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任后兵


对一道2014年贵州省高中数学竞赛不等式的探究
任后兵 郑俊明 (四川省成都市郫县四中611731)(江西省临川区临川二中344100)

2014年全国高中数学联赛贵州省初赛试题第5题如下: 已知 a, b, c ? [0,1] ,则 一.试题解答 记原式为 M ,易知 当 a ? b ? c ? 0 时, M 取到最小值0. 令 a ? 0,b

? c ? 1 ,

a b c 的取值范围是_____. ? ? bc ? 1 ca ? 1 ab ? 1

M ? 2 ,下证 M ?

3 . 2

设 0 ? a ? b ? c ? 1 ,则 ab ? 1 ? ac ? 1 ? bc ? 1 ,又 ( a ? 1)(b ? 1) ? 0 ,即

ab ? 1 ? a ? b ,
所以 M ?

a b c a ? b ? c ab ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 2. ab ? 1 ab ? 1 ab ? 1 ab ? 1 ab ? 1

因此, M ? [0, 2] . 二.变式探究 我们将常数1换为3,得到 变式1 已知 a, b, c ? [0,3] ,则

a b c ? ? ? 2. bc ? 3 ca ? 3 ab ? 3

证明:设 0 ? a ? b ? c ? 3 ,则 ab ? 3 ? ac ? 3 ? bc ? 3 , 又 ( a ? 3)(b ? 3) ? 0 ,即 a ? b ? 所以

ab ? 3, 3

a b c a b c ? ? ? ? ? bc ? 3 ca ? 3 ab ? 3 ab ? 3 ab ? 3 ab ? 3
ab ?3?3 a?b?c ab ? 18 ? ? 3 ? ? 2. ab ? 3 ab ? 3 3ab ? 9
我们将常数1换为

1 ,得到 3

变式2

已知 a, b, c ? [0, ] ,则

1 3

a bc ? 1 3

?

b ca ? 1 3

?

c ab ? 1 3

?

9 . 4

证明:

a bc ? 1 3

?

b ca ? 1 3

?

c ab ? 1 3

1 1 ? ? 1 ? 3(a ? b ? c) ? 9abc ? ? ? ? ? ? 3bc ? 1 3ca ? 1 3ab ? 1 ?

1 1 1 1 9 ? a, b, c ? [0, ], ? ? ? ? 3 3bc ? 1 3ca ? 1 3ab ? 1 4 9 9 ? 只需证明 3(a ? b ? c) ? 9abc ? ? 4 4
即 4( a ? b ? c) ? 27 abc ? 3 (*)

? 4(a ? b ? c) ? 27 abc ? 3 ? (4 ? 27bc)a ? 4b ? 4c ? 3
1 ? (4 ? 27bc) ? 4b ? 4c ? 3(? 4 ? 27bc ? 0) 3 ? (4 ? 9c)b ? 4c ? 5 3

1 5 ? (4 ? 9c) ? 4c ? (? 4 ? 27c ? 0) 3 3 1 ?c? ?0 3
故(*)得证,从而原不等式得证. 更一般地,将常数1换为 k ,得到 结论 已知 a, b, c ? [0, k ] , k ?

1 a b c ,则 ? ? ?2. 2 bc ? k ca ? k ab ? k 1 a b c 3 ,则 . ? ? ? 2 bc ? k ca ? k ab ? k k ? 1 9 a b c ? ? ? ? 1. 10 bc ? 1 ca ? 1 ab ? 1

已知 a, b, c ? [0, k ] , 0 ? k ?

变式3

已知正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,则

证明:先证左边:因为 abc ? 所以由柯西不等式得

( a ? b ? c )3 1 , ? 27 27

a b c ? ? bc ? 1 ca ? 1 ab ? 1
a2 b2 c2 ? ? ? abc ? a abc ? b abc ? c

?

(a ? b ? c) 2 1 1 9 ? ? ? 1 3abc ? a ? b ? c 3abc ? 1 3 ? ? 1 10 27

再证右边:

a b c ? ? ? a ?b ? c ?1 bc ? 1 ca ? 1 ab ? 1
作者:2013年毕业于华中师范大学数学与应用数学本科 电话:13258126103 邮箱:448047069@qq.com 地址:四川省成都市郫县犀浦镇校园路东沿线郫县四中高一数学组


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