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高中数学 第十一章 第3讲 二项式定理


第3讲

二项式定理

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2011· 陕西卷改编)(4x-2 x)6(x∈R)展开式中的常数项是________. 解析 Tr+1=Cr (22x)6-r(-2-x)r=

(-1)rCr · x)12-3r,r=4 时,12-3r=0,故第 6 6 (2 5 项是常数项,T5=(-1)4C4=15. 6 答案 15 2? ? 2.若二项式 ? x- x? n 的展开式中第 5 项是常数项,则正整数 n 的值可能为 ? ? ________.
n 3r n-3r ? 2? 解析 Tr+1=Cr ( x)n-r?-x?r=(-2)rCr x 2 ,当 r=4 时, 2 =0,又 n∈N*, n n ? ?




∴n=12. 答案 12 ? x 2? 3.(2011· 天津改编)在? 2 - ?6 的二项展开式中,x2 的系数为________. x? ? ? x 2? 解析 在? 2 - ?6 的展开式中,第 r+1 项为 x? ? ? x? ? 2 ? ?1? Tr+1=Cr ? ?6-r?- ?r=Cr ?2?6-rx3-r(-2)r, 6 6 ? ? x? ?2? ? 3 1?1? 当 r=1 时为含 x2 的项,其系数是 C6?2?5(-2)=-8. ? ? 3 答案 -8 ? a? 4.已知?x-x?8 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项 ? ? 系数的和是________.
4 解析 由题意知 C4· 2,令 x=1,得展开式各项系数 8 (-a) =1 120,解得 a=±

和为(1-a)8=1 或 38. 答案 1 或 38

1? ? 5.设?5x- ?n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N x? ? =240,则展开式中 x 的系数为________. 解析 由已知条件 4n-2n=240,解得 n=4,
3r ? 1? Tr+1=Cr (5x)4-r?- ?r=(-1)r54-rCr x4- 2 , 4 4 x? ?

3r 令 4- 2 =1,得 r=2,T3=150x. 答案 150 6.已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)的 值等于________. 解析 已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 令 x=1,则 0=a0+a1+a2+a3+a4+a5, 令 x=-1,则 25=a0-a1+a2-a3+a4-a5. ∴a0+a2+a4=-(a1+a3+a5)=16. 则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256. 答案 -256 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) ?1 ? 7.已知?2+2x?n, ? ? (1)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式 中二项式系数最大项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项. 解 (1)∵C4+C6=2C5,∴n2-21n+98=0.∴n=7 或 n=14,当 n=7 时,展 n n n 开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5. 35 ?1? ?1? ∴T4 的系数为 C3?2?423= 2 ,T5 的系数为 C4?2?324=70,当 n=14 时,展开式 7 7 ? ? ? ? ?1? 中二项式系数最大的项是 T8.∴T8 的系数为 C7 ?2?727=3 432. 14 ? ? (2)∵C0+C1+C2=79,∴n2+n-156=0. n n n ∴n=12 或 n=-13(舍去).设 Tk+1 项的系数最大, ?1 ? ?1? ∵?2+2x?12=?2?12(1+4x)12, ? ? ? ?

k k k-1 k-1 ?C124 ≥C12 4 , ∴? k k k+1 k+1 ?C124 ≥C12 4 .

∴9.4≤k≤10.4,

∴k=10.∴展开式中系数最大的项为 T11, ?1? T11=C10·2?2·10·10=16 896x10. 2 x 12 ? ? ? 8.在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两 数之和. (1)试用组合数表示这个一般规律; (2)在数表中试求第 n 行(含第 n 行)之前所有数之和; (3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是 3∶ 4∶5,并证明你的结论. 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 1 1 6 1 5 15 1 4 10 20 1 3 6 1 2 3 4 10 15 1 1 1 1 1 5 6 1 1

解 (1)Cr +1=Cr +Cr-1. n n n (2)1+2+22+…+2n=2n+1-1. (3)设 Cr-1∶Cr ∶Cr+1=3∶4∶5, n n n Cr-1 3 r 3 n 由 Cr =4,得 = , n-r+1 4 n 即 3n-7r+3=0, 由 r+1 4 Cr 4 n = , r+1= ,得 5 Cn n-r 5 ② ①

即 4n-9r-5=0 解①②联立方程组得,n=62,r=27, 即 C26∶C27∶C28=3∶4∶5. 62 62 62

分层训练 B 级

创新能力提升

1 ? ? ?2- ?6 的展开式中的第四项是________. 1.(2010· 四川卷)? 3 ? x? ? 1 ? ? ? 1 ? ?2- ?6 的展开式中第 4 项为 T =C323·- ?3=-160. ? 解析 ? 3+1 6 3 ? ? 3 ? x x? x? ? ? 160 答案 - x 2.(2011· 安徽卷)设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,则 a10+a11=________. 解析 Tr+1=Cr x21 r(-1)r=(-1)rCr x21 r, 21 21 由题意知 a10,a11 分别是含 x10 和 x11 项的系数,所以 a10=-C11,a11=C10, 21 21 ∴a10+a11=C10-C11=0. 21 21 答案 0 a? ? 3.(2011· 浙江卷)设二项式?x- ?6(a>0)的展开式中 x3 的系数为 A,常数项为 x? ? B.若 B=4A,则 a 的值是________. 解析 对于 Tr+1=Cr x6-r? 6 ? ?-a? 3 1 ?r=Cr (-a)rx6- r, 6 2 x ? ? 2?
- -

B=C4(-a)4,A=C2(-a)2.∵B=4A,a>0,∴a=2. 6 6 答案 2 1? ? a?? 4.(2011· 新课标全国卷改编)?x+x??2x-x?5 的展开式中各项系数的和为 2,则该 ? ?? ? 展开式中常数项为________. 1? ? ? 1? 解析 令 x=1, 由已知条件 1+a=2, a=1.?2x- x?5=C0(2x)5+C1(2x)4?- x? 则 5 5 ? ? ? ? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? 3 ? +C2(2x)3?- x?2+C5(2x)2·- x?3+C4(2x)?-x?4+?-x?5 5 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 =32x5-80x3+80x-40 x+10x3-x5,则常数项为 40. 答案 40 5.(2012· 天一中学,淮阴中学,海门中学调研)把所有正整数按上小下大,左小 右大的原则排成如图所示的数表,其中第 i 行共有 2i-1 个正整数,设 aij(i,j

∈N*)表示位于这个数表中从上往下数第 i 行,从左往右数第 j 个数. (1)求 a69 的值; (2)用 i,j 表示 aij;
3 (3)记 An=a11+a22+a33+…+ann(n∈N*),求证:当 n≥4 时,An>n2+Cn.

1 2 4 8 9 10 … (1)解 (2)解 a69=25+(9-1)=40. ∵数表中前(i-1)行共有 1+2+22+…+2i-2=(2i-1-1)个数,则第 i 11 … 5 … 3 6 12 7 13 … 14 … 15

行的第一个数是 2i-1, ∴aij=2i-1+j-1. (3)证明 ∵aij=2i-1+j-1,则 ann=2n-1+n-1(n∈N*),

∴An=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)] n?n-1? =2n-1+ 2 , n?n-1? 0 n?n-1? 1 2 3 3 当 n≥4 时,An=(1+1)n-1+ 2 >Cn+Cn+Cn+Cn-1+ 2 =n2+Cn. 6.(2012· 苏锡常镇调研)从函数角度看,组合数 Cr 可看成是以 r 为自变量的函数 n f(r),其定义域是{r|r∈N,r≤n}. (1)证明:f(r)= n-r+1 f(r-1); r

(2)利用(1)的结论,证明:当 n 为偶数时,(a+b)n 的展开式中最中间一项的二 项式系数最大. 证明 (1)∵f(r)=Cr = n
r 又∵f(r-1)=Cn-1=

n! , r!?n-r?!

n! , ?r-1?!?n-r+1?!



n-r+1 n-r+1 n! f(r-1)= r r ?r-1?!?n-r+1?!



n! . r!?n-r?! n-r+1 r f(r-1)成立.

则 f(r)=

(2)设 n=2k, ∵f(r)= n-r+1 r f(r-1),f(r-1)>0,

2k-r+1 f?r? ∴ = . r f?r-1? 令 f(r)≥f(r-1),∴ 2k-r+1 ≥1. r

1 则 r≤k+2(等号不成立). ∴r=1,2,…,k 时,f(r)>f(r-1)成立. 反之,当 r=k+1,k+2,…,2k 时,f(r)<f(r-1)成立. ∴f(k)=Ck 最大. 2k 即(a+b)n 的展开式中最中间一项的二项式系数最大. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计· 高考总复习》光盘中内容.


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