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一元二次不等式的解法(讲新课)教师用


课题:一元二次不等式的解法

一元一次函数

y = ax + b
一元二次函数

y = ax + bx + c

2

一元一次函数

一元一次方程
一元一次不等式

它们之 间有怎 样的联 系?

请同学们解决如下问题:
?(1)解方程2x-7=0 ?(2)作出函数y=2x-7的图像 ?(3)解不等式2x-7>0

请看下表:“三个一次”的联 系

a>0
一元一次函 数y=ax+b 的图像
一元一次方程 ax+b=0的解

a<0
y
x o
b a


b a

y



o

x

b x = a b b 一元一次不等式 { x | x < } { x | x > } ax+b>0的解集 a a 一元一次不等式 b b ax+b<0的解集 { x | x < - }{ x | x > - } a a

b x = a

思考题:
?类似地,我们能不能将一

元二次不等式的求解与一 元二次函数以及一元二次 方程联系起来找到其求解 方法呢?

试一试:解不等式

x

2-

x-6>0

2 (1)作出y=x -x-6的图像
2 (2)写出x -x-6=0的解集

(3)根据图像写出 x2-x-6>0的解集 (4)根据图像写出 2 x -x-6<0的解集

y

-2



o



3

x

?小结:我们通过二次 2 函数y=x -x-6的图

像不仅求得了x2-x- 6>0的解集,还求得了 x2-x-6<0的解集.可 见利用二次函数的图像 来解一元二次不等式是 个有效的方法.

下面我们再对一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0来进行讨论.
? 首先讨论a>0的情形.请思考下列问题:

? (1)如果相应的一元二次方程分别有

两个实根、唯一实根、无实根的话, 其相应的二次函数的图像与轴的位置 关系如何? ? (2)请观察表中的二次函数的图像, 并写出相应的一元二次不等式的解集.

?=b2-4ac

?>0
y
● ●

?=0
y y

?<0

二次函数 y=ax2+bx+c x1 o 的图像 ax2+bx+c=0 x1,2 = 的根 ax2+bx+c>0 的解集

x2 x

o



x

o

b b± Δ x1 = x2 = 2a 2a

φ
R

x

{ x | x < x1 或x > x2 }

{ x | x ∈ R, b x ≠- } 2a

ax2+bx+c<0 { x | x1 < x < x2 } 的解集

φ

φ

这张表是我们今后求解一 元二次不等式的主要工具, 必须熟练掌握,其关键是抓 住相应的二次函数的图像。

记忆口诀:
大于0取两边,小于0取中间.

知识应用与解题研究
【例1】解不等式2x2-3x-2>0
解:因为?>0, 方程2x2-3x-2=0 的解是
Δ = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 × 2 ×( -2) = 25 > 0

1 x1 = - , x2 = 2 2

1 ( x + )( x - 2) 2

1 所以不等式的解集是 { x | x < - 或x > 2 2 请同学们看课本P19的例2~例4,并 在空白处画出相应的二次函数的草图.

演练反馈
?1.解下列不等式:
2 ?(1)3x -7x+2<0

?(2)-6x2-x+2≤0 ?(3)4x2+4x+1<0
2 ?(4)x -3x+5>0

参考答案:
1 (1 ) {x | < x < 2} 3

1 2 ( 2) { x | x ≥ 或 x ≤- } 2 3

(3) Φ

( 4) R

总结提练
(1)一元二次不等式的解集与一元二 次方程的解及其相应的二次函数的图 像相对于轴的位置密切相关.解题时要 注意解题格式,头脑中要想象图像或 划出草图. (2)对于a<0的一元二次不等式可转 化为a>0的情形求解. (3)一元二次不等式的解法是今后学 习其他不等式的基础,要求大家熟练 掌握解法,准确运算结果.

解一元二次不等式的步骤
? 一化: 化二次项前的系数为正,a>0 ? 二判:判断对应方程的根 ? 三求:求对应方程的根 ? 四画:画出对应函数的图像 ? 五解集:根据函数图像求不等式的解集


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