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走向高考数学1-5答案


第1章

第5节

一、选择题
? ?log2x (x>0) 1 1.已知函数 f(x)=? x ,若 f(a)= ,则实数 a=( 2 (x≤0) ? ?2

)

A.-1 B. 2 C.-1 或 2 D.1 或- 2 [答案] C 1 1 [解析] 当 a>0 时,log2

a= ,∴a= 2;当 a<0 时,2a= ,∴a=-1,选 C. 2 2 2.(文)若指数函数 y=ax 的反函数的图象经过点(2,-1),则 a 等于( 1 A. 2 B.2 C.3 D.10 [答案] A [解析] 运用原函数与反函数图象关于 y=x 对称,则函数 y=ax 过点(-1,2),故选 A. (理)(09· 广东理)若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a, a),则 f(x)=( A.log2x 1 B.log x 2 1 C. x 2 D.x2 [答案] B [解析] 函数 y=ax 的反函数是 f(x)=logax, ∵其图象经过点( a,a), 1 1 ∴a=loga a,∴a= ,∴f(x)=log x. 2 2 3.(文)设 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则 a、b、c 的大小顺序是( ) ) )

A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a [答案] C [解析] 因为 0<a=log0.70.8<log0.70.7=1,b=log1.10.9<log1.11=0,c=1.10.9>1.10=1,所 以选 C. 1 0.5 (理)(2010· 北京崇文区)设 a=?2?0.5, c=log0.30.2, a、 c 的大小关系是( 则 b、 ? ? b=0.3 , A.a>b>c B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b [答案] C 1 [解析] y=x0.5 在(0,+∞)上是增函数,1> >0.3, 2 ∴1>a>b, 又 y=log0.3x 在(0,+∞)上为减函数, ∴log0.30.2>log0.30.3=1,即 c>1,∴b<a<c. 4.(2010· 重庆南开中学)已知 f(x)=ax,g(x)=bx,当 f(x1)=g(x2)=3 时,x1>x2,则 a 与 b 的大小关系不可能成立的是( ..... A.b>a>1 B.a>1>b>0 C.0<a<b<1 D.b>1>a>0 [答案] D [解析] ∵f(x1)=g(x2)=3,∴ax1=bx2=3, ∴x1=loga3,x2=logb3, 当 b>1>a>0 时,x1<0,x2>0 不满足 x1>x2. 1 5.已知 f(x)=?3?x,若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对应的函数为 g(x),则 g(x) ? ? 的表达式为( 1 A.y=?3?x ? ? 1 - B.y=?3?1 x ? ? ) ) )

1 + C.y=?3?2 x ? ? D.y=3x
-2

[答案] D [解析] 设 P(x,y)是函数 g(x)图象上任一点,则 P 关于直线 x=1 的对称点(2-x,y)在 1 - - 函数 f(x)的图象上,∴y=?3?2 x,即 g(x)=3x 2. ? ? 6.(文)(2010· 安徽安庆联考)如图是一个算法的程序框图,当输入 x 的值为 3 时,输出 y 1 的结果恰好为 ,则?处的关系式是( 3 )

A.y=log9x B.y=3x C.y=3
-x

1

D.y=x3 [答案] B [解析] 输入 x=3≤0 不成立,故 x=3-2=1,1≤0 不成立,故 x=1-2=-1,-1≤0 1 成立,执行?后输出 y= ,故选 B. 3 (理)(2010· 深圳市调研)已知所有的点 An(n,an)(n∈N*)都在函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象 上,则 a3+a7 与 2a5 的大小关系是( A.a3+a7>2a5 B.a3+a7<2a5 C.a3+a7=2a5 D.a3+a7 与 2a5 的大小关系与 a 的值有关 [答案] A [解析] 因为所有的点 An(n,an)(n∈N*)都在函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象上,所以有 an =an,故 a3+a7=a3+a7,由基本不等式得:a3+a7>2 a3·7=2 a10=2a5,∴a3+a7>2a5(因 a )

为 a>0,a≠1,从而基本不等式的等号不成立),故选 A. 7.(2010· 山东省实验中学)若关于 x 的方程|ax-1|=2a(a>0,a≠1)有两个不等实根,则 a 的取值范围是( )

A.(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1) C.(1,+∞) 1 D.(0, ) 2 [答案] D [解析] 若 a>1,如图(1)为 y=|ax-1|的图象,与 y=2a 显然无交点;当 0<a<1 时,如 1 图(2),要使 y=2a 与 y=|ax-1|的图象有两个交点,应有 2a<1,∴0<a< . 2

8.若关于 x 的方程 4x+(1-a)·x+4=0 有实数解,则实数 a 的取值范围是( 2 A.(-∞,5] B.[5,+∞) C.[4,+∞) D.(-5,5] [答案] B 4 [解析] a-1=2x+ x≥2 2 9.已知函数 f(x)= 称.( ) 4 4 2x·x=4 等号在 2x= x,即 x=1 时成立,∴a≥5. 2 2

)

2x+1 1-x ,g(x)=lg ,则函数 h(x)=f(x)· g(x)的图象关于________对 x 2 -1 1+x

A.原点 B.y 轴 C.x 轴 D.y=x [答案] B 2 x+1 1+2x [解析] ∵f(-x)= -x = =-f(x),∴f(x)为奇函数; 2 -1 1-2x




1-x 1+x 1-x >0 得,-1<x<1,又 g(-x)=lg =-lg =-g(x),∴g(x)为奇函数,∴h(x) 1+x 1-x 1+x

为偶函数,故选 B. 1 10.已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x2-ax.当 x∈(-1,1)时,均有 f(x)< ,则实数 a 的取值范围 2 是( ) 1 A.(0, ]∪[2,+∞) 2 1 B.[ ,1)∪(1,4] 4 1 C.[ ,1)∪(1,2] 2 1 D.(0, )∪[4,+∞) 4 [答案] C 1 1 [解析] f(x)< ,即 x2- <ax. 2 2 1 1 由条件知,当 x∈(-1,1)时,x2- <ax 恒成立,在同一坐标系中作出函数 y=x2- 与 y 2 2 1 =ax 的图象可见,当 a>1 时,应有 1<a≤2;当 0<a<1 时,应有 ≤a<1,故选 C. 2 二、填空题

13.(2010· 常德市检测)定义区间[x1,x2]的长度为 x2-x1,已知函数 f(x)=3|x|的定义域为 [a,b],值域为[1,9],则区间[a,b]的长度的最大值为______,最小值为______. [答案] 4 2 [解析] 由 3|x|=1 得 x=0,由 3|x|=9 得 x=± 2,故 f(x)=3|x|的值域为[1,9]时,其定义域 可以为[0,2],[-2,0],[-2,2]及[-2,m],0≤m≤2 或[n,2],-2≤n≤0 都可以,故区间[a, b]的最大长度为 4,最小长度为 2. 1 1 14. 函数 f(x)的定义由程序框图给出, 程序运行时, 输入 h(x)=?2?x, ? ? φ(x)=log2x,则 f(2) +f(4)的值为________.

15 [答案] - 16
?φ(x) h(x)>φ(x) ? [解析] 由程序框图知 f(x)=? , ?h(x) h(x)≤φ(x) ?

1 1 1 1 1 2 ∵h?2?=?2?2= ,φ?2?=-1,∴f?2?=-1, ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 1 1 ∵h(4)= ,φ(4)=2,∴f(4)= , 16 16 1 1 15 ∴f?2?+f(4)=-1+ =- . ? ? 16 16 三、解答题 15.(文)(2010· 重庆一中)已知函数 f(x)=3x+k(k 为常数),A(-2k,2)是函数 y=f(x)的反 函数图象上一点. (1)求 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)的图象按向量 a=(0,3)平移,得到 y=g(x)的图象,解不等式 f(x)· g(x)+2>0. [解析] (1)由条件知 A′(2,-2k)在函数 y=f(x)的图象上, ∴f(2)=-2k,解得 k=-3,所以 f(x)=3x-3. (2)易得 g(x)=3x,∴f(x)· g(x)+2>0?(3x)2-3·x+2>0?3x<1 或 3x>2?x<0 或 x>log32. 3 (理)(2010· 辽宁省锦州市通考)已知函数 f(x)=m·x+t 的图象经过点 A(1,1), 2 B(2,3)及 C(n, Sn),Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn; (2)若数列{cn}满足 cn=6nan-n,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)∵函数 f(x)=m·x+t 的图象经过点 A、B, 2
?2m+t=1 ?m=1 ? ? ∴? ,∴? ,∴f(x)=2x-1, ? ? ?4m+t=3 ?t=-1

∴Sn=2n-1,∴an=2n 1. (2)cn=3n·n-n,Tn=c1+c2+?+cn=3×(1×2+2×22+3×23+?+n·n)-(1+2+? 2 2



+n), 令 Pn=1×2+2×22+?+n·n① 2 则 2Pn=1×22+2×23+?+n·n 1② 2 ①-②得-Pn=2+22+?+2n-n·n 2 =
+1 +

2×(2n-1) + + + -n·n 1=2n 1-2-n·n 1, 2 2 2-1


∴Pn=(n-1)2n 1+2, n(n+1) + ∴Tn=3(n-1)2n 1+6- . 2 a - 16.已知 f(x)= 2 (ax-a x)(a>0 且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围. [分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算 f(-x),看是否等于 f(x)(或-f(x)); (2)可用单调性定义,也可用导数判断 f(x)的单调性; (3)b≤f(x)恒成立,只要 b≤f(x)min,由 f(x)的单调性可求 f(x)min. [解析] (1)函数定义域为 R,关于原点对称. a - 又因为 f(-x)= 2 (a x-ax)=-f(x), a -1 所以 f(x)为奇函数. (2)当 a>1 时,a2-1>0, y=ax 为增函数,y=a x 为减函数,从而 y=ax-a x 为增函数,所以 f(x)为增函数. 当 0<a<1 时,a2-1<0, y=ax 为减函数,y=a x 为增函数,从而 y=ax-a x 为减函数,所以 f(x)为增函数. 故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, ∴在区间[-1,1]上为增函数, ∴f(-1)≤f(x)≤f(1), ∴f(x)min=f(-1)=
2
- - - -

a - (a 1-a) a2-1

a 1-a = 2 · =-1. a -1 a ∴要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1,故 b 的取值范围是(-∞,-1]. 1 17.(文)已知函数 f(x)=?3?x,x∈[-1,1],函数 g(x)=f 2(x)-2af(x)+3 的最小值为 h(a). ? ?

(1)求 h(a); (2)是否存在实数 m、n,同时满足以下条件: ①m>n>3; ②当 h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2].若存在,求出 m,n 的值;若不存在, 说明理由. 1 [分析] (1)由 f(x)=?3?x 的单调性可求出 f(x)的值域,g(x)是以 f(x)为变元的二次函数, ? ? 1 令 t=?3?x,可求关于 t 的二次函数的最小值 h(a). ? ? (2)由(1)知当 m>n>3 时 h(a)的表达式,考察 h(a)在[n,m]上的单调性,结合其值域[n2, m2],可列出关于 m,n 的方程组求解 m,n,如果有解则所求实数 m,n 存在,否则不存在. 1 1 [解析] (1)因为 x∈[-1,1],所以?3?x∈?3,3?. ? ? ? ? 1 1 设?3?x=t,t∈?3,3?,则 g(x)=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2. ? ? ? ? 1 28 2a 1 当 a< 时,h(a)=φ?3?= - ; ? ? 9 3 3 1 当 ≤a≤3 时,h(a)=φ(a)=3-a2; 3 当 a>3 时,h(a)=φ(3)=12-6a.

? 1 所以 h(a)=? 3-a ?3≤a≤3? ? ? ?12-6a (a>3)
2

28 2a ? 1? a< - 9 3 ? 3?

.

(2)因为 m>n>3,a∈[n,m],所以 h(a)=12-6a. 因为 h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],且 h(a)为减函数,
?12-6m=n2 ? 所以? 2 ,两式相减得 6(m-n)=(m-n)(m+n),因为 m>n,所以 m-n≠0, ? ?12-6n=m

得 m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾,故满足条件的实数 m,n 不存在. [点评] 解题关键在于利用换元的思想方法,将问题转化为二次函数在闭区间上的最值 问题,然后通过分类讨论求出函数的最值.对于存在性问题,往往是首先假设符合条件的参 数存在, 然后根据给出的条件进行推理求解, 若不能推出矛盾, 则说明符合要求的参数存在, 否则说明符合要求的参数不存在. (理)已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; 4 x (2)设 g(x)=log4?a· -3a?,若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数 a 的 ? 2 ?

取值范围. [解析] (1)由函数 f(x)是偶函数可知:f(x)=f(-x), ∴log4(4x+1)+kx=log4(4 x+1)-kx, 4x+1 ∴log4 -x =-2kx,即 x=-2kx 对一切 x∈R 恒成立, 4 +1 1 ∴k=- . 2 (2)函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点, 4 1 x 即方程 log4(4x+1)- x=log4?a· -3a?有且只有一个实根, ? 2 ? 2 1 4 即方程 2x+ x=a·x- a 有且只有一个实根, 2 2 3 4 令 t=2x>0,则方程(a-1)t2- at-1=0 有且只有一个正根, 3 3 ①a=1 时,t=- ,不合题意; 4 3 ②a≠1 时,由 Δ=0 得 a= 或-3, 4 3 若 a= ,则 t=-2 不合题意; 4 1 若 a=-3,则 t= 满足要求; 2 若 Δ>0,则此时方程应有一个正根与一个负根, ∴ -1 <0,∴a>1, a-1


3 由 Δ>0 得,a<-3 或 a> ,∴a>1. 4 综上,实数 a 的取值范围是{-3}∪(1,+∞). [点评] 函数与方程思想是高中数学中一种重要的思想方法, 也是高考考查的热点. 利 用这种思想可以将函数与方程的问题相互转化. 本例中, 将两个函数图象只有一个公共点转 化为相应的方程只有一个实数根进行求解,使问题的解决变得简单易行.


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