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2016年高考(1354)吉林省实验中学2016届高三上学期第四次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


吉林省实验中学 2016 届高三年级第四次模拟考试 数学(理科)学科试卷 考试时间:120 分钟 试卷满分: 150 分

本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 、第Ⅱ卷(非选择题)两部分,

第I卷 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中 ,只 有一项是符合题目要求的) 1. 设 P={x|x<1},Q={x|x <4},则 P∩Q=( A.{x|-1<x<2} C.{x|1<x<4} 2. 已知复数 z 满足 z ? A.第一象限 B.{x|-3<x<-1} D.{x|-2<x<1}
2

)

(3 ? i)2 ,则复数 z 所对应的点所在象限为 (i 为虚数单位) 1? i
B. 第二象限 C. 第三象限





D.第四象限

3. 若向量 a,b 满足:(a-b)?(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,则 a 与 b 的夹角为(



A. 30

?

B. 60

?

C. 120

?

D. 150

?

4. “a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

5. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数. 当 x≥0 时, f(x)=2 +2x+b(b 为常数), 则 f(-1)=( A.3 B.1 C.-1 D.-3 )

x

)

4 6. 已知 sinα = ,tan(α +β )=1,且 α 是第二象限的角,那么 tanβ 的值是( 5 A. 4 3 4 B.- 3 C.7
2

D.-7

7. 一物体运动时速度与时间的关系为 v(t)=t -t+2,物体做直线运动,则此物体在时间内 的位移为( )

A.

17 6

14 B. 3

C.
2

13 6
n-1

11 D. 6 ),?的前 n 项和为 Sn,则 Sn 的值为( D.2
n+1

8. 设数列 1,(1+2),?,(1+2+2 +?+2 A.2
n

)

B.2 -n

n

C.2

n+1

-n

-n-2

x-y+1≤0, ? ? 9. 若实数 x、y 满足?x>0, ? ?y≤2,
A.(0,2) 数,a∈R. B.(0,2]

则 的取值范围是(

y x

)

C.(2,+∞)

lnx D. ,g(x)= ,其中 e 是自然常

x

(1)讨论 a=1 时,f(x)的单调性、极值; 1 (2)求证:在(1)的条件下,|f(x)|>g(x)+ ; 2 (3)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理 由.

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,联结 AE,BE.证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF =AD?BC.
2

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知圆锥曲线 C:? 左、右焦点。 (Ⅰ)以原点 O 为极点, 以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 求直线 AF2 的极坐标方程; (Ⅱ)经过点 F1 , 且与直线 AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M、 N 两点, 求 || MF1 | ? | NF1 || 的值.

? x ? 2 cos? ? y ? 3 sin ?

(? 为参数)和定点 A(0, 3 ) , F1 , F2 是此圆锥曲线的

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (1)解不等式|x-1|+|x-4|≥5. (2)求函数 y=|x-1|+|x-4|+x -4x 的最小值.
2

2016 届高三毕业班第四次模拟考试 数学(理)答案 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中 ,只 有一项是符合题目要求的) 1 D 2 A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 A 8 D 9 D 10 C 11 B 12 A

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、

7 4

14、9

15、??

16、 ? ?

? ? ?

5 2? ?2 5 ? ,? ? ?? ?3, 3 ? ? 3 3? ? ? ?

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解 :

f(

?

2 2

?

2

?

1 1 ? sin 2 x ,?? x) 2 2

?

4

?3 分 ( I ) 函 数

f ( x)













T?


2? ?? 2
2 ) 当

?????????5 分

x ?[

?
2

0



,



]

g ( x) ?


1 1 ? f ( x) ? sin 2 x 2 2
x ? [?

?????????6 分 时 ,

?

g ( x) ? g ( x ?


?
2

)?

1 ? 1 sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x ??????8 分 2 2 2

2

, 0]

(x ?

?
2

?

?
2

)

x ? [?? , ? ) 时 , 2 1 1 g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x ??????10 分 2 2
函 数

?

(x ? ? ?

?
2

)



g ( x)



[?? , 0]













? ? 1 ? sin 2 x(? ? x ? 0) ? ? 2 2 g ( x) ? ? 。 ? 1 sin 2 x(?? ? x ? ? ) ? ? 2 2

?????????12 分

18.(本小题满分 12 分) 解析: 1 (1) 由 题 意 得 , 甲 、 乙 在 三 小 时 以 上 且 不 超 过 四 小 时 还 车 的 概 率 分 别 为 , 4

1 .???????2 分 4 1 1 1 1 1 1 记 甲 、 乙 两 人 所 付 的 租 车 费 用 相 同 为 事 件 A , 则 P(A) = ? + ? + ? = 4 2 2 4 4 4 5 . 16 ????????5 分

5 答:甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 . 16 (2)ξ 0,2,4,6,8. 可 能 取 的 值 ????????6 分 有

P(ξ =0)= ? = ; P(ξ =2)= ? + ? = ; P(ξ =4)= ? + ? + ? = ; P(ξ =6)= ? + ? = ; P(ξ
1 16 甲、乙两人所付的租车费用之和 ξ 的分布列为 ξ 0 1 8 2 5 16 4 5 16 6 3 16 8 1 16 .??????? ?10 分 所 以 = 8) = 1 4 ? 1 4 = 1 1 1 1 2 4 4 4 3 16 1 1 1 1 2 4 4 2 1 1 4 4 5 16 1 1 1 1 4 4 2 2 5 16

1 1 1 4 2 8

.????????8 分

P





0?

1 8



2?

5 16



4?

5 16



6?

3 16



8?

1 16



7 . 2

.????????12 分

19. (本小题满分 12 分) 解析 (1)证明:在△BAD 中,∵AB=2AD=2,∠BAD=60°,∴由余弦定理可得 BD= 3. .?2 分 ∴AB =AD +BD ,∴AD⊥BD. 分 又在直平行六面体中,GD⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,∴GD⊥BD 又 AD∩GD=D,∴BD⊥平面 ADG. 分 (2)以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz. ..???????4 分 .????????6
2 2 2

.?????3

.?????? ??7 分

∵∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2, 则有 A(1,0,0),B(0, 3,0),G(0,0,1),E(0, 3,2),C(-1, 3,0). ∴

AE





(



1



3



2)





AG



(



1,0,1). 设平面 AEFG 的法向量为 n=(x,y,z), → ? ?n?AE=-x+ 3y+2z=0 故有? ?n?→ AG=-x+z=0 ? 1)..?????10 分 → 而平面 ABCD 的一个法向量为DG=(0,0,1), → DG?n 21 → ∴cos〈DG,n〉= = . → 7 |DG||n| 故 平 面

.????????8 分

,令 x=1,得 y=-

3 3 , z = 1.n = (1 , - , 3 3

AEFG

与 平 面

ABCD

所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为

21 7

..????????12 分

20.(本小题满分 12 分) 解析 (1) 因 为 AB∥l , 且 AB 边 通 过 点 (0,0) , 所 以 AB 所 在 直 线 的 方 程 为 y =

x, .??????1 分
设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 由 ±1, 所 2 2. 又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离, 所 2. (2)设 AB 所在直线的方程为 y=x+m.
?x +3y =4, ? 由? ?y=x+m. ?
2 2

?x +3y =4, ? ? ? ?y=x.

2

2



x
.??????2 分





|AB|



2

|x1



x2|



.??????3 分



h



2



S△ABC



1 2

|AB|?h



.??????5 分

得 4x +6mx+3m -4=0.

2

2

因为 A,B 在椭圆上, 所 4 3 . 3 以 Δ = - 12m
2



64



0







4 3 3



m



.??????6 分

设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 3m 3m -4 则 x1+x2=- ,x1x2= , 2 4 所 32-6m . 2
2 2



|AB|



2

|x1



x2|



.??????8 分

|2-m| 又因为 BC 的长等于点(0,m)到直线 l 的距离,即|BC|= . 2

所 以 |AC| = |AB| + |BC| = - m - 2m + 10 = - (m + 1) + 11( - 4 3 ). 3 .??????10 分

2

2

2

2

2

4 3 <m< 3

所以当 m=-1 时,AC 边最长. 此 1. 时

AB







线









y



x



.??????12 分

21. (本小题满分 12 分) 1 x-1 解析 (1)当 a=1 时,f(x)=x-lnx,f′(x)=1- = ,

x

x

∴当 0<x<1 时, f′(x)<0, 此时 f(x)单调递减; 分 当 增. ∴f(x) 1. 的 极 1 <

.??????1

x≤e





f′(x)



0







f(x)







.??????2 分 小 值 为

f(1)



.??????3 分

(2)证明:∵f(x)的极小值为 1,即 f(x)在(0,e]内的最小值为 1,∴f(x)>0,|f(x)|min= 1..???4 分 1 lnx 1 1-lnx 令 h(x)=g(x)+ = + ,h′(x)= , 2 x 2 x2 当 增. ∴h(x)max |f(x)|min, ∴ 1 . 2 在 (1) 的 条 件 = 0 < x < e 时 , h′(x) > 0 , h(x) 在 (0 , e] 内 单 调 递 .??????5 分

h(e)



1 e



1 2



1 2



1 2



1



.??????6 分 下 , |f(x)| >

g(x)



.??????7 分

1 ax-1 (3)假设存在实数 a,使 f(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值 3,f′(x)=a- = .

x

x

4 ①当 a≤0 时,f(x)在(0,e]内单调递减,f(x)min=f(e)=ae-1=3,a= (舍去),此时 f(x) e 无最小值;.?9 分

1 1 1 ②当 0< <e 时,f(x)在(0, )内单调递减,在( ,e]内单调递增,

a

a

a

f(x)min
件;



f(

1

a

)



1



lna



3



a



e

2









.??????10 分

1 4 ③当 ≥e 时,f(x)在(0,e]内单调递减,f(x)min=f(e)=ae-1=3,a= (舍去),此时 f(x) a e 无最小值..?? 11 分 综 上 , 存 在 实 数 3.

a = e2 , 使 得 当
.??????12 分

x∈(0 , e] 时

f(x) 有 最 小 值

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 证明:(1)由直线 CD 与⊙O 相切,得∠CEB=∠EAB. 由 π . 2 又 π , 2 从而∠FEB=∠EAB. 故 ∠CEB. 分 (2)由 BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE 是公共边, 得 BF. 类 AF.
2

AB

为 ⊙O

的 直 径 , 得

AE⊥EB , 从 而 ∠EAB + ∠EBF =

.??????2 分 EF⊥AB , 得 ∠FEB + ∠EBF =

.??????4 分

∠FEB

= .??????5

Rt



BCE



Rt



BFE







BC



.??????7 分 似 可 证 , Rt △ ADE ≌ Rt △ AFE , 得 AD =

.??????9 分

又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB,故 EF =AF?BF, 所 AD?BC. 分 以 EF
2

= .??????10

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 23. (Ⅰ)C:

x2 y2 ? ? 1 ,轨迹为椭圆,其焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 4 3

k AF2 ? ? 3

AF2 : y ? ? 3( x ? 1)

即 AF2 : ? sin ? ? ? 3 cos? ? 3 即 ? sin(? ?

?
3

)?

3 2

????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ) k AF2 ? ? 3 ,

? l ? AF2 ,? l 的斜率为

3 ? ,倾斜角为 30 , 3

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 所以 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ?y ? 1 t ? 2 ?
代入椭圆 C 的方程中,得:

13t 2 ? 12 3t ? 36 ? 0
因为 M、N 在 F1 的异侧

|| MF1 | ? | NF1 ||?| t1 ? t2 |?

12 3 13

????10 分

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

1.解:(1)当 x<1 时,1-x+4-x≥5,得 x≤0,此时 x≤0; 当 1≤x≤4 时,x-1+4-x≥5,得 3≥5,此时 x∈?; 当 x>4 时,x-1+x-4≥5,得 x≥5,此时 x≥5.

综上所述,原不等式的解集是(-∞,0]∪[5,+∞). (2)因为|x-1|+|x-4|≥|(x-1)-(x-4)|=3, 当且仅当 1≤x≤4 时取等号; x -4x=(x-2) -4≥-4,当且仅当 x=2 时取等号. 故|x-1|+|x-4|+x -4x≥3-4=-1,当 x=2 时取等号. 所以 y=|x-1|+|x-4|+x -4x 的最小值为-1.
2 2 2 2

????5 分

????10 分


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