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2015年龙岩市高中毕业班教学质量检查3月试卷数学(文科)(电子稿)


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟
注意事项: 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项” .
参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [(x1

? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

4 S ? 4?R 2 , V ? ?R 3 3
其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.如图,设全集 U ? R , M ? ?x | x ? 2? , N ? ?0,1, 2,3? , 则图中阴影部分所表示的集合是
U
N
M

(第 1 题图)

A. ?3?

B. ?0,1?

C. ?0,1, 2?

D. ?0,1,2,3?

2.若命题 p : ?x0 ? R,sin x0 ? 1 ;命题 q : ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ,则下列结论正确的是 A. ? p 为假命题 3.已知函数 f ( x) ? ? A. ?1 B. ? q 为假命题 C. p ? q 为假命题 D. p ? q 为真命题

?log 2 x ? 1( x ? 0) ,则 f (0) ? ? f (2 ? x)( x ? 0)
B. 0 C. 1 D. 3

4.某工厂对一批新产品的长度(单位: mm )进行检测,如图是检测结果的频率分 布直方图,据此 估计这批产品的中位数为 A. 20 B. 25 C. 22.5 D. 22.75 5.函数 y ? e
cos x
0.08 频率 组距

0.04 0.03 0.02 10 15 20 25 30 35 长度(mm)

(第 4 题图)

(?? ? x ? ? ) 的大致图象为

6.已知 A, B 是以 O 为圆心的单位圆上的动点,且 AB ? A. ?1 B. 1

2 ,则 OB ? AB ?
开始

2 C. ? 2

2 D. 2

S ?2 i ?0
是 否

7.如图所示的程序框图输出的结果是 S ? 14 , 则判断框内应填的条件是 A. i ? 7 ? C. i ? 15? B. i ? 15? D. i ? 31?
输出 S
结束

S ? S ?3 i ? 2i ?1

(第 7 题图)

8.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形, 则这个几何体的表面积是
3

3 A. 3
C. 3 ? 7

3 B. 2
D. 3 ? 7 ? 1

1

1 正视图

1 侧视图

俯视图 (第 8 题图)

?y ? x ? 9.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ,且目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 , ?x ? a ?
则实数 a 的值是 A. 1
XK]

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 8

10.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的渐近线与 a 2 b2

圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1相切,则双曲线的离心率为

A.

4 3

B.

3 2

C.

2 5 5

D.

2 3 3

11.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
4

) ( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示, ?EFG 是边长为 2 的
y E

等边三角形,为了得到 g ( x) ? A sin ? x 的图象,只需将 f ( x ) 的图象 A.向左平移 C.向左平移

1 个长度单位 2

B.向右平移 D.向右平移

1 个长度单位 2

? 个长度单位 4

? 个长度单位 4

O

F

G x

(第 11 题图)

E ,F 12.如图,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 4,点
D1
分别是线段 AB , C1 D1 上的动点,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内 一动点,且满足点 P 到点 F 的距离等于点 P 到平面 ABB1 A 1的

F
P

C1

A1

B1
D

距离,则当点 P 运动时, PE 的最小值是

C
B

A
A. 5 B. 4 C. 4 2 D. 2 5

E

(第 12 题图)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置上.) 13.已知 i 是虚数单位,复数

2i 的模为________ . 1? i

D A

E

14.如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上, 若在平行四边形 ABCD 内部随机取一 个点 Q , 则点 Q 取自 ?ABE 内部的概率是 _________ . 15.在 ?ABC 中,已知

C
B

(第 14 题图)

sin C ? 2 , b ? 2a ,那么 cos B 的值是 ___________. sin A

16.定义:分子为 1 且分母为正整数的分数叫做单位分数. 我们可以把 1 拆分为无穷多个不同的单

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ,1 ? ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? ,??依 2 5 6 12 20 2 3 6 2 4 6 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 此方法可得: 1 ? ? ? ,其中 2 6 12 m n 30 42 56 72 90 110 132 156
位分数之和. 例如: 1 ?

m, n ? N * ,则 m ? n ?

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 0 , S2 ? 4 ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)从数列 ?an ? 中依次取出第 2 项,第 4 项,第 8 项,??,第 2 项,??,按原来顺序
n

组成一个新数列 ?bn ? ,记该数列的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的表达式.

18. (本小题满分 12 分)

C 为底面圆周上异于 A, B 的任意一点. 如图,平面 ABB1 A 1 为圆柱 OO 1 的轴截面,点
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 A 1 AC ; (Ⅱ)若 D 为 AC 的中点,求证: A1D // 平面 O1BC .

A1

O1

B1

C

A

D

O

B

(第 18 题图)

19. (本小题满分 12 分) 某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试. 甲、乙两人参加了 5 次考试,成绩如下:
第一次 甲的成绩 乙的成绩 第二次 第三次 第四次 第五次

82

87

86

80

90

75

90

91

74

95

(Ⅰ)若从甲、乙两人中选出 1 人参加比赛,你认为选谁合适?写出你认为合适的人选并说 明理由; (Ⅱ)若同一次考试成绩之差的绝对值不超过 5 分,则称该次考试两人“水平相当”. 由上述

5 次摸底考试成绩统计,任意抽查两次摸底考试,求恰有一次摸底考试两人“水平相当” 的概率.

20. (本小题满分 12 分) 若函数 f ( x) ? sin ? x cos ? x ? 3 sin
2

?x ?

3 (? ? 0) 的图象与直线 y ? m(m 为常数)相 2

切,并且切点的横坐标依次构成公差为 ? 的等差数列. (Ⅰ)求 ? 及 m 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在 x ? ? ? 0, 2? ? 上所有零点的和.

21. (本小题满分 12 分)

y2 2 2 已知椭圆 C1 : 2 ? x ? 1(a ? 1) 与抛物线 C2 : x ? 4 y 有相同焦点 F 1. a
(Ⅰ)求椭圆 C1 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1 过椭圆 C1 的另一焦点 F2 ,且与抛物线 C2 相切于第一象限的点 A ,设平行 l1 的直线 l 交椭圆 C1 于 B, C 两点,当△ OBC 面积最大时,求直线 l 的方程.

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1-5 CABCC 6-10 BCDBD 11-12 AD

二、填空题(本大题 共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 2 14.

1 2

15.

1 4

16. 33

18. 【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系;考查学生的空 间想象能力及推理论证能力. 证明: (Ⅰ)

AB 为 O 的直径,点 C 为 O 上的任意一点
???????????????????????2 分

? BC ? AC

又圆柱 OO1 中, AA1 ? 底面 O

? AA1 ? BC ,即 BC ? AA1
而 AA1

??????????????????4 分

AC ? A
??????????????????6 分

? BC ? 平面 A1 AC

(Ⅱ) (法一)取 BC 中点 E ,连结 DE 、 O1E ,

D 为 AC 的中点

? ?ABC 中, DE // AB ,且 DE ?

1 AB 2 1 AB 又圆柱 OO1 中, AO 1O1 ? 1 1 // AB ,且 A 2

???????????8 分

? DE // AO 1 1 , DE ? AO 1 1 ? A1DEO1 为平行四边形 ? A1D // EO1
??????????????????10 分 ????????????????????11 分

而 A1D ? 平面 O1BC , EO1 ? 平面 O1BC

? A1D // 平面 O1BC

?????????????????12 分

A1

O1

B1

A1

O1

B1

C

A

D

E

O

B

A

C
D

O

B

(法一图) (Ⅱ)证明: (法二)连结 DO 、 AO 1 ,

(法二图)

D 为 AC 的中点, O 为 AB 的中点

? ?ABC 中, DO // BC

而 DO ? 平面 O1BC , BC ? 平面 O1BC

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

? DO // 平面 O1BC

??????????????????? 8 分

又圆柱 OO1 中, AO 1 1 // OB ,且 AO 1 1 ? OB

? AOBO 1 1 为平行四边形 ? AO 1 // BO 1
而 AO ? 平面 O1BC , BO1 ? 平面 O1BC 1

? AO 1 // 平面 O 1BC DO AO ?O 1

????????????????????10 分

? 平面 A1DO // 平面 O1BC
A1D ? 平面 A1DO ? A1D // 平面 O1BC
???????????????????12 分

19.【命题意图】本题主要考查 平均数,方差,概率等基础知识,运算数据处理能力、运 算求解 能力、应用意识,考查化归转化思想、或然与必然思想. 解: (Ⅰ)解法一: 依题意有 x甲 ?
[来源:学*科*网]

82 ? 87 ? 86 ? 80 ? 90 ? 85 5 75 ? 90 ? 91 ? 74 ? 95 x乙 ? ? 85 ?????????????????2 分 5 1 64 2 2 2 2 2 ? ? s甲2 ? ( 82 - 85) ? (87 - 85) ? (86 - 85) ? (80 - 85) ? (90 - 85) ? ??3 分 ? ? 5 5 1 382 2 2 2 2 2 ? ? s乙2 ? ( 75 - 85) ? (90 - 85) ? (91- 85) ? (74 - 85) ? (95 - 85) ? ?4 分 ? ? 5 5

答案一:

x甲 ? x乙 ? 85,s甲2 ? s乙2

? 从稳定性角度选甲合适. ????6 分

(注:按(Ⅱ)看分数的标准,5 次考试,甲三次与乙相当,两次优于乙,所以选甲合 适. ????6 分) 答案二:

x甲 ? x乙 ? 85,s甲2 ? s乙2 乙的成绩波动大,有爆发力,选乙合适.?6 分
1 ;?2 分 5

解法二:因为甲 5 次摸底考试成绩中只有 1 次 90 ,甲摸底考试成绩不低于 90 的概率为 乙 5 次摸底考试成绩中有 3 次不低于 90 ,乙摸底考试成绩不低于 90 的概率为 所以选乙合适.

3 .???5 分 5

???????????????????6 分

(Ⅱ)依题意知 5 次摸底考试, “水平相当”考试是第二次,第三次,第五次,记为 A, B, C . “水平不相当”考试是第一次,第四次,记为 a , b . 从这 5 次摸底考试中任意选取 2 次有 ab, aA, aB, aC, bA, bB, bC, AB, AC, BC 共 10 种情况. ?9 分 恰有一次摸底考试两人“ 水平相当”包括共 aA, aB, aC, bA, bB, bC 共 6 种情况.??10 分

? 5 次摸底考试成绩统计,任意抽查两次摸底考试,恰有一次摸底考试两人“水平相当”概
率 P ( A) ?

6 3 ? . ?????12 分 10 5

20. 【命题意图】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和 方法、函数零点基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形 结合思想、化归转化思想.

解:(Ⅰ)

f ( x) ? sin ? x cos ? x ? 3 sin 2 ? x ? 1 3 3 sin 2? x ? (1 ? cos 2? x) ? 2 2 2 1 3 sin 2? x ? cos 2? x 2 2

3 2

=

=

= sin(2? x ?

?
3

)

?????????????? 3 分

依题意得函数 f ( x ) 的周期为 ? 且 ? ? 0 ,? 2? ?

2?

?

?2

[来源:学#科#网]

? ? ? 1 , m ? ?1

??????????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin(2 x ? 又

?
3

x?? ?0, 2? ?

3 ? 2? 7? 5? ?x ? , , , 6 3 6 3

) ? 0 ? 2x ?

?

? k? ( k ? Z ) ? x ?

k? ? ? ????8 分 2 6

?????????10 分

y ? f ( x), x ? ? ?0, 2? ? 所有零点的和为

?
6

?

2? 7? 5? 11? ? ? ? ????12 分 3 6 3 3

21. 【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质,考查直线与圆锥曲线的位置关系, 考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想. 解: (Ⅰ)? 抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F1 (0,1) ,
2

? c ? 1 ,又 b2 ? 1,? a ? 2

? 椭圆方程为

y2 ? x 2 ? 1 . ?????????????????????4 分 2

(Ⅱ) (法一)设 A( x0 , y0 ) , x0 ? 0 , y0 ? 0

1 1 x, ? k l1 ? x 0 , 2 2 1 2 1 1 1 2 且过点 F2 (0, ?1) ? 直线 l1 的方程为 y ? x0 ? x0 ( x ? x0 ) 即 y ? x 0 x ? x 0 , 4 2 2 4 1 1 ??1 ? ? x0 2, ? x0 ? 2 ,? k l1 ? x 0 ? 1, 4 2 ?y? ?y'?

1 2 x , 4

? 切线 l1 方程为 y ? x ? 1
因为 l // l1 ,所以设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,

??????????6 分

?y ? x ? m ? 2 2 由 ? y2 ,消 y 整理得 3x ? 2mx ? m ? 2 ? 0, ??????????7 分 2 ? ? x ?1 ?2

? ? 4m2 ?12(m2 ? 2) ? 0 ,解得 0 ? m2 ? 3
设 B( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ,则



x1 ? x2 ? ?

2m m2 ? 2 , x1 x2 ? , 3 3

∴ | BC |? 1 ? 1 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?

2?

4m2 4(m2 ? 2) ? 9 3
??????????8 分

? 2?

4m 2 ? 12(m 2 ? 2) 2 2 ? 6 ? 2m 2 9 3

直线 l 的方程为 x ? y ? m ? 0 ,

? 点 O 到直线 l 的距离为 d ?

m 2

???????????????9 分

1 1 2 2 | m| ? S?OBC ? ? | BC | ?d ? ? ? 6 ? 2m2 ? 2 2 3 2 (6 ? 2m2 ) ? m2 2 ? ? (3 ? m2 ) ? m2 , 3 3
由① 0 ? m ? 3 , ? 3 ? m ? 0
2 2

????????????10 分

3 3 ? m2 ? m2 9 6 (3 ? m )m ? ? (当且仅当 m 2 ? 即 m ? ? 时,取等号) 2 2 4 2
2 2

[来源:学科网]

?S

OBC

最大 ?

2 2
6 . ??????????????12 分 2

所以,所求直线 l 的方程为: y ? x ?

(法二) F2 (0, ?1) ,由已知可知直线 l1 的斜率必存在, 设直线 l1 : y ? kx ?1 由?

? y ? kx ? 1 ?x ? 4 y
2

消去 y 并化简得 x ? 4kx ? 4 ? 0
2

∵直线 l1 与抛物线 C2 相切于点 A .
2 ∴ ? ? (?4k ) ? 4 ? 4 ? 0 ,得 k ? ?1 .

????????????5 分

∵切点 A 在第一象限. ∴k ?1 ∵ l ∥ l1 ∴设直线 l 的方 程为 y ? x ? m ????????????6 分

?y ? x ? m ? 2 2 由 ? y2 ,消去 y 整理得 3x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 , 2 ? ? x ?1 ?2

???????7 分

? ? (2m)2 ?12(m2 ? 2) ? 0 ,解得 ? 3 ? m ? 3 .
设 B( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ? ?

2m m2 ? 2 , x1 x2 ? 3 3
2

2m 2 m2 ? 2 2 2 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (? ) ?4 ? 3 ? m2 . ??8 分 3 3 3
又直线 l 交 y 轴于 D(0, m)

1 1 2 2 2 ? S?OBC ? ? | OD | ? | x1 ? x2 |? ? | m | ? ? 3 ? m2 ? m2 (3 ? m2 ) ?10 分 2 2 3 3

?

2 3 9 ? ?(m2 ? )2 ? 3 2 4
2

当m ?

3 6 2 ? (? 3, 3) 时, ( S?OBC )max ? ,即 m ? ? . 2 2 2

????11 分

所以,所求直线 l 的方程为 y ? x ?

6 . 2

????????????12 分

22. 【命题意图】本题为导数、与不等式的综合,主要考查导数的应用.考查考生综合运用知识的能 力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想.

解: (Ⅰ) f ?( x) ? x 2 ? a , f (1) ? a ?

7 , f ?(1) ? 1 ? a 3

??????????3 分 ??????????4 分

切线方程为 y ? (a ? ) ? (1 ? a)( x ? 1) , 令 x ? 0 ,得 y ?

7 3

4 为定值 3

????????????????5 分

(Ⅱ)由 xex +m[ f ?( x) ? a] ? m2 x 对 x ? 0 时恒成立, 得 xe +mx ? m x ? 0 对 x ? 0 时恒成立,
x 2 2

即 e +mx ? m ? 0 对 x ? 0 时恒成立,
x 2

?(ex +mx ? m2 )min ? 0
记 g ( x) ? e x ? mx ? m2 ,

?????????7 分

g ?( x) ? e x ? m , x ? 0,?ex ? 1
若 m ? ?1 , g '( x) ? ? , g ( x) 在 [0, ??) 上为增函数,

? g ( x)min ? g(0) ? 1 ? m2 ? 0
??1 ? m ? 1
????????????????10 分

若 m ? ?1 ,则当 x ? ? 0,ln(-m ) ? 时, g '( x) ? ? , g ( x) 为减函数, 则当 x ? ( ln(?m) , ??) 时, g '( x) ? ? , g ( x) 为增函数,

? g ( x)min ? g (ln (? m) ) ? ?m+m ln (? m) ? m2 ? ?m(1 ? ln (? m) +m) ? 0
?1 ? ln ( ? m) +m ? 0 ,
令 ?m ? t ,则 t ? ln t ? 1 ? 0 (t ? 1) , ?????????12 分

? (t ) ? t ? ln t ? 1 显然是增函数,
t ? 1,?? (t ) ? ? (1) ? 0 ,? t ? 1 即 m ? ?1 不合题意.
综上,实数 m 的取值范围是 ?1 ? m ? 1 . ?????13 分 ?????????14 分


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