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河南省南阳信阳等六市2013届高三第二次联考数学(理)试题 Word版含答案


2013 年河南省六市高中毕业班第二次联考 数学(理科)
一、选择题
2 1.若全集 U ? ??1, 0,1, 2? P ? x ? Z | x ? 2 ,则 CU P ?

?

?

A. ?2?

B. ?0, 2?

C. ??1, 2?

D. ??1,0, 2?

2.某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计,得到了如图所示的 频率分布直方图,如果该公司共有员工 200 人,则信息收到 125 条以上的大约有

A.6 人

B.7 人

C.8 人

D.9 人

a 1? i ? 3. a 是实数, 设 若复数 ( i 为虚数单位) 在复平面内对应的点在直线 x ? y ? 0 上, 1? i 2
则 a 的值为 A. ?1 B.0 C.1 D.2

? ? ? ? ? 4.已知向量 a ? (3, 4), b ? (2, ?1) ,如果向量 a ? xb 与 ?b 垂直,则实数 x 的值为
A. ?

2 5

B.

23 3

C.

3 23

D.2

5.从 6 名男生 4 名女生中选 4 名代表,则至少有 1 名女生入选的选法有( )种 A.205 B.210 C.190 D.195 6.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为

?x ? ? 7.当实数 x, y 满足不等式 ? y ? 0 时,恒有 ax ? y ? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 ?2 x ? y ? 2 ?
A. a ? 0 B. a ? 0 C. 0 ? a ? 2 D. a ? 3

8.已知 A( xA , yA ) 是单位圆(圆心在坐标原点 O )上任意一点,将射线 OA 绕 O 点逆时针 旋转 30? 到 OB,交单位圆于点 B( xB , yB ) ,则 xA ? yB 的最大值为

A. 2

B.

3 2

C.1

D.

1 2

9 . 已 知 函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图象如图所示,当

x ? [0, ] 时,满足 f ( x) ? 1 的 x 的值为 2

?

A.

? 6

B.

? 4

C.

5? 24

D.

? 3

10.过双曲线

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 E , 2 4 a b

直线 EF 交双曲线右支于点 P,若 OE ?

??? ?

? 1 ??? (OF ? OP ) ,则双曲线的离心率是 2
C. 2 D. 2 2

A.

10 2

B. 10

11.在可行域内任取一点,规则为如图所示的流程图,则能输出数对 ( s, t ) 的概率是

A. 5

B.

3 4

C.

? 4

D.

? 6

12.已知 ? x1 , x2 , x3 , x4 ? ? ? x ? R ? | ( x ? 6)sin A.12 二、填空题 13.已知 n ? B.24 C.36

? ?

?

? x ? 1? ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的最小值为 2 ?
D.48

1 3 dx ,那么 ( x ? ) n 展开式中含 x 2 项的系数为 x x ??? ??? ? ? ??? ? 14. ?ABC 中, ?A ? 120?, AB ? AC ? ?1 ,则 | BC | 的最小值为

?

e6

。 。

1

15.已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 相交于 A、B 两点,F 为抛物线的焦点, 若 | FA |? 2 | FB | ,则 k 的值为 。

16. 已知平面 ? 截一球面得圆 M, 过圆心 M 且与 ? 成 60? 二面角的平面 ? 截该球面得圆 N 。 若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4? ,则圆 N 的面积为 三、解答题 17.在公差不为 0 的等差数列 ?an ? 中, a1 , a4 , a8 成等比数列。 (1)已知数列 ?an ? 的前 10 项和为 45,求数列 ?an ? 的通项公式; (2) bn ? 若 。

1 1 1 , 且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , Tn ? ? 若 , 求数列 ?an ? 的公差。 9 n?9 an an?1

18.盒子内装有 5 张卡片,上面分别写有数字 1、1、2、2、2,每张卡片被取到的概率相等。 先从盒子中任取 1 张卡片,记下它上面的数字 x ,然后放回盒子内搅匀,丙从盒子中任 取 1 张卡片,记下它上面的数字 y 。设 M ? x ? y, f (t ) ? (1)求随机变量 M 的分布列和数学期望; (2)设“函数 f (t ) ? 的概率 P ( A) 。

3 2 18 t ? Mt ? 。 5 5

3 2 18 t ? Mt ? 在区间 (2, 4) 内有且只有一个零点”为事件 A,求 A 5 5

19. 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 已知 AB ? AC ? AA ? 5, BC ? 4 ,BC 的中点为 O, AO 1 1

垂直底面 ABC 。 (1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE ? 平面 BB1C1C ,并求出 AE 的长; (2)求二面角 A1 ? B1C ? B 的平面角的余弦值。

20.如图,已知定点 F (?1, 0), N (1, 0) ,以线段 FN 为对角线作周长是 4 2 的平行四边形

???? MNEF 。平面上的动点 G 满足 | OG |? 2 ( O 为坐标原点) 。
(1)求点 E、M 所在曲线 C1 的方程及动点 G 的轨迹 C2 的方程; (2) 已知过点 F 的直线 l 交曲线 C1 于点 P、 交轨迹 C2 于点 A、 若 | AB| ? 3 1 ) Q, B, ( , 5 2 求的内切圆的半径的取值范围。 ,

21.已知函数 f ( x) ? ln (1 ? x) 。
2

(1)求函数 f ( x ) 的图象在 x ? 0 处的切线方程;

(2)证明不等式: ln (1 ? x) ?
2

x2 ; 1 ? x2
1 n
n?a

(3)对一个实数集合 M ,若存在实数 s ,使得 M 中任何数都不超过 s ,则称 s 是 M 的 一个上界。已知 e 是无穷数列 an ? (1 ? ) 然对数的底数) ,求实数 a 的最大值。 所有项组成的集合的上界(其中 e 是自

选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记 分。做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22.如图,已知四边形 ABCD 是梯形, AD / / BC ,且 BC 是圆 O 的直径,直线 MN 与圆 O 相切于点 A。 (1)若 ?MAB ? 30? ,且圆 O 的面积为 ? ,求 AB 的长; (2)在(1)的条件下,求梯形 ABCD 的周长。

23.选修 4—4,坐标系与参数方程

? ?x ? ? 已知直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ?

2 t 2 ( t 是参数) 圆 C 的极坐标方程为 , 2 t?4 2 2

? ? ? 2 cos(? ? ) 。
4
(1) 求圆心 C 的直角坐标; (2) 由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值。

24.已知 a ? R ,设关于 x 的不等式 | 2 x ? a | ? | x ? 3 |? 2 x ? 4 的解集为 A 。 (1)若 a ? 1 ,求 A; (2)若 A ? R ,求 a 的取值范围。

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