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1.3.2 函数的单调性 公开课


数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞。 数无形时少直觉, 形少数时难入微。 数形结合百般好, 隔离分家万事休。 切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离。 ———华罗庚

§3.2函数的单调性
学习目标:
1、理解函数单调性的定义及几何意义; 2、能根据图象的升降特征,划分函数的单调区间; 3、会用定义法证明函数在指定区间上的单调性

预习检验
在区间D内
y f(x2)

在区间D内

y=f(x)

图 象

f(x1)

·
x1

·
x2 x

y

y=f(x)

f(x1)
f(x2)

·
x1

·
x2 x

0

0

图形 从左至右,图象 语言 自然 y随x的增大而 语言

预习检验
在区间D内
y f(x2)

在区间D内

y=f(x)

图 象

f(x1)

·
x1

·
x2 x

y

y=f(x)

f(x1)
f(x2)

·
x1

·
x2 x

0

0

图形 从左至右,图象 上升 语言 自然 y随x的增大而 增大 语言

y
1· O

y = x2

· 1

x

f(x1) f(x2)

y


y = x2

x1 x2 O

· 1

x

y
f ( x1 ) f(x2) 1· x1 x2O

y = x2

· 1

x

y
f(x1) f(x2)1·

y = x2

x1 x2 O

· 1

x

y
f(x1)

y = x2

· f1 (x 2) · 1

O x1 x 2

x

预习检验
在区间D内
y f(x2)

在区间D内

y=f(x)

图 象

f(x1)

·
x1

·
x2 x

y

y=f(x)

f(x1)
f(x2)

·
x1

·
x2 x

0

0

图形 从左至右,图象 上升 语言 自然 y随x的增大而 增大 语言 符号 语言

预习检验
在区间D内
y f(x2)

在区间D内

y=f(x)

图 象

f(x1)

·
x1

·
x2 x

y

y=f(x)

f(x1)
f(x2)

·
x1

·
x2 x

0

0

图形 从左至右,图象 上升 语言 自然 y随x的增大而 增大 语言 符号 任意两个自变量x1,x2 语言 当x1<x2时,f(x1) <f(x2)

预习检验
在区间D内
y f(x2)

在区间D内

y=f(x)

图 象

f(x1)

·
x1

·
x2 x

y

y=f(x)

f(x1)
f(x2)

·
x1

·
x2 x

0

0

图形 从左至右,图象 上升 语言 自然 y随x的增大而 增大 语言

从左至右,图象下降 y随x的增大而减小

任意两个自变量x1,x2 符号 任意两个自变量x1,x2 语言 当x1<x2时,f(x1) <f(x2) 当x1<x2时, f(x1) > f(x2)

预习检验
试描述函数 f ( x) ? x2 的单调性

f ( x) ? x2

f ( x) ? x 在区间 (??,0) 上是减函数;
2

y


在区间 (0, ??) 上是增函数;

思考:函数 f ( x) ? x 在定义 域上有单调性吗?
2

O

· 1

x

预习检验
y
f(x2) f(x1)

单调增函数和单调减函数的定义. y
f(x1) f(x2)

x1 O x2 x 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I:

O

x1

x2

x

如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ),

如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1<x2时,都有 f (x1 )

>

f(x 2 ),

那么就说在f(x)这个区间D上是单调增 那么就说在f(x)这个区间D上是单调 函数,D称为f(x)的单调 增 区间. 减函数,D称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间

解惑答疑
1、判断一函数在某区间上增减性时,能否将该区间内的 两点代入进行判断?(学习学案50页自我检测1) 2、所有的函数在定义域上都具有单调性吗?
(学习学案49页议一议)

3、当一个函数出现多个单调减区间时,如何表示?为什 么不能用“ ? ”?(学习学案50页想一想) 4、单调区间的端点会不会影响函数的单调性?单调区间 什么时候能包括区间端点?什么时候不能包括? 5、常函数的单调性如何? 6、判断函数单调性的方法有哪些?

例题
(一)单调性的判断
例1:如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y ? f ( x) 的图像, 根据图像说出 y ? f ( x) 的单调区间,以及在每一单调区间上, y ? f ( x) 是增函数还是减函数.
y ? f ( x)
3 -3 -2 -1 -5 -4 2 1 1 -1 -2 2 3 4 5

解: 函数的 y ? f ( x) 单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3), [3,5], 其中 y ? f ( x) 在区间 [-5,-2),[1,3)是减函数, 在[-2,1),[3,5]是增函数.

通过观察函数图像 判断函数的单调性

(二)单调性的证明
用定义证明函数 f ( x) ? x2在区间 [0, ??) 的单调性

f ( x) ? x2

y
1· O

· 1

x

练习
用定义证明 下列函数在 (0, ??) 的单调性
1 ( 1) f ( x ) ? 2 x
1 ( 2) f ( x ) ? x ? x

( 3) f ( x ) ? x

课后思考 1、如何求分段函数的单调性?
学习学案51页针对训练1(2)

2、在区间任取两实数 x1, x2 ,已知 x1, x2 的大小关 系,并且已知函数的单调性,就能知道 f ( x1 ), f ( x2 ) 的大小关系吗?
学习学案52页例3





一、函数单调性的定义 1、自变量由小到大,函数值也由小到大,是增函数;自变量 由小到大,函数值反而由大到小,是减函数。 函数图象从左到右上升的,是增函数,下降的,是减函数。 2、自变量必须取区间上的任意两个值。 3、函数的单调性是局部性质,所以它必须落到具体区间上去。 二、判断函数单调性常用方法 图象观察 定义证明 三、证明函数单调性有哪些步骤? (1)取值,区间中中任取两个值x1、x2,且令x1<x2 (2)作差,f(x1)-f(x2) (3) 变形,(化为因式相乘的形式,出现x1-x2)

(4) 定号,(利用x1<x2 判断正负号) (5) 结论,(根据增、减函数的定义)



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