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【名师解析】河南省天一大联考2015届高三阶段测试(一)数学文试题 Word版含解析


河南省开封高级中学等 22 校 2015 届高三天一大联考(一) 文科数学试卷
【试卷综析】试题遵循了考查基础知识和基本技能为主体的原则,着重体现了对“双基”的 考查。试卷考查了中学数学尤其是考试说明中的大部分知识点,选择题、填空题着重考查了 集合、复数、函数的定义域、图象、单调性、初等函数、三角函数、不等式、程序框图、立 体几何、排列组合、圆锥曲线、统计初步等常规知识

点;解答题也着眼于常规的基本知识和 基本技能的考查,考查了三角函数和解三角形、概率统计、立体几何等考生感觉熟悉、容易 入手的内容,梯度设计合理。整份试卷中大部分是基础题目,这些题目的设计回归教材和中 学教学实际,以自然但不俗套的形式呈现,既保证了高考试题的创新性,又让考生能以一种 平和的心态面对试题,在有限的时间内尽力发挥出自己的最佳水平,保证了考生的“基础得 分” ,从而保证了考试较高的信度和效度。 一、选择题:本大题共 12 小题每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合 题目要求的. 【题文】(1)已知集合 A= x ?3 ? x ? 3 , B ? x x ? x ? 4 ? ? 0 , 则 A

?

?

?

?

B=

A? 0,4?

B ? ?3 , 4 ?

C ?0 , 3 ?

D ?3 , 4 ?

【知识点】集合运算. A1 【答案解析】B 解析:

A ? ? ?3,3? , B ? ? 0,4? ,? A B ? ? ?3,4? ,故选 B.

【思路点拨】化简两已知集合,再利用数轴求它们的并集. 【题文】(2)已知复数 z ?

5i ,则 z 对应的点在 1 ? 2i
D 第四象限

A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 【知识点】复数运算;复数的几何意义. L4 【答案解析】C 解析: z ?

5i ?1 ? 2i ? 5i ?1 ? 2i ? 5i ? ? ? ?2 ? i ,则 z ? ?2 ? i 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 5

所以 z 对应的点在第三象限,故选 C. 【思路点拨】将已知复数分母实数化得 z ? ?2 ? i ,所以 z ? ?2 ? i ,所以 z 对应的点在第 三象限., 【题文】 (3)下列叙述中正确的是 A 命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”
2 2

B“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件
2

C 命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D 命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题

【知识点】四种命题及关系;充分、必要条件;含量词的命题的否定. A2 【答案解析】D
2

A3
2

解析:对于 A:命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则

2 x ? 1 ”所以 A 不正确;对于 B: “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的充分不必要条件,所

以 B 不正确;对于 C:命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ” , 所以 C 不正确;只有 D 是正确的,故选 D. 【思路点拨】根据四种命题及关系;充分、必要条件;含量词的命题的否定,确定各选项的 正误. 【题文】 (4)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A8 B14 C12 D9

【知识点】几何体的三视图. 【答案解析】C

G2

解析:由三视图知此几何体是四棱柱,其高为 2,底面是上底 2、下底 4、

高为 2 的等腰梯形,所以该几何体的体积 V ?

1 ? 2 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 12 ,故选 C. 2

【思路点拨】由三视图知此几何体是四棱柱,其高为 2,底面是上底 2、下底 4、高为 2 的 等腰梯形,所以该几何体的体积 V ?

1 ? 2 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 12 . 2

x2 ? y 2 ? 1的焦点到渐近线的距离为 【题文】(5)双曲线 m
A 2 B 3 C1 D

1 2
H2 H6

【知识点】双曲线及其几何性质;点到直线的距离. 【答案解析】C 解析:焦点 F

?

m ? 1 , 0 到 渐 近 线 x ? my ? 0 的 距 离

?

d?

m ?1 ? 0 1?

? m?

2

? 1,故选 C.

【思路点拨】求得焦点坐标及渐近线方程,利用点到直线的距离公式求得距离.

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 【题文】 (6)设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 则目标函数 z ? 2 x ? 3 y ? 1的最大值 ?x ? 0 ?
为 A9 B10 C8 D6

【知识点】线性规划问题. 【答案解析】B

E5

解析:画出可行域,平移直线 y ? ?

2 x ,可得最优解为两直线 3

x ? y ? 2 ? 0, x ? 2 y ? 5 ? 0 的 交 点 A(3 , 1), 目 标 函 数 z ? 2 x ? 3 y ? 1 的 最 大 值 为 :
2 ? 3 ? 3 ?1 ? 1 ? 10 故选 B.
【思路点拨】画出可行域,利用平移法确定最优解,进而求得目标函数的最大值. 【题文】 (7)执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 值是 6,那么输出 p 的值是 A15 B105 C120 D720

【知识点】程序框图的应用. 【答案解析】 B

L1

解析: 依据程序框图得: 循环过程依次为①k=3,p=3②k=5,p=15③k=7,p=105

此时不满足 k ? N 了,所以输出 p=105,故选 B. 【思路点拨】依据程序框图得每次循环的结果,从而确定输出结果.

【题文】(8)已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? x ?1? ? f ? x ? ,当 0 ? x ?

1 时, 2

? 5? f ? x ? ? 4x ,则 f ? ? ? = ? 4?
A? 2 B?

2 2

C ?1

D

2 2

【知识点】函数的奇偶性与周期性. 【答案解析】A 故选 A.

B4

1 ? 5? ?5? ?1 ? ?1? 解析: f ? ? ? ? ? f ? ? ? ? f ? ? 1? ? ? f ? ? = ?4 4 ? ? 2 , ? 4? ?4? ?4 ? ?4?

【思路点拨】利用函数的奇偶性与周期性化简求值. 【题文】 (9)已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是 ( ) A.两个函数的图像均关于点 ? ?

? ? ? , 0 ? 成中心对称 ? 4 ?

B. ①的图像的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的 2 倍,再向右平移 C.两个函数在区间 ? ?

? 个单位即得②的图像 4

? ? ?? , ? 上都是单调递增函数 ? 4 4?

D.两个函数的最小正周期相同 【知识点】三角函数的化简;三角函数对称中心;三角函数的单调区间;三角函数的图像的 移动.C3,C4. 【答案解析】C 解析:解:由题可知 y ? sin x ? cos x ?

?? ? 2 sin ? x ? ? ;① 4? ?

? ? ? y ? 2 2 sin x cos x ? 2 sin 2x ,②,由函数的性质可知 ? ? , 0 ? 为①的对称中心,不是 ? 4 ?
②的对称中心,①的图像的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的 2 倍,再向右平移

? 个单位 4

?? ? y ? 2 sin ? 2 x ? ? 的图像,与②不同,①的周期为 2? ,②的周期为 ? .所以只有 C 为正 4? ?
确选项. 【思路点拨】根据三角函数的性质进行求解.

, a4 【题文】 (10)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 a1 ?? 3 1 ?
A10 B11 C12 【知识点】等差数列. D2 【答案解析】D 由 S k ? ka1 ? D13

3 , S ?? 2 k 1 2

, 则正整数 k ?

解析:由 a1 ? ?3, a14 ? a1 ? 13d ? ?3 ? 13d ?

9 3 得: d ? , 26 2

1 1 9 k ? k ? 1? d ? ?3k ? k ? k ? 1? =-12 得,k=13.故选 D. 2 2 26

【思路点拨】利用等差数列的通项公式、前 n 项和公式求得结果.
2 【题文】 (11)如图所示,直线 y ? m 与抛物线 y 2 ? 8x 交与点 A,与圆 ? x ? 2 ? ? y ? 16 的 2

实线部分交于点 B,F 为抛物线的焦点,则 ? ABF 的周长的取值范围是 A(6,8) B(4,6) C(8,12) D(8,10)

【知识点】直线与圆;直线与抛物线. 【答案解析】C

H4

H8

? m2 ? 解析:易得 A ? , m ? , B 2 ? 16 ? m2 ,所以 ? ABF 的周长= ? 8 ?

?

?

? m2 ? ? m2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 16 ? m ? ? ? ? ? ? 4 ? 16 ? m ? 8 ? m ? ? ?4, 0 ? 8 ? ? 8 ? ?
? ABF 的周长的取值范围是(8,10),故选 D.

? 0, 4 ? ? ,所以

【思路点拨】根据题设求得 A、B 用 m 表示的坐标,从而得 ? ABF 的周长

? 16 ? m2 ? 8 ? m ? ? ?4, 0 ?

? 0, 4 ? ? ,所以 ? ABF 的周长的取值范围是(8,10).

x 2 【题文】(12)已知 f ? x ? ? x ? e ,方程 f ? x ? ? tf ? x ? ? 1 ? 0 ?t ? R ? 有四个实数根,则 t

的取值范围为 A?

? e2 ? 1 ? , ?? ? ? e ?

B ? ??, ?

? ?

e2 ? 1 ? ? e ?
B9
x

C??

? e2 ? 1 ? , ?2 ? e ? ?

D ? 2,

? ?

e2 ? 1 ? ? e ?

【知识点】函数与方程. 【答案解析】B

解析:设 h ? x ? ? xe , 则由 h? ? x ? ? ? x ? 1? e ? 0 得 x ? ?1 ,可判断函数
x

1 h ? x ? 在 x ? ?1 处有最小值 ? ,且 x>0 时 h ? x ? >0, x<0 时 h ? x ? <0, h ? x ? 的图像以 x 轴为 e

渐近线,因为 f ? x ? ? h ? x ? ,所以 f ? x ? 的图像大致为: 所以方程 f 2 ? x ? ? tf ? x ? ? 1 ? 0 ?t ? R ? 有四个实数根,则 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 与 ? , ?? ? 各取一个值,令 m ? h ? x ? , q ? m? ? m2 ? tm ? 1,因为 q ? 0? ? 1 ? 0 ,所以只需 q ? ? ? 0

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

?1? ?e?

e2 ? 1 ?1? ?1? 即 ? ? ? t ? ? ? 1 ? 0 解得 t ? ? ,故选 B. e ?e? ?e?
【思路点拨】根据 f ? x ? 的图像分析得方程 f 2 ? x ? ? tf ? x ? ? 1 ? 0 ?t ? R ? 有四个实数根 的条件是: f ? x ? 在区间 ? 0, ? 与 ? , ?? ? 各取一个值,为此 令 m ? h ? x ? , q ? m? ? m2 ? tm ? 1,因为 q ? 0? ? 1 ? 0 ,所以只需 q ? ? ? 0

2

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

?1? ?e?

e2 ? 1 ?1? ?1? 即 ? ? ? t ? ? ? 1 ? 0 解得 t ? ? . e ?e? ?e?

2

第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13---21 题为必考题,每个试题 考生都必需作答,第 22---24 题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 【题文】(13)平行四边形 ABCD 中, AB ? ?1,0 ? , AC ? ? 2, 2 ? ,则 AD ? BD ? ----------. 【知识点】向量的线性运算. 【答案解析】4 F1 F3 .

解析:因为 AB ? ?1,0 ? , AC ? ? 2, 2 ? ,且四边形 ABCD 是平行四边形,所

以 AD ? BC ? AC ? AB ? ?1, 2? , BD ? AD ? AB ? ? 0, 2 ? ,所以 AD ? BD ?

?1,2? ? ? 0,2? ? 4 .
【思路点拨】利用向量的线性运算及坐标运算求得向量 AD, BD 的坐标,再求它们的数量积. 【题文】(14)从集合 ??2, ?1,1? 中随机选取一个数记为 k,从集合 ??1,1,3? 中人随机选取一 个数记为 b,则直线 y ? kx ? b 不经过第四象限的概率为------------.

【知识点】古典概型. 【答案解析】

K2

2 9

解析:有序实数组(k,b)的所有结果是(-2,-1) 、 (-2,1) (-2,3) 、

(-1,-1) 、 (-1,1) 、 (-1,3) 、 (1,-1) 、 (1,1) 、 (1,3)共 9 个,其中不经过第四象限的有(1, 1) 、 (1,3)两个,所以直线 y ? kx ? b 不经过第四象限的概率为:

2 9

【思路点拨】写出所有基本事件,及事件“直线 y ? kx ? b 不经过第四象限”包含的基本事 件,从而求得所求概率. 【题文】(15)已知正四棱棱锥 P-ABCD 的底面边长和高都为 2,O 是底面 ABCD 的中心, 以 O 为球心的球与四棱锥 P-ABCD 的各个侧面都相切,则球 O 的表面积为---------. 【知识点】几何体的结构. G1 【答案解析】

16? 5

解析:设 O 到平面 PAB 的距离为 h,由 VO ? PAB ?
2

1 2 VP ? ABCD ? 得 4 3

? 2 5 ? 16? 2 5 ,所以球 O 的表面积为 4? ? h? ? 5 ? ? ? 5 . 5 ? ?
【思路点拨】记 O 到平面 PAB 的距离为 h,由 VO ? PAB ?

1 2 VP ? ABCD ? 得 4 3

? 2 5 ? 16? 2 5 ,所以球 O 的表面积为 4? ? h? ? 5 ? ? ? 5 . 5 ? ?

2

?x n ? ?1? sin ? 2n, x ? ? 2n, 2n ? 1? ? ? ? 2 【题文】 (16)已知函数 f ? x ? ? ? ? n ? N ? ,则 ?? ?1?n ?1 sin ? x ? 2n ? 2, x ? ? 2n ? 1, 2n ? 2 ? ? ? 2
f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? f ? 4? ?
【知识点】函数及其表示.归纳法. 【答案解析】1008

? f ? 2013? ? f ? 2014? ? f ? 2015? ? ----------.
B1 M1

解析:由题设条件得: f ?1? ? 1, f ? 2? ? 2, f ?3? ? 3, f ? 4? ? 4,

由此归纳得 f ? n? ? n , 所以所求= ( f (1) ? f (2)) ? ( f (3) ? f (4)) ? = ?1007 ? 2015 ? 1008 . 【思路点拨】由已知函数得 f ? n? ? n ,再用并项求和求解. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 【题文】(17)(本小题满分 12 分)

? ( f (2013) ? f (2014)) ? f(2015)

在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b cos C ? ? 3a ? c ? cos B 。 (I)求 cos B 的值. (II)若 b ? 3 ,求 ABC 的面积. 【知识点】正弦定理;余弦定理;两角和与差的展开式.C5,C8 【答案解析】解析:解: (Ⅰ)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, 又 b cos C ? 3a cos B ? c cos B , n i c o B s 所以 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B , 即s

s n C i c ? o s C3 s n i B c o s

? A

B



所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 即 sin A ? 3sin A cos B ,又 sin A ? 0 , 所以 cos B ?

1 . 3

(Ⅱ)由 b ? 3 得, c ? 所以 S?ABC ?

7 3 2 , a ? 6 ,又因为 sin B ? 1 ? cos B ? , 4 2

1 3 ac sin B ? 7. 2 8

【思路点拨】由正弦定理与两角和与差的展开式进行计算;根据余弦定理求出边长. 【题文】 (18) (本小题满分 12 分) 某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河流上游六月份 的降雨量 X(单位:毫米)有关,据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增加 5, 现已知近 20 年的 X 值为 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200, 140,110,160,220,140,160. (Ⅰ)求频率分布表中 a,b,c 的值,并求近 20 年降雨量的中位数和平均数; 近 20 年六月份降雨量频率分布 降雨量 频率 70 110 a 140 160 b 200 220 c

1 20

1 5

3 20

(Ⅱ) 假定 2015 年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同, 并将频率视为 概率,求 2015 年六月份该水力发电站的发电量不低于 505 万千瓦时的概率. 【知识点】概率与统计. I5 K2

3 3 7 1 ,b ? , c ? , 中位数是 160,平均数是 156; (Ⅱ) . 5 20 20 10 3 7 2 1 ,b ? ,c ? ? ,?????????(2 分) 解析: (Ⅰ)由题意可得 a ? 20 20 20 10 中位数是 160 ,?????????????????????????(4 分) __ 1 (70 ? 110 ? 3 ? 140 ? 4 ? 160 ? 7 ? 200 ? 3 ? 220 ? 2) ? 156 .??(6 分) 平均数 X ? 20 1 (Ⅱ)由已知可设 Y ? X ? B ,因为当 X ? 70 时, Y ? 460 ,所以 B ? 425 , 2
【答案解析】 (Ⅰ) a ?

所以 Y ?

1 505 时, X … 160 ,??????????????(8 分) X ? 425 ,当 Y … 2

所以发电量不低于 505 万千瓦时包含降雨量 160, 200 和 220 三类,它们彼此互斥, ???????????????????????????????????? (10 分) 所以发电量不低于 505 万千瓦时的概率 P ?

7 3 2 3 ? ? ? .???????(12 分) 20 20 20 5

【思路点拨】 (Ⅰ)由频率、中位数、平均数的意义求结果; (Ⅱ)根据题意可设

Y?

1 1 X ? B ,因为当 X ? 70 时, Y ? 460 ,所以 B ? 425 ,所以 Y ? X ? 425 , 2 2

505 时, X … 160 , 当 Y… 所以发电量不低于 505 万千瓦时包含降雨量 160, 200 和 220 三类,
它们彼此互斥,所以发电量不低于 505 万千瓦时的概率 P ? 【题文】(19)(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC- A1B1C1 的侧棱 AA1 ? 底面 ABC, ?ACB ? 90 , E 是棱 CC1 的中点, F 是 AB 的中点,AC=BC=1, AA 1 ? 2 .(Ⅰ)求证;CF 平面 AB 1E ;

7 3 2 3 ? ? ? . 20 20 20 5

(Ⅱ)求三棱锥 C ? AB1E 在底面 AB1E 上的高. 【知识点】空间线面位置关系的判定与证明;空间距离的求法. G4 G11

【答案解析】 (Ⅰ)略; (Ⅱ)

3 3

解析: (Ⅰ)取 AB1 的中点 G ,连接 EG, FG ,

因为 F , G 分别是 AB, AB1 的中点,所以 FG∥BB1 , FG ?

1 BB1 , 2

因为 E 为侧棱 CC1 的中点,所以 FG∥EC , FG ? EC ,?????????(3 分) 所以四边形 FGEC 是平行四边形,则 CF∥EG , 因为 CF ? ? 平面 AB1 E , EG ? 平面 AB1 E ,所以 CF∥ 平面 AB1 E .?????(6 分)

(Ⅱ)因为三棱柱 ABC ? A 1 ? 底面 ABC ,所以 BB 1 ? 平面 ABC , 1B 1C1 的侧棱 AA 又 AC ? 平面 ABC ,所以 AC ? BB1 ,又 ?ACB ? 90? ,所以 AC ? BC , 因为 BB1 ? BC ? B ,所以 AC ? 平面 EB1C ,所以 AC ? B1C , 得 VA? EB1C ?

1 1 1 1 S?EB1C AC ? ? ( ?1?1) ?1 ? ,?????????????(10 分) 3 3 2 6

因为 AE ? EB1 ? 2, AB1 ? 6 ,所以 S?AB1E ? 因为 VC ? AB1E ? VA?EB1C , 所以三棱锥 C ? AB1E 在底面 AB1 E 上的高为

3 , 2

3VC ? AB1E S?AB1E

?

3 .???????(12 分) 3

【思路点拨】 (Ⅰ)在平面 AB1E 上求得直线与直线 CF 平行,为此取 AB1 的中点 G ,连接

EG, FG ,因为 F , G 分别是 AB, AB1 的中点,所以 FG∥BB1 , FG ?

1 BB1 ,因为 E 为侧棱 2

CC1 的中点,所以 FG∥EC , FG ? EC ,所以四边形 FGEC 是平行四边形,则 CF∥EG ,
因为 CF ? ? 平面 AB1 E , EG ? 平面 AB1 E ,所以 CF∥ 平面 AB1 E . (Ⅱ)利用等体积转化法,即由 VC ? AB1E ? VA?EB1C ,而 VA? EB1C 易求, ?AB1 E 面积可求,从 而求得三棱锥 C ? AB1E 在底面 AB1E 上的高. 【题文】 (20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ax ? bx ?1? a, b ? R ? .
x 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,若曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在 x ? 0 出有相同的切线,求 b 的值;

(Ⅱ)当 a=0 时,若 f ? x ? ? g ? x ? 对任意的 x ? R 恒成立,求 b 的取值范围. 【知识点】导数的应用. B11 B12

【答案解析】 (Ⅰ) 1; (Ⅱ){1}

1 , 解析: (Ⅰ) 因为 f ?( x) ? e x , 所以 f ?(0) ? 1 , 又 f (0) ?

得 y ? f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x ? 1 ,?????????????(2 分) 又因为 g ?( x) ? 2ax ? b ,所以 g ?(0) ? b ,又 g (0) ? 1 , 得 y ? g ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? bx ? 1 , 因为曲线 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x) 在 x ? 0 处有相同的切线,所以 b ? 1 .????(4 分)
x (Ⅱ)由 a ? 0 ,设 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? bx ?1 ,则 ? ?( x) ? e ? b ,

>0 ,函数 ? ( x) 在 R 上单调递增, (i)当 b? 0 时, ? ?( x) > g ( x) 矛盾,??(6 分) 又 ? (0) ? 0 ,所以当 x ? (??, 0) 时, ? ( x) ? 0 ,与函数 f ( x)…
(ii)当 b ? 0 时,由 ? ?( x) ? 0 ,得 x ? ln b ;由 ? ?( x) ? 0 ,得 x ? ln b , 所以函数 ? ( x) 在 (??,ln b) 上单调递减,在 (ln b, ??) 上单调递增,????(8 分)

g ( x) 矛盾; ①当 0 ? b ? 1 时, ln b ? 0 ,又 ? (0) ? 0 , ? (ln b) ? 0 ,与函数 f ( x)… g ( x) 矛盾; ②当 b ? 1 时,同理 ? (ln b) ? 0 ,与函数 f ( x)…
③当 b ? 1 时, ln b ? 0 ,所以函数 ? ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增,

? ( x)… ? (0) ? 0 ,故 b ? 1 满足题意.
综上所述, b 的取值的范围为 {1} .?????????????????(12 分) 【思路点拨】 (Ⅰ)分别求两曲线在点(0,1)处的切线方程,由它们是同一条直线的 b 值. (Ⅱ) 当 a=0 时, 设设 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e ? bx ?1 , 则命题为:? ? x ? ? 0 对任意 x ? R
x

恒成立,只需 ? ? x ? 的最小值大于或等于 0,利用导数法讨论 ? ? x ? 从而确定 b 的取值范围. 【题文】(21)(本小题满分 12 分) 定圆 M: x ? 3

?

?

2

? y 2 ? 16 ,动圆 N 过点 F

?

3, 0 且与圆 M 相切,记圆心 N 的轨迹为 E.

?

(I)求轨迹 E 的方程;

(II)设点 A,B,C在 E 上运动,A 与 B 关于原点对称,且 AC ? CB ,当 ABC 的面 积最小时,求直线 AB 的方程. 【知识点】椭圆的轨迹方程,直线与椭圆的位置关系.H5,H8 【答案解析】 解析: 解: (Ⅰ) 因为点 F (? 3?,?0?) 在圆 M : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 内, 所以圆 N 内切于圆 M . 因为 | NM | ? | NF |? 4 ?| FM | , 所以点 N 的轨迹 E 为椭圆, 且 2a ? 4, c ? 3 ,所以 b ? 1 ,

x2 ? y 2 ? 1. 所以轨迹 E 的方程为 4
(Ⅱ) (i) 当 AB 为长轴 (或短轴) 时, 依题意知, 点 C 就是椭圆的上下顶点 (或左右顶点) , 此时 S ?ABC ?

1 ? | OC | ? | AB |? 2 . 2

(ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k ,直线 AB 的方程为 y ? kx ,

? x2 4 4k 2 ? ? y 2 ? 1, 2 2 , y ? , 联立方程 ? 4 得 xA ? A 2 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k ? y ? kx, ?
2 2 所以 | OA | ? x A ? y A ?
2

4(1 ? k 2 ) . 1 ? 4k 2

由 | AC |?| CB | 知,△ ABC 为等腰三角形,O 为 AB 的中点,OC ? AB ,所以直线 OC 的

? x2 ? y 2 ? 1, ? 1 4k 2 4(1 ? k 2 ) 4 ?4 2 2 , yC 方程为 y ? ? x ,由 ? 解得 xC ? 2 , ? 2 , | OC |2 ? 2 k k ? 4 k ? 4 1 k ? 4 ? y ? ? x, ? k ?

S?ABC ? 2S?OAC ?| OA | ? | OC |?

4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) ? ? , 1 ? 4k 2 k2 ? 4 (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)

由于 (1 ? 4k )(k ? 4)?
2 2

8 (1 ? 4k 2 ) ? (k 2 ? 4) 5(1 ? k 2 ) ? ,所以 S ?ABC… , 5 2 2

2 2 当且仅当 1 ? 4k ? k ? 4 ,即 k ? ?1 时等号成立,此时△ ABC 面积的最小值是

8 .因为 5

8 8 2 ? ,所以△ ABC 面积的最小值为 ,此时直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ?x . 5 5
【思路点拨】根据定义求出椭圆方程,利用直线与椭圆的联立方程讨论面积. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

作答时请写清题号. 【题文】 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点,AD ? BC 于点 D,过点 B 作圆 O 的切线, 与 CA 的延长线交于点 E,点 G 是 AD 的中点,连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F,延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P.

(Ⅰ)求证:BF=EF; (Ⅱ)求证:PA 是圆 O 的切线. 【知识点】几何证明选讲. N1 【答案解析】 (Ⅰ)略; (Ⅱ)略. 解析: (Ⅰ)因为 BC 是圆 O 的直径, 所以 EB ? BC , 又因为 AD ? BC , BE 是圆 O 的切线, △DGC , △FEC ∽ △GAC , 所以 AD ∥ BE ,可知△BFC ∽

BF CF EF CF BF EF ? , ? ? ,所以 ,因为 G 是 AD 的中点,所以 DG ? AG , DG CG AG CG DG AG 所以 F 是 BE 的中点, BF ? EF . ????????????????(5 分) (Ⅱ)如图,连接 AO,AB ,因为 BC 是圆 O 的直径,所以 ?BAC ? 90° .
所以

在 Rt△BAE 中,由(Ⅰ)知 F 是斜边 BE 的中点, 所以 AF ? FB ? EF ,所以 ?FBA ? ?FAB . 又因为 OA ? OB ,所以 ?ABO ? ?BAO . 因为 BE 是圆 O 的切线,所以 ?EBO ? 90° . 因为 ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° , 所以 PA 是圆 O 的切线.??????????????????????(10 分) △DGC , △FEC ∽ △GAC , 【思路点拨】 (Ⅰ)易得 AD ∥ BE ,从而得△BFC ∽ 所以

BF CF EF CF BF EF ? , ? ? ,所以 ,因为 G 是 AD 的中点,所以 DG ? AG , DG CG AG CG DG AG

所以 F 是 BE 的中点, BF ? EF .(Ⅱ)即证 PA ? OA ,即证 ?BAO ? ?FAB ? 90 在 Rt△BAE 中,由(Ⅰ)知 F 是斜边 BE 的中点,所以 AF ? FB ? EF , 所以 ?FBA ? ?FAB .又因为 OA ? OB ,所以 ?ABO ? ?BAO .因为 BE 是圆 O 的切线,

所以 ?EBO ? 90° .因为 ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° 所以 PA 是圆 O 的切线. 【题文】 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,是过定点 P(4,2)且倾斜角为 ? 的直线;在极坐标系(以坐标原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,取相同长度单位)中,曲线 C 的极坐标方程为

? ? 4cos ? .
(Ⅰ)写出直线的参数方程,并将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C 与直线相交于不同两点 M、N,求 PM ? PN 的取值范围. 【知识点】极坐标与参数方程. 【答案解析】 (Ⅰ) ? N3

? x ? 4 ? t cos ? , (t 为参数, x2 ? y 2 ? 4 x ; (Ⅱ) 4, 4 2 ? ? ? y ? 2 ? t sin ?

?

解析: (Ⅰ)直线的参数方程为 ?

? x ? 4 ? t cos ? , (t 为参数.?????(2 分) ? y ? 2 ? t sin ?

2 2 2 因为 ? ? 4 cos ? ,所以 ? ? 4? cos? ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x .

?????????????????????????????????(4 分) (Ⅱ)将 ?

? x ? 4 ? t cos ? , 2 2 代入 C : x ? y ? 4 x 中,得 t 2 ? 4(sin ? ? cos ? )t ? 4 ? 0 ,则 ? y ? 2 ? t sin ?

?? ? 16(sin ? ? cos ? ) 2 ? 16 ? 0, ? 有 ? t1 ? t2 ? ?4(sin ? ? cos ? ), ????????????????(6 分) ? t t ? 4, ? 12
所以 sin ? cos ? ? 0 .又 ? ? [0, π) ,所以 ? ? ? 0,

? ?

π? ?, 2?

π? ? ??? (8 分) | PM | ? | PN |?| t1 | ? | t2 |? ?(t1 ? t2 ) ? 4(sin ? ? cos ? ) ? 4 2 sin ? ? ? ? , 4? ?
由? ?

π ? π 3π ? 2 π? ? ?? , ?得 ? sin ? ? ? ? ? 1 ,所以 | PM | ? | PN |? (4, 4 2] .?(10 分) 4 ?4 4 ? 2 4? ?

【思路点拨】 (Ⅰ)设直线上任一点 M,PM=t,则直线的参数方程为 ?

? x ? 4 ? t cos ? , (t 为参 ? y ? 2 ? t sin ?

数.(Ⅱ)把直线的参数方程代入圆的普通方程得 t 2 ? 4(sin ? ? cos ? )t ? 4 ? 0

?? ? 16(sin ? ? cos ? ) 2 ? 16 ? 0, ? 则有 ? t1 ? t2 ? ?4(sin ? ? cos ? ), ,所以 sin ? cos ? ? 0 . ? t t ? 4, ? 12
又 ? ? [0, π) ,所以 ? ? ? 0,

? ?

π? ? ,所以 2?

π? ? | PM | ? | PN |?| t1 | ? | t2 |? ?(t1 ? t2 ) ? 4(sin ? ? cos ? ) ? 4 2 sin ? ? ? ? , 4? ?
由? ?

π ? π 3π ? 2 π? ? ? ? , ? 得, ? sin ? ? ? ? ? 1 ,所以 | PM | ? | PN |? (4, 4 2] . 4 ?4 4 ? 2 4? ?

【题文】(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 2x ? a ? x ? 3 ? 2x ? 4 的解集为 A. (Ⅰ)若 a=1,求 A;(Ⅱ)若 A=R,求 a 的取值范围. 【知识点】含绝对值的不等式. N4

2} ; 【答案解析】 (Ⅰ) A ? {x | x? 0 或 x…

(Ⅱ) ? ??, ?2?

2 x ? 4 , 得 x? ? 3 ; 解析: (Ⅰ)当 x? ? 3 时,原不等式化为 ?3x ? 2…
当 ?3 ? x? 当x?

1 2 x ? 4 ,得 ?3 ? x? 0 ; 时,原不等式化为 4 ? x… 2

1 2, 2 x ? 4 ,得 x… 时,原不等式化为 3x ? 2… 2

2} .???????????????(5 分) 综上, A ? {x | x? 0 或 x…

0 2 x ? 4 成立,所以此时 a ? R . (Ⅱ)当 x? ? 2 时, | 2 x ? a | ? | x ? 3 | 厖 2 x ? 4 ,得 x…a ? 1 或 x? 当 x ? ?2 时, | 2 x ? a | ? | x ? 3 |?| 2 x ? a | ? x ? 3…
上恒成立,得 a? ? 2 . 综上, a 的取值范围为 ? ??, ?2? .?????????????(10 分) 【思路点拨】 (Ⅰ)分段讨论解不等式; (Ⅱ)通过对不等号右边式子的符号的讨论,确定实 数 a 的取值条件,最后求它们的交集即可.

a ?1 ,在 x>-2 3


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