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江苏省徐州市新沂二中2015-2016学年高二(上)第一次月清数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江苏省徐州市新沂二中高二(上)第一次月清数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.经过点 M(﹣m,3),N(5,﹣m)的直线的斜率为 1,则 m= .

2.已知直线经过点 A(﹣2,0),B(﹣5,3),则该直线的倾斜角为

r />
3.已知点 A(1,﹣2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y﹣2=0,则实数 m 的值 是 .

4.梯形 ABCD 中 AB∥CD,AB?平面 α,CD?平面 α,则直线 CD 与平面 α 内的直线的位置关 系 .

5.直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行,则实数 a 的值为



6.已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°的扇形、底面圆的直径为 2,则该圆锥的体积 为 .

7.过点 A(0,2)且倾斜角的正弦值是 的直线方程为



8.P 为△ ABC 所在平面外一点,O 为 P 在平面 ABC 上的射影.若 PA⊥BC,PB⊥AC,则点 O 是△ ABC 的 心.

9.一个体积为 8cm3 的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是

cm2.

10.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 cm3.

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11.设 α,β 为互不重合的平面,m,n 是互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 n⊥β,m∥n,n?α,则 m∥α; ②若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n; ④若 α⊥β,α∩β=m,n?α,n⊥m; 其中正确命题的序号为 .

12.如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体,使 G1,G2,G3 三点重合于点 G,这样,下列五个结论:①SG⊥平面 EFG; ②SD⊥平面 EFG;③GF⊥平面 SEF;④EF⊥平面 GSD;⑤GD⊥平面 SEF. 其中正确的是 (填序号).

13.若三条直线 4x+y+4=0,mx+y+1=0,x﹣y+1=0 不能围成三角形,则实数 m 取值范围是



14.已知函数 y= 是 .

的图象与函数 y=kx﹣2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
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15.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8, DF=5.求证: (1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

16.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥BC,CC1=4,M 是棱 CC1 上的一点. (1)求证:BC⊥AM; (2)若 N 是 AB 的中点,且 CN∥平面 AB1M,求 CM 的长.

17.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

18.△ ABC 的一个顶点 A(2,3),两条高所在直线方程为 x﹣2y+3=0 和 x+y﹣4=0,求△ ABC 三边所在 直线方程.

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19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,N 是 PB 中点,过 A、N、D 三点的平面交 PC 于 M. (1)求证:DP∥平面 ANC; (2)求证:M 是 PC 中点; (3)求证:平面 PBC⊥平面 ADMN.

20.如图,在三棱锥 D﹣ABC 中,已知△ BCD 是正三角形,AB⊥平面 BCD,AB=BC=a,E 为 BC 点,F 棱 AC 上,且 AF=3FC. (1)求三棱锥 D﹣ABC 的体积; (2)求证:AC⊥平面 DEF; (3)若 M 为 DB 中点,N 在棱 AC 上,且 CN= CA,求证:MN∥平面 DEF.

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2015-2016 学年江苏省徐州市新沂二中高二(上)第一次月清数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.经过点 M(﹣m,3),N(5,﹣m)的直线的斜率为 1,则 m= ﹣4 . 【考点】直线的斜率. 【专题】直线与圆. 【分析】直接由两点坐标求斜率公式得到关于 m 的等式,则 m 可求. 【解答】解:∵M(﹣m,3),N(5,﹣m), ∴ 解得:m=﹣4. 故答案为:﹣4. 【点评】本题考查直线的斜率,训练了由直线上两点的坐标求直线的斜率,是基础题. ,

2.已知直线经过点 A(﹣2,0),B(﹣5,3),则该直线的倾斜角为 145° . 【考点】直线的倾斜角. 【专题】数形结合;综合法;直线与圆. 【分析】由两点的坐标求得直线 AB 的斜率,再由倾斜角的正切值等于斜率求得倾斜角的值. 【解答】解:由 A(﹣2,0),B(﹣5,3),可得 直线 AB 的斜率 k= =﹣1.

设直线 AB 的倾斜角为 α(0°≤α<180°), 则 tanα=﹣1,α=145°. 故答案为:145°. 【点评】本题考查了直线的倾斜角,考查了直线的倾斜角与斜率的关系,是基础题.

3.已知点 A(1,﹣2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y﹣2=0,则实数 m 的值是 3 .
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【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】直线与圆. 【分析】由题意可得点 A、B 的中点( m 的值. 【解答】解:∵线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y﹣2=0, ∴点 A、B 的中点( ∴ ,0)在直线 x+2y﹣2=0 上, ,0)在直线 x+2y﹣2=0 上,代入可得 m 的方程,解方程可得

+2×0﹣2=0,解得 m=3

故答案为:3. 【点评】本题考查直线的一般式方程,涉及中点坐标公式,属基础题.

4.梯形 ABCD 中 AB∥CD,AB?平面 α,CD?平面 α,则直线 CD 与平面 α 内的直线的位置关系 平行 或异面 . 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由线面平行的性质定理,得 CD∥α,由此得到直线 CD 与平面 α 内的直线的位置关系是平行或异 面. 【解答】解:∵AB∥CD,AB?平面 α,CD?平面 α, ∴由线面平行的性质定理,得 CD∥α, ∴直线 CD 与平面 α 内的直线的位置关系是平行或异面. 故答案为:平行或异面. 【点评】本题考查直线的位置关系的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养.

5.直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行,则实数 a 的值为 1 . 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】计算题. 【分析】利用两直线平行的条件,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求得实数 a 的值. 【解答】解:直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行, ∴ 故答案为 1.
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,解得 a=1.

【点评】本题考查两直线平行的条件,利用一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求得实数 a 的值.

6. 已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°的扇形、 底面圆的直径为 2, 则该圆锥的体积为 【考点】扇形面积公式;旋转体(圆柱、圆锥、圆台). 【专题】计算题.

π .

【分析】由圆侧面展开图圆心角为 120°,列式可解出母线长为 3,用勾股定理解出高的值,用圆锥体积公 式可算出该圆锥的体积. 【解答】解:设圆锥的高为 h,母线为 l 则 2πr= ∴l=3,可得高 h= l,将 r=1 代入得 2π= πl, =2 = π

圆锥的体积为 V= πr2h= π×12×2 故答案为: π

【点评】本题给出圆锥侧面展开图的圆心角和底面直径,求圆锥的体积,着重考查了圆锥的几何特性和锥 体体积公式等知识点,属于基础题.

7.过点 A(0,2)且倾斜角的正弦值是 的直线方程为 【考点】直线的倾斜角. 【专题】直线与圆. 【分析】由已知条件推导出斜率 k=

3x﹣4y+8=0 或 3x+4y﹣8=0 .

,由此利用直线过点 A(0,2),能求出直线方程.

【解答】解:∵倾斜角 α 的正弦值是 , ∴cosα=± ∴斜率 k= . = ,

∵直线过点 A(0,2), ∴k= 时,直线方程为:y﹣2= ,即:3x﹣4y+8=0;

k=﹣ 时,直线方程为:y﹣2=﹣ x,即:3x+4y﹣8=0. ∴所求直线方程为:3x﹣4y+8=0 或 3x+4y﹣8=0.
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故答案为:3x﹣4y+8=0 或 3x+4y﹣8=0. 【点评】本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线斜率的灵活运用.

8.P 为△ ABC 所在平面外一点,O 为 P 在平面 ABC 上的射影.若 PA⊥BC,PB⊥AC,则点 O 是△ ABC 的 垂 心.

【考点】三角形五心. 【专题】解三角形. 【分析】由 PA⊥BC,PB⊥AC,PO⊥底面 ABC,得 AO⊥BC,BO⊥AC,由此可得 O 是△ ABC 的垂心. 【解答】解:∵P 为△ ABC 所在平面外一点,O 为 P 在平面 ABC 上的射影, ∴PO⊥面 ABC,又 BC?面 ABC,∴BC⊥PO, ∵PA⊥BC,PA∩PO=P,∴BC⊥平面 PAO, ∴AO⊥BC, ∵PO⊥面 ABC,又 AC?面 ABC,∴AC⊥PO, ∵PB⊥AC,PB∩PO=P,∴AC⊥平面 PBO, ∴BO⊥AC, ∴O 是△ ABC 的垂心. 故答案为:垂.

【点评】本题考查三角形五心的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

9.一个体积为 8cm3 的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是 12π cm2. 【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题. 【分析】先求出球的半径,然后求出球的表面积. 【解答】解:正方体体积为 8,可知其边长为 2,体对角线为
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即为球的直径,所以半径为

,表面积为

【点评】本题考查学生的空间想象能力,以及对公式的考查,是基础题.

10.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 6 cm3.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离;立体几何. 【分析】过 A 作 AO⊥BD 于 O,求出 AO,然后求出几何体的体积即可. 【解答】解:过 A 作 AO⊥BD 于 O,AO 是棱锥的高,所以 AO= 所以四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 V= 故答案为:6. 【点评】本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力与计算能力. =6. = ,

11.设 α,β 为互不重合的平面,m,n 是互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 n⊥β,m∥n,n?α,则 m∥α; ②若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ③若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n; ④若 α⊥β,α∩β=m,n?α,n⊥m; 其中正确命题的序号为 ④ . 【考点】命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】利用线面的关系,结合图形逐步判断:①中线面关系,由若 n⊥β,m∥n,知 m⊥β,则 m∥α 或 m?α; ②面面平行的判定定理:一个平面内两条交线和另一平面平行,则这两平面平行; ③线线位置关系考查:相交,平行和异面,由题知不平行;
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④线面垂直的判定定理. 【解答】解:①若 n⊥β,m∥n,n?α,则 m∥α 或 m?α,故 A 错误; ②若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,且 m,n 相交,则 α∥β,故 B 错误; ③若 α∥β,m?α,n?β,则 m,n 没有交点,所以平行或异面,故 C 错误; ④若 α⊥β,α∩β=m,n?α,n⊥m,则 n⊥β,故 D 正确. 故答案为④. 【点评】考查了线面,线线的位置关系,应紧扣定理,性质,不能随意猜测.

12.如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体,使 G1,G2,G3 三点重合于点 G,这样,下列五个结论:①SG⊥平面 EFG; ②SD⊥平面 EFG;③GF⊥平面 SEF;④EF⊥平面 GSD;⑤GD⊥平面 SEF. 其中正确的是 ① (填序号).

【考点】直线与平面垂直的判定. 【专题】证明题;空间位置关系与距离. 【分析】根据题意,在折叠过程中,始终有 SG1⊥G1E,SG3⊥G3F,即 SG⊥GE,SG⊥GF,由线面垂直的 判定定理,易得 SG⊥平面 EFG,分析四各个选项,即可给出正确的选择. 【解答】证明:∵在折叠过程中,始终有 SG1⊥G1E,SG3⊥G3F, 即 SG⊥GE,SG⊥GF, ∴SG⊥平面 EFG. 故答案为:①. 【点评】本题主要考查了垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由求证想判定”,也就是说,根 据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往往需要将分析与综合的 思路结合起来.

13. mx+y+1=0, x﹣y+1=0 不能围成三角形, 1, 若三条直线 4x+y+4=0, 则实数 m 取值范围是 {4, ﹣1} . 【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系.
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【专题】直线与圆. 【分析】三条直线 l1:4x+y+4=0,l2:mx+y+1=0,l3:x﹣y+1=0 不能围成三角形,可得 l2∥l1 或 l2∥l3 或 l2 经过直线 l1 与 l3 的交点,解出即可. 【解答】解:由题意,联立 ,

解得



∴直线 l1 与 l3 的交点为(﹣1,0); ∵三条直线 l1:4x+y+4=0,l2:mx+y+1=0,l3:x﹣y+1=0 不能围成三角形, ∴l2∥l1 或 l2∥l3 或 l2 经过直线 l1 与 l3 的交点, 即﹣m=﹣4,或﹣m=1,或﹣m+0+1=0, 解得 m=4,或 m=±1. 故答案为:{4,1,﹣1}. 【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、三角形的性质,属于基础题目.

14.已知函数 y= ∪(1,4) .

的图象与函数 y=kx﹣2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是 (0,1)

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先化简函数的解析式,在同一个坐标系下画出函数 y= 结合图象,可得实数 k 的取值范围. 【解答】解:y= = = 的图象与函数 y=kx﹣2 的图象,

函数 y=kx﹣2 的图象恒过点(0,﹣2) 在同一个坐标系下画出函数 y= 的图象与函数 y=kx﹣2 的图象

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结合图象可实数 k 的取值范围是(0,1)∪(1,4) 故答案为:(0,1)∪(1,4) 【点评】本题主要考查了根的存在性及根的个数判断,同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想,属于 基础题.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8, DF=5.求证: (1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离;空间角;立体几何. 【分析】(1)由 D、E 为 PC、AC 的中点,得出 DE∥PA,从而得出 PA∥平面 DEF; (2)要证平面 BDE⊥平面 ABC,只需证 DE⊥平面 ABC,即证 DE⊥EF,且 DE⊥AC 即可.
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【解答】证明:(1)∵D、E 为 PC、AC 的中点,∴DE∥PA, 又∵PA?平面 DEF,DE?平面 DEF, ∴PA∥平面 DEF; (2)∵D、E 为 PC、AC 的中点,∴DE= PA=3; 又∵E、F 为 AC、AB 的中点,∴EF= BC=4; ∴DE2+EF2=DF2, ∴∠DEF=90°, ∴DE⊥EF; ∵DE∥PA,PA⊥AC,∴DE⊥AC; ∵AC∩EF=E,∴DE⊥平面 ABC; ∵DE?平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABC. 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题,解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平 行的互相转化关系,是基础题目.

16.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥BC,CC1=4,M 是棱 CC1 上的一点. (1)求证:BC⊥AM; (2)若 N 是 AB 的中点,且 CN∥平面 AB1M,求 CM 的长.

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】(1)由线面垂直得 BC⊥C1C,又 BC⊥AC,从而 BC⊥平面 ACC1A1,由此能证明 BC⊥AM. (2)取 AB1 的中点 P,连接 MP,NP,由三角形中位线定理得 NP∥BB1,从而得到 PNCM 是平行四边形, 由此能求出 CM 的长. 【解答】(1)证明:∵ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱,
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∴C1C⊥平面 ABC,∴BC⊥C1C, 又 BC⊥AC,∴BC⊥平面 ACC1A1, ∵AM 在平面 ACC1A1 上,∴BC⊥AM. (2)解:取 AB1 的中点 P,连接 MP,NP, ∵P 为 AB1 中点,N 为 AB 中点, ∴NP 为△ ABB1 的中位线,∴NP∥BB1, 又∵C1C,B1B 都是直三棱柱的棱,∴C1C∥B1B,∴MC∥B1B, ∴NP∥CM,∴NPCM 共面, 又∵CN∥平面 AB1M,∴CN ∴CM=NP= BB1= CC1= MP,∴PNCM 是平行四边形, .

【点评】本小题线线平行、直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.

17.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 【考点】直线的截距式方程;确定直线位置的几何要素;过两条直线交点的直线系方程. 【专题】待定系数法. 【分析】(1)先求出直线 l 在两坐标轴上的截距,再利用 l 在两坐标轴上的截距相等 建立方程,解方程 求出 a 的值,从而得到所求的直线 l 方程. (2)把直线 l 的方程可化为 y=﹣(a+1)x+a﹣2,由题意得 ,解不等式组求得 a 的范围.

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【解答】解:(1)令 x=0,得 y=a﹣2. 令 y=0,得 ∵l 在两坐标轴上的截距相等,∴ ∴所求的直线 l 方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0.

(a≠﹣1).

,解之,得 a=2 或 a=0.

(2)直线 l 的方程可化为 y=﹣(a+1)x+a﹣2.∵l 不过第二象限, ∴ ,∴a≤﹣1.∴a 的取值范围为(﹣∞,﹣1].

【点评】本题考查直线在坐标轴上的截距的定义,用待定系数法求直线的方程,以及确定直线位置的几何 要素.

18.△ ABC 的一个顶点 A(2,3),两条高所在直线方程为 x﹣2y+3=0 和 x+y﹣4=0,求△ ABC 三边所在 直线方程. 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】直线与圆. 【分析】不妨设直线 x﹣2y+3=0 和 x+y﹣4=0 分别经过点 B 和点 C 的高线,由垂直关系可得 AB 和 AC 的 方程,联立直线方程可得 B 和 C 的坐标,可得 BC 的方程. 【解答】解:不妨设直线 x﹣2y+3=0 和 x+y﹣4=0 分别经过点 B 和点 C 的高线, ∴由垂直关系可得 AB 的斜率为 1,AC 的斜率为﹣2, ∵AB 和 AC 都经过点 A(2,3), ∴AB 的方程为 y﹣3=x﹣2 即 x﹣y+1=0; ∴AC 的方程为 y﹣3=﹣2(x﹣2)即 2x+y﹣7=0; 联立 ,解得 ,即 B(1,2),

联立

,解得

,即 C(3,1),

∴BC 的斜率为

=



∴BC 的方程为 y﹣2=﹣ (x﹣1),即 x+2y﹣5=0. 【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系,涉及方程组的解集,属基础题.

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19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,N 是 PB 中点,过 A、N、D 三点的平面交 PC 于 M. (1)求证:DP∥平面 ANC; (2)求证:M 是 PC 中点; (3)求证:平面 PBC⊥平面 ADMN.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题. AC, 【分析】 (1) 接 BD, 设 BD∩AC=O, 连接 NO, 根据菱形的性质及三角形中位线定理, 可得 PD∥NO, 结合线面平行的判定定理即可得到 DP∥平面 ANC; (2)由已知易得 AD∥BC,则 BC∥平面 ADMN,由线面平行的性质定理得 BC∥MN,根据平行线等分 线段定理,即可得到 M 是 PC 中点; (3)取 AD 中点 E,连接 PE,BE,BD,由已知中底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,E 为 AD 的中点,可得 BE⊥AD,结合 PE⊥AD 和线面垂直的判定定理得 AD⊥面 PBE,由线面垂直的性质可得 AD⊥PB,又由等腰三角形 PAB 中,N 为 PB 的中点,得 AN⊥PB,由线面垂直的判定定理得:PB⊥平面 ADMN,最后由面面垂直的判定定理得到平面 PBC⊥平面 ADMN. 【解答】证明:(1)连接 BD,AC,设 BD∩AC=O,连接 NO… ∵ABCD 是的菱形∴O 是 BD 中点,又 N 是 PB 中点 ∴PD∥NO… 又 NO?平面 ANC,PD?平面 ANC… ∴PD∥平面 ANC… (2)依题意有 AD∥BC∴BC∥平面 ADMN… 而平面 PBC∩平面 ADMN=MN… ∴BC∥MN… 又 N 是 PB 中点∴M 是 PC 中点
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(3)取 AD 中点 E,连接 PE,BE,BD, ∵ABCD 为边长为 2 的菱形,且∠BAD=60° ∴△ABD 为等边三角形,又 E 为 AD 的中点 ∴BE⊥AD… 又∵PE⊥AD ∴AD⊥面 PBE ∴AD⊥PB 又∵PA=AB,N 为 PB 的中点 ∴AN⊥PB… ∴PB⊥平面 ADMN 而 PB?平面 PBC… ∴平面 PBC⊥平面 ADMN… 【点评】 本题考查的知识是直线与平面平行的判定, 平面与平面垂直的判定, 直线与平面平行的性质, (1) 的关键是得到 PD∥NO,(2)的关键是得到 BC∥MN,(3)的关键是线线、线面、面面垂直之间的转化. …

20.如图,在三棱锥 D﹣ABC 中,已知△ BCD 是正三角形,AB⊥平面 BCD,AB=BC=a,E 为 BC 点,F 棱 AC 上,且 AF=3FC. (1)求三棱锥 D﹣ABC 的体积; (2)求证:AC⊥平面 DEF; (3)若 M 为 DB 中点,N 在棱 AC 上,且 CN= CA,求证:MN∥平面 DEF.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;构成空间几何体的基本元素;直线与平面平行的判定. 【专题】综合题;转化思想;综合法;立体几何. 【分析】(1)直接利用体积公式,求三棱锥 D﹣ABC 的体积; (2)要证 AC⊥平面 DEF,先证 AC⊥DE,再证 AC⊥EF,即可. (3)M 为 BD 的中点,连 CM,设 CM∩DE=O,连 OF,只要 MN∥OF 即可.
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【解答】(1)解:∵△BCD 是正三角形,AB⊥平面 BCD,AB=BC=a, ∴三棱锥 D﹣ABC 的体积 V= = .

(2)证明:取 AC 的中点 H,∵AB=BC,∴BH⊥AC. ∵AF=3FC,∴F 为 CH 的中点. ∵E 为 BC 的中点,∴EF∥BH.则 EF⊥AC. ∵△BCD 是正三角形,∴DE⊥BC. ∵AB⊥平面 BCD,∴AB⊥DE. ∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面 ABC.∴DE⊥AC. ∵DE∩EF=E,∴AC⊥平面 DEF. (3)解:连 CM,设 CM∩DE=O,连 OF. 由条件知,O 为△ BCD 的重心,CO= CM. 当 CN= CA 时,CF= CN,∴MN∥OF. ∵MN?平面 DEF,OF?平面 DEF, ∴MN∥平面 DEF.

【点评】本题考查棱锥的结构特征,证明线面垂直,线面平行,考查体积的计算,考查逻辑思维能力,是 中档题.

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