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六校教研协作体2013届高二联考理科数学试题


深圳二高

阳春一中

肇庆一中

桂城中学

真光中学

珠海二中

六校教研协作体 2013 届高二联考理科数学试卷
命题人:桂城中学 雷 波
2012 年 5 月 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.



一、选择题 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 50 分.
1. i 为虚数单位,则复数 i ? (1 ? i) 的虚部为( (A) i (B) ?i ) (C) 1 (D) ? 1

2.已知双曲线

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则此双曲线的离心率为( 2 a b 4
(B)



(A)

7 4

4 3

(C) )

5 3

(D)

5 4

3.已知 p : x ? 2 , q : 0 ? x ? 2 ,则 p 是 q 的(

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4.下列命题中正确的是 ( )

(A)如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线互相平行 (B)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 (C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面 (D)如果两条直线都垂直于同一平面,那么这两条直线共面 y 5.己知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,其导数 f ?( x) 的图象如图所示,
3 2

则函数 f ( x ) 的极小值是( (A) a ? b ? c (C) 3a ? 2b

) (B) 8a ? 4b ? c (D) c O 1
第 5 题图

2

x

6.已知圆 C 与直线 x ? y ? 0 和 x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 ,则圆 C 的方程为 ( )
2

(A) ( x ?1)2 ? ? y ?1? ? 2 (C) ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

(B) ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 (D) ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

理科数学

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7.从 4 台甲型和 5 台乙型手机中任意取出 3 台,其中至少要有甲型与乙型手机各一台,则不同的取 法有( ) (B)120 种 (C)70 种 (D)210 种

(A)140 种

8.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整

1 ( n ? 2) ,每 n 1 1 1 1 1 1 个数是它下一行左右相邻两数的和,如 ? ? , ? ? , 1 2 2 2 3 6 1 1 1 ) ? ? ,?,则第7行第4个数(从左往右数)为( 3 4 12 1 1 (A) (B) 140 105 1 1 (C) (D) 42 60
数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为

二、填空题 本大题共 6 小题, 每小题 5 分,满分 30 分.
9.若复数 z1 ? 1 ? 2i , z2 ? i ,则 z1 ? z2 =
2 10.若命题 p : ?x ? R , 2 x ? 1 ? 0 ,则 ?p 为

. .

11. ( x ?

2 5 ) 的二项展开式中 x 2 的系数是 x
x

. (用数字作答)
y

12.

? (e
0

1

? 2 x)dx 等于


A
O

B
F
x

13.已知 ?FAB ,点 F 的坐标为 (1, 0) ,点 A 、 B 分别在图中抛物 线 y2 ? 4x 及圆 ( x ?1)2 ? y2 ? 4 的实线部分上运动,且 AB 总是平 行于 x 轴,那么 ?FAB 的周长的取值范围为 14.无限循环小数可以化为有理数,如 0.1 ? 请你归纳出 0.017 ?
??
?



第 13 题

?? ? ? 1 13 15 , 0.13 ? , 0.015 ? ,?. 9 99 999

(表示成最简分数

m , n, m ? N ? ) . n

理科数学

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三、解答题 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
15. (本题满分 12)已知函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x 在 x ? 1 处有极值 (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

1 . 2

2 16. (本题满分 12)如图,已知曲线 C1 : y ? x ? 1与 x 轴相交于 A 、 B 两点,与 y 轴相交于点 C ,

圆 C 2 经过 A 、 B 、 C 三点. (Ⅰ)求圆 C 2 的方程; (Ⅱ)过点 P(0, m)(m ? ?1) 的直线 l1 与圆 C 2 相切, 试探讨 l1 与 C1 的位置关系.

17. (本题满分 14) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, AB ? 1, AC ? AA1 ? 3 ,?ABC ? 60 . 1
?

(Ⅰ)证明: AB ? AC ; 1 (Ⅱ)求二面角 A ? AC ? B 的余弦值. 1

理科数学

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18. (本题满分 14)某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元( x ? 6 ) ,年销量为 u 万件,且

u ? ?k ( x ?

21 2 585 , k 为常数.已知售价为 10 元时,年销量为 28 万件. ) ? 4 8

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)列出年销售利润 y 关于 x 的函数关系式,试确定售价为多少时,年利润最大?并求出最大 年利润.

19. (本题满分 14)已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0,1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(Ⅱ) A, B 为椭圆 C 的左右顶点,点 P 是椭圆 C 上异于 A, B 的动点,直线 AP, BP 分别交直线

l : x ? 2 2 于 E , F 两点.
证明:以线段 EF 为直径的圆恒过 x 轴上的定点.

20. (本题满分 14)已知函数 f ? x ? ? ?

1 3 a 2 x ? x ? 2x ? a ? R ? . 3 2

(Ⅰ )当 a ? 3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若对于任意 x ? ?1, ?? ? 都有 f ?( x) ? 2(a ? 1) 成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若过点 ? 0, ? ? 可作函数 y ? f ? x ? 图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.

? ?

1? 3?

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六校教研协作体 2013 届高二联考理科数学试卷
参考答案 一、选择题 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 D 6 B 7 C 8 A

二、填空题 本大题共 6 小题, 每小题 5 分,满分 30 分.
9. 2

2 2 10. x ?R , x ? 1 ? 0 ?

11. 40

12. e

(4, 13. 6)

14.

17 990

三、解答题 本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
15.解析: (Ⅰ)∵ f ?( x) ? 2ax ?

1 b ,函数在 x ? 1 处有极值 ,------------------------2 分 2 x
1 ? ?a ? 解得 ? 2 . ----------------5 分 ?b ? ? 1 ?
------------------------7 分 ------------------------8 分 ------------------------10 分 ------------------------12 分

? f ?(1) ? 0 ? 2a ? b ? 0 ? ? ∴? , -----------4 分 1 ,即 ? 1 ? f (1) ? 2 ?a ? 2 ? ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

1 2 x ? ln x , x ? 0 , 2 1 ( x ? 1)( x ?1) ∴ f ?( x) ? x ? ? , x x
由 f ?( x) ? 0 得, x ? 1 ;由 f ?( x) ? 0 得, 0 ? x ? 1 ; ∴函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ?? ) 上单调递增.

, 16.解析: (Ⅰ)由题可得 A( ?1, 0) 、 B(1 0) 、 C (0, ?1) ,则 OA ? OB ? OC ,
因此圆 C 2 为以原点为圆心, 1 为半径的圆 且圆 C 2 的方程为 x2 ? y2 ? 1 . -----------------------4 分 (Ⅱ)依题意,直线 l1 斜率存在,可设其直线方程为 y ? kx ? m , -----------------------5 分 因为直线 l1 与圆 C 2 相切,所以

m k ?1
2

? 1,即 k 2 ? m 2 ? 1, -----------------------7 分

联立 l1 与 C1 的方程 ?

? y ? kx ? m ? y ? x ?1
2

2 ,可得 x ? kx ? m ? 1 ? 0 , -----------------------9 分

2 2 因此 ? ? k ? 4m ? 4 ? m ? 4m ? 3

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共 11 页

当 ? ? 0 ,即 ?1 ? m ? ?3 时,直线 l1 与 C1 没有公共点; 当 ? ? 0 ,即 m ? ?3 时,直线 l1 与 C1 有且只有一个公共点; 当 ? ? 0 ,即 m ? ?3 时,直线 l1 与 C1 有两个公共点.

-----------------------10 分 -----------------------11 分 -----------------------12 分

17.解析: (Ⅰ)∵三棱柱 ABC ? A B1C1 为直三棱柱, ∴ AA ? 底面 ABC , 1 1 又 AB ? 底面 ABC ,∴ AA1 ? AB , (直接得到扣 1 分)
?

-----------------------------2 分

在 ?ABC 中, AB ? 1, AC ? 3 , ?ABC ? 60 ,

由正弦定理得 sin ?ACB ?

AB ? sin ?ABC ? AC

1?

3 2 ? 1 ,故 ?ACB ? 30? , 2 3
--------------------------------4 分

∴ ?BAC ? 90 ,即 AB ? AC .
?

又 AC ? AA ? A ,∴ AB ? 平面ACC1 A , 1 1 又 AC ? 平面 ACC1 A ,∴ AB ? AC .-----------------------6 分 1 1 1 (Ⅱ)法 1:如图,作 AD ? AC 交 A1C 于点 D ,连结 BD . 1 由(Ⅰ)知, AB ? AC ,又 AB ? AD ? A , 1 ∴ AC ? 平面 ABD ,又 BD ? 平面 ABD , 1 ∴ BD ? AC ,----------------------9 分 1 ∴ ?ADB 为二面角 A ? AC1 ? B 的平面角, 在 Rt?AAC 中, AD ? 1 --------------------------------10 分

AA1 ? AC 3? 3 6 ? ? , A1C 2 6

在 Rt?BAD 中, tan ?ADB ?

AB 6 , ? AD 3

∴ cos ?ADB ?

15 15 ,即二面角 A ? AC1 ? B 的余弦值为 .--------------------------------14 分 5 5

法 2: (Ⅰ)∵三棱柱 ABC ? A B1C1 为直三棱柱, 1 ∴ AA ? AB , AA ? AC , 1 1
理科数学 第6页 共 11 页

在 ?ABC 中, AB ? 1, AC ? 3 , ?ABC ? 60 ,
?

由正弦定理 ?ACB ? 30 ,
0

∴ ?BAC ? 90 ,即 AB ? AC .
?

如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (0, 3, 0) , A1 (0, 0, 3) , ∴ AB ? (1, 0, 0) , A1C ? (0, 3, ? 3) , ∴ AB ? AC ? 1? 0 ? 0 ? 3 ? 0 ? (? 3) ? 0 , 1 ∴ AB ? AC .--------------------------------6 分 1 (Ⅱ)如图,可取 m ? AB ? (1, 0, 0) 为平面 AAC 的法向量, 1 设平面 A BC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 1 则 BC ? n ? 0 , AC ? n ? 0 ,又 BC ? (?1, 3, 0) , 1 ∴?

??? ?

????

??? ???? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

?? x ? 3 y ? 0 ? ? 3 y ? 3z ? 0 ?

,∴ ?

?x ? 3y ? , ?z ? y ?
--------------------------------11 分

不妨取 y ? 1 ,则 n ? ( 3,1,1) ,

cos ? m, n ??

m?n 3 ?1 ? 1? 0 ? 1? 0 15 , ------------------------13 分 ? ? | m |?| n| 5 ( 3)2 ? 12 ? 12 ? 12 ? 02 ? 02
15 . 5
--------------------------------14 分

∴二面角 A ? AC1 ? B 的余弦值为

18.解析: (Ⅰ)由题意知,当 x ? 10 时, u ? 28 ,

21 2 585 ,解得 k ? 2 , ------------4 分 ) ? 4 8 21 2 585 (Ⅱ)年销售利润 y ? ( x ? 6) ? u ? ( x ? 6) ? [?2( x ? ) ? ] , x ? (6, ??) .------------6 分 4 8
∴28 ? ?k (10 ?

? (x ? 6) ? (?2x2 ? 21x ?18) , (没有定义域扣 1 分)
∴ y? ? ?2x2 ? 21x ?18 ? ( x ? 6)(?4x ? 21) -------------------------8 分

? ? (x2 ?1 1 ? 1 8 ) ? x ( ? x ) (, x 9 ) ??) 6 x ? 6 2 ? ? (6,

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令 y ? ? 0 得, x1 ? 2 (舍去)或 x2 ? 9 , 当 x ? (6,9) 时, y ? ? 0 ;当 x ? (9, ??) 时, y ? ? 0 ;

-------------------------10 分 -------------------------12 分

因此, x ? 9 是利润函数的极大值点,也是最大值点.故 ymax ? 135 万元. 所以当售价为 9 元时,最大年利润为 135 万元. 19.解析: )由题意可知, b ? 1,而 (Ⅰ 解得 a ? 2 , -------------------------14 分

c 3 2 2 2 ,且 a ? b ? c . ? a 2
y P B A O M F D N x l

x2 ? y 2 ? 1 .-------------------------6 分 所以,椭圆的方程为 4
(Ⅱ)法 1:由题可得 A(?2,0), B(2,0) .设 P( x0 , y0 ) ,

E

y0 直线 AP 的方程为 y ? ( x ? 2) , x0 ? 2
令 x ? 2 2 ,则 y ?

? (2 2 ? 2) y0 ? (2 2 ? 2) y0 ,即 E ? 2 2, ? ; -------------------------8 分 ? x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ?

直线 BP 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) , x0 ? 2

令 x ? 2 2 ,则 y ?

? (2 2 ? 2) y0 ? (2 2 ? 2) y0 ,即 F ? 2 2, ? ; -------------------------10 分 ? x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ?
2

以线段 EF 为直径的圆为 ( x ? 2 2) ? ? y ?

? ?

(2 2 ? 2) y0 ? ? (2 2 ? 2) y0 ? ???y ? ? ?0, x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 ?

2 令 y ? 0 ,得 ( x ? 2 2) ?

2 (2 2 ? 2)(2 2 ? 2) y0 ?0, 2 x0 ? 4

2 4 y0 ∴ ( x ? 2 2) ? , 2 4 ? x0 2



2 x0 2 2 2 ? y0 ? 1 ,即 4 y0 ? 4 ? x0 , 4

2 ∴ ( x ? 2 2) ? 1 ,∴ x ? 2 2 ? 1 或 x ? 2 2 ?1 .

所以以线段 EF 为直径的圆必过 x 轴上的定点 (2 2 ? 1, 0) 或 (2 2 ? 1, 0) .----------------14 分 法 2:由题可得 A(?2,0), B(2,0) .设 P( x0 , y0 ) , E (2 2, yE ) , F (2 2, yF ) .

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直线 AP 的方程为 y ?

(2 2 ? 2) y0 y0 ; ( x ? 2) ,令 x ? 2 2 ,则 yE ? x0 ? 2 x0 ? 2 (2 2 ? 2) y0 y0 ; ( x ? 2) ,令 x ? 2 2 ,则 yF ? x0 ? 2 x0 ? 2

直线 BP 的方程为 y ?

∴以线段 EF 为直径的圆的圆心为 (2 2, 则圆的方程为: ( x ? 2 2) ? ( y ?
2

y E ? yF | y ? yF | ,----------------9 分 ) ,半径 r ? E 2 2

yE ? yF 2 | yE ? yF |2 ) ? , 2 4
----------------11 分

2 令 y ? 0 ,得 ( x ? 2 2) ? ? yE ? yF ,

2 (2 2 ? 2) y0 (2 2 ? 2) y0 4 y0 ? ? 2 又因为 yE ? yF ? , x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4
2 x0 2 2 2 ? y0 ? 1 ,即 4 y0 ? 4 ? x0 ,∴ yE ? yF ? ?1, 4



2 ∴ ( x ? 2 2) ? 1 ,∴ x ? 2 2 ? 1 或 x ? 2 2 ?1 .

所以以线段 EF 为直径的圆必过 x 轴上的定点 (2 2 ? 1, 0) 或 (2 2 ? 1, 0) . 20.解析: (Ⅰ)当 a ? 3 时, f ? x ? ? ?
2

-------------14 分

1 3 3 2 x ? x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ? x2 ? 3x ? 2 . 3 2
-------------------------2 分

因为 f ' ? x ? ? ? x ? 3x ? 2 ? ? ? x ? 1?? x ? 2 ? , 所以当 1 ? x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 当 x ? 1或 x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减.

所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, 2 ? ,单调递减区间为 ? ??,1? 和 ? 2, ?? ? . ----------4 分 (Ⅱ )方法 1:由 f ? x ? ? ?

1 3 a 2 x ? x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ? x2 ? ax ? 2 , 3 2

因为对于任意 x ? ?1, ?? ? 都有 f '( x) ? 2(a ? 1) 成立, 即对于任意 x ? ?1, ?? ? 都有 ?x2 ? ax ? 2 ? 2(a ?1) 成立,
2 即对于任意 x ? ?1, ?? ? 都有 x ? ax ? 2a ? 0 成立,

-------------------------6 分

令 h ? x ? ? x ? ax ? 2a ,要使对任意 x ? ?1, ?? ? 都有 h ? x ? ? 0 成立,
2

理科数学

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?a 2 ? 8a ? 0, ?? ? 0, ? ? ?a ?a 2 必须满足 ? ? 0 或 ? ? 1, ,即 a ? 8a ? 0 或 ? ? 1, ?2 ?2 ?1 ? a ? 0. ?h ?1? ? 0. ? ?
所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,8 ? . 方法 2:由 f ? x ? ? ? -------------------------9 分

1 3 a 2 x ? x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ? x2 ? ax ? 2 , 3 2

因为对于任意 x ? ?1, ?? ? 都有 f '( x) ? 2(a ? 1) 成立, 所以问题转化为,对于任意 x ? ?1, ?? ? 都有 ? f '( x)?max ? 2(a ? 1) . -------------------------6 分

a ? a2 a ? ? 2 ,其图象开口向下,对称轴为 x ? . 因为 f ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? 2? 4 2 ?
①当

2

a ? 1 时,即 a ? 2 时, f ' ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, 2

所以 f ' ? x ?max ? f ' ?1? ? a ? 3 ,由 a ? 3 ? 2 ? a ? 1? ,得 a ? ?1 ,此时 ?1 ? a ? 2 . ②当

a ? a? ?a ? ? 1 时,即 a ? 2 时, f ' ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增,在 ? , ?? ? 上单调递减, 2 ? 2? ?2 ?
a ?a? a ? f ' ? ? ? ? 2 ,由 ? 2 ? 2 ? a ? 1? ,得 0 ? a ? 8 ,此时 2 ? a ? 8 . 4 ?2? 4
2
2

所以 f ' ? x ?max

综上①②可得,实数 a 的取值范围为 ? ?1,8 ? . (Ⅲ)设点 P ? t , ? t ?
3

-------------------------9 分

? ?

1 3

a 2 ? t ? 2t ? 是函数 y ? f ? x ? 图象上的切点, 2 ?
2

则过点 P 的切线的斜率为 k ? f ' ? t ? ? ?t ? at ? 2 , 所以过点 P 的切线方程为 y ? t 3 ? 因为点 ? 0, ? ? 在切线上, 所以 ? ? t ?
3

1 3

a 2 t ? 2t ? ? ?t 2 ? at ? 2? ? x ? t ? . 2

? ?

1? 3?

1 1 3 3
? ?

a 2 2 1 1 t ? 2t ? ? ?t 2 ? at ? 2? ? 0 ? t ? ,即 t 3 ? at 2 ? ? 0 . 2 3 2 3

若过点 ? 0, ? ? 可作函数 y ? f ? x ? 图象的三条不同切线,

1? 3?

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第 10 页 共 11 页

2 3 1 2 1 -------------------------12 分 t ? at ? ? 0 有三个不同的实数解. 3 2 3 2 1 1 令 g ? t ? ? t 3 ? at 2 ? ,则函数 y ? g ? t ? 与 t 轴有三个不同的交点. 3 2 3 a 2 令 g ? ? t ? ? 2t ? at ? 0 ,解得 t ? 0 或 t ? . 2
则方程 因为 g ? 0 ? ?

1 3 1 1 ?a? , g? ? ? ? a ? , 24 3 3 ?2?

所以必须 g ?

1 3 1 ?a? ? ? ? a ? ? 0 ,即 a ? 2 . 24 3 ?2?
-------------------------14 分

所以实数 a 的取值范围为 ? 2, ?? ? .

理科数学

第 11 页

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