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空间向量运算的坐标表示(教案)(5)


3.1.5 空间向量运算的坐标表示
授课班级:高二(3)班 授课时间:2013 年 10 月 16 日 授课人:司志刚

教学目标: (1) 知识目标 通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积 运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示,并能初步应用这 些知识解决简单的立体几何问题. (2)能力目标 ①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比,使学生掌握 空间向量运算的坐标表示,渗透类比的数学方法; ②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题,体会向量方 法在研究空间图形中的作用,培养学生的空间想象能力和几何直观能力. (3) 情感目标 通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、 自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神. 教学重点:空间向量运算的坐标表示 教学难点:空间向量运算的坐标表示的应用 教学方法:启发诱导、练讲结合 教学过程: 一、复习引入:平面向量的坐标运算: 设 a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 ), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
? ?

(1) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 )
? a ? (? a1 , ? a2 )(? ? R)
? ? ? ? ? ?

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? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2

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(2) a // b(b ? 0) ? a ? ? b 即 a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2
? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2 b2 ? 0

(3) | a |? a12 ? a22
??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
??? ? d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

?

? ? ? ? a ?b cos a, b ? ? ? ? | a || b |

a1b1 ? a2b2
2 2 a12 ? a2 b12 ? b2

思考:你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗?它们 是否成立?为什么? 二、新授: (一)空间向量运算的坐标表示: 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ), A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) ,则 (1) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )
? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R)
? ? ? ? ? ?

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? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a ? b ? a1b2 ? a2b2 ? a3b3

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(2) a // b ? a ? ? b(b ? 0) 即 a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3
? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? 0

(3) | a |? a12 ? a22 ? a12
??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )
??? ? d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

?

? ? ? ? a ?b cos a, b ? ? ? ? | a || b |

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 3 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

1

(二)应用举例 例 1.已知向量 a ? (4, ?2, ?4), b ? (6, ?3, 2) ,
求(1) a ? b (2) | a | (3) | b | (4) (2a ? 3b) ? (a ? 2b) (5) cos ? a, b ? 答案: a ? b ? 22 , | a |? 6 , | b |? 7 , (2a ? 3b) ? (a ? 2b) ? ?244

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例 2 . 如 图 , 在 正 方 体
E1 , F1 分别是 A1B1 , C1D1 的一个四等 DF1 所成角的余弦值.

ABCD ? A1B1C1D1 中, 点

分点,求直线 BE1 与

解:略 注: ()两直线所成的角与两直线的方向向量的夹角相等或互补 1 . (2)坐标法

例3.如图,在棱长为1的正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,点E , F 分别 是BB1 , D1 B1的中点,求证:EF ? DA1 .
解:略
A1 D1 F B1 E C1

D A B

C

三、课堂练习 教材 P97 练习题

123



课堂小结

1.知识
2

(1)空间向量的坐标运算; (2)利用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题. 2.方法 (1)类比 (2)数形结合 五、作业布置: 课本 P98: 习题 3.1 A组

六、教后记(教学反馈及反思) :

3


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