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广东省梅州市2016届高三第二次模拟考试数学(文)试题 扫描版含答案


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一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 A 7 A 8 C 9 B 10 D 11 C 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)4. (

14)

x2 y2 ? ? 1. 16 9

(15) 20? .

(16) 5.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 解:(I)由正弦定理得

2sin C ? sin B a cos B sin A cos B ? ? sinB b cos A sin B cos A .

…………2 分

所以 2sin C cos A ? sin( A ? B) ? sin C . 因为 sin C ? 0 ,故 cos A ?

…………………………4 分

1 2.

………………………5 分

所以 A ?

π 3.

…………………………………6 分 …………………………………7 分

(II)由 sin C ? 2sin B ,得 c ? 2b .

π 由条件 a ? 3, A ? , 3
所以由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b2 ? c 2 ? bc ? 3b2 .
解得 b ? 3, c ? 2 3 .

………………………9 分 ……………………………12 分

(18)(本小题满分 12 分) 解:(I)甲乙两班数学样本成绩的中位数分别是 72,70; (II) x甲 =

…………2 分

90 ?1 ? 80 ? 4 ? 70 ? 6 ? 60 ? 6 ? 50 ? 2 ? 40 ?1 ? 90 ? 71 20 . 90 ? 2 ? 80 ? 3 ? 70 ? 5 ? 60 ? 5 ? 50 ? 3 ? 40 ? 2 ? 100 ? 70 ………4 分 20 .
25

x乙 =

∴甲乙两班数学样本成绩的平均值分别是 71 分、70 分. (III) 从 甲 、 乙 两 班 各 随 机 抽 取 1 个 成 绩 为 优 秀 的 样 本 的 基 本 事 件 有 个,(98,95),(98,93),(98,87),(98,87),(98,82),(86,87),…,(83,95), (83,93),(83,87)(83,87),(83,82)等, ………8 分 其中甲班的成绩大于乙班的成绩的基本事件有 9 个,即(98,95), (98,93), (98,87),(98,87),(98,82),(86,82),(86,82),(85,82)(83,82) 等. ……………10 分 故所求概率为 p ? (19)(本小题满分 12 分)

9 . 25

……………12 分

(I)证明:取 AC 的中点 O , A1O, BO.

因为?ABC 是等边三角形,所以 BO ? AC .

………………1 分

因为侧面 A1 ACC1 ? 底面 ABC ,侧面 A1 ACC1 ? 底面 ABC ? AC,

BO ? AC ,所以 BO ? 侧面 ACC1 A .

A1O ? 侧面 ACC1 A ,? BO ? A1O.
在 Rt?A1 BO 中, 因为 A1 B ? 6, BO ? 3 ,所以 A1O ? 3.

………………2 分

AA1 ? 2, AO ? 1, 所以 A1O 2 ? AO2 ? AA12 .
所以 ?A1 AO 为直角三角形,所以 A1O ? AC .…………3 分 又 BO ? AC , A1O ? BO ? O, 所以 AC ? 平面 A1 BO.

A1 B ? 平面 A1 BO, 所以 A1 B ? AC. …………4 分
因为四边形 ABB 1A 1 为菱形,所以 A 1 B ? AB 1. ………………5 分 因为 A1 B ? AC ? A, 所以 A1 B ? 平面 AB1C. ……6 分 (II) 由(I)知, A1O ? 底面 ABC, A1O ? 3. 所以三棱锥 A1 ? ABC 的体积为

V A1 ? ABC ?

1 1 1 3 S ?ABC ? A1O ? ? ? 4 ? ? 3 ? 1. 3 3 2 2
………………7 分

所以四棱锥 A1 ? BB1C1C 的体积为 2. 过 C1 作 C1 D ? AC 交 AC 的延长线于 D ,连 BD . 则 C1 D ? 底面 ABC, C1 D ? A1O ? 3. 在 Rt?C1 DC 中,得 CD ?

4 ? 3 ? 1.

………………8 分 …………9 分

在 ?BDC 中, BD2 ? 2 2 ? 12 ? 2 ? 2 ?1? cos120? ? 7,? BD ? 7. 在 Rt?BC1 D 中,得 BC1 ?

7 ? 3 ? 10.
10 ? 6. 4

………………10 分

菱形 BB1C1C 中,得 B1C ? 2 4 ?

所以菱形 BB1C1C 的面积为 15. 设所求为 h ,可得 ? 15 ? h ? 2, 解得 h ?

………………11 分

1 3

2 15 . 5

………………12 分

所以点 A1 到平面 BB1C1C 的距离为

2 15 . 5

(20)(本小题满分 12 分) 解:(I)设点 P ( x, y ) ,依题意可得

( x ? 1) 2 ? y 2 2 ? . | x?2| 2
整理得, x ? 2 y ? 2.
2 2

………………2 分

………………4 分

所以动点 P 的轨迹方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 2. (II)依题意,设直线 l 的方程为 x ? m y ?

2 . 3

………………5 分

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? 由? 2 . ?x ? m y ? 3 ?
得 (m 2 ? 2) y 2 ?

2 2 16 my? ? 0. ………① 3 9

………………6 分

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ), 则 y1 , y2 是方程①的两根,

? 2 2m , ? y1 ? y 2 ? ? 3(m 2 ? 2) ? 所以 ? , 16 ?y ? y ? ? . 1 2 ? 9( m 2 ? 2) ?
且 x1 ? m y1 ?

2 2 , x2 ? m y2 ? . 3 3

………………7 分

因为AM ? AN ? ( 2 ? x1 ,? y1 ) ? ( 2 ? x2 ,? y 2 )

………………8 分

?(

2 2 2 2 ? m y1 ,? y1 ) ? ( ? m y2 ,? y 2 ) 3 3

………………9 分

所以, AM ? AN . 所以点 A( 2 ,0) 在以 MN 为直径的圆上. (21)(本小题满分 12 分)
x x 解: (I)由 f ( x) ? e ? 2 x ? 2a, x ? R ,得 f ?( x) ? e ? 2, x ? R.

………………10 分 ………………11 分 ………………12 分

x 令 f ?( x) ? e ? 2 ? 0, ,得 x ? ln 2.

………………2 分

于是当 x 变化时, f ( x) 和 f ?( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(??, ln 2)
单调递减

ln 2
0

(ln 2,??)
+ 单调递增

2 ? 2 ln 2 ? 2a

故 f ( x) 的单调递减区间是 (??, ln 2) ,单调递增区间是 (ln 2,??) .…………5 分

在 x ? ln 2 处取得极小值,极小值为 f (ln 2) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2a.

………………6 分

(II)证明:设 g ( x) ? e ? x ? 2ax ?1, x ? R.
x 2

于是 g ?( x) ? e ? 2 x ? 2a, x ? R.
x

………………8 分

由(I)知,当 a ? ln 2 ? 1 时, g ?( x ) 取最小值为 g ?(ln 2) ? 2(1 ? ln 2 ? a). 于是对任意 x ? R ,都有 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 R 上单调递增.…………10 分 于是当 a ? ln 2 ? 1 时,对任意 x ? (0,??) ,都有 g ( x) ? g (0) ? 0.

从而对 x ? (0,??) 任意,都有 g ( x) ? 0, 即 e ? x ? 2ax ?1 ? 0,
x 2

故 e ? x ? 2ax ? 1.
x 2

………………12 分

(22)(本小题满分 10 分) 解: (1)连接 BE , OE . 则 BE ? EC , 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD .…………3 分

又 OE ? OB, OD ? OD ,所以 ?ODE ? ?ODB , 所以 ?OBD ? ?OED ? 90? 故 D, E, O, B 四点共圆. (2) 延长 DO 交圆于点 H , ………………5 分

因为DE 2 ? DM ? DH ? DM ( DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH
…………………8 分

1 1 ? DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB , 2 2 2 ? 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB, ……………10 分
(23)(本小题满分 10 分) 解:(I)依题意可得

2 cos(

?
4

?

?
4

) ? a,? a ? 2 .

……………………2 分

所以 l 的极坐标方程为 ? cos( ? ? 得 ?(

?
4

) ? 2.

2 2 cos? ? sin ? ) ? 2. 2 2
……………………4 分 ……………………5 分

即 ? cos? ? ? sin ? ? 2. 所以的直角坐标为 x ? y ? 2 ? 0. (II)将圆的方程化为一般式方程,得

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1.
圆心 C 到直线 l 的距离

……………………7 分

d?

|1? 0 ? 2 | 2

?

2 ? 1. 2

……………………9 分 ……………………10 分

所以直线 l 与 C 圆相交. (24)(本小题满分 10 分)

?5 ? 2 x ? x ? ?1? ? 解:(I)当 m ? 5 时, f ( x) ? ?3 ? ?1 ? x ? 1? , ? ?5 ? 2 x ? x ? 1?
由 f ( x) ? 2 得不等式的解集为 ? x ?

……………………3 分

? ?

3 3? ? x ? ?. 2 2?
2

……………………5 分

(II)由二次函数 y ? x ? 2x ? 3 ? ( x ? 1) ? 2 ,该函数在 x ? ?1 取得最小值 2,
2

?m ? 2 x ? x ? ?1? ? 因为 f ( x) ? ?m ? 2 ? ?1 ? x ? 1? ,在 x ? ?1 处取得最大值 m ? 2 , …………8 分 ? ?m ? 2 x ? x ? 1?
所以要使二次函数 y ? x ? 2x ? 3 与函数 y ? f ( x) 的图象恒有公共点,
2

只需 m ? 2 ? 2 ,即 m ? 4 .

……………10


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