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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修一课时作业:第3章 3.4]


§ 3.4

函数的应用(Ⅱ)

课时目标 1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异.结合实例 体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型增长的含义.2.收集一些社会生活中 普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解函数模型 的广泛应用.3.初步学会分析具体的实际问题,建模解决实际问题.<

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1.三种函数模型的性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 性质 在(0,+∞)上 的增减性 图象的变化 随 x 的增大逐渐变“________” 随 x 的增大逐渐趋于______ 随 n 值而不同 2.三种函数模型的增长速度比较 (1)对于指数函数 y=ax(a>1)和幂函数 y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上,无论 n 比 a 大多少, 尽管在 x 的一定范围内,ax 会小于 xn,但由于______的增长快于______的增长,因此总存 在一个 x0,当 x>x0 时,就会有______. (2)对于对数函数 y=logax(a>1)和幂函数 y=xn(n>0),在区间(0,+∞)上,尽管在 x 的一定 范围内,logax 可能会大于 xn,但由于________的增长慢于______的增长,因此总存在一 个 x0,当 x>x0 时,就会有____________.

一、选择题 1.今有一组数据如下: t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.40 7.5 12 18.01 现准备了如下四个答案,哪个函数最接近这组数据( ) A.v=log2t B.v= log 1 t t2-1 C.v= D.v=2t-2 2 2.从山顶到山下的招待所的距离为 20 千米.某人从山顶以 4 千米/时的速度到山下的招 待所,他与招待所的距离 s(千米)与时间 t(小时)的函数关系用图象表示为( )
2

3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来 增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系, 可 选用( )

A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 4.某自行车存车处在某天的存车量为 4 000 辆次,存车费为:变速车 0.3 元/辆次,普通 车 0.2 元/辆次.若当天普通车存车数为 x 辆次,存车费总收入为 y 元,则 y 关于 x 的函数 关系式为( ) A.y=0.2x(0≤x≤4 000) B.y=0.5x(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) D.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) 5.已知 f(x)=x2-bx+c 且 f(0)=3,f(1+x)=f(1-x),则有( ) A.f(bx)≥f(cx) B.f(bx)≤f(cx) C.f(bx)<f(cx) D.f(bx),f(cx)大小不定 6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 l1=5.06x-0.15x2 和 l2 =2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则可能获得的最 大利润是( ) A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7. 一种专门侵占内存的计算机病毒, 开机时占据内存 2KB, 然后每 3 分钟自身复制一次, 复制后所占内存是原来的 2 倍,那么开机后经过________分钟,该病毒占据 64MB 内存 (1MB=210KB). 8.近几年由于北京房价的上涨,引起了二手房市场交易的火爆.房子几乎没有变化,但 价格却上涨了,小张在 2010 年以 80 万元的价格购得一套新房子,假设这 10 年来价格年 膨胀率不变,那么到 2020 年,这所房子的价格 y(万元)与价格年膨胀率 x 之间的函数关系 式是________. 9.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y=ekt(其中 k 为常数, t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则 k=________,经过 5 小时,1 个病毒能 繁殖为________个. 三、解答题 10.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表: 1 2 3 月份 50 52 53.9 产量(千件) 为估计以后每月对该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数 y=ax+b 或 y =ax+b(a,b 为常数,且 a>0)来模拟这种电脑元件的月产量 y 千件与月份的关系.请问: 用以上哪个模拟函数较好?说明理由.

11.一片森林原来的面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当 砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积

1 2 的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 ,(1)求每年砍伐面积的百分比; 4 2 (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?

能力提升 12.某种商品进价每个 80 元,零售价每个 100 元,为了促销拟采取买一个这种商品,赠 送一个小礼品的办法,实践表明:礼品价值为 1 元时,销售量增加 10%,且在一定范围 内,礼品价值为(n+1)元时,比礼品价值为 n 元(n∈N*)时的销售量增加 10%. (1)写出礼品价值为 n 元时,利润 yn(元)与 n 的函数关系式; (2)请你设计礼品价值,以使商店获得最大利润.

1.根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型.同时,要注 意利用函数图象的直观性,来确定适合题意的函数模型. 2.常见的函数模型及增长特点 (1)直线 y=kx+b (k>0)模型,其增长特点是直线上升; (2)对数 y=logax (a>1)模型,其增长缓慢; (3)指数 y=ax (a>1)模型,其增长迅速. 3.函数模型的应用实例主要包括三个方面: (1)利用给定的函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题.

§ 3.4

函数的应用(Ⅱ)

知识梳理 1.增函数 增函数 增函数 陡 稳定 2.(1)y=ax y=xn ax>xn (2)y=logax y=xn logax<xn 作业设计 t2-1 1.C [将 t 的 5 个数值代入这四个函数,大体估算一下,很容易发现 v= 的函数比 2 较接近表中 v 的 5 个数值.] 2.C [由题意知 s 与 t 的函数关系为 s=20-4t,t∈[0,5],所以函数的图象是下降的一段 线段,故选 C.] 3.D [由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢,只有对数函 数的增长符合.] 4.C [由题意得:y=0.2x+0.3(4 000-x) =-0.1x+1 200(0≤x≤4 000).] b 5.B [由 f(1+x)=f(1-x),知对称轴 =1,b=2. 2 由 f(0)=3,知 c=3. 此时 f(x)=x2-2x+3. 当 x<0 时,3x<2x<1,函数 y=f(x)在 x∈(-∞,1)上是减函数,f(bx)<f(cx); 当 x=0 时,f(bx)=f(cx); 当 x>0 时,3x>2x>1,函数 y=f(x)在 x∈(1,+∞)上是增函数,f(bx)<f(cx). 综上,f(bx)≤f(cx).] 6.B [设该公司在甲地销售 x 辆, 则在乙地销售(15-x)辆. 由题意可知所获利润 l=5.06x-0.15x2+2(15-x) =-0.15(x-10.2)2+45.606. 当 x=10 时,lmax≈45.6(万元).] 7.45 解析 设过 n 个 3 分钟后,该病毒占据 64MB 内存,则 2×2n=64×210=216?n=15, 故时间为 15×3=45(分钟). 8.80(1+x)10 解析 一年后的价格为 80+80· x=80(1+x). 二年后的价格为 80(1+x)+80(1+x)· x 2 =80(1+x)(1+x)=80(1+x) , 由此可推得 10 年后的价格为 80(1+x)10. 9.2ln 2 1 024 解析 当 t=0.5 时,y=2, ∴2= e , ∴k=2ln 2, ∴y=e2tln 2,当 t=5 时, ∴y=e10ln 2=210=1 024. 10.解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得: ? ? ?50=a+b ?50=a+b, ? 或? (a>0) 2 ?52=2a+b ?52=a +b. ? ?
?a=2 ? 解得? (两方程组的解相同). ?b=48 ? ∴两函数分别为 y=2x+48 或 y=2x+48. 当 x=3 时,对于 y=2x+48 有 y=54; 当 x=3 时,对于 y=2x+48 有 y=56.
1 k 2

由于 56 与 53.9 的误差较大, ∴选 y=ax+b 较好. 11.解 (1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1),则 1 1 a(1-x)10= a,即(1-x)10= , 2 2

? 1 ?10 解得 x=1- ? ? . ?2?
(2)设经过 m 年剩余面积为原来的
m 1

1

2 ,则 2

2 ? 1 ?10 ? 1 ? 2 m 1 a(1-x)m= a,即 ? ? = ? ? , = ,解得 m=5, 2 10 2 2 2

? ?

? ?

故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍了 n 年, 2 则 n 年后剩余面积为 a(1-x)n. 2 2 1 2 令 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ , 2 4 4

? 1 ?10 ? 1 ? 2 n 3 ? ? ≥ ? ? ,10≤2,解得 n≤15. ?2? ?2?
故今后最多还能砍伐 15 年. 12.解 (1)设未赠礼品时的销售量为 m, 则当礼品价值为 n 元时,销售量为 m(1+10%)n. 利润 yn=(100-80-n)· m· (1+10%)n =(20-n)m×1.1n (0<n<20,n∈N*). (2)令 yn+1-yn≥0, + 即(19-n)m×1.1n 1-(20-n)m×1.1n≥0. 解得 n≤9, 所以 y1<y2<y3<…<y9=y10, 令 yn+1-yn+2≥0, + + 即(19-n)m×1.1n 1-(18-n)m×1.1n 2≥0, 解得 n≥8. 所以 y9=y10>y11>…>y19. 所以礼品价值为 9 元或 10 元时, 商店获得最大利润.

n

3


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