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2013江西省高中数学联赛试题


2013 年全国高中数学联赛江西省预赛 试题解答
一、填空题(每题 8 分)
1 、若 2013 的每个质因子都是某个正整数等差数列 ?an ? 中的项,则 a2013 的最大值是

4027 . 解: 2013 ? 3 ?11? 61 ,若 3,11,61 皆是某正整数等差数列中的项,则公差 d 应是
11 ? 3 ? 8 与

61 ? 3 ? 58 的公因数,为使 a2013 取得最大,则其首项 a1 和公差 d 都应取尽可能大

的数,于是 a1 ? 3, d ? 2 ,所以 a2013 的最大值是 3 ? 2012d ? 4027 .
2 、若 a, b, c ? 0 ,

1 2 3 ? ? ? 1 ,则 a ? 2b ? 3c 的最小值为 a b c

36



2 ? 1 2 3? 解:据柯西不等式, a ? 2b ? 3c ? ? a ? 2b ? 3c ? ? ? ? ? ? ?1 ? 2 ? 3? ? 36 . ?a b c?

?1 2 3 ? 1 n 3 、若 Sn ? n!? ? ? ? ? ? ? . ? 1? ,则 S2013 ? ? 2014 (n ? 1)! ? ? 2! 3! 4!
解:因
k (k ? 1) ? 1 1 1 ? ? ? ,则 (k ? 1)! (k ? 1)! k ! (k ? 1)!

1 2 3 n 1 ?1 2 ?1 3 ?1 ( n ? 1) ? 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? ? 1? , 2! 3! 4! (n ? 1)! 1! 2! 3! (n ? 1)! ( n ? 1)!

?? 1 1 ? ? 1 所以, Sn ? n ! ??1 ? ,故 S 2013 ? ? . ? ? 1? ? ? 2014 n ?1 ?? (n ? 1)! ? ?
4 、如果一个正方体 X 与一个正四面体 Y 的表面面积(各面面积之和)相等,则其体

积之比

Vx 4 ? 3. Vy

解:记表面面积为 12 (平方单位) ,则正方体每个面的面积为 2 ,其边长为 2 ,所以

Vx ? 2 2 ;正四面体每个面的面积为 3 ,设其边长为 a ,则由
于是 Vy ? 2 2 ? 3 4 ,因此
3 ? 1

3

1 3 2 a ? 3 ,得 a ? 2 ? 3 4 ; 4

1 Vx ? 34 ? 4 3 . Vy

1

5 、若椭圆中心到焦点,到长、短轴端点,以及到准线距离皆为正整数,则这四个距 离之和的最小值是 61 .

解:设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 , a ? b ? 0 ,椭圆中心 O 到长、短轴端点距离为 a , b , a 2 b2
2 2

a2 到焦点距离 c 满足: c ? a ? b ,到准线距离 d 满足: d ? ,由于 a, b, c 组成勾股数, c
2

满足 a ? 20 的勾股数组有 ?a, b, c? ? ?3,4,5?,?6,8,10?, ?9,12,15?, ?12,16,20?, ?5,12,13?, 以及 ?8,15,17? ,其中只有
152 202 ? 25 ,而 (a, b, c, d ) ? (15,12,9, 25) 使得 ? 25 与 16 9

a ? b ? c ? d 的值为最小,这时有 a ? b ? c ? d ? 61 .

6 、函数 f ( x) ? 3x ? 6 ? 3 ? x 的值域是 [1, 2] .
解: f ( x) ? 3( x ? 2) ? 3 ? x 的定义域为 [2,3] ,故可设 x ? 2 ? sin 2 ? (0 ? ? ?

?
2

),

? 则 f ( x) ? 3sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 3 sin ? ? cos ? ? 2sin(? ? ) , 6 ? ? 2? 1 ? 而 ?? ? ? ,这时 ? sin(? ? ) ? 1 ,因此 1 ? f ? 2 . 6 6 3 2 6 7 、设合数 k 满足: 1 ? k ? 100 ,而 k 的数字和为质数,就称合数 k 为“山寨质数” , 则这种“山寨质数”的个数是 23 个 .
解:用 S (k ) 表示 k 的数字和;而 M ( p) 表示山寨为质数 p 的合数的集合.当 k ? 99 时,
S (k ) ? 18 ,不大于 18 的质数共有 7 个,它们是: 2,3,5,7,11,13,17 ,山寨为 2 的合数有

M (2) ? ?20? ,而 M (3) ? ?12,21,30?, M (5) ? ?14,32,50?, M (7) ? ?16,25,34,52,70? ; M (11) ? ?38,56,65,74,92? ,M (13) ? ?49,58,76,,85,94? ,M (17) ? ?98? ;共得 23 个山寨质数.
8 、将集合 ?1, 2,3, 4,5,6,7,8 中的元素作全排列,使得除了最左端的一个数之外,对于 ?

其余的每个数 n ,在 n 的左边某个位置上总有一个数与 n 之差的绝对值为 1 ,那么,满足条 件的排列个数为 128 . 解:设对于适合条件的某一排列,排在左边的第一个元素为 k ,(1 ? k ? 8) ,则在其余 7 个数中,大于 k 的 8 ? k 个数 k ? 1, k ? 2,?,8 ,必定按递增的顺序排列;而小于 k 的 k ? 1 个数
1, 2,?, k ? 1 ,必定按递降的顺序排列(位置不一定相邻)

事实上,对于任一个大于 k 的数 k ? n ,设 k ? n ? 8 ,如果 k ? n ? 1 排在 k ? n 的左边, 则与 k ? n ? 1 相差 1 的另一数 k ? n ? 2 就必须排在 k ? n ? 1 的左边;同样,与 k ? n ? 2 相差 1 的 另一数 k ? n ? 3 又必须排在 k ? n ? 2 的左边; 那么, ?, 该排列的第二个数不可能与 k 相差 1 ,
2

矛 盾 ! 因 此 k ? n ?1 必 定 排 在 k ? n 的 右 边 . 用 类 似 的 说 法 可 得 , 小 于 k 的 k ?1 个 数
1, 2, k ? ,必定按递降的顺序排列; ? , 1

由于当排在左边的第一个元素 k 确定后,右边还有 7 个空位,从中任选 8 ? k 个位置填
8 写大于 k 的数, (其余 k ? 1 个位置则填写小于 k 的数) ,选法种数为 C7 ?k ;而当位置选定后,
8 7

8 则填数方法随之唯一确定,因此所有排法种数为 ? C7 ?k ? ? C7j ? 27 . k ?1 k ?0

二、解答题
9、 (20 分)设直线 x ? y ? 1 与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 交于点 A, B ,若 OA ? OB ,求抛

物线方程以及 ?OAB 的面积. 解:设交点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 y 2 ? 2 px 与 x ? y ? 1 ,得 y 2 ? 2 py ? 2 p ? 0 ,

? y1 ? y2 ? y1 y2 ? ?2 p.? x1 x2 ? (1 ? y1 )(1 ? y2 ) ? 1.
??? ??? ? ? 因 OA ? OB ,即 OA ? OB ? 0 ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,将上式代入,得??????5 分
1 ? 2 p ? 0 ,因此抛物线方程为 y 2 ? x ,??????????10 分

? 3 ? 5 ?1 ? 5 ? ? 3 ? 5 ?1 ? 5 ? , 从而交点 A, B 坐标为: A ? ?, B? ? ,????????15 分 ? 2 , 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ?
2 2 OA2 ? x12 ? y12 ? 5 ? 2 5 , OB2 ? x2 ? y2 ? 5 ? 2 5 ,

因此 S?OAB ?

1 5 OA ? OB ? .?????????????????20 分 2 2
A

10 、 (20 分)如图,四边形 ABCD 中, E , F 分别是

E D

AD, BC 的中点,P 是对角线 BD 上的一点; 直线 EP, PF 分
P

别交 AB, DC 的延长线于 M , N .

B F

C

证明:线段 MN 被直线 EF 所平分. N G 证 : 设 EF 交 MN 于 G , 直 线 EF 截 ?PMN , 则 M NG ME PF ? ? ?1 ;?????5 分 GM EP FN PF PE ? 为证 G 是线段 MN 的中点,只要证, ? ①,直线 AB 截 ?PDE , NF ME PM EA DB M B P P PN FC BD ? ? ? 1, ? ? ? ? 1, 得 即 ?10 分? ②, 直线 CD 截 ?PBF , 则有 ME AD BP 2M B E D NF CB DP

3

NP PD ? ? ③,?????????????????????????15 分 2 NF BD MP NP NP MP PF PE ? ? 2 ,即 ?1 ? 1? ? ②③相加得 ,也即 ,因此结论得证.?20 分 ME NF NF ME NF ME 11 、 (20 分)在非钝角三角形 ABC 中,证明: sin A ? sin B ? sin C ? 2 . 证 1: 1? 若 ?ABC 是直角三角形,不妨令 ?C ? 90? ,则只要证 sin A ? sin B ? 1 。 a b a ?b c ? sin A ? sin B ? ? ? ? ? 1, ? 结论成立。???????5 分 c c c c 2? 若 ?ABC 是锐角三角形。 A? B ?C ? sin A ? sin B ? sin C ? 2 ? sin A ? sin B ? sin C ? 2sin 2 A? B A? B C C A? B C A? B C ? 2sin cos ? 2sin cos ? 2sin cos ? 2 cos sin ????10 分 2 2 2 2 2 2 2 2 A? B A? B C C C A? B ? 2sin (cos ? cos ) ? 2sin (cos ? cos ) 2 2 2 2 2 2 A? B A? B ?C C ? A? B C C ? A? B A? B ?C ? 4sin sin sin ? 4sin sin sin ??15 分 2 4 4 2 4 4



? 0 ? A ? B ? ? ,0 ? A ? B ? C ? ? ,0 ? C ? A ? B ? ? ,0 ? A ? B ? C ? ? , ? 上式右边 ? 0,

? sin A ? sin B ? sin C ? 2 。综上,结论成立。?????????????20 分 A B C 证 2:令 x ? tan , y ? tan , z ? tan ,则 xy ? yz ? zx ? 1 ,???????5 分 2 2 2
且 sin A ?
2x 2y 2z , sin B ? , sin C ? ; 2 2 1? x 1? y 1? z2 2x 2y 2z ? ? ? 2 ?①,????????????????10 分 2 2 1? x 1? y 1? z2

即要证

因为 1 ? x2 ? ( x ? y)( x ? z) , 1 ? y 2 ? ( y ? x)( y ? z),1 ? z 2 ? ( z ? x)( z ? y) , 故①式即
4 ? 2 ,也即 ( x ? y)( y ? z)( x ? z) ? 2 , ( x ? y )( y ? z )( x ? z )

即 x ? y ? z ? xyz ? 2 而因

? ②??????????????????15 分

A B C ? , , ? (0, ] ,故 x, y, z ? (0,1] ,所以 (1 ? x)(1 ? y)(1 ? z) ? 0 , 2 2 2 4

即 1 ? ( x ? y ? z) ? ( xy ? yz ? xz ) ? xyz ? 0 .此式即为 x ? y ? z ? xyz ? 2

? ③

由③立知②式成立(③式强于②式) ,因此命题得证.?????????????20 分
12 、 (26 分)试确定,是否存在这样的正整数数列 ?an ? ,满足: a2013 ? 2013 ,且对每

个 k ??2,3,?,2013? , 皆 有 ak ? ak ?1 ? 20 或 13 ; 而 其 各 项 a1 , a2 ,? , a2 0 1的 值 恰 好 构 成 3
1, 2? , 2 0 的一个排列?证明你的结论. , 13
4

解:存在.????????????????3 分 由于 20 ? 13 ? 33 ,而 33 2013 , (即有 2013 ? 33 ? 61 ) ; 我们注意到, “差”运算具有“平移性” ,即是说,如果 ak ? ak ?1 ? 20 或 13 ,那么,对 任何整数 c ,也有 (ak ? c) ? (ak ?1 ? c) ? 20 或 13 ;??????????????6 分 为此,先将集合 ?1, 2,?,33? 中的数排成一个圈, 使得圈上任何相邻两数之差皆为 20 或 13 , 如图所示. 将此圈从任一间隙处剪开,铺 成的线状排列
15 2 22 9 29 16 3 23 10 28 8 21 1 14 27 7

a1 , a2 ,?, a33 ,都满足 ak ? ak ?1 ? 20 或 13 ,??9 分
为将数列锁定,在前面添加一项 a0 ? 0 ,使数列

a0 , a1 , a2 ,?, a33 也满足条件,我们可选择与数 33 相邻
的一个间隙剪开;例如从 33 右侧间隙剪开,并按顺 时针排列,就成为:0;

30

17 4

24 11 31

18

20 33 13 26 6 19 32 12 25 5

13, 26,6,19,32,12, 25,5,18,31,11, 24, 4,17,30,10, 23,3,16, 29,9, 22, 2,15, 28,8, 21,1,14, 27,7, 20,33 ;

若从 33 左侧间隙剪开,并按逆时针排列,则成为: 0 ; 20, 7, 27,14,?, 6, 26,13,33 ; 这两种排列都满足 ak ? ak ?1 ? 20 或 13 ;????????????????15 分 记分段数列 M 0 ? (13, 26,6,19,32,12, 25,5,18,31,11, 24, 4,17,30,10, 23,3,16, 29 ,
9, 22, 2,15, 28,8, 21,1,14, 27,7, 20,33) ? (a1 , a2 ,?, a33 ) ,而分段数列

M k ? (a1?33k , a2?33k ,?a33?33k ) ? (a1 ? 33k , a2 ? 33k ,?, a33 ? 33k ) , k ? 1, 2,?,60 ,
将这些段作如下连接: 0, M 0 , M1 ,?, M 60 ,所得到的数列 a0 , a1 , a2 ,?, a2013 满足条件. ???????????????????????????????????21 分 因为, a2013 ? a 33 ?
33 60 ?

;对其中任意两个邻项 ak , ak ?1 ,若 ? a 33 33? 60? 33 33 60 2013 ? ? ? ?

ak , ak ?1 属于同一个分段,显然有 ak ? ak ?1 ? 20 或 13 ;若相邻项 ak , ak ?1 属于两个相邻段 M n 与 M n?1 ,则 ak 是 M n?1 的首项:即 ak ? a1 ? 33(n ? 1) ? 13 ? 33(n ? 1) ,而 ak ?1 是 M n 的末项,
即 ak ?1 ? a33 ? 33n ? 33 ? 33n ,这时有 ak ? ak ?1 ? ?13 ? 33(n ?1)? ? ?33 ? 33n? ? 13 , 并且 a1 ? a0 ? 13 ,因此,数列 a1 , a2 ,?, a2013 满足条件.????????????26 分

5


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