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数学三角函数公式大全


三角函数公式大全
1. ① 与 ? ( 0°≤ ? < 360°) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ) :

?? | ? ? k ? 360 ? ?, k ? Z ?
?



y
2 sinx 1 cosx cosx

>②终边在 x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? , k ? Z

?

? ? ? ? ?

3 sinx 4 cosx cosx 1 sinx 2

③终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ④终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90? , k ? Z

?

x

?

sinx 3

4

⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

⑥终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

⑦若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ⑧若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? 180? ? ? ⑨若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180? k ? ? ⑩角 ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ? 90? 2. 角度与弧度的互换关系:360° =2 ? 180° = ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°= ? ≈0.01745 (rad)
180

3、弧长公式: l

?| ? | ?r .

扇形面积公式: s扇形 ?

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于 原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则
cos ? ? x; r

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2
y a的 终边
P( x,y) r

y sin ? ? ; r

tan ? ?

y; x

cot? ?

x; y

sec ? ?

r r ;. csc? ? . x y

o

x

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)
y y

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

y P T

- + o x + 正切、余切
O

M

Ax

6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.

7. 三角函数的定义域: 三角函数 f ( x) ? sinx
f ( x) ? cosx f ( x) ? tanx f ( x) ? cotx f ( x) ? secx f ( x) ? cscx

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

定义域

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?
cos ? ? cot ? sin ?

8、同角三角函数的基本关系式: sin ? ? tan ?
cos ?

tan ? ? cot ? ? 1 csc ? ? sin ? ? 1
2 2
2 2

s ec ??co s ? ?1

16. 几个重要结论 : (1)
y

sin ? ? cos ? ? 1 sec ? ? tan ? ? 1 csc 2 ? ? cot2 ? ? 1

(2)

y

9、诱导公式:
把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

|sinx|>|cosx| sinx>cosx
O x |cosx|>|sinx| O |cosx|>|sinx| x

“奇变偶不变,符号看象限”

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

三角函数的公式: (一)基本关系
公式组一 sinx?cscx=1 cosx?secx=1 tanx?cotx=1 tanx= x=
sin x cos x cos x sin x

sin2x+cos2x=1 1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x

公式组二 sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x 公式组三 sin(? x) ? ? sin x cos(? x ) ? cos x tan(? x) ? ? tan x cot(? x) ? ? cot x

公式组四 sin( ? ? x) ? ? sin x cos( ? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? tan x cot(? ? x) ? cot x 公式组五 sin(2? ? x) ? ? sin x cos(2? ? x) ? cos x tan(2? ? x) ? ? tan x cot(2? ? x) ? ? cot x 公式组六 sin( ? ? x) ? sin x cos( ? ? x) ? ? cos x tan(? ? x) ? ? tan x cot(? ? x) ? ? cot x

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?
cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?

公式组二
sin 2? ? 2 s i n ?c o? s

co2 s? ? c o 2 s? ? s i 2 n? ? 2 c o 2 s ? ?1 ? 1 ? 2 s i 2 n?

tan 2? ?

2t a n ?
2 1? t a n ?

sin ?? 2 cos

?

1? c o ? s 2 1 ? cos? 2

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

??

tan(? ? ? ) ?

tan

?
2

??

1 ? cos? sin? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin?

公式组三
sin? ? 2 tan 1 ? tan

公式组四

公式组五

?
2
2

?
2

cos? ?

1 ? tan 2 1 ? tan 2

? ?
2 2

1 ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? 2 1 cos? sin ? ? ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? 2 1 cos? cos ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 1 sin? sin ? ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 ??? ??? sin? ? sin ? ? 2 sin cos 2 2 sin? cos ? ?

1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? cot ? 2 1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2

tan? ?

2 tan 1 ? tan

?
2

2

?
2

sin 15? ? cos75? ?

6? 4

2 2 2 ??? ? ?? cos? ? cos ? ? 2 cos cos 1 2 2 sin( ? ? ? ) ? cos ? ??? ??? 2 cos? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2 2 , , tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 ,. tan75? ? cot15? ? 2 ? 3

sin? ? sin ? ? 2 cos

???

sin

? ??

1 tan( ? ? ? ) ? ? cot ?

sin 75? ? cos15? ?

6? 2 4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin??x ? ? ?

(A、 ? >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z ?
R
?

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

奇函数

偶函数
[?2k ? 1?? , 2k? ]

奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 ? 2 ?

奇函数

? 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数
? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? 2 ??

[?

?
2

? 2k? ,

; ??

?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )

?

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 (k?Z )

上 为 增 函 数 (k?Z )

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?
2

上为减函 数 (k ?Z )

? ? ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 2 k ? ? ? ? ? ? ? 2 (? A)? ? ? ? ?

上 为 减 函 数

(k ?Z )

注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相 反.一般地,若 y ? f ( x) 在 [a, b] 上递增(减) ,则 y ? ? f ( x) 在 [a, b] 上递减(增).


② y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? .
?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ? ③ y ? sin(
y ? tan
2?

y

?

.
O

x

x 的周期为 2 ? ( ? T? ? T ? 2? ,如图,翻折无效). 2 ?

?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ? ④ y ? sin(

?
2

o s c (k ?Z ) ,对称中心( k? ,0 ) ; y ?(

?x ? ? ) 的

对称轴方程是 x ? k? ( k ? Z ) , 对称中心 ( k? ? 1 ? ,0 ) ;y ? a n t(
2

( ?x ? ? ) 的对称中心

k? . ,0 ) 2

y ? cos2x ??? ?? y ? ? cos(?2x) ? ? cos2x
原点对称

tan ? ? 1, ? ? ? ? k? ? ⑤当 tan? ·

?
2

tan ? ? ?1, ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) ; tan? ·

?
2

(k ? Z ) .

? ? ⑥ y ? cos x 与 y ? sin? ? x ? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数,则 2 ? ?
1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( ?x) . 2

⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(× ) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,

y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是 f ( x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定 义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f ( ? x ) ? ? f ( x) )
1 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan( x ? ? ) 是非奇非偶.(定 3

义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f ( x) 一定有 f (0) ? 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性 质)


⑨ y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? ) ;

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

y=|cos2x+1/2|图象

; y ? cos x 为周期函数( T ? ? ) ; y ? cos x 是周期函数(如图)
y ? cos 2 x ? 1 的周期为 ? (如图) ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: 2

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .

⑩ y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin( ? ? ? ) ? cos? ?

b 有 a 2 ?b 2 ? y . a

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ω x+φ)的振幅|A|,周期 T ? 2? ,频率 f ? 1 ? | ? | ,相位 ? x ? ? ; 初相 ?
|? |
T 2?

(即当 x=0 时的相位) . (当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号) , 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A| <1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变, 横坐标伸长 (0<|ω |<1) 或缩短 (|ω |>1) 到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ω x
?

替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0) 或向右 (当 φ<0) 平行移动|φ|个单位, 得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移. (用 y+(-b)替换 y)

由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ) (A>0,ω >0) (x∈R)的 图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区 别。

高中数学三角函数常见习题类型及解法 1.三角函数恒等变形的基本策略。 ( 1 ) 常 值 代 换 : 特 别 是 用 “ 1 ” 的 代 换 , 如 1=cos2 θ +sin2 θ =tanx?cotx=tan45°等。 ( 2 ) 项 的 分 拆 与 角 的 配 凑 。 如 分 拆 项 : ??? sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x; 配凑角: α = (α +β ) -β , β = 2 ??? - 等。 2 (3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所 b 在象限由 a、b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? = 确定。 a 2.证明三角等式的思路和方法。

(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化 为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的 单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析
cos ? ? sin ? 例 1. 已知 tan? ? 2 , 求 (1) ; (2)sin 2 ? ? sin ? . cos? ? 2 cos2 ? cos ? ? sin ? 的值. sin ? 1? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1) ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ? 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行 弦、切互化,就会使解题过程简化。

例 2.求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。
π 解:设 t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] ,则原函数可化为 4 1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ,因为 t ?[? 2,2] ,所以 2 4 1 3 当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 3 ? 2] 。 所以,函数的值域为 y ? [ , 4

例 3.已知函数 f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。 (1)求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?
π 对称。 8

解: f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin 2 x)

? 2 s i nx2?

2 co x s?2

π 2 2xs ? in(2 4

)

(1)所以 f ( x) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R ,
π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2)证明:欲证明函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称,只要证明对任意 x ? R , 8 π π 有 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立, 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8 1 3 例 4. 已知函数 y= cos2x+ sinx?cosx+1 (x∈R), 2 2 (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得 到? 1 1 1 3 3 解: (1) y= cos2x+ sinx? cosx+1= (2cos2x-1)+ + (2sinx? cosx) 2 4 4 4 2 +1 1 5 1 5 ? ? 3 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x?sin +sin2x?cos )+ 4 4 2 4 6 6 4 1 5 ? = sin(2x+ )+ 2 4 6 ? ? ? 所以 y 取最大值时, 只需 2x+ = +2kπ , (k∈Z) , 即 x= +kπ , (k∈Z) 。 6 2 6

所以,当 2 x ?

所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x=

? +kπ ,k∈Z} 6

(2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: ? ? (i)把函数 y=sinx 的图像向左平移 ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6 1 (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到 2 ? 函数 y=sin(2x+ )的图像; 6 1 (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,得到 2 1 ? 函数 y= sin(2x+ )的图像; 2 6

(iv)把得到的图像向上平移 的图像。

5 1 5 ? 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 4 2 4 6

1 3 cos2x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2 说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数 的图像和性质。这类题一般有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降

综上得到 y=

幂后最终化成 y= a 2 ? b 2 sin (ω x+ ? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的 二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当 cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时, 1 3 1 3 cos2 x ? sin x cos x ? t an x 2 2 2 2 y= +1= +1 sin 2 x ? cos2 x 1 ? t an2 x 化简得:2(y-1)tan2x- 3 tanx+2y-3=0 3 7 ∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: ≤y≤ 4 4 7 ? ∴ymax= ,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ + ,k∈Z} 4 6 x x x 例 5.已知函数 f ( x) ? sin cos ? 3 cos 2 . 3 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函数 f(x)的值域. 解: f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3
2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k? (k ? z )得x ? ? 3 3 3 3 2 3k ? 1 ?, k ? z 即对称中心的横坐标为 2 (Ⅱ)由已知 b2=ac a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 cos x ? ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1, 0 ? x ? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

(Ⅰ)由 sin(

k?z

?|

?
3

?

?
2

|?|

5? ? ? |, 9 2

? sin

?
3

? sin(

2x ? ? ) ? 1, 3 3

? 3 ? sin(

2x ? 3 ? ) ? 1? , 3 3 2

即 f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 ?

3 ]. 2

? 3 f ( x) 值域为 ( 3 ,1 ? ] . 综上所述, x ? (0, ] , 3 2 说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数 形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行 整合的能力。

例 6.在 ? ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ? ABC 的面积。 解:(1)由正弦定理及

cos C 3a ? c ? , cos B b

cos C 3a ? c cos C 3sin A ? sin C ? ? ,有 , cos B b cos B sin B

即 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 又因为 A ? B ? C ? π ,sin( B ? C) ? sin A , 所以 sin A ? 3sin A cos B , 因为 sin A ? 0 ,
1 2 2 所以 cos B ? ,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 。 3 3

2 (2)在 ? ABC 中,由余弦定理可得 a 2 ? c 2 ? ac ? 32 ,又 a ? c , 3 4 所以有 a 2 ? 32,即a 2 ? 24 ,所以 ? ABC 的面积为 3 1 1 S ? ac sin B ? a 2 sin B ? 8 2 。 2 2

三角函数
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知点 P(tanα,cosα)在第三象限,则角 α 的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.集合 M={x|x= kπ π kπ ± ,k∈Z}与 N={x|x= ,k∈Z}之间的关系是 2 4 4 ( ) D.第四象限 ( )

A.M N B.N M C.M=N D.M∩N= ? 3. 若将分针拨慢十分钟, 则分针所转过的角度是 ( ) A.60° B.-60° C.30° D.-30° 4 . 已 知 下 列 各 角 ( 1 ) 787° , (2) - 957° , (3) - 289° , (4)1711° ,其中在第一象限的 角 是 ( )

A.(1) (2) B.(2) (3) C.(1) (3) D.(2) (4) 5.设 a<0,角 α 的终边经过点 P(-3a,4a) ,那么 sinα+2cosα 的值等于 ( A. 2 5 2 B.- 5 C. 1 5 1 D.- 5 ( D.± 3 2 (



1 3 6. 若 cos(π+α)=- , π<α<2π, 则 sin(2π-α)等于 2 2 A.- 3 2 B. 3 2 C. 1 2



7. 若 α 是第四象限角, 则 π-α 是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 8. 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2, 则这个圆心角所对的弧长是 A.2 B. 2 sin1 C.2sin1 D.sin2







1 9. 如果 sinx+cosx= , 且 0<x<π, 那么 cotx 的值是 5 4 A.- 3 4 3 B.- 或- 3 4 C.- 3 4 D.

( 4 3 或- 3 4 ( D.9



10. 若实数 x 满足 log2x=2+sinθ, 则|x+1|+|x-10|的值等于 A.2x-9 B.9-2x C.11 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.tan300° +cot765° 的值是_____________. sinα+cosα 12.若 =2,则 sinαcosα 的值是_____________. sinα-cosα 13.不等式(lg20)2cosx>1,(x∈(0,π))的解集为_____________. 1 14.若 θ 满足 cosθ>- ,则角 θ 的取值集合是_____________. 2 15.若 cos130° =a,则 tan50° =_____________. 16.已知 f(x)= 1-x 1+x -



π ,若 α∈( ,π),则 f(cosα)+f(-cosα)可化简为___________. 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)设一扇形的周长为 C(C>0),当扇形中心角为多大时,它有最大面 积?最大面积是多少?

18.(本小题满分 14 分)设 90° <α<180° ,角 α 的终边上一点为?P(x, 5 ),且 cosα= 2 x,求 sinα 与 tanα 的值. 4

m-3 4-2m π 19.(本小题满分 14 分)已知 ≤θ≤π,sinθ= ,cosθ= ,求 m 的值. 2 m+5 m+5

20.(本小题满分 15 分)已知 0° <α<45° ,且 lg(tanα)-lg(sinα)=lg(cosα)-lg(cotα)+2lg3 3 - lg2,求 cos3α-sin3α 的值. 2

7 21.(本小题满分 15 分)已知 sin(5π-α)= 2 cos( π+β)和 3 cos(-α)=- 2 cos(π+β), 2 且 0<α<π,0<β<π,求 α 和 β 的值.

三角函数
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 下列函数中, 最小正周期为 π 的偶函数是 A.y=sin2x C.y=sin2x+cos2x x B.y=cos 2 1-tan2x D.y= 1+tan2x ( )

2. 设函数 y=cos(sinx), 则 ( ) A.它的定义域是[-1,1] B.它是偶函数 C.它的值域是[-cos1,cos1] D.它不是周期函数 3.把函数 y=cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两

倍,然后把图象向左平移 ( ) A.y=2sin2x π C.y=2cos(2x+ ) 4

π 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 4 B.y=-2sin2x x π D.y=2cos( + ) 2 4 ( D. 4π 3 ( ) )

π 4. 函数 y=2sin(3x- )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 4 A. π 3 B. 2π 3 C.π

5. 若 sinα+cosα=m, 且- 2 ≤m<-1, 则 α 角所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3π 6. 函数 y=|cotx|· sinx (0<x≤ 且 x≠π) 的图象是 2





cos2x 7. 设 y= , 则下列结论中正确的是 1+sinx A.y 有最大值也有最小值 C.y 有最小值但无最大值 π 8. 函数 y=sin ( -2x)的单调增区间是 4 3π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 π 3π C.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 B.y 有最大值但无最小值 D.y 既无最大值又无最小值





( π 5π B.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 3π 7π D.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 ( D.2a



1 9.已知 0≤x≤π,且- <a<0,那么函数 f(x)=cos2x-2asinx-1 的最小值是 2 A.2a+1 B.2a-1 C.-2a-1



π 10.求使函数 y=sin(2x+θ)+ 3 cos(2x+θ)为奇函数,且在[0, ]上是增函数的 θ 的一 4 个 ( A. 5π 3 值 ) B. 4π 3 C. 2π 3 D. π 3 为

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) cosx 11.函数 y= 的值域是_____________. 1+2cosx

cosx 12.函数 y= 的定义域是_____________. lg(1+tanx) 13.如果 x,y∈[0,π] ,且满足|sinx|=2cosy-2,则 x=___________,y=___________. 14.已知函数 y=2cosx,x∈[0,2π]和 y=2,则它们的图象所围成的一个封闭的平面图 形的面积是_____________ 15.函数 y=sinx+cosx+sin2x 的值域是_____________. 16.关于函数 f(x)=4sin(2x+ π )(x∈R)有下列命题: 3

①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π ②y=f(x)的表达式可改为 y=4cos(2x- ); 6 ③y=f(x)的图象关于点(- π ,0)对称; 6

π ④y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6 其中正确的命题的序号是_____________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)如图为函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一部分,试求该 函数的一个解析式.

18. (本小题满分 14 分)已知函数 y=(sinx+cosx)2+2cos2x.(x∈R) (1)当 y 取得最大值时,求自变量 x 的取值集合. (2)该函数图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= log1 (sinx-cosx)
2

(1)求它的定义域和值域; (2)求它的单调减区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.

20. (本小题满分 15 分)某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图) ,为降低成本,必 须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m, 渠深 3 米, 则水渠侧 壁的倾斜角 α 应为多少时,方能使修建的成本最低?

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其 3π π 图象关于点 M( ,0)对称,且在区间[0, ]上是单调函数,求 φ 和 ω 的值. 4 2


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