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第2讲三角函数的图象与性质


第2讲三角函数的图象与性质
1. 正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质:

函数性质 定义域

y=sin x
R

y=cos x
R

y=tan x
π {x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2

/>
图象 值域 [-1,1] π 对称轴:x=kπ+ (k 2 对称性 ∈Z) 对称中心: (kπ,0)(k∈Z) [-1,1] 对称轴:x=kπ(k ∈Z) 对称中心: π ? ? ?kπ+2,0??k∈Z? ? ? R 无对称轴 ?kπ ? 对称中心:? ,0?(k ?2 ? ∈Z)

周期

2π 单调增区间 π ? ?2kπ-2 ? ,2kπ+



π

π? 2?(k∈Z); ? 单调性 单调减区间 π ? ?2kπ+2 ? ,2kπ+

单调增区间[2kπ- π,2kπ](k∈Z); 单调减区间[2kπ, 2kπ+π](k∈Z)

单调增区间 π ? ?kπ-2 ? ,kπ+ (k∈Z) π? 2? ?

3π? ?(k∈Z) 2? 奇偶性 奇
- 1-





2.图形伸缩平移:既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. (1)先平移后伸缩

? y ? sin x 的图象 ??????? 平移 ? 个单位长度
得 y ? sin( x ? ? ) 的图象 ?????????? 1
到原来的 (纵坐标不变) 横坐标伸长(0<? <1)或缩短(? >1)

向左(? >0)或向右(? ?0)

?

? 得 y ? sin(? x ? ? ) 的图象 ????????? 为原来的A倍 ( 横坐标不变 )

纵坐标伸长(A?1)或缩短(0<A<1)

? 得 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象 ??????? 得 y ? A sin( x ? ? ) ? k 的图象. 平移 k 个单位长度
(2)先伸缩后平移

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0)

? y ? sin x 的图象 ????????? 为原来的A倍(横坐标不变)

纵坐标伸长( A?1)或缩短(0? A?1)

? 得 y ? A sin x 的图象 ????????? 1
到原来的 (纵坐标不变)

横坐标伸长(0?? ?1)或缩短(? ?1)

?

得 y ? A sin(? x) 的图象

向左(? ? 0)或向右(? ? 0) ??????? ? ? 平移

?

个单位

? 得 y ? A sin x(? x ? ? ) 的图象 ??????? 得 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象. 平移 k 个单位长度
题型1:图像变换
π? ? 例 1 将 y ? sin x 的图象怎样变换得到函数 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ? π? π ? 解:(方法一)①把 y ? sin x 的图象沿 x 轴向左平移 个单位长度,得 y ? sin ? x ? ? 4? 4 ? π? 1 ? 的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的 ,得 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象;③将所得图象 4? 2 ?
π? ? 的纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 y ? 2sin ? 2 x ? ? 的图象;④最后把所得图象沿 y 轴向上平 4? ? π? ? 移 1 个单位长度得到 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ?

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0)

(方法二)①把 y ? sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 y ? 2sin x 的图象;② 将所得图象的横坐标缩小到原来的

1 ,得 y ? 2sin 2 x 的图象;③将所得图象沿 x 轴向左平移 2
- 2-

π? π ? 个单位长度得 y ? 2sin 2 ? x ? ? 的图象;④最后把图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 8? 8 ? π? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ?

π 个单位长 8 π? π? π? ? ? ? 度得到的函数图象的解析式是 y ? sin 2 ? x ? ? 而不是 y ? sin ? 2 x ? ? ,把 y ? sin ? x ? ? 的 8? 8? 4? ? ? ? π? 1 ? 图象的横坐标缩小到原来的 ,得到的函数图象的解析式是 y ? sin ? 2 x ? ? 而不是 4? 2 ? π? ? y ? sin 2 ? x ? ? . 4? ? 对于复杂的变换,可引进参数求解. π? ? 例 2 将 y ? sin 2 x 的图象怎样变换得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象. 4? ? 分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数. π? ?π ? ? 解: y ? sin 2 x ? cos ? ? 2 x ? ? cos ? 2 x ? ? , 2? ?2 ? ? π? π? π? ? ? ? 在 y ? cos ? 2 x ? ? 中以 x ? a 代 x ,有 y ? cos ? 2( x ? a ) ? ? ? cos ? 2 x ? 2a ? ? . 2? 2? 2? ? ? ?
说明:无论哪种变换都是针对字母 x 而言的.由 y ? sin 2 x 的图象向左平移

π π π ? 2x ? ,得 a ? ? . 2 4 8 π? π ? 所以将 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位长度可得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象. 4? 8 ?
根据题意,有 2x ? 2a ? 练习1、(天津文)把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 函数是( )

? 个单位长度, 3

1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的 2

A. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ?,x ? R 3? ?? ?,x ? R 3?

B. y ? sin ?

? x ?? ? ?,x ? R ?2 6? ? ? ?? ? ?,x ? R 3 ?

C. y ? sin ? 2 x ? 解:

? ?

D. y ? sin ? 2 x ?

- 3-

y= sin x

?????? ?

向左平移 个单位 3

?

y ? sin( x ? ) 3

?

????????

1 横坐标缩短到原来的 倍 2

y ? sin(2 x ? ) 3

?

,故选(C)。 点评:三角函数图象的平移、伸缩变换是高考的热门试题之一,牢固变换的方法,按 照变换的步骤来求解即可。 例 3、(2008 山东文、理)函数 y ? ln cos x ? ? y y

π? ? π ? x ? ? 的图象是( 2? ? 2
y

) y

?

π 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x 2

A. 解: y ? ln cos x(? 此本题应选 A.

B.

C.

D.

?
2

?x?

?
2

) 是偶函数,可排除 B、D,由 cos x 的值域可以确定.因

点评:本小题主要考查复合函数的图像识别,充分掌握偶函数的性质,余弦函数的图 象及性质,另外,排除法,在复习时应引起重视,解选择题时,经常采用排除法。 练习2:函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

解析:因为函数 y=-xcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除 A、C,当 x ∈(0,

? )时,y=-xcosx<0。答案为 D。 2

点评:利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又 能熟练地运用数形结合的思想方法。 题型2:三角函数奇偶性.周期性.对称性.单调性 例 4:函数 是( ) B: 最小正周期为 的偶函数

A:最小正周期为

的奇函数

C: 最小正周期为 的奇函数

D: 最小正周期为 的偶函数

- 4-

练习4.函数 A:关于点( C:关于点( 例5.求下列函数 y= 对称 对称

的最小正周期为 ,则该函数的图像( B:关于直线 D: 关于直线 对称 对称



1 π 2x sin( - )的单调区间; 2 4 3 1 2 π sin( x- )再求之。 2 3 4

分析:要将原函数化为 y=- 解:(1)y= 故由 2kπ -

1 π 2x 1 2x π sin( - )=- sin( - )。 2 2 4 3 3 4

π 2x π π ≤ - ≤2kπ + 。 2 3 4 2

? 3kπ -
由 2kπ +

3π 9π ≤x≤3kπ + (k∈Z),为单调减区间; 8 8

π 2x π 3π ≤ - ≤2kπ + 。 2 3 4 2 9π 21 π ≤x≤3kπ + (k∈Z),为单调增区间。 8 8 3π 9π ,3kπ + ], 8 8 ,3kπ + ](k∈Z)。

? 3kπ +

∴递减区间为[3kπ - 递增区间为[3kπ + 练习5:求函数

类型3:三角函数的最值问题 例6:已知函数 (1)求 的值 (2)求 的最值。

- 5-

例7:已知函数 f ?x ? ? 2 cos x sin? x ? 大,最小值.

? ?

??

2 ? ? 3 sin x ? sin x cos x ,求函数 f ?x ? 的最 3?

, 练习7.已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 x ?R .
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4

? π 3π ? ? ?

类型4:求三角函数的解析式问题 例8、若函数 y=Asin(ωx+φ)+B(其中 A>0,ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点( 和一个最低点(

7? ,-5),求这个函数的解析式. 12

? ,3) 12

解析:由已知条件,知 ymax=3,ymin=-5, 则 A=

1 1 T 7? ? ? (ymax-ymin)=4,B= (ymax+ymin)=-1, = = . 2 2 2 12 12 2
- 6-

∴T=π,得 ω=2.

故有 y=4sin(2x+φ)-1.

? ? ,3)在函数的图象上,故有 3=4sin(2× +φ)-1, 12 12 ? ? ? ? ? 即 sin( +φ)=1.一般要求|φ|< ,故取 +φ= .∴φ= . 6 2 6 2 3 ? 故所求函数的解析式为 y ? 4 sin( 2 x ? ) ? 1 . 3
由于点( 练习8、已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的最大值是 4,最小值是 0,最小正周期为 其图象的一条对称轴,若 A>0,ω>0,0<φ<

? ,则函数解析式为 2

y=2sin(4x+

? )+2 6

? ? ,直线 x= 是 2 3

?

练习
?
5
)的图象,只需将函数 y=2sin3x 的图象 ( D ) B.向右平移

1.要得到函数 y=2sin(3x ? A.向左平移

? 个单位 5 ? C.向左平移 个单位 15

? 个单位 5 ? D.向右平移 个单位 15

2.已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]的图像如下:

那么ω =( B ) A. 1 B. 2
- 7-

C. 1/2

D. 1/3

3.已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R ) ,下面结论错误的是 ..

( D )

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? C.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 0 对称

B.函数 f ( x ) 在区间 ? 0, D.函数 f ( x ) 是奇函数 ( B ) D. 4?

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

?? ? 4.函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的最小正周期是 6? ?

? B. ? C. 2? 2 5、若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是(
A.

) A.第一象限角 B. 第二象限角 D. 第四象限角 6、函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 B. -2,2 C. -3,

C. 第三象限角 )

3 2

D. -2,

3 2
4

y

7、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的一部分图象如下图所

示,如果 A ? 0, ? ? 0, ? ? A. A ? 4
8、已知

?
2

,则(

) D. B ? 4

2

B. ? ?

?
6

x
O

C. ? ? 1

? 6

?
2

<β <α <

3? 12 ,cos(α -β )= ,sin(α +β )= 4 13

5? 12

- ,则 sin2α 的值为
56 5 D. 13 65 ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? 9.已知 f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0),f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x ) 在区间 ? , ? 有最小 3? ? ?6? ?3? ?6 3?

3 5

A. ?

56 65

B. ?

56 65

C.

值,无最大值,则 ? =__________. 10.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

- 8-

11、(惠州三模)已知函数 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x (I)求函数 f (x) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x)在x ? ?0,

? ?? 的值域. ? 2? ?

12.已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x ? 2cos2 x, x ? R. 求函数 f ( x ) 的最小正周期和单 调增区间;

?? ? 13、已知函数 f ( x) ? 2 sin? x ? ? ? 2 cos x, 6? ?
4 ,求函数 f (x) 的值; 5 (2)求函数 f (x) 的值域.
(1)若 sin x ?

?? ? x?? ,? ? . ?2 ?

- 9-

参考答案 1-8DBDB DCBA
9、

14 3

10.解:(1)? f ( x) ? cos(2 x ?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
- 10 -

?

?

?

? s i n (x2?
(2)? x ? [?

?
6

)

∴周期T ?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6

? ?

2? ?? 2

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

?

?
3

6

) 在区间 [?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 12 3 3 2

? ?

? ?

时, f ( x ) 取最大值 1

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,∴ 当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 12 2 2 2 2 ? ? 3 所以 函数 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x 11.解: f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ? ? 3 ? 2 2
又 ? f (?

?

)??

?
(I) T ?

1 3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? sin(2 x ?


?
3

)?
?

3 2
4? 3


2? ? ? ? (II)∴ 0 ? x ? 2 2

?
3

? 2x ?

?
3

?

? 2? 3? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 所以 f (x) 的值域为: ?? 3 , ? 2 ? 2 3 ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2 3 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 2? ? ?. ? f ( x) 的最小正周期 T ? 2 ? ? ? 由题意得 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 2 6 2 ? ? 即 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z . 3 6 ? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ? 4 3 ?? ? 13.(1)? sin x ? , x ? ? , ? ? , ? cos x ? ? ,
12. f ( x) ?

5

?2

?

5

- 11 -

? 3 ? 1 4 3 x x f ( x) ? 2? s i n ? c o s ? ? 2c o s ? 3 s i n ? c o s ? x x? x 3? . ? 2 2 5 5 ? ? ?? ? (2) f ( x) ? 2 sin? x ? ? , 6? ? 1 ?? ? ? 5? ? ? ? sin? x ? ? ? 1 , , ? ? x ?? , ? ?x? ? 2 6? 3 6 6 2 ? ? 函数 f (x) 的值域为 [1, 2 ] .

\

高三数学第一轮复习单元测试(3)—《三角函数》
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 ? ? ( ? , ? ),sin ? ? 3 , 则 tan(? ? ? ) 等于 2 5 4 A. ( C. ?
? ? 6



? 2.将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象如图所示,则平 ? ?

1 7

B. 7

1 7

D. ?7

移后的图象所对应函数的解析式是





- 12 -

A. y ? sin( x ? ? ) 6 B. y ? sin( x ?

?

6
3

)

C. y ? sin(2 x ? ? ) D. y ? sin(2 x ? ? ) 3

? ? 3.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? , ? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等于 ? 3 4? ? ? ( )
A.

2 3

B.

3 2

C.2

D.3 ( )

4.设 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? ? A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值

sin x ? a (0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是 sin x

B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值 ??? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ??? ? ? AB AC 1 则 ?ABC 为 AB AC ??? 5.已知非零向量 AB 与 AC 满足 ( ??? ? ???? ).BC ? 0 且 ??? . ???? ? . ? ? AB AC 2 AB AC ( A.等边三角形 C.等腰非等边三角形 6.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是 A.y=sin(x+
p ) 6 p ) 6 p ) 3 p ) 6



B.直角三角形 D.三边均不相等的三角形 ( )

B.y=sin(2x- C.y=cos(4x- D.y=cos(2x-

7.若△ ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? 2 ,则 sin A ? cos A = 3 A. 15
3

( D. ? 5



B. ?

15 3

C. 5
3

3

? ? ? 8.△ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若

? ? ? p // q ,则角 C 的大小为
- 13 -





A.

? 6

B.

? 3

C.

? 2 ? 4

D.

2? 3
( )

9.函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是 A. 2? B. 4? C. D.

? 2
( )

10.设 a b c 分别是Δ ABC 的三个内角 ABC 所对的边,则 a2=b(b+c)是 A=2B 的 A.充要条件 C.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

11. " 等式 sin(? ? ? ) ? sin 2? 成立 " 是 " ? , ? , ? 成等差数列 " 的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 A. ?A B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 1 B. ?A B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 1 C. ?A B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 1 D. ?A B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 1 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 13.已知 ? , ? ? ? 3? , ? ? ,sin( ? ? ? )=- , sin ? ? ? ? ? ? 12 , 则 cos?? ? ? ? =___ ? ? ? ? ? ? 5
? 4 ?





B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

12.如果 ?A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则(

3

?

4?

_.

13

?

4?

14.给出下面的 3 个命题:(1)函数 y ?| sin( 2 x ?

? ;(2)函数 3 2 3? 5? 5? 3? ) 上单调递增;(3) x ? )的 是函数 y ? sin( 2 x ? y ? sin( x ? ) 在区间 [? , 2 4 2 2 ) | 的最小正周期是
. .
o o o o

?

图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 15. cos 43 cos 77 ? sin 43 cos167 的值为

16.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 |) 的图象如图所示,则
f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? ? ? f ?2006? ? 的值等于

.

y 2 0 2
- 14 -

6

x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)(2006 年上海春卷)已知函数 ?? ? ?? ? f ( x) ? 2 sin? x ? ? ? 2 cos x, x ? ? , ? ? . 6? ? ?2 ?

4 ,求函数 f (x) 的值; 5 (2)求函数 f (x) 的值域.
(1)若 sin x ?

18.(本小题满分 14 分)(2006 年福建卷)已知函数

f ( x) ? sin2 x ? 3sin x cos x ? 2cos2 x, x ? R. (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f ( x ) 的图象可以由函数 y ? sin 2 x( x ? R) 的图象经过怎样的变换得到?

参考答案(3)
3 4 3 , ∴ cos ? ? , tan ? ? , 2 5 5 4 3 ?1 ? tan ? ? 1 4 ∴ tan(? ? ) ? ? ?7 . 4 1 ? tan ? 1 ? 3 4 ? ? ? ? 2.C. 将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象所对应的 ? 6 ? ? 7? ? 3? ? )? 解析式为 y ? sin ? ( x ? ) ,由图象知, ? ( ,所以 ? ? 2 ,因此选 C. 6 12 6 2 2 k? ? ? (k ? Z ) 3.B.∵ f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 的最小值是 ?2 时 x ? w 2w ? 2 k? ? ? 3 ? ? ∴? ? ∴ w ? ? 6 k ? 且 w ? 8k ? 2 3 w 2w 4 2
1.B.∵ ? ? (

?

, ? ) , sin ? ?

- 15 -

∴ wmin ?

4.B. 令 t ? sin x, t ? (0,1] ,则函数 f ? x ? ?

sin x ? a (0 ? x ? ? ) 的值域为函数 sin x a a y ? 1 ? , t ? (0,1] 的值域,又 a ? 0 ,所以 y ? 1 ? , t ? (0,1] 是一个减函减,故选 B. t t
??? ? ????
? ?

3 2

故本题的答案为 B.

5.A 向量和三角形之间的依赖关系,认识角平分线和高及夹角用两向量数量积包装的意
? ? AB AC 义, 注意 ? ??? ? ???? ?????? ? 0 知,角 A 的平分线和 BC 的高重合, 则 AB ? AC ,由 BC ? ? AB ? AC ? ?
? ?

AB
?

?

AC
?

?

AB

AC

1 知,夹角 A 为 600,则 △ ABC 为等边三角形,选 A. 2
p ,0)点,所以应选 6

6.D 由图像可知,所求函数的周期为 p 排除(A)(C)对于(B)其图像不过( D. 7.A.∵ sin 2 A ? 2sin A cos A ? 0 ,∴ cos A ? 0 .

∴ sin A ? cos A ? 0 ,

sin A ? cos A = (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? 2sin A cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ?
应选 A.

2 15 . ? 3 3

? ? ? p // q ? (a ? c)(c ? a) ? b(b ? a) ? b2 ? a2 ? c2 ? ab ,利用余弦定理可得 1 ? 2 cos C ? 1 ,即 cos C ? ? C ? ,故选择答案 B. 2 3 1 2? ? ? ,故选 D. 9.D. y ? sin 2 x cos 2 x ? sin 4 x 所以最小正周期为 T ? 2 4 2
8.B. 10.A 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA,所以 a2=b(b+c)+c2-bc-2bccosA 中 c2-bc- 2bccosA=c(c-b-bcosA)=2Rc(sinC-sinB-2sinBcosA)=Rc(sin(A+B)-sinB- 2sinBcosA)=Rc(sin(A-B)-sinB)(*),因为 A=2B,所以(*)=0,即得 a2=b(b+c);而当由余弦定理 和 a2=b(b+c)得 bc=c2-2bccosA,l 两边同时除以 c 后再用正弦定理代换得 sinB=sinC- 2sinBcosA,又在三角形中 C=π -(A+B),所以 sinB=sin(A+B)-2sinBcosA,展开整理得 sinB=sin(A-B),所以 B=A-B 或 A=π (舍去),即得 A=2B,所以应选 A. 11.B 若 sin ?? ? ? ? ? sin 2? ,则“ ? , ? , ? 成等差数列”不一定成立,反之必成立,选 B.

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12.D.

?A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A1B1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是 ? ? ? ? ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? A2 ? 2 ? A1 ? ? ? ? ? ? 锐角三角形,由 ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) ,得 ? B2 ? ? B1 ,那么, 2 2 ? ? ? ? ? ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ?C2 ? 2 ? C1 ? ? ? A2 ? B2 ? C2 ? ,所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形.故选 D. 2
56 65
由于 ? , ? ? (

13. ?

3? 3? ? ? , ? ) ,所以 ? ? ? ? ? 2? , ? ? ? ? ? ,故 4 2 2 4

cos(? ? ? ) ?

4 ? 5 ? ? , cos(? ? ) ? ? , cos(? ? ) ? cos[(? ? ? ) ? (? ? )] = 5 4 13 4 4

4 5 12 3 56 ? (? ) ? ? (? ) = ? . 5 13 13 5 65
14.①②.③中 x ? 15. ?

5 5 ? 是 y ? sin( 2 x ? ? ) 的对称中心. 4 2

1 .诱导公式变角,再逆用三角公式切入, 2
2

cos 43? cos 77? ? sin 43? cos167? = cos 43 0 cos 77 0 ? sin 43 0 ?? sin 77 0 ? ? cos 120 0 ? ? 1 ;
16. 2 .由图象知 ? ? 0, ? ? 对称知,

2? ? ?x ? ,? f ? x ? ? 2 sin ,其图象关于点 ?4,0?, x ? 2, x ? 6 T 4 4

? ? ? f ?2001 ? f ?2002? ? f ?2003 ? ? ? f ?2006? ? f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? f ?4? ? f ?5? ? f ?6?
2? 3? 4? 5? 6? ? ? ? ? 2? sin ? sin ? sin ? sin ? sin ? sin ? ? 2. 4 4 4 4 4 4 ? ?

f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? ? ? f ?8? ? 0,?T ? 8,2006? 250? 8 ? 6,? f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? ? ? f ?2006?

17.(1)? sin x ?

3 ?? ? x ? ? , ? ? , ? cos x ? ? , 5 ?2 ? ? 3 ? 1 4 3 x x f ( x) ? 2? s i n ? c o s ? ? 2c o s ? 3 s i n ? c o s ? x x? x 3? . ? 2 2 5 5 ? ? ?? ? (2) f ( x) ? 2 sin? x ? ? , 6? ? 1 ?? ? ? 5? ? ? ? sin? x ? ? ? 1 , , ? ? x ?? , ? ?x? ? 2 6? 3 6 6 2 ? ? 函数 f (x) 的值域为 [1, 2 ] . 4 , 5

- 17 -

18.(1) f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2 3 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 2? ? ?. ? f ( x) 的最小正周期 T ? 2 ? ? ? 由题意得 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 2 6 2 ? ? 即 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z . 3 6 ? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
(2)方法一:

? ? 个单位长度,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象, 12 6 3 ? 3 再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度,就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象. 2 6 2
先把 y ? sin 2 x 图象上所有点向左平移 方法二: 把 y ? sin 2 x 图象上所有的点按向量 a ? (? 的图象.

?

? 3 , ) 平移,就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 12 2 6 2

? 3

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