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正弦定理(课堂使用)


第一章 解三角形

1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 . 高悬 ,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢?

(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?
B

A

我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 题的有力工具.

1.1.1 正弦定理 2.定理的推导
回忆一下直角三角形的边角关系?
a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗?
B c a

A
b C

a b ? ?c sin A sin B
sin C ? 1

a b c ? ? sin A sin B sin C

思考: 对一般的三角形,这个结论还能成立吗?

1.1.1 正弦定理
(1)当 ?ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢? C 如图:作AB上的高是CD,由 E 三角函数的定义,得到 b a CD ? a sin B, CD ? b sin A A 所以 a sin B ? b sin A B D a b c
得到

b c 同理, 作AE ? BC .有 ? sin B sin C a b c ? ? ? sin A sin B sin C

sin A

?

sin B

(2)当 ?ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C

作CD ? AB交AB的延长线于点D

b
c
A

a CD ? sin A, 即CD ? b sin A b B D CD ? sin ?180 ? B ? ? sin B, 即CD ? a sin B a a b ? b sin A ? a sin B 即 ? sin A sin B
a c 同理: ? sin A sin C
a b c ? ? ? sin A sin B sin C

1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所 对角的正弦的比相等,即
a b c   ? ? sin A sin B sin C

定理结构特征: 含三角形的三边及三内角

一般地,把三角形的三个角A,B,C和它 们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已 知三角形的几个元素求其他元素的过程叫 解三角形

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
可以解决三角形中两类的问题: ① 已知两角和一边,求其他角和边 ② 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他的边和角

3.定理的应用举例

a b c ? ? sin A sin B sin C
,

0 0 ? ABC 例1 在 中, 已知 A ? 30 , B ? 135 , a ? 2

解三角形. 已知两个内角和任何一边,解三角形 变式:若将a=2 改为c=2,结果如何?

练习一 在△ABC中
(1) 已知 c ? 10, A ? 45 , C ? 30 ,求 a, b ;

10 2 ,5( 6 ? 2 )
(2)已知 c ? 3, A ? 45 , B ? 60,求 b ;3( 6 ? 2)

2
(3)已知b ? 12, A ? 30 , B ? 120,求 a .

4 3

例2、已知a=16, b= 16 3, A=30°,解三角形 已知两边和其中一边的对角,解三角形
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B
b sin A 16 3 sin 30 ? 3 ? ? 得 sin B ? a 16 2
16 3
300

C
16 16

所以B=60°,或B=120° 当 B=60°时
C=90°

A

B

8 3

B

c ? 32 .
a sin C c? ? 16 . sin A

当B=120°时 C=30°

练习二

1、?ABC中,b ? 3, B ? 60 , c ? 1, 求a和A, C
0

C ? 30? , A ? 90?, a ? 2
(1)在?ABC中,已知 A ? 450 , a ? 2, b ? 2, 求B
B=300 10 3 0 (2)在?ABC中,已知A ? 60 , a ? 4, b ? , 求B 3 无解

1.1.1 正弦定理

小结:
? 一个定理 ? 两个应用

a b c ? ? sin A sin B sin C

(1) 已知两角及任意一边,可以求出其他两边 和另一角; (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解) ? 一个思想:有特殊到一般的探究问题的思想.

小组合作探求: 阅读课本P8《解三角形的进一步讨论》, 发现多解的奥秘!

(1)在?ABC中,由sin A的值讨论A, 有两个角或一个角,所以解不唯一。 (2)已知a、b及A作三角形,其解的情况如下: ①A为锐角时
②A为直角或钝角时

a
b

C a
bsinA

C a b A a=bsinA
bsinA

A

B

a<bsinA 无解

一解 C

C
a

b A

b

a B 一解

bsinA

B2 B1 bsinA< a < b 两解

A

a?b

C b

a

C b

a

A a<b 无解 C b

B

A a=b a 无解

B

A a>b

B

一解

练习三:

判断 ?ABC 解的个数:

?1? a ? 5, b ? 4, A ? 120 ,求B;

一解 一解 无解 两解

? 2? a ? 5, b ? 4, A ? 90 ,求B;
10 3 , A ? 90 ,求B; ? 3? a ? 5, b ? 3

(4)a ? 20, b ? 28, A ? 30?, 求B.

a b c ? ? ? 2R 例3 求证: sin A sin B sin C
(2R为△ABC外接圆直径)

' 证明: 作外接圆O, 过B作直径BC ,

B
a O C

' ? ? ?BAC ? 90 ?, ?C ? ?C

连AC '

c ? sin C ? sin C ? 2R c ? ? 2R sin C
'

c b

A

a b 同理 ? 2 R, ? 2R sin A sin B a b c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C

C/

A

A C O b B` B b =2R sinB

A

B

O B`

b

C
B

O

b

C

a b c = = =2R. sinA sinB sinC

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
由公式得: 作用:可实现边角之间的互化,

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
公式变形: ① a : b : c ? sin


A : sin B : sin C

A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B a b c a?b?c ? ? ? ? 2R ③ sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

练习
(1)在?ABC中,一定成立的等式是(C )

A. a sinA ? b sinB

B. a cos A ? b cos B


D. a cos B ? b cos A a b c ? ? (2)在 ?ABC 中,若 A B C cos cos cos 2 2 2


C. a sinB ? b sinA

?ABC 是( D )

A.等腰三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形

D.等边三角形

1.1.1 正弦定理

小结:
? 一个定理 ? 两个应用

a b c ? ? sin A sin B sin C

(1) 已知两角及任意一边,可以求出其他两边 和另一角; (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解) ? 一个思想:有特殊到一般的探究问题的思想.


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