方程 f(x)=a 有且只有一个实根 即直线 y=a 与函数 f(x)的图象只有一个交点,故 a=1. 8.(2006 湖北孝感一中月考, 8)函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),f(x)>0 的解集为(-2,1), 则函数 y=f(-x) 的图象为( )

答案:B 解析:f(x)>0 的解集为(-2,1),f(x)=a(x+2)(x-1)且 a<0, ∴f(-x)=a(-x+2)(-x-1)=a(x+1)(x-2)且 a<0,故选 B. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.把答案填在题中横线上) 9.α 、β 、γ 是两两垂直且相交于一点 O 的三个平面,点 P 到这三个面的距离分别为 3,4, 12,则|PO|=___________. 答案:13 解析:以 P 为顶点,3,4,12 为棱长构成一个长方体,则|PO|= 3 ? 4 ? 12
2 2 2

=13.

10.(2006 四川成都三模,15)如图是各条棱的棱长均相等的正四棱锥表面展开图,T 为 QS 的 中点,则在四棱锥中 PQ 与 RT 所成角的余弦值为_________.

答案:

3 3

解析:还原成立体图,连结 PS,取其中点 O,则 O 为底面正方形的中心,又 T 为 QS 的中点, ∴OT∥PQ.从而∠OTR 为异面直线 PQ 和 RT 所成角.连 OR,解△OTR,得 cosOTR=
3 3

.

11.已知 OA =(1,1),OB =(-1,2),以 OA 、OB 为边作平行四边形 OACB, OC 与 则

AB

的夹角为__________.
5 5

答案:arccos

解析:∵ OC = OA + OB =(0,3),

AB

= OB - OA =(-2,1),

OC ? AB
∴cos< OC ,

AB

>=

?

3 3? 5

?

5 5
.

| OC | AB |

三、解答题(本大题共 3 小题,共 37 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 12.(本小题满分 11 分) (2006 湖北孝感一中月考,理 19) 某系统是由四个整流二极管(串、并)联结而成,已知每个 二极管的可靠度为 0.8(即正常工作时) ,若要求系统的可靠度大于 0.85,请你设计至少两种 不同的联结方式,并说明理由. 解:方式 1:

系统可靠度 P(A)=1-0.24>0.85. 方式 2:

系统可靠度 P(B)=(1-0.22)·(1-0.22)=(1-0.22)2>0.85. 另外以下四种可以.

13/(本小题满分 12 分)某工厂从今年起,若不改善生产环境,按现状生产,每月收入为 70 万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚 3 万元,以后每月递增 2 万元.如果从今年 一月起投资 400 万元增加回收净化设备以改善生产环境(改造设备时间不计).按测算,新 设备投产后的月收入与时间的关系如图所示.

(1)设 g(n)表示投资改造后的前 n 个月的总收入,写出 g(n)的函数关系式; (2)问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的月累计纯收入多于不改造时的月累 计纯收入? 解:(1)设 a i 表示第 i 个月的收入,则由图得 a 1=101,a 5=109,且数列{a i}的前五项是公 差为 2 的等差数列, 第六项开始是常数列, 所以 g (n) ? =
? n 2 ? 100 n , ( n ? 5 ), ?109 n ? 20 , ( n ? 5 )
? n 2 ? 100 n ( n ? 5 ), ? g ( 5 ) ? ( n ? 5 )[ g ( 5 ) ? g ( 4 )]( n ? 5 )

即 g(n)= ?

(2)不改造时的第 n 个月累计纯收入:Sn=68n-n2,投资改造后的第 n 个月累计纯收入: ①当 n≤5 时,纯收入为 n2+100n-400,由 n2+100n-400>Sn=68n-n2, 解得 n>-8 + 264 ,由-8+ 264 >-8 + 256 =8,得 n>8,即前 5 个月不见效. ②当 n>5 时,纯收入(109n-20)-400,由(109n-20)-400>Sn=68n-n2, 得 n +41n-420>0,解得 n>
2

? 41 ? 2

3361

?

? 41 ? 2

57

2

=8.

而 n=9 适合上述不等式. 所以,必须经过 8 个月后,即第 9 个月才见效. 14.(本小题满分 14 分) (2006 湖北黄冈中学模拟,文 21) 设向量 i=(1,0),j=(0,1),a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j 且|a|+|b|=8,x、 y∈R. (1)求动点 P(x,y)的轨迹方程; (2)过点 M(0,3) ,作直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,设 ON=OA+OB,问是否存在直线 l,使得四边形 OANB 为矩形?若存在,求出 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)∵i=(1,0),j=(0,1),|a|+|b|=8,∴ x ? ( y ? 2 ) ?
2 2

x ? ( y ? 2)
2

2

=8,

即点 P(x, y)到点(0,—2)与点(0,2)的距离之和为 8. 设 F1(0,—2) 2(0,2) ,F ,∴|F 1F2|=4,|PF1|+|PF2|=8>|F1F2|, 由椭圆定义知点 P 的轨迹 C 是以 F1.F2 为焦点的椭圆. ∵2a=8, 2c=4,∴a=4, c=2,∴b2=a2—c2=12, ∴所求轨迹 C 方程为
x
2

?

y

2

=1.

12

16

(2)∵

ON ? OA ? OB

,∴OANB 是平行四边形.

∵l 过点 M 3)若 l 是 y 轴, A,B 是椭圆的顶点, (0, , 则 此时

ON ? OA ? OB

=0,

∴N 与 O 重合,这与四边形是平行四边形矛盾.所以直线 l 的斜率 k 必存在. 设直线 l 的方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2), 若存在直线 l 使得 OANB 是矩形,则,OA ? OB∴ OA 而 y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k x1x2+3k(x1+x2)+9, ∴(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0①
? y ? kx ? 3 , ? 2 由? x2 消去 y,得(3k2+4)x2+18kx—21=0② y ? ?1 ? 16 ? 12
2

? OB

=0,即 x1x2+y 1y2=0.

∵Δ =(18k)2—4(3k2+4)(—21)=(18k)2+84(3k2+4)>0, ∴方程②必有两实根 x1.x2,且 x1+x2= ? -(1+k2)
3k 21
2

18 3k
2
2

?4

,x1x2= ?

21 3k
2

?4

,代入①得,

?4

? 3k

54
2

?4

? 9 =0,解得 k =

5 16

,

∴k=±

5 4

.所以存在符合题意的直线 l,其方程为:

y=

5 4

x ? 3 , 或 y=

5 4

x+3.


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