tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015-2016学年高中数学 第一章 解三角形综合检测 新人教A版必修5


2015-2016 学年高中数学 第一章 解三角形综合检测 新人 A 教版必 修5
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.在△ABC 中,a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是( A.一解 C.一解或两解 [答案] B [解析] ∵bsinA=100? ∴bsinA&

lt;a<b, ∴此三角形有两解. 2.(2015?吉林省长春市质量监测)已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 a =b +c -bc,bc=4,则△ABC 的面积为( 1 A. 2 C. 3 [答案] C 1 π 2 2 2 [解析] ∵a =b +c -bc,∴cosA= ,∴A= ,又 bc=4, 2 3 1 ∴△ABC 的面积为 bcsinA= 3,故选 C. 2 3.在△ABC 中,b= 3,c=3,B=30°,则 a 的值为( A. 3 C. 3或 2 3 [答案] C sinB 3 [解析] ∵sinC= ?c= , b 2 ∴C=60°或 C=120°, ∴A=30°或 A=90°, 当 A=30°时,a=b= 3; 当 A=90°时,a= b +c =2 3.故选 C. 4.已知关于 x 的方程 x -xcosA?cosB+2sin =0 的两根之和等于两根之积的一半, 2
1
2 2 2 2 2 2 2

)

B.两解 D.无解

2 =50 2<80, 2

) B.1 D.2

)

B.2 3 D.2

C

则△ABC 一定是( A.直角三角形 C.等腰三角形 [答案] C

) B.钝角三角形 D.等边三角形

[解析] 由题意知:cosA?cosB=sin , 2 1-cosC 1 1 1 1 ∴cosA?cosB= = - cos[180°-(A+B)]= + cos(A+B), 2 2 2 2 2 1 1 ∴ (cosA?cosB+sinA?sinB)= ,∴cos(A-B)=1, 2 2 ∴A-B=0,∴A=B,∴△ABC 为等腰三角形,故选 C. 5.△ABC 中,已知下列条件:①b=3,c=4,B=30°;②a=5,b=8,A=30°;③c =6,b=3 3,B=60°;④c=9,b=12,C=60°.其中满足上述条件的三角形有两解的是 ( ) A.①② C.①②③ [答案] A [解析] ①csinB<b<c,故有两解; ②bsinA<a<b,故有两解; ③b=csinB,有一解; ④c<bsinC,无解. 所以有两解的有①②,故选 A. 6.等腰△ABC 底角 B 的正弦与余弦的和为 A.30°或 150° C.30° [答案] A [解析] 由题意:sinB+cosB= 2B. 1 ∴sinA=sin(180°-2B)=sin2B= , 2 ∴A=30°或 150°. 6 1 .两边平方得 sin2B= ,设顶角为 A,则 A=180°- 2 2 6 ,则它的顶角是( 2 B.15°或 75° D.15° ) B.①④ D.③④

2

C

7.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC

2

=(

) 7 A. 25 7 C.± 25 [答案] A [解析] 由 7 B.- 25 24 D. 25

b c 4 = 及 8b=5c, C=2B 得, 5sin2B=8sinB, ∴cosB= , ∴cosC=cos2B sinB sinC 5

7 2 =2cos B-1= . 25 8.(2015?东北三省四市联考)若 G 是△ABC 的重心,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, 3 → → → 且 aGA+bGB+ cGC=0,则角 A=( 3 A.90° C.45° [答案] D 3 → → → → → → → → → [解析] 由重心性质可知GA+GB+GC=0, 故GA=-GB-GC, 代入 aGA+bGB+ cGC=0 3 中, 3 → → 即(b-a)GB+( c-a)GC=0, 3 ) B.60° D.30°

b-a=0 ? ? → → 因为GB,GC不共线,则? 3 c-a=0, ? ?3
即?

?b=a, ?c= 3a,

故 cosA=

b2+c2-a2 3 = , 2bc 2

因为 0<A<180°,所以 A=30°,故选 D. 9.已知钝角三角形的三边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A.1<x<5 C.1<x< 5或 13<x<5 [答案] C
? ?3<x<5 [解析] 当 x 为最大边时? 2 2 2 ?x >3 +2 ?

)

B. 5<x< 13 D.1<x< 5



∴ 13<x<5;

3

当 3 为最大边时? ∴1<x< 5.

?1<x<3 ? ?3 >x +2 ?
2 2 2



∴x 的取值范围是:1<x< 5或 13<x<5. 10.在△ABC 中,三边长分别为 a-2,a,a+2,最大角的正弦值为 的面积为( 15 A. 4 21 3 C. 4 [答案] B [解析] ∵三边不等,∴最大角大于 60°, 设最大角为 α ,故 α 对的边长为 a+2. ∵sinα = 3 ,∴α =120°, 2 ) 15 3 B. 4 35 3 D. 4 3 ,则这个三角形 2

由余弦定理,得 (a+2) =(a-2) +a +a(a-2), 即 a =5a,解得 a=5,∴三边长为 3,5,7,
2 2 2 2

S△ABC= ?3?5?sin120°=

1 2

15 3 . 4

3-1→ → 11.在△ABC 中,B=60°,C=45°,BC=8,D 为 BC 上一点,且BD= BC,则 AD 2 的长为( ) B.4( 3+1) D.4(3+ 3)

A.4( 3-1) C.4(3- 3) [答案] C [解析] 由题意知∠BAC=75°, 根据正弦定理,得 AB=

BCsin45°
sin75°

=8( 3-1),

3-1→ 3-1 → 因为BD= BC,所以 BD= BC. 2 2 又 BC=8,所以 BD=4( 3-1). 在△ABD 中,

AD= AB2+BD2-2AB?BD?cos60°
4

=4(3- 3). 12. 如图, 一货轮航行到 M 处, 测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°, 与灯塔 S 相距 20n mile, 随后货轮按北偏西 30°的方向航行 30min 后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速 度为( )

A.20( 2+ 6)n mile/h C.20( 3+ 6)n mile/h [答案] B [解析] 由题意可知

B.20( 6- 2)n mile/h D.20( 6- 3)n mile/h

∠SMN=15°+30°=45°,MS=20,∠MNS=45°+(90°-30°)=105°,设货轮每 1 小时航行 xn mile,则 MN= x, 2 ∴∠MSN=180°-105°-45°=30°, 1 x 2 20 由正弦定理,得 = , sin30° sin105° ∵sin105°=sin(60°+45°) =sin60°cos45°+cos60°sin45°= ∴x=20( 6- 2),故选 B. 二、 填空题(本大题共 4 个小题, 每个小题 4 分, 共 16 分. 将正确答案填在题中横线上) 3 → → 13.在△ABC 中,已知 b=1,sinC= ,bcosC+ccosB=2,则AC?BC=________. 5 [答案] 8 8 或- 5 5 6+ 2 , 4

[解析] 由余弦定理的推论,得 cosC= ∵bcosC+ccosB=2, ∴

a2+b2-c2 a2+c2-b2 ,cosB= . 2ab 2ac

a2+b2-c2 a2+c2-b2 + =2, 2a 2a

→ ∴a=2,即|BC|=2.
5

3 ∵sinC= ,0°<C<180°, 5 4 4 ∴cosC= ,或 cosC=- . 5 5 → 又∵b=1,即|AC|=1, 8 → → 8 → → ∴AC?BC= ,或AC?BC=- . 5 5 1 14.已知△ABC 的周长为 2+1,且 sinA+sinB= 2sinC.若△ABC 的面积为 sinC, 6 则 C=________. [答案] 60° [解析] ∵sinA+sinB= 2sinC. ∴a+b= 2c. 又∵a+b+c= 2+1,∴c=1,a+b= 2. 1 1 又 S△ABC= absinC= sinC. 2 6 1 ∴ab= , 3 ∴cosC=

a2+b2-c2 ?a+b?2-2ab-c2 1 = = , 2ab 2ab 2

∴C=60°. 1 15.在△ABC 中,若 tanA= ,C=150°,BC=1,则 AB=________. 3 [答案] 10 2

1 10 BC?sinC 10 [解析] ∵tanA= ,∴sinA= ,由正弦定理,得 AB= = . 3 10 sinA 2

b+c 2A 16.在△ABC 中,cos = ,则△ABC 的形状为________. 2 2c
[答案] 直角三角形 1+cosA b+c 1 b 2A [解析] ∵cos = = = + , 2 2 2c 2 2c ∴cosA= . 由余弦定理的推论,得

b c

b2+c2-a2 cosA= , 2bc

6



b2+c2-a2 b = , 2bc c
2 2 2

∴a +b =c . ∴△ABC 为直角三角形. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)(2015?山东烟台市诊断)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c,已知 sin B+sin C=sin A+sinBsinC. (1)求角 A 的大小; 1 (2)若 cosB= ,a=3,求 c 的值. 3 [解析] (1)由正弦定理可得 b +c =a +bc, 则 cosA=
2 2 2 2 2 2

b2+c2-a2 1 = , 2bc 2
π . 3

因为 A∈(0,π ),所以 A= (2)由(1)可知,sinA=

3 , 2

1 2 2 因为 cosB= ,B 为三角形的内角,所以 sinB= , 3 3 故 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 由正弦定理 = , sinA sinC 得 c= 3 1 1 2 2 3+2 2 ? + ? = , 2 3 2 3 6

a

c

asinC 3 3+2 2 2 6 = ? =1+ . sinA 6 3 3
2

18.(本题满分 12 分)(2015?广州市综合检测)已知△ABC 的三边 a,b,c 所对的角分 别为 A,B,C,且 a?b?c=7?5?3. (1)求 cosA 的值; (2)若△ABC 的面积为 45 3,求△ABC 外接圆半径的大小. [解析] (1)因为 a?b?c=7?5?3, 所以可设 a=7k,b=5k,c=3k(k>0), 由余弦定理得 cosA=

b2+c2-a2 ?5k?2+?3k?2-?7k?2 1 = =- . 2bc 2?5k?3k 2

1 (2)由(1)知 cosA=- , 2
7

因为 A 是△ABC 的内角,所以 sinA= 1-cos A= 由(1)知 b=5k,c=3k,

2

3 . 2

1 因为△ABC 的面积为 45 3,所以 bcsinA=45 3, 2 1 3 即 ?5k?3k? =45 3,解得 k=2 3. 2 2 由正弦定理得 2R= 7k 14 3 = =28, sinA 3 2 解得 R=14,所以△ABC 外接圆半径的大小为 14. 19.(本题满分 12 分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要 求在考点周围 1km 内不能收到手机信号.检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约 3km 有 一条北偏东 60°方向的公路, 在此处检查员用手机接通电话, 以 12km/h 的速度沿公路行驶, 最长需要多少时间,检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格? [解析] 如图所示,考点为 A,检查开始处为 B,设公路上 C,D 两点到考点的距离为 1km.

在△ABC 中,AB= 3≈1.732,AC=1,∠ABC=30°, 由正弦定理,得 sin∠ACB=

ABsin30° 3 = , AC 2

∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意), ∴∠BAC=30°,∴BC=AC=1. 在△ACD 中,AC=AD,∠ACD=60°, ∴△ACD 为等边三角形,∴CD=1. ∵

BC

?60=5, 12

∴在 BC 上需要 5min,CD 上需要 5min. ∴最长需要 5min 检查员开始收不到信号,并至少持续 5min 该考点才算合格. 20.(本题满分 12 分)(2014?辽宁理,17)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,

b,c,且 a>c,已知BA?BC=2,cosB= ,b=3,求:
(1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值.
8

→ →

1 3

→ → [解析] (1)由BA?BC=2 得 c?acosB=2. 1 又 cosB= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理得 a +c =b +2accosB. 1 2 2 又 b=3,所以 a +c =9+2?6? =13. 3 解?
?ac=6, ? ? ?a +c =13,
2 2 2 2 2

得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.

因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中, sinB= 1-cos B=
2

1 2 2 2 1-? ? = . 3 3

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sinC= sinB= ? = . b 3 3 9
因为 a=b>c,所以 C 为锐角, 因此 cosC= 1-sin C=
2

4 2 2 7 1-? ?= . 9 9

1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC= ? + ? = . 3 9 3 9 27 21.(本题满分 12 分)(2015?山东淄博市检测)已知锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所 对的边分别为 a,b,c,且 tanA= (1)求角 A 的大小; (2)当 a= 3时,求 c +b 的最大值,并判断此时△ABC 的形状. sinA 3cb 3 [解析](1)由已知及余弦定理,得 = ,sinA= ,因为 A 为锐角,所以 A cosA 2cbcosA 2 =60°. (2)解法 1:由正弦定理,得
2 2

3cb . c +b2-a2
2

b c 3 = = = =2, sinA sinB sinC 3 2

a

所以 b=2sinB,c=2sinC=2sin(120°-B).

c2+b2=4[sin2B+sin2(120°-B)]
1-cos2B 1-cos?240°-2B? =4[ + ] 2 2 =4-cos2B+ 3sin2B =4+2sin(2B-30°).
9

?0°<B<90° ? 由? ?0°<120°-B<90° ?

,得 30°<B<90°,所以 30°<2B-30°<150°,
2 2

当 sin(2B-30°)=1,即 B=60°时,(c +b )max=6, 此时 C=60°,△ABC 为等边三角形. 解法 2:由余弦定理得( 3) =b +c -2bccos60°=b +c -bc=3. ∵bc≤
2 2 2 2 2 2

b2+c2
2
2

(当且仅当 b=c 时取等号), ≤3,即 b +c ≤6(当且仅当 b=c 时等号).
2 2

∴b +c -
2 2

b2+c2
2

故 c +b 的最大值为 6,此时△ABC 为等边三角形. 22.(本题满分 14 分)如图所示,A、B 两个小岛相距 21n mile,B 岛在 A 岛的正南方, 现在甲船从 A 岛出发,以 9n mile/h 的速度向 B 岛行驶,而乙船同时以 6n mile/h 的速度离 开 B 岛向南偏东 60°方向行驶,问行驶多少时间后,两船相距最近,并求出两船的最近距 离.

[解析] 设行驶 t 小时后,甲船行驶了 9tn mile 到达 C 处,乙船行驶了 6tn mile 到达

D 处.
7 当 9t<21,即 t< 时,C 在线段 AB 上,此时 BC=21-9t, 3 在△BCD 中,BC=21-9t,BD=6t,∠CBD=180°-60°=120°, 由余弦定理,得 CD =BC +BD -2BC?BD?cos120° 1 2 2 =(21-9t) +(6t) -2?(21-9t)?6t?(- ) 2 =63t -252t+441=63(t-2) +189. ∴当 t=2 时,CD 取得最小值 189=3 21. 7 7 当 t= 时,C 与 B 重合,此时 CD=6? =14>3 21. 3 3 7 2 2 2 2 当 t> 时,BC=9t-21,则 CD =(9t-21) +(6t) -2?(9t-21)?6t?cos60°=63t 3 -252t+441 =63(t-2) +189>189.
2 2 2 2 2 2

10

综上可知,t=2 时,CD 取最小值 3 21n mile,故行驶 2h 后,甲、乙两船相距最近为 3 21n mile.

11


推荐相关:

2015-2016学年高中数学 第一章 解三角形综合检测 新人教A版必修5

2015-2016学年高中数学 第一章 解三角形综合检测 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年高中数学 第一章 解三角形综合检测 新人 A 教版必...


2015-2016学年高中数学 第一章 解三角形复习学案设计 新人教A版必修5

2015-2016学年高中数学 第一章 解三角形复习学案设计 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。第一章 解三角形 本章复习学习目标 1.运用正弦定理、余弦定理,...


2015-2016学年高中数学 1.2.1 解三角形的实际应用举例课时训练 新人教A版必修5

2015-2016学年高中数学 1.2.1 解三角形的实际应用举例课时训练 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。课时训练 3 一、测量中的距离问题 解三角形的实际...


2015-2016学年高中数学 本册综合能力测试 新人教A版必修4

2015-2016学年高中数学 本册综合能力测试 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。本册综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 满分...


2015-2016学年高中数学 模块五综合测度 新人教A版必修5

2015-2016学年高中数学 模块五综合测度 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育...(A +B),判断该三角形的形状. 2 2 2 解析:利用和差角公式,将条件式展开,...


2015-2016学年人教A版必修五_解三角形__章末测试题(B)

2015-2016学年人教A版必修五_解三角形__章末测试题(B)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第一章 章末测试题(B) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题...


2015-2016学年高中数学 第一章 单元检测(B卷)新人教A版选修2-1

2015-2016学年高中数学 第一章 单元检测(B卷)新人教A版选修2-1_数学_高中...“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题...


2015-2016学年高中数学 第1章 解三角形章末过关检测卷 苏教版必修5

2015-2016学年高中数学 第1章 解三角形章末过关检测卷 苏教版必修5_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年高中数学 第 1 章 解三角形章末过关检测卷 苏...


2015高中数学第一章解三角形复习课教案新人教A版必修5

2015高中数学第一章解三角形复习课教案新人教A版必修5_高一数学_数学_高中教育_教育专区。解三角形复习课(一) ●教学目标 知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com