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江西省吉安一中2015届高三上学期第一次段考数学(文)


江西省吉安一中 2015 届高三上学期第一次段考数学文试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 ) 1. 复数 Z 满足 (1 ? i) Z ?| 1 ? i | ,是 Z 的虚部为( A. ? ) D.

2 i 2

B.

>2 i 2

C. ?

2 2

2 2

2. 将函数 y ? sin x ? cos x 的图象向左平移 m 个( m ? 0 )单位长度后,所得到的函数为偶函数,则 m 的最小值为( A. ) B.

? 4

? 6

C.

3 ? 4

D.

5 ? 6


3. 已知全集 U ? R, A ? {x | log2 x ? 0}, B ? ? x A. (1,??) C. (??,0) ? (1,??)

? 1 ? ? 1? , (CU A) ? B =( ? x ?

B. [1,??) D. (??,0) ? [1,??)

4. 在等差数列 {an } 中,设 S n 为它的前 n 项和,若 S 5 ? 35 ,且点 A(3, a3 )与 B(5, a5 )都在斜率 为-2 的直线 l 上,则使 S n 取得最大值的 n 的值为( A. 6 B. 7 C. 5,6 ) D. 7,8

?x ? y ? 1 ? 5. 已知不等式 ? x ? y ? ?1 表示的平面区域为 M,若直线 y ? kx ? 3k 与平面区域 M 有公共点,则 K 的 ?y ? 0 ?
取值范围是( A. ?? ,0? ? 3 ? ) B. ? ? ?, ? 3

? 1 ?

? ?

1? ?

C. ? 0, ? 3

? 1? ? ?

D. ? ? ?,? ? 3

? ?

1? ?

6. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? an?1 (n ? 2), a1 ? 1, a2 ? 3, S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , 则下列结论正确的 是( ) B. a2014 ? ?3, S 2014 ? 5 D. a2014 ? ?1, S 2014 ? 5

A. a2014 ? ?1, S 2014 ? 2 C. a2014 ? ?3, S 2014 ? 2

7. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 [0,??] 上单调递增,若实数 a 满足

f (log2 a) ? f (log1 a) ? 2 f (1) ,则 a 的取值范围是(
2



A. [1,2]

B. (0, ]

1 2

C. [ , 2 ]

1 2

D. (0,2] )

8. 若 a, b, c 均为单位向量,且 a ? b ? 0, (a ? c)(b ? c) ? 0 ,则 | a ? b ? c | 的最大值为( A.

2 ?1

B. 1

C.

2

D. 2

第 1 页 共 7 页

9. 已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,对一切的 x ? R 都有 f ?( x) ? f ( x) 成立,则( A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定



10. 已知正三角形 ABC 的边长为 2,D,E 分别为边 AB,AC 上的点(不与△ABC 的顶点重合)且 DE ∥BC,沿 DE 折起,使平面 ADE⊥平面 BCED,得如图所示的四棱锥,设 AD=x,则四棱锥 A-BCED 的 体积 V= f ( x) 的图象大致是: ( )

A

B

C 第Ⅱ卷

D

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知在函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? )( A ? 0,W ? 0) 的一个周期内,当 x ? 时,有最小值 ?

?
9

时,有最大值

1 4 ,x ? ? 2 9

1 ? ,若 ? ? (0, ) ,则函数解析式 f ( x) =_________。 2 2

12. 在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“ ? ”如下:当 a ? b 时, a ? b ? a ;当 a ? b 时,

a ? b ? b 2 。则函数 f ( x) ? (1 ? x) ? x ? (2 ? x)(x ? [?2,2]) ,则 f ( x) 的值域为:___________。
13. 已知幂函数 f ( x) ? (m2 ? 5m ? 7) x m
2

?6

在 (0,??) 上单调递增,则实数 m 的值为:__________。
2

2 14. 已知 f ( x) ? x , x ? [?2,2] , g ( x) ? a sin( 2 x ?

?

) ? 3a, x ? [0, ] ,对任意的 x1 ? [?2,2] 存在 6 2

?

x 0 ? [0, ] 使 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则实数 a 的取值范围是__________。 2
x 15. 已知函数 f ( x) ? e ? a ln x 的定义域是 D,关于函数 f ( x) 给出下列命题:

?

①对于任意 a ? (0,??) ,函数 f ( x) 是 D 上的减函数; ②对于任意 a ? (??,0) ,函数 f ( x) 存在最小值; ③对于任意 a ? (0,??) ,使得对于任意的 x ? D ,都有 f ( x) >0 成立;
第 2 页 共 7 页

④对于任意 a ? (??,0) ,使得函数 f ( x) 有两个零点; 其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号) 。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x)2 sin x cos 值, (1)求 ? 的值; (2)在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 17.(本小题满分 12 分)
2 已知 m ? R, p :不等式 | m ? 5m ? 3 |? 3, q :函数 f ( x) ? x ? mx ? (m ?
3 2
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取得最小

2 , f ( A) ?

3 ,求角 C。 2

4 ) x +6 在 (??,??) 上 3

有极值,求使“p 且 q”为真命题时 m 的范围。 18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差大于 0,且 a3 , a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根。数列 {bn } 的前 n 项和为
2

1 S n ,且 S n ? 1 ? bn 。 2
(1)求通项 a n , bn ; (2)记 Cn ? an bn ,求证: Cn?1 ? Cn 。 19.(本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边, m ? (2b ? c, cosC), n ? (a, cos A) ,且 m ∥ n 。 (1)求角 A 的大小; (2)求函数 y ? 2 sin B ? cos(
2

?
3

? 2 B) 的值域。

20.(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? x ? b ln(x ? 1) ,其中 b ? R 。
2

(1)若对 f ( x) 定义域内的任意 x,都有 f ( x) ? f (1) ,求 b 的值; (2)若函数 f ( x) 在其定义域内是单调函数,求 b 的取值范围; (3)若 b ? ?1 ,证明:对任意的正整数 n,不等式 21.(本小题满分 14 分)
x 2 已知函数 f ( x) ? e ( x ? ax ? b) 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 y ? 3 , 其中有 e 为自然对数的底数。

? f (k ) ? 1? 2
k ?1

n

1

1
3

?

1 1 ? ? 3 都成立。 3 3 n

(1)求 a , b 的值;
第 3 页 共 7 页

(2)当 ? 2 ? x ? t 时,证明 f (t ) ?

13 ; e2

(3)对于定义域为 D 的函数 y ? g ( x) 若存在区间 [m, n] ? D 时,使得 x ? [m, n] 时, y ? g ( x) 的值 域是 [m, n] 。则称 [m, n] 是该函数 y ? g ( x) 的“保值区间” 。设 h( x) ? f ( x) + ( x ? 2)e x , x ? (1,??) ,问 函数 y ? h( x) 是否存在“保值区间”?若存在,求出一个“保值区间” ,若不存在,说明理由。

第 4 页 共 7 页

二、填空题 11. f ( x ) ? 13. 3

1 ? sin( 3 x ? ) 2 6

12. [?4,6] 15. ②④

14. (??,?4] ? [6,??)

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) (1) f ( x) ? cos x (2) B ?

??

?
2

?
4

时, C ?

7 ? 12

B?

3 ? ? 时, C ? 4 12

17.(本小题满分 12 分)

p : m 2 ? 5m ? 3 ? ?3 或 m 2 ? 5m ? 3 ? 3
? m 2 ? 5m ? 0 或 m 2 ? 5m ? 6 ? 0 ? p : 0 ? m ? 5 或 m ? ?1 或 m ? 6
q : f ?( x) ? 3 x 2 ? 2mx ? m ? 4 ? ? 4m 2 ? 12 (m ? ) ? 0 3 4 3

? m 2 ? 3m ? 4 ? 0 ? q : m ? ?1 或 m ? 4
p 真 q 真,即 ?

?0 ? m ? 5或m ? -1或m ? 6 ?m ? ?1或m ? 4
第 5 页 共 7 页

因此 m 的范围是 (??,?1) ? (4,5] ? [6,??)

18.(本小题满分 12 分) (1) an ? 2n ? 1 (2)略 19.(本小题满分 12 分) 解: (1) A ?

bn ?

2 3n

?
3

C?

2 ? ?B 3

? ? 0?B? ? ? ? ? 2 ? B?( , ) (2) ? 6 2 ?0 ? 2 ? ? B ? ? ? 3 2 ?
1 3 y ? 1 ? cos 2 B ? cos 2 B ? sin 2 B 2 2 ? 1? 3 1 sin 2 B ? cos 2 B 2 2

1 ? sin( 2 B ?

?
6

)

2B ?

?

? 5 ?( , ?) 6 6 6

3 ? y ? ( , 2] 2
20.(本小题满分 13 分) (1) f ?(1) ? 0 ? b ? ?4 (2) f ?( x) ? 2 x ? (3) f ( ) ?

b 1 ? 0 或 f ?( x) ? 0 在 (?1,??) 恒成立,得 b ? x ?1 2

1 k

1 1 1 ? ln(1 ? ) ? 3 2 k k k
3 2 3

构建函数 h( x) ? f ( x) ? x ? x ? ln( 1 ? x) ? x

h?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ?
? h( x) 在 [0,??) ?

1 ? 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ? ?0 x ?1 x ?1

又 h(0) ? 0,? h( x) ? h(0) ? 0 即 x ? ln(x ? 1) ? x
2 3

x?

1 1 1 ?0? f( )? 3 k k k

n 1 1 1 1 ? ? f ( ) ? 1? 3 ? 3 ??? 3 k 2 3 n k ?1

第 6 页 共 7 页

故所证成立。 21.(本小题满分 14 分) (1) ?

? f ?(0) ? 0 ?a ? ?3 ?? ? f (0) ? 3 ?b ? 3

(2) f ?( x) ? e x ( x 2 ? x) ? 0

? (??,0), (1,??)

f ( x) ↗

(0,1)↓

又 f (?2) ?

13 ? f (1) ? e e2 13 成立 e2

? t ? ?2 时, f (t ) ?
x 2

(3) h( x) ? e ( x ? 2x ? 1)

x ? (1,??)

h?( x) ? e x ( x 2 ? 2x ? 1) ? e x (2x ? 2) ? e x ( x 2 ? 1) ? 0
h( x) 在 (1,??) ↗
设存在 [m, n]

m 2 ? 1 1 ?e (m ? 1) ? m ? m? ? m ?2 则? n 2 m e ? ?e (n ? 1) ? n

构建 ? ( x) ? x ? 又 ? ?( x) ?

1 1 ? ? 2 在 (1,??) 存在两个零点。 x ex

m2 ?1 1 ? m ?0 m2 e

? ? ( x) ↗ ?? (1) ? 0

? (3) ? 0

∴存在(1,3)之内只有一个实数根 因此不存在如题所述的“保值区间” 。

第 7 页 共 7 页


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