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求数列通项公式的方法(教案+例题+习题)


求数列的通项公式的方法
1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例 1 .等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,
2 .求数列 ?an ? 的通项公式. S 5 ? a5 解:设数列 ?an ? 公差为 d (d ? 0)

2 ∵ a1 , a3 , a9 成等

比数列,∴ a3 ? a1a9 ,

即 (a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 8d ) ? d 2 ? a1d ∵d ? 0,
2 ∵ S 5 ? a5

∴ a1 ? d ………………………………① ∴ 5a1 ?

5? 4 ? d ? (a1 ? 4d ) 2 …………② 2

3 3 ,d ? 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5
由①②得: a1 ? 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比) 后再写出通项。 练一练:已知数列 3

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________; 4 8 16 32

S ,(n ? 1) an ? 1 2.公式法: 已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) ) 求 an , 用作差法: 。 Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2)
例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通 项公式。 解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1 当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) ,
n

?

?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1,

an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ……, a2 ? 2a1 ? 2. ?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ??? 2 ? (?1)n?1
? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3
经验证 a1 ? 1 也满足上式,所以 a n ? 点评:利用公式 an ? ?

2 n?2 [2 ? (?1) n ?1 ] 3

?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

能合写时一定要合并. 练一练:①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ;

②数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 an ?1 ,求 an ; 3

f (1),(n ? 1) ? ? f (n) 3.作商法:已知 a1 ? 。 a2 ? ?? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? ,(n ? 2) ? f ( n ? 1) ? 2 如数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n ,则 a3 ? a5 ? ______



4.累加法: 若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 1 1 例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n
解:由条件知: a n ?1 ? a n ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

分 别 令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上式 得 (n ? 1) 个 等 式 累 加之 , 即

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )
1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n
如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2) ,则 an =________



an?1 a a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1 2 n a n ,求 an 。 例 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1
5.累乘法:已知
解:由条件知

an?1 n ? ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 an n ?1

(n ? 1) 个等式累乘之,即

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n

又? a1 ?

2 2 ,? a n ? 3 3n

如已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an

6.已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。
(1)形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法 转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an 。

① an ? kan?1 ? b 解 法 : 把 原 递 推 公 式 转 化 为 : an?1 ? t ? p(an ? t ) , 其 中
t? q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p

例 5. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 解 : 设 递 推 公 式 an?1 ? 2an ? 3 可 以 转 化 为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即

an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 . 故 递 推 公 式 为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , 令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且
bn?1 an?1 ? 3 ? ?2 bn an ? 3

所以 ?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以

an ? 2n?1 ? 3 .
② an ? kan?1 ? bn 解法:该类型较类型 3 要复杂一些。一般地,要先在原递推公
式两边同除以 q
n ?1

,得:

an?1 p an 1 a ) , ? ? n ? 引入辅助数列 ?bn ? (其中 bn ? n n ?1 q q q q qn

得: bn?1 ?

p 1 bn ? 再应用 an ? kan?1 ? b 的方法解决.。 q q

例 6. 已知数列 ?an ? 中, a1 ?

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 1 1 n ?1 2 n n ?1 n ?1 解:在 a n ?1 ? a n ? ( ) 两边乘以 2 得: 2 ? a n ?1 ? (2 ? a n ) ? 1 3 2 3 2 2 n 令 bn ? 2n ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,应用例 7 解法得: bn ? 3 ? 2( ) 3 3 b 1 1 ? 3( ) n ? 2( ) n 所以 a n ? n n 2 3 2

练一练①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ;

②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an ;

(2)形如 an ? 例 7: an ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b

an?1 , a1 ? 1 3 ? an?1 ? 1
1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

解:取倒数:

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?
练一练:已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ?

an an?1 ,求 an ;

数列通项公式课后练习
1 已知数列 ?an ? 中,满足 a 1 =6,a n?1 +1=2(a n +1) (n∈N )求数列 ?an ? 的通项公式。
?

2 已知数列 ?an ? 中,a n >0,且 a 1 =3, an?1 = an +1

(n∈N )

?

3 已知数列 ?an ? 中,a 1 =3,a n?1 =

1 ? a n +1(n∈N )求数列 ?an ? 的通项公式 2

4 已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,a n?1 =3a n +2,求数列 ?an ? 的通项公式

5 已知数列 ?an ? 中,a n ≠0,a 1 =

an 1 ,a n?1 = 2 1 ? 2an

(n∈N ) 求 a n

?

6 设数列 ?an ? 满足 a 1 =4,a 2 =2,a 3 =1

若数列 ?an?1 ? an ?成等差数列,求 a n

7 设数列 ?an ? 中,a 1 =2,a n?1 =2a n +1 求通项公式 a n

8 已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,2a n?1 = a n + a n ? 2

求 an


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