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2016年天津文数高考试题(含答案)


2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(文史类)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时, 考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利!

第I卷

注意事项: 1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂 其他答案标号。 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B). 柱体的体积公式 V 柱体=Sh, 其中 S 表示柱体的底面积其中 h 表示棱柱的高. · 如果事件 A,B 相互独立, P(AB)=P(A) P(B). 圆锥的体积公式 V =

1 Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示圆锥的高.

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ? {1,2,3} , B ? { y | y ? 2 x ? 1, x ? A} ,则 A ? B = (A) {1,3} (B) {1,2} (C) {2,3} (D) {1,2,3}

(2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是 (A)

5 6

(B)

2 5

(C)

1 6

1 1 ,甲获胜的概率是 ,则甲不输的概率为 2 3 1 (D) 3
1

(3)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该 几何体的侧(左)视图为学科&网

(4)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2 5 ,且双曲线的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 0 垂直, a 2 b2

则双曲线的方程为 (A)

x2 ? y2 ? 1 4 3x 2 3 y 2 ? ?1 20 5

(B) x 2 ?

y2 ?1 4

(C)

(D)

3x 2 3 y 2 ? ?1 5 20

(5)设 x ? 0 , y ? R ,则“ x ? y ”是“ x ?| y | ”的 (A)充要条件 (C)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件
| a ?1|

(6)已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 (??,0) 上单调递增,若实数 a 满足 f (2 则 a 的取值范围是 (A) ( ?? , )

) ? f (? 2 ) ,

1 2

(B) ( ?? , ) ? ( ,?? )

1 2

3 2

(C) ( , )

1 3 2 2

(D) ( ,?? )

3 2

2

(7)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F ,使 得 DE ? 2 EF ,则 AF ? BC 的值为

1 1 11 (C) (D) 8 4 8 1 1 2 ?x ? sin ?x ? (? ? 0) , x ? R .若 f ( x) 在区间 (? ,2? ) 内没有零点,则 ? 的 (8)已知函数 f ( x) ? sin 2 2 2
(A) ? (B) 取值范围是 (A) ( 0, ]

5 8

1 8

(B) (0, ] ? [ ,1)

1 4

5 8

(C) ( 0, ]

5 8

(D) (0, ] ? [ , ]

1 8

1 5 4 8

第Ⅱ卷
注意事项: 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共 12 小题,共计 110 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)i 是虚数单位,复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2 ,则 z 的实部为_______.学科&网 (10)已知函数 f ( x) ? (2 x+1)e x , f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,则 f ?(0) 的值为__________. (11)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为_______.

(第 11 题图) (12) 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上, 点 M (0, 5) 在圆 C 上, 且圆心到直线 2 x ? y ? 0 的距离为 则圆 C 的方程为__________.
3

4 5 , 5

(13) 如图, AB 是圆的直径, 弦 CD 与 AB 相交于点 E, BE=2AE=2, BD=ED, 则线段 CE 的长为__________.

? x2 ? (4a ? 3) x ? 3a, x ? 0 x ? (14) 已知函数 f ( x) ? ? 且关于 x 的方程 | f ( x) |? 2 ? (a ? 0且a ? 1) 在 R 上单调递减, 3 ? ? log a ( x ? 1) ? 1, x ? 0
恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是学科&网_________.

(15) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 a sin 2B ? 3b sin A . (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 cos A ?

1 ,求 sinC 的值学科.网. 3

(16)(本小题满分 13 分) 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料 所需三种原料的吨数如下表所示:

现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产 1 车皮 甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 3 万元.分别用 x,y 不是生产甲、乙 两种肥料的车皮数. (Ⅰ)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;学科.网 (Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.

4

(17)(本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED⊥平面 ABCD,EF||AB,AB=2,BC=EF=1,AE= 6 ,DE=3, ∠BAD=60? ,G 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:FG||平面 BED; (Ⅱ)求证:平面 BED⊥平面 AED; (Ⅲ)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.

(18)(本小题满分 13 分) 已知 ?an ? 是等比数列,前 n 项和为 Sn ? n ? N ?? ,且 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若对任意的 n ? N ?, bn 是 log 2 an 和 log 2 an?1 的等差中项,求数列

1 1 2 ? ? , S6 ? 63 . a1 a2 a3

?? ?1? b ? 的前 2n 项和.
n 2 n

(19) (本小题满分 14 分) 设椭圆

x2 y2 1 1 3e ,其中 O 为原点, ? ? 1( a ? 3 )的右焦点为 F ,右顶点为 A ,已知 ? ? 2 a 3 | OF | | OA | | FA |

e 为椭圆的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;学.科.网 (Ⅱ) 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B( B 不在 x 轴上) , 垂直于 l 的直线与 l 交于点 M , 与 y 轴交于点 H , 若 BF ? HF ,且 ?MOA ? ?MAO ,求直线的 l 斜率.
5

(20) (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? b , x ? R ,其中 a, b ? R
3

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 存在极值点 x0 ,且 f ( x1 ) ? f ( x0 ) ,其中 x1 ? x0 ,求证: x1 ? 2 x0 ? 0 ; (Ⅲ)设 a ? 0 ,函数 g ( x) ?| f ( x) | ,求证: g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上的最大值不小于 ... .

1 4

2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(文史类) 第I卷

一、选择题: (1) 【答案】A (2) 【答案】A (3) 【答案】B (4) 【答案】A (5) 【答案】C (6) 【答案】C (7) 【答案】B (8) 【答案】D

第Ⅱ卷
二、填空题: (9) 【答案】1 (10) 【答案】3 (11) 【答案】4

6

(12) 【答案】 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 9.

(13) 【答案】

2 3 3
1 2 3 3

(14) 【答案】 [ , ) 三、解答题 (15) 【答案】 (Ⅰ) B ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用正弦定理,将边化为角: 2sin Asin B cos B ? 3sinBsin A ,再根据三角形内角范围化简 得 cos B ?

?
6

(Ⅱ)

2 6 ?1 6

? 3 , B ? (Ⅱ)已知两角,学科&网求第三角,利用三角形内角和为 ? ,将所求角化为两已 6 2
a b ? ,可得 a sin B ? b sin A ,又由 a sin 2B ? 3b sin A 得 sin A sin B

知角的和,再根据两角和的正弦公式求解 试题解析: (Ⅰ)解:在 ?ABC 中,由

2a sin B cos B ? 3b sin A ? 3a sin B ,所以 cos B ?

? 3 ,得 B ? ; 6 2

(Ⅱ)解:由 cos A ?

1 2 2 得 sin A ? ,则 sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) ,所以 3 3

sin C ? sin( A ?

?
6

)?

3 1 2 6 ?1 sin A ? cos A ? 2 2 6

考点:同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 【结束】 (16) 【答案】 (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)生产甲种肥料 20 车皮,乙种肥料 24 车皮时利润最大,且最大利润为 112 万 元 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据生产原料不能超过 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,列不等关系 式,即可行域,再根据直线及区域画出可行域(Ⅱ)目标函数为利润 z ? 2 x ? 3 y ,学.科网根据直线平移
7

及截距变化规律确定最大利润

?4 x ? 5 y ? 200 ?8 x ? 5 y ? 360 ? ? x , y 试题解析: (Ⅰ)解:由已知 满足的数学关系式为 ?3 x ? 10 y ? 300 ,该二元一次不等式组所表示的区 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0
域为图 1 中的阴影部分.
y

8x+5y=360

10 x O 10 4x+5y=200 3x+10y=300

(1)

(Ⅱ)解:设利润为 z 万元,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y ,这是斜率为 ? 直线在 y 轴上的截距,当

z 2 ,随 z 变化的一族平行直线. 为 3 3

z 取最大值时, z 的值最大.又因为 x , y 满足约束条件,所以由图 2 可知,学.科 3 ?4 x ? 5 y ? 200 z 网当直线 z ? 2 x ? 3 y 经过可行域中的点 M 时, 截距 的值最大, 即 z 的值最大.解方程组 ? 3 ?3x ? 10y ? 300 得点 M 的坐标为 M (20,24) ,所以 z max ? 2 ? 20 ? 3 ? 24 ? 112 . 答:生产甲种肥料 20 车皮,乙种肥料 24 车皮时利润最大,且最大利润为 112 万元.

8

y

8x+5y=360

M

10 x O 10 2x+3y=z 4x+5y=200 3x+10y=300

(2)

2x+3y=0

考点:线性规划 【结束】 (17) 【答案】 (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,学.科网即从线线平行出发给予证明,而线线 平行寻找与论证, 往往结合平几知识, 如本题构造一个平行四边形: 取 BD 的中点为 O , 可证四边形 OGFE 是平行四边形,从而得出 FG // OE (Ⅱ)面面垂直的证明,一般转化为证线面垂直,而线面垂直的证明, 往往需多次利用线面垂直判定与性质定理,而线线垂直的证明有时需要利用平几条件,如本题可由余弦定
0 理解出 ?ADB ? 90 ,即 BD ? AD (Ⅲ)求线面角,关键作出射影,即面的垂线,可利用面面垂直的性

5 6

质定理得到线面垂直,即面的垂线:过点 A 作 AH ? DE 于点 H ,则 AH ? 平面 BED ,从而直线 AB 与 平面 BED 所成角即为 ?ABH .再结合三角形可求得正弦值

C D 试题解析: (Ⅰ) 证明: 取 BD 的中点为 O , 连接 OE, OG , 在 ?B
且 OG ?

中, 因为 G 是 BC 的中点, 所以 OG // DC

1 DC ? 1 ,又因为 EF // AB, AB // DC ,所以 EF // OG 且 EF ? OG 2
9

,即四边形 OGFE 是平行四边形,所以 FG // OE ,又 FG ? 平面 BED ,OE ? 平面 BED ,所以 FG // 平 面 BED . ( Ⅱ ) 证 明 : 在 ?ABD 中 , AD ? 1, AB ? 2, ?BAD ? 600 , 由 余 弦 定 理 可 BD ? 3 , 进 而 可 得

?ADB ? 900 ,即 BD ? AD ,学.科网又因为平面 AED ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD ;平面 AED ? 平面 ABCD ? AD ,所以 BD ? 平面 AED .又因为 BD ? 平面 BED ,所以平面 BED ? 平面 AED .
(Ⅲ)解:因为 EF // AB ,所以直线 EF 与平面 BED 所成角即为直线 AB 与平面 BED 所成角.过点 A 作

AH ? DE 于点 H ,连接 BH ,又因为平面 BED ? 平面 AED ? ED ,由(Ⅱ)知 AH ? 平面 BED ,所
以直线 AB 与平面 BED 所成角即为 ?ABH .在 ?ADE 中, AD ? 1, DE ? 3, AE ? 6 ,由余弦定理可得

cos ?ADE ?

2 5 5 ,所以 sin ?ADE ? ,因此 AH ? AD ? sin ?ADE ? ,在 Rt ?AHB 中, 3 3 3

sin ?ABH ?

AH 5 5 ,所以直线 AB 与平面 BED 所成角的正弦值为 ? AB 6 6

考点:直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角 【结束】 (18) 【答案】 (Ⅰ) an ? 2 n?1 (Ⅱ) 2 n 2 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求等比数列通项,一般利用待定系数法:先由

1 1 2 解得 q ? 2, q ? ?1 ,分别 ? ? a1 a1q a1q 2

a1 (1 ? q 6 ) 代入 S n ? ? 63得 q ? ?1 , a1 ? 1 (Ⅱ)先根据等差中项得 1? q
bn ? 1 1 1 (log 2 a n ? log 2 a n ?1 ) ? (log 2 2 n ?1 ? log 2 2 n ) ? n ? ,再利用分组求和法求和: 2 2 2

2 2 2 T2 n ? (?b12 ? b2 ) ? (?b32 ? b4 ) ? ? ? ? ? (?b22n?1 ? b2 n ) ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? b2 n ?

2n(b1 ? b2 n ) ? 2n 2 2

试题解析: (Ⅰ)解:设数列 {an } 的公比为 q ,由已知有

1 1 2 ? ? ,解之可得 q ? 2, q ? ?1 ,又由 a1 a1q a1q 2

Sn ?

a (1 ? 2 6 ) a1 (1 ? q 6 ) ? 63 ,解之得 a1 ? 1 ,所以 an ? 2 n?1 . ? 63知 q ? ?1 ,所以 1 1? 2 1? q
1 1 1 (log 2 a n ? log 2 a n ?1 ) ? (log 2 2 n ?1 ? log 2 2 n ) ? n ? ,即数列 {bn } 是首项为 2 2 2

(Ⅱ)解:由题意得 bn ?

10

1 ,公差为 1 的等差数列. 2
2 设数列 {(?1) n bn } 的前 n 项和为 Tn ,则

2 2 2 T2 n ? (?b12 ? b2 ) ? (?b32 ? b4 ) ? ? ? ? ? (?b22n?1 ? b2 n ) ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? b2 n ?

2n(b1 ? b2 n ) ? 2n 2 2

考点:等差数列、等比数列及其前 n 项和 【结束】 (19) 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求椭圆标准方程,只需确定量,由

x2 y 2 6 ? ? 1 (Ⅱ) ? 4 3 4

1 1 3c 1 1 3c ? ? ,得 ? ? 再利用 | OF | | OA | | FA | c a a (a ? c) ,

a 2 ? c 2 ? b2 ? 3 ,可解得 c2 ? 1 , a 2 ? 4 (Ⅱ)先化简条件: ?MOA ? ?MAO ? | MA |?| MO | ,即 M
再 OA 中垂线上, xM ? 1 , 再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求 B ;利用两直线方程组求 H,最后

根据 BF ? HF ,列等量关系解出直线斜率. 试题解析: (1)解:设 F (c, 0) ,由

1 1 3c 1 1 3c 2 2 2 ? ? ,即 ? ? ,可得 a ? c ? 3c ,又 | OF | | OA | | FA | c a a (a ? c) x2 y 2 ? ? 1. 4 3

a 2 ? c 2 ? b2 ? 3 ,所以 c2 ? 1 ,因此 a 2 ? 4 ,学.科网所以椭圆的方程为
(2)设直线的斜率为 k (k ? 0) ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 设 B( xB , yB ) ,由方程组 ? 4 消去 y , 3 ? y ? k ( x ? 2), ?
整理得 (4k ? 3) x ?16k x ? 16k ?12 ? 0 ,解得 x ? 2 或 x ?
2 2 2 2

8k 2 ? 6 , 4k 2 ? 3

由题意得 xB ?

?12k 8k 2 ? 6 ,从而 yB ? , 2 4k 2 ? 3 4k ? 3

11

由(1)知 F (1, 0) ,设 H (0, yH ) ,有 FH ? (?1, yH ) , BF ? (

????

??? ?

9 ? 4k 2 12k , ), 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3

由 BF ? HF ,得 BF ? HF ? 0 ,所以

??? ? ????

4k 2 ? 9 12kyH ? ? 0, 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

9 ? 4k 2 1 9 ? 4k 2 解得 yH ? ,因此直线 MH 的方程为 y ? ? x ? , 12k k 12k

? 1 9 ? 4k 2 , 20k 2 ? 9 ?y ? ? x ? 设 M ( xM , yM ) ,由方程组 ? 消去 y ,得 xM ? , k 12k 12(k 2 ? 1) ? y ? k ( x ? 2), ?
在 ?MAO 中, ?MOA ? ?MAO ? | MA |?| MO | ,
2 2 2 即 ( xM ? 2)2 ? yM ,化简得 xM ? 1 ,即 ? xM ? yM

20k 2 ? 9 ? 1, 12(k 2 ? 1)

解得 k ? ?

6 6 或k ? , 4 4 6 6 或k ? . 4 4

所以直线 l 的斜率为 k ? ?

考点:椭圆的标准方程和几何性质,学.科网直线方程 【结束】 (20) 【答案】 (Ⅰ)递减区间为 (? 详见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 先求函数的导数:f ?( x) ? 3x ? a , 再根据导函数零点是否存在情况, 分类讨论: ①当 a ? 0
2 2 时,有 f ?( x) ? 3x ? a ? 0 恒成立,所以 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?) .②当 a ? 0 时,存在三个单调区间

3a 3a 3a 3a , ) ,递增区间为 (??, ? ) , (? , ??) .(Ⅱ)详见解析(Ⅲ) 3 3 3 3

2 f ?( x0 ) ? 3x0 ? a ? 0即 (Ⅱ) 由题意得

2 x0 ?

a f ( x1 ) ? f ( x0 ) 化简可得结论 3, 再由 (Ⅲ) 实质研究函数 g ( x)

最大值:主要比较 f (1), f (?1) ,

| f(

3a 3a |,| f (? )| 3 3 的大小即可,分三种情况研究①当 a ? 3 时,
12

?

3 3 3a 3a 2 3a 3a 3a 2 3a , ②当 ? a ? 3 时, , ③当 0 ? a ? 时, ? ?1 ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1? 4 4 3 3 3 3 3 3

?1 ? ?

2 3a 2 3a ? ? 1. 3 3

试题解析: (1)解:由 f ( x) ? x3 ? ax ? b ,可得 f ?( x) ? 3x2 ? a ,下面分两种情况讨论: ①当 a ? 0 时,有 f ?( x) ? 3x2 ? a ? 0 恒成立,所以 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?) . ②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

3a 3a 或x?? . 3 3

当 x 变化时, f ?( x ) 、 f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, ?

3a ) 3

?

3a 3
0

(?

3a 3a , ) 3 3
?

3a 3
0 极小值

(?

3a , ??) 3

?
单调递增

?
单调递增

f ( x)

极大值

单调递减

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 (?

3a 3a 3a 3a , ) ,单调递增区间为 (??, ? ) , (? , ??) . 3 3 3 3

(2)证明:因为 f ( x ) 存在极值点,所以由(1)知 a ? 0 且 x0 ? 0 .
2 2 ? 由题意得 f ?( x0 ) ? 3x0 ? a ? 0 ,即 x0

a , 3

进而 f ( x0 ) ? x0 ? ax0 ? b ? ?
3

2a x0 ? b , 3 8a 2a 3 x0 ? 2ax0 ? b ? ? x0 ? b ? f ( x0 ) ,且 ?2x0 ? x0 , 又 f (?2 x0 ) ? ?8 x0 ? 2ax0 ? b ? ? 3 3
由题意及(1)知,存在唯一实数 x1 满足 f ( x1 ) ? f ( x0 ) ,学科&网且 x1 ? x0 ,因此 x1 ? ?2x0 , 所以 x1 +2 x0 =0 . (3)证明:设 g ( x) 在区间 [?1,1] 上的最大值为 M , max{x, y} 表示 x , y 两数的最大值,下面分三种情

况讨论: ①当 a ? 3 时, ?

3a 3a ? ?1 ? 1 ? ,由(1) 知 f ( x ) 在区间 [?1,1] 上单调递减, 3 3
13

所以 f ( x ) 在区间 [?1,1] 上的取值范围为 [ f (1), f (?1)] ,因此,

M ? max{[ f (1), f (?1)]} ? max{|1 ? a ? b |,| ?1 ? a ? b |} ? max{| a ?1 ? b |,| a ?1 ? b |}

?a ? 1 ? b, b ? 0, 所以 M ? a ? 1? | b |? 2 . ?? a ? 1 ? b , b ? 0, ?
②当

3 2 3a 3a 3a 2 3a ? a ? 3 时, ? , ? ?1 ? ? ? ?1? 4 3 3 3 3

由(1)和(2) 知 f (?1) ? f (?

2 3a 3a 2 3a 3a )? f( ) , f (1) ? f ( ) ? f (? ), 3 3 3 3 3a 3a ), f (? )] , 3 3

所以 f ( x ) 在区间 [?1,1] 上的取值范围为 [ f (

所以 max{| f (

3a 3a 2a 2a |,| f (? ) |} ? max{| ? 3a ? b |,| 3a ? b |} 3 3 9 9

? max{|

2a 2a 2a 2 3 3 1 3a ? b |,| 3a ? b |} ? 3a ? | b |? ? ? 3 ? ? . 9 9 9 9 4 4 4
3 2 3a 2 3a 时, ?1 ? ? ? ? 1 ,由(1)和(2)知, 4 3 3

③当 0 ? a ?

f (?1) ? f (?

2 3a 3a 2 3a 3a )? f( ) , f (1) ? f ( ) ? f (? ), 3 3 3 3

所以 f ( x ) 在区间 [?1,1] 上的取值范围为 [ f (1), f (?1)] ,因此,

M ? max{[ f (1), f (?1)]} ? max{| ?1 ? a ? b |,|1 ? a ? b |} ? max{|1 ? a ? b |,|1 ? a ? b |}
? 1 ? a ? | b |? 1 . 4 1 . 4

综上所述,当 a ? 0 时, g ( x) 在区间 [?1,1] 上的最大值不小于 考点:导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式 【结束】

14


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2016年高考试题(数学文)天津卷 解析精校版

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(精校版)2016年天津文数高考试题文档版(word含答案)

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2016年高考试题(数学理)天津卷 解析版

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2016年天津高考数学试题(文)(解析版)

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2016年高考试题(天津卷)——数学(文)(含答案)

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2016年高考真题——理科数学(天津卷) Word版含解析

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