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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:3.7 正弦定理和余弦定理


第三章

第7讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 π 1. [2013· 安徽淮南]在△ABC 中,∠A= ,BC=3,AB= 6,则∠C=( 3 π 3π A. 或 4 4 C. π 4 B. D. 3π 4 π 6 )

答案:C BC AB ABsinA = ,则 sinC= = sinA s

inC BC 6sin 3 π 3 2 ,又 BC>AB,所以∠ 2

解析:由正弦定理得



π A>∠C,所以∠C= ,选 C. 4 2. [2011· 四川高考]在△ABC 中, 2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC, A 的取值范围是( sin 则 π A. (0, ] 6 π C. (0, ] 3 答案:C 解析:由正弦定理得,a2≤b2+c2-bc,即 b2+c2-a2≥bc, 由余弦定理得, b2+c2-a2 bc 1 cosA= ≥ = . 2bc 2bc 2 π 又∵0<A<π,∴0<A≤ .故选 C. 3 3. [2013· 广西模拟]在△ABC 中, A, C 的对边分别为 a, c, 角 B, b, ac=3, a=3bsinA, 且 则△ABC 的面积等于( A. 1 2 ) B. D. 3 2 3 4 π B. [ ,π) 6 π D. [ ,π) 3 )

C. 1 答案:A

1 解析:∵a=3bsinA,∴由正弦定理得 sinA=3sinBsinA,∴sinB= .∵ac=3,∴△ABC 3

1 1 1 1 的面积 S= acsinB= ×3× = ,故选 A. 2 2 3 2 4. [2013· 成都冲刺]在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,且 b2=a2- ac+c2,C-A=90° ,则 cosAcosC=( A. 1 4 ) B. 2 4 2 4

1 C. - 4 答案:C

D. -

a2+c2-b2 ac 1 解析: 依题意得 a2+c2-b2=ac, cosB= = = .又 0° <B<180° 所以 B=60° , , 2ac 2ac 2 1 C+A=120° C-A=90° 所以 C=90° .又 , +A, A=15° cosAcosC=cosAcos(90° , +A)=- sin2A 2 1 1 =- sin30° =- ,选 C. 2 4 5. [2013· 皖南八校联考]在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 3,b +c=4,∠B=30° ,则 c=( A. 13 5 ) B. D. 12 5 13 4

C. 3 答案:A

a2+c2-b2 a2+?c+b??c-b? 解析:在△ABC 中,由余弦定理得 cosB= = , 2ac 2ac ∵a= 3,b+c=4,∠B=30° ,∴ 3+4?c-b? 3 = ,即 3+ 2 2 3c

13 4(c-b)=3c,3+c=4b,结合 b+c=4 解得 c= .∴选 A. 5 6. [2012· 天津高考]在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c, C=2B,则 cosC=( A. 7 25 ) 7 B. - 25 D. 24 25

7 C. ± 25 答案:A 解析:∵sinC=sin2B=2sinBcosB, sinC c 4 ∴cosB= = = , 2sinB 2b 5

7 ∴cosC=cos2B=2cos2B-1= ,选 A 项. 25

二、填空题 π 7. 在△ABC 中,∠B= ,AC=1,AB= 3,则 BC 的长度为________. 6 答案:1 或 2 解析:由余弦定理得: AC2=AB2+BC2-2×AB×BC×cos∠ABC ?1=3+BC2-2× 3×BC× 3 ,解得 BC=1 或 BC=2. 2

3 8. [2012· 重庆高考]设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cosA= ,cosB 5 5 = ,b=3,则 c=________. 13 14 答案: 5 3 5 4 12 解析:因为 cosA= ,cosB= ,所以 sinA= ,sinB= ,sinC=sin(A+B)=sinAcosB 5 13 5 13 +cosAsinB 4 5 3 12 56 = × + × = , 5 13 5 13 65 56 3× 65 14 b c bsinC 由正弦定理 = ,得 c= = = . sinB sinC sinB 12 5 13 9. [2013· 沈阳质检]在△ABC 中,内角 A, C 的对边分别是 a,b,c, a2-b2= 3bc, B, 若 sinC=2 3sinB,则 A=________. 答案:30° 解析:根据正弦定理及 sinC=2 3sinB 得 c=2 3b, b2+c2-a2 c2-?a2-b2? c2- 3bc 3 ∵cosA= = = = , 2bc 2bc 2bc 2 ∵0° <A<180° ,∴A=30° . 三、解答题 10. [2012· 大纲全国高考]△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos(A- C)+cosB=1,a=2c,求 C. 解:∵B=π-(A+C), ∴cosB=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C), ∴1=cos(A-C)+cosB=cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC=2sinAsinC,∴ 1 sinAsinC= . 2

由正弦定理

a c = =2R, sinA sinC

得 a=2RsinA,c=2RsinC, ∵a=2c,∴sinA=2sinC, 1 1 ∴2sin2C= ,即 sin2C= , 2 4 1 1 解得 sinC= 或 sinC=- (舍去), 2 2 π ∴C= . 6 π π 11. [2012· 江西高考]在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A= ,bsin( 4 4 π +C)-csin( +B)=a. 4 π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. π π 解:(1)证明:由 bsin( +C)-csin( +B)=a,应用正弦定理,得 4 4 π π sinBsin( +C)-sinCsin( +B)=sinA, 4 4 sinB( 2 2 2 2 2 sinC+ cosC)-sinC( sinB+ cosB)= , 2 2 2 2 2

整理得 sinBcosC-cosBsinC=1, 即 sin(B-C)=1, 3π 3π 由于 0<B< ,0<C< , 4 4 π 从而 B-C= . 2 3π (2)B+C=π-A= , 4 5π π 因此 B= ,C= , 8 8 π asinB 5π 由 a= 2,A= ,得 b= =2sin , 4 sinA 8 asinC π c= =2sin , sinA 8 1 5π π 所以△ABC 的面积 S= bcsinA= 2sin sin 2 8 8 π π 1 = 2cos sin = . 8 8 2

12. [2012· 江苏高考]在△ABC 中,已知AB· =3BA· . AC BC (1)求证:tanB=3tanA; (2)若 cosC= 5 ,求 A 的值. 5

→ →

→ →

解:(1)证明:由AB· =3BA· 得| AB|· AC|cosA=3| BA|· BC|cosB, AC BC | | 即为 cbcosA=3cacosB,bcosA=3acosB, 由正弦定理得 sinBcosA=3sinAcosB, 两边同除 cosAcosB 得 tanB=3tanA. (2)因 cosC= 5 ,所以 C 为锐角, 5

→ →

→ →









所以 tanC=2, 由(1)tanB=3tanA,且 A+B+C=π, 得 tan[π-(A+C)]=3tanA, tanA+tanC 即-tan(A+C)=3tanA?- =3tanA, 1-tanAtanC 即 tanA+2 =3tanA, 2tanA-1

1 所以 tanA=1 或 tanA=- . 3 1 因 tanB=3tanA,由内角和为 π 知两角均为锐角,故 tanA=- 应舍去. 3 π 所以 tanA=1,所以 A= . 4


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