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广西--充分条件与必要条件(彭葆蓓)


《充分条件与必要条件》说课教案
广西柳州地区民族高中 一、背景分析 1、学习任务分析:充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一,它主要讨 论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数 学学习特别是数学推理的学习打下基础。 在旧教材中,这节内容安排在《解析几何》第二章“圆 锥曲线”的第三节讲授,而在新教材中,这节内容被安排在 数学第一册(上)第一章中“简易逻辑”的

第三节。除了教 学位置的前移之外,新教材中与充要条件相关联的知识体系 也作了相应的扩充。在“充要条件”这节内容前,还安排了 “逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识 铺垫,特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学 数学教材,安排在充要条件之前讲授,既可以使学生丰富并 深化对命题的理解,也便于老师讲透充要条件这一基本数学 概念。 教学重点:充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。 2、学生情况分析:从学生学习的角度看,与旧教材相比,教学时间的前置, 造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富, 逻辑思维能力的训练不够充分,这也为教师的教学带来一定 的困难.因此,新教材在第一章的小结与复习中,把学生的 学习要求规定为“初步掌握充要条件”(注意:新教学大纲 的教学目标是“掌握充要条件的意义”),这是比较切合教 学实际的.由此可见,教师在充要条件这一内容的新授教学 时,不可拔高要求追求一步到位,而要在今后的教学中滚动 式逐步深化,使之与学生的知识结构同步发展完善。 教学难点: “充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念, 由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则 更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必 要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充 分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于 “B=>A”,称 A 是 B 的必要条件难于接受,A 本是 B 推出的结论,怎么 又变成条件了呢?对这学生难于理解。
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数学组

彭葆蓓

教学关键:找出 A、B,根据定义判断 A=>B 与 B=>A 是否成立。教学中,要强调 先找出 A、B,否则,学生可能会对必要条件难以理解。 二、教学目标设计: (一) 知识目标: 1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。 2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念,熟练判断四种命题间的关 系。 3、在理解定义的基础上,可以自觉地对定义进行转化,转化成推理关系及集合 的包含关系。 (二)能力目标: 1、培养学生的观察与类比能力:“会观察”,通过大量的问题,会观察其共性 及个性。 2、培养学生的归纳能力:“敢归纳”,敢于对一些事例,观察后进行归纳,总 结出一般规律。 3、培养学生的建构能力:“善建构”,通过反复的观察分析和类比,对归纳出 的结论,建构于自己的知识体系中。 (三)情感目标: 1、通过以学生为主体的教学方法, 让学生自己构造数学命题, 发展体验获取知 识的感受。 2、通过对命题的四种形式及充分条件, 必要条件的相对性, 培养同学们的辩证 唯物主义观点。 3、 通过“会观察”,“敢归纳”, “善建构”,培养学生自主学习,勇于创新, 多方位审视问题的创造技巧,敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来,并在 问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。 三、教学结构设计: 数学知识来源于生活实际,生活本身又是一个巨大的数学课堂,我在教学 过程中注重把教材内容与生活实践结合起来,加强数学教学的实践性,给数学
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找到生活的原型。我对本节课的数学知识结构进行创造性地“教学加工”,在 教学方法上采用了“合作——探索”的开放式教学模式,使课堂教学体现“参 与式”、“生活化”、“探索性”,保证学生对数学知识的主动获取,促进学 生充分、和谐、自主、个性化的发展。 整体思路为:教师创设情境,激发兴趣,引出课题 ?引导学生分析实例,给出 定义 ?例题分析(采用开放式教学) ?知识小结 ?扩展例题 ? 练习反馈 整个教学设计的主要特色:(1)由生活事例引出课题; (2)例 1 采用开放式教学模式; (3)扩展例题 2 是分析生活中的名言名句,又将 数学融入生活中。 努力做到:“教为不教,学为会学”;要“授之以鱼”更要“授之以渔”。 四、教学媒体设计: 本节课是概念课,要避免单一的下定义作练习模式,应该努力使课堂元素 更为丰富。这节课,我借助了多媒体课件,配合教学,添加了一些与例题相匹 配的图片背景,以激发学生的学习兴趣,另外将学生的自编题利用多媒体课件 展示出来分析,提高了课堂教学的效率。 五、教学过程设计: 第一,创设情境,激发兴趣,引出课题: 考虑到高一学生学习这一章的知识储备不足,为了让学生更易接受这一节 内容,我利用日常生活中的具体事例来提出本课的问题,并与学生共同利用原 有的知识分析,事例中包括几个问题,为后面定义的分析埋下伏笔。 我用的第一个事例是:“做一件衬衫,需用布料,到布店去买,问营业员 应该买多少?他说买 3 米足够了。”这样,就产生了“3 米布料”与“做一件 衬衫够不够”的关系。用这个事件目的是为了第二部分引导学生得出充分条件 的定义。这里要强调该事件包括:A:有 3 米布料;B:做一件衬衫够了。 第二个事例是: “一人病重,呼吸困难,急诊住院接氧气。”就产生了“氧 气”与“活命与否”的关系。用这个事件的目的是为了第二部分引导学生得出 必要条件的定义。这里要强调该事件包括:A:接氧气;B:活了。
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用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系,会使学生感 到亲切自然,有助于提高兴趣和深入领会概念的内容,特别是它的必要性。 第二,引导学生分析实例,给出定义。 在第一部分激发起学生的学习兴趣后,紧接着开展第二部分,引导学生分 析实例,让学生从事例中抽象出数学概念,得出本节课所要学习的充分条件和 必要条件的定义。在引导过程中尽量放慢语速,结合事例帮助学生分析。 得出定义之后,这里有必要再利用本课前面两节的“逻辑联结词”和“四 种命题”的知识来加强对必要条件定义的理解。(用前面的例子来说即:“活 了,则说明在输氧”)可记作: B ? A 。 还应指出的是“必要条件”的定义,有如绕口令,要一次廓清,不可拖泥 带水。这里,只要一下子“定义”清楚了,下边再解释“ B ? A ,A 是 B 的必 要条件”是怎么回事。这样处理,学生更容易接受“必要”二字。(因无 A 则 无 B,故欲有 B,A 是必要的)。 当两个定义分别给出后,我又对它们之间的区别加以分析说明,(充分条 件可能会有多余,浪费,必要条件可能还不足(以使事件 B 成立))从而顺理 成章地引出充要条件的定义(既是必要条件,又是充分条件,就称为充分必要 条件,简称充要条件,记作: A ? B 。(不多不少,恰到好处)。使学生在此 先对两个充分条件和必要条件两个概念的不同有了第一次的认识,第三部分再 利用具体的数学事例来强化。 第三,例题分析: 例 1 采用开放式教学,课前请学生在预习的基础上,以学习小组为单位, 在尽可能广泛的知识范畴中,课外编制关于充分条件、必要条件的命题。教师 借助实物投影仪,在课上有目标地选择三组通过组合的学生自编题原文出示, 通过学生口答,引导讨论,质疑解惑,在“开放”的情景中推进教学过程,在 点评“聚焦”中形成知识要义,从而发展学生思维。由于时间关系,对没有选 到课堂上讲评的其他学生自编题,另汇编成课后作业,继续学习讨论,这样一 来,能最大限度的发挥学生的积极性和保持他们参与教学研究的热情。 在分析各组题时都注意,让学生先养成找出 A、B 的习惯,以使学生突破学 习难点: “A=>B”,称 B 是 A 的必要条件,这里最好能让学生避免将 A、 B 理解成 条件和结论,否则学生就可能会有这样的想法:“B 本是 A 推出的结论,怎么又 变成条件了呢?”。

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选的第一组题,旨在对“充分条件”、“必要条件”、概念的复习巩固, 选题的难度控制在极大部分学生能接受的范围程度,除第 4 小题对不等式符号 的处理需要教师略加点拨外,其余学生均能自行解答。命题内容涉及几何、代 数较广泛领域,也包括初学的“集合”知识,达到预期目标。 [第一组题:(1) " a, b ? R ? "是" a ? b ? 0" 的(充分不必要)条件。 (2) “四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的(必要不充分)条件。 (3) “设集合 A= ?x | x ? 3? , B= ?x | x ? 4?” , 则 “x? A” 或 “x?B ” 是 " x ? A ? B" 的(必要不充分)条件。 (4) " a ? b ? 0"是"
a ? 0" 的(必要不充分)条件。] b

选的第二组题,旨在加强学生思维的灵活性、辩析深刻性。编题者与答题 者答案不尽相同, 可以形成开放性求解研究的趣味, 在选择比较答案的过程中, 加深对数学实质内涵的认识。如第(2)小题,学生提出三个不同答案:(1) a ? 0且b ? 0 ;(2) a ? 0, b ? 0且 a ? b ;(3) a ? 3且b ? ?1。紧扣概念,教 师引导分析结论的正确性(说明还有其他答案),比较答案(1)、(2),则 是同类答案的优化问题;比较答案(1)、(3),则是一般性和特殊性的问题, 可引申作点评。学生在问题的讨论过程中感悟到探索的价值,认识到与传统的 演绎推理方法的差异,体现了群体中个体的优势。鼓励和倡导了创造性思维。 至此,“开放”的目的基本到位。学生思维被“激活”,充分体现出“开放性” 的活力。 [第二组题: (1)写出 x ? 2 的一个必要不充分条件( 可答x 2 ? 2 )。 (2)写出 a ? b >0 的一个充分不必要条件 (可答a ? 0且b ? 0) 。 (3) 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c当字母a, c 满足 (可答a ? 0且c ? 0) 条件, 是函数图 象与 x 轴有交点的充分不必要条件。] 选的第三组题,旨在纠偏纠错,让学生先发现或是数学问题,或是语言表 述问题的错误,从而先改正后分析。这样,既可以让学生发现问题,及时改正 错误,对语言表述引起重视,又可以培养团结协作的精神。

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[第三组题: (1)“Q 是 R 的充分不必要条件” 改正为: " x ? Q"是" x ? R" 的 条件;

(2)“等腰三角形底角相等是什么条件” 改正为:“一个三角形为等腰三角 形”是“一个三角形有两个角相等”的 条件。] 分析完以上三组题,新课的目标已在顺理成章中基本完成。学生在认知变 化过程中,不机械模仿,不自我封闭,即使在“开放”过程中暴露知识缺陷, 经过学生讨论辩析,教师答题解惑,在顺应作用下发展,实现了“质”的变化。 这种教学思想来源于著名的瑞士教育心理学家、发生认识论创始人让·皮亚 (JeanPiage1896—1980),提出的发生认识论原理。 例 1 讲评结束时我注意给学生提供了适度的学习指导,加深对数学本质的 理解,让学生反思例 1,引导学生归纳、总结并概括本堂课的学习内容。特别 是让学生从集合的角度来理解充分条件和必要条件。在学生归纳的同时,进行 板书。 [板书:1、简化定义:如果已知 A ? B ,则说 A 是 B 的充分条件,B 是 A 的 必要条件。 2、判别步骤:(1)找出 A 和 B.(2)考察 A ? B 和 B ? A 的真假。(3) 根据定义下结论。 3、判别技巧:(1)可先简化命题。 (2)否定一个命题只要举出一个反例即可。 (3)可将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 4、从集合的角度来理解:

① 即:要使

,相当于

,即

或 就足够了——有它就行.

成立,只要



,相当于

,即



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即:为使 等价于

成立,必须要使 。

——缺它不行.



,相当于

,即

即:互为充要的两个条件刻划的是——同一事物. 考虑到充要条件既是一个数学概念也是一个逻辑概念, 它与人们日常生活中 的推理判断密切相关,因此设计了例 2,它既是本节课的画龙点睛之笔,又与本 节课开始由生活事例引出课题首尾呼应。 设计例 2 也让学生从数学的角度重新审视生活中的名言名句, 体现了数学 作为人类文化结晶的特点,也使这节数学课融合了浓厚的文化气息。教学中, 我通过多媒体课件逐一展示名言名句并配上与名言名句相匹配的图片背景,让 学生探讨其中的充要关系,此时课堂学习的气氛再一次达到了高潮,每个学生 都踊跃发表自己的观点。当然,生活语言不可能象数学命题一样准确,因此学 生不同观点的碰撞在所难免,作为教师,只要学生的推断能在某种前提或某个 角度下合乎情理,就应该肯定,在这里答案应该是开放的,不同的观点应允许 共存,关键是只要学生能“学会数学地思维”。 [例 2:探讨下列生活中名言名句的充要关系. (1)水滴石穿 (2)骄兵必败 (3)有志者事竟成

(4)头发长,见识短(5)名师出高徒(6)放下屠刀,立地成佛。] 第四,作业布置: 1、本节书上的课后练习和习题。(要求先写出 A、B,再判断) 2、讨论研究同学们的自编题。 3、写出生活中有四种关系的名言名句各 1 句,并进行剖析。 六、教学评价设计: 1、为了更好的了解学生听课后的各方面情况,特设计了学生学习综合评价表。

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学生学习综合评价表
学习 内容 班级 内容 等级 学习 态 度、 学习 方 法、 学习 过程 及学 习收 获。 1、 课前积极预习, 积极参加学习小组活 动,积极提出意见和建议。 2、 围绕课堂主题主动提出问题、 学习过 程中积极思维 3、有参与意识、积极参加课堂的讨论、 发表自己的见解 4、参与信息的收集、整理、交流等 5、课后与同学,老师的交流学习 6、作业情况 7、 在数学研究性学习中与他人合作, 完 成任务的情况 8、 帮助同学解决问题或向同学提出问题 的情况 对自己的不足和进步 的认识 A 姓名 本人评价 B C D A 学号 同学评价 B C D A 教师评价 B C D

同学综合评价和建议 教师的评价和鼓励

综合评定意见

2、通过研究学生综合评价表反馈的信息,进行教学反思,进行自我评价, 以改进教学。

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教师自我反思评价表 授课内容__________班级_______时间___
评价项目 评 价 指 标

_总分__
分值 3

___
得分

1. 明确、具体、全面,符合课程标准和学 生实际,能与具体活动内容和方式相联系。 2. 重视学习习惯的养成和自学能力、综合 运用数学能力的培养, 并能有效地激励和指 导学生学生正确认识数学的价值。 3. 目标意识强,能从目标出发及时恰当地 调控教学,并注意生成目标的达成。 4.充分挖掘数学教材中的教育因素, 寓思想 教育于教学之中。 1.学生主动参与到学习新知、 解决问题的活 自主参与 教 动中去,在“做中学” 。 2.学生主动参与的广度、 深度和参与时间达 到一定要求。 学 1. 师生平等地对话、沟通,教师较好地发 挥了促进者、指导者和合作者的作用。 过 有效互动 2、学生在自主学习、独立思考基础上的小 组讨论、合作学习扎实有效。 3、师生、生生不仅有语言、动作方面的交 流、碰撞,更有思维、情感方面的融洽、交 流、碰撞和成果的共享。 1、 学生获得对知识的真正理解, 能用精确、 简约、 形式化的数学语言有条理地表达与交 流数学内容。 2. 学生能建立不同知识之间的联系,把握 数学知识的结构、 体系, 并能综合应用所 学知识从实际情境中抽象出数学知识, 并 能应用数学知识解决问题。 3. 学生的思维能力、 想象力得到一定发展; 学好数学的自信心、 勤奋、 刻苦以及克服 困难的毅力等品质得到有机培养。 1. 学生获得了成功与进步的积极体验,兴 趣浓厚,热情高涨。
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教 目

学 标

3

(10 分)

2

2

7

7

4

5

程 ( 共70 分, 每 个二 级指 标均 为 14 分) 情感体验 经验建构

5

4

5

5 4

2. 学生能有效地进行感悟体验,在感悟体 验中获得能力的发展和精神品格的提升。 3. 学生积极地提问、质疑,有独到见解, 创新品质得到培养,创新思维得到激发, 创新个性得到发展。 1.学生能对自己的学习过程、学习方法进 行不同程度的回顾总结。 自我反思 2. 学生能说出自己的学习收获, 包括知识、 技能和能力发展情况。 3.学生能说出自己的体验、体会,有的能 检查利弊得失,说明改进意见。 1. 教师能有效地开发和利用教科书及其以 外的课程资源如自身资源、 学生资源、 社 会资源及图书等媒体资源。 2. 教师积极创设学习情境、能依据目标有 效地指导、启发、调控、强化学生的自主 学习,合作学习和探究学习。 3. 教师教态亲切自然,有感染力,善于与 学生进行情感交流,讲解、提问、指导语 规范得体。 4.教学结构合理, 教学环节得当, 教学反馈 有效及时,每个教学环节都扎实有效。 5. 教师教学技能娴熟,教法灵活多样,能 面向全体学生, 兼顾个体差异, 能从学生的 不同需要出发组织和实施教学。

5

5

4

5

5

4 4 4 4

条件保障 (20 分)

4

今后应重点 改进的地方

3、 根据以上两类评价表的反馈信息, 我在后面的教学中及时的进行小结和点评, 并针对学生的反馈情况分层次组织引导学生解决存在问题,进行教学调节。

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