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专题3-1几何


第二章 点、直线、平面之间的位置关系
一、平面
目标:解平面的无限延展性;正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系;初步掌握文 字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化。 知识要点: 1. 点 A 在直线上,记作 A ? a ;点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;直线 a 在平面 ? 内,记作 a ? ? . 2. 平面基本性质即三条

公理的“文字语言” 、 “符号语言” 、 “图形语言”列表如下: 公理 1 公理 2 公理 3 图形 语言 文字 语言 符号 语言 如果一条直线上的两点在 一个平面内, 那么这条直线 在此平面内. 过不在一条直线上的三点,有 且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公 共点, 那么它们有且只有一条过该 点的公共直线.

A ? l, B ? l ? ??l ?? A ?? , B ?? ?

A, B, C不共线 ? A, B, C确定平面?

?? ? ? ? l P ?? , P ? ? ? ? ?P ? l

讨论: 1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 例题: 【例 1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面? 【例 2】空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点,已知 EF 和 GH 交于 P 点,求证:EF、GH、AC 三线共点. 【例 3】求证:两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知:直线 AB, BC , CA 两两相交,交点分别为 A, B, C , 求证:直线 AB, BC , CA 共面. 【例 4】在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, (1) AA1 与 CC1 是否在同一平面内?(2)点 B, C1 , D 是否在同一平面内? (3)画出平面 AC1 与平面 BC1 D 的交线,平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线.

习题
基础达标 1.两个平面若有三个公共点,则这两个平面( ). A.相交 B.重合 C.相交或重合 2.下列推断中,错误的是(). A. A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ? ? B. A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? ? AB D.以上都不对

C. l ? ? , A ? l ? A ? ? D. A, B, C ? ? , A, B, C ? ? ,且 A、B、C 不共线 ? ? , ? 重合 3.E、F、G、H 是三棱锥 A-BCD 棱 AB、AD、CD、CB 上的点,延长 EF、HG 交于 P,则点 P( ). A. 一定在直线 AC 上 B. 一定在直线 BD 上 C. 只在平面 BCD 内 D. 只在平面 ABD 内 4.用一个平面截一个正方体,其截面是一个多边形,则这个多边形边数最多是( ). A. 三 B. 四 C. 六 D. 八 5.下列说法中正确的是( ). A. 空间不同的三点确定一个平面 B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面 C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 6.给出下列说法:① 梯形的四个顶点共面;② 三条平行直线共面;③ 有三个公共点的两个平面重合;

④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. 其中说法正确的序号依次是 7.已知空间四点中无任何三点共线,那么这四点可以确定平面的个数是 .4 能力提高 8.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F、G、H、K、L 分别是 DC、DD1、A1 D1、
A1 H B1

.
G D1 C1

A1 B1、BB1、BC 的中点. 求证:这六点共面.
K A

F

D E C

9.(1) ?ABC 在平面α 外, AB ? ? ? P , BC ? ? ? Q , AC ? ? ? R ,求

B

证:P,Q,R 三点共线. (2)已知四边形 ABCD 中,AB∥CD,四条边 AB,BC,DC,AD(或其延长线)分别与平面 α 相交于 E, F,G,H 四点,求证:四点 E,F,G,H 共线.

L

10.在一封闭的正方体容器内装满水,M,N 分别是 AA1 与 C1D1 的中点,由于某种原因,在 D,M,N 三 点处各有一个小洞,为使此容器内存水最多,问应将此容器如何放置?此时水的上表面的形状怎样?

二、空间中直线与直线之间的位置关系
目标:了解空间两条直线的三种位置关系,理解异面直线的定义,掌握平行公理,掌握等角定理,掌握两 条异面直线所成角的定义及垂直. 知识要点: ? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ?共面直线 ? 1. 空间两条直线的位置关系: ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. 2. 已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a ? // a, b? // b ,把 a?, b? 所成的锐角(或直角)叫异面 直线 a , b 所成的角(或夹角). a?, b? 所成的角的大小与点 O 的选择无关,为了简便,点 O 通常取在异面直线的 一条上;异面直线所成的角的范围为 (0,90?] ,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直, 记作 a ? b . 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→定角→计算. 例题: 【例 1】已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50°,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a、b 所成角都是 30°的直线有且仅有( ). A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 【例 2】如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 D1C1 和 B1C1 的中点,P、 Q 分别为 AC 与 BD、A1C1 与 EF 的交点. (1)求证:D、B、F、E 四点共面; (2)若 A1C 与面 DBFE 交于点 R,求证:P、Q、R 三点共线.
D1 A1 D A P B E Q B1 C F C1

【例 3】已知直线 a//b//c,直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C,求证:a、b、c、d 四线共面. 【例 4】正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、F 分别是 AD、AA1 的中点. (1)求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小; (2)求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小.

习题
基础达标 1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( ). A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能 2.教室内有一把尺子,无论怎样放置,地面上总有这样的直线与该直尺所在直线( A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.异面 3.两条直线 a,b 分别和异面直线 c, d 都相交,则直线 a,b 的位置关系是( ).

).

A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线,也可能是相交直线 4.把两条异面直线称作“一对”,在正方体的十二条棱中,异面直线的对数为( ). A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 5.正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,AB 的中点为 M, DD' 的中点为 N,异面直线 B ' M 与 CN 所成的角是( B ). A.30° B.90° C.45° D.60° 6.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,直线 AB1 与 BC1 所成角为______度. . 60° 7.右图是正方体平面展开图,在这个正方体中: ① BM 与 ED 平行; ② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60?角; ④ DM 与 BN 垂直. 以上四个说法中,正确说法的序号依次是 .
E N D C M

A

B F

能力提高 8.已知空间四边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求 AB 和 CD 所成的角的大小.

9.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点,已 知 EF 和 GH 交于 P 点,求证:EF、GH、AC 三线共点.
E A H

B F C G D P

三、直线与平面、平面与平面位置关系

目标:了解直线与平面的三种位置关系,理解直线在平面外的概念,了解平面与平面的两种位置关系. 知识要点: 1. 直线与平面的位置关系: (1)直线在平面内(有无数个公共点) ; (2)直线与平面相交(有且只有一个 公共点) ; (3)直线与平面平行(没有公共点). 分别记作: l ? ? ; l ? ? ? P ; l // ? . 2. 两平面的位置关系:平行(没有公共点) ;相交(有一条公共直线).分别记作 ? // ? ; ? ? ? ? l . 例题: 【例 1】已知空间边边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求异面直线 AB 和 CD 所成的角的大小. 【例 2】在空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 CB、CD 的中点,若 AC + BD = a ,AC ? BD =b,求 EG 2 ? FH 2 . 【例 3】 已知空间四边形 ABCD 中, E、 H 分别是 AB、 AD 的中点, F、 G 分别是 BC、 CD 上的点, 且

CF CG 2 ? ? . CB CD 3

求证: (1)E、F、G、H 四点共面; (2)三条直线 EF、GH、AC 交于一点. 点评:一般地,证明三线共点,可证明两条直线的交点在第三条直线上,而第三条直线又往往是两平面 的交线. 【例 4】如下图,设△ABC 和△A1B1C1 的三对对应顶点的连线 AA1、BB1、CC1 相交于一点 O,且 S AO BO CO 2 = = = .试求 ?ABC 的值. OA1 OB1 OC1 S ?A1B1C1 3 点评:利用平移角定理,可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等;利用平行公理,可证明空间两 条直线平行,从而解决相关问题.

习题
基础达标 1.直线 ? 与平面 ? 不平行,则( ). A. ? 与 ? 相交 B. ? ? ? C. ? 与 ? 相交或 ? ? ? D. 以上结论都不对 2.正方体各面所在平面将空间分成( )个部分. A. 7 B. 15 C. 21 D. 27

3.若两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数( ). A. 有限个 B. 无限个 C. 没有 D. 没有或无限个 4.E、F、G、H 是棱锥 A-BCD 棱 AB、AD、CD、CB 上的点,延长 EF、HG 交于 P 点,则点 P( ). A. 一定在直线 AC 上 B. 一定在直线 BD 上 C. 只在平面 BCD 内 D. 只在平面 ABD 内 5.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面( ). A. 平行 B. 相交 C. 平行或垂合 D. 平行或相交 6.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的位置关系是 . 平行、 在平面内 7.一个平面把空间分成 部分,两个平面可以把空间分成 部分,三个平面可以把空 间分成 部分.2;3、4; 4、6、7、8. 能力提高 8.A 是△BCD 平面外的一点,E、F 分别是 BC、AD 的中点, (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角. °.

9.已知空间四边形 ABCD,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、DC 的三 等分点(如右图) ,求证: (1)对角线 AC、BD 是异面直线; (2)直线 EF 和 HG 必交于一点,且交点在 AC 上.

10.空间四边形 ABCD 中,P、Q、R、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. (1)求证:四边形 PQRH 是平行四边形; (2)若 AC=BD,则四边形 PQRH 是什么四边形? (3)若 AC⊥BD,则四边形 PQRH 是什么四边形? (4)空间四边形 ABCD 满足什么条件时,PQRH 是正方形?

四、直线与平面平行的判定
目标:掌握直线与平面平行判定定理,掌握转化思想“线线平行 ? 线面平行”. 知识要点: 1. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行. 2. 判定定理: 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行. 符号表示为: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? . 图形如右图所示. 例题: 【例 1】 已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E、 F 分别为 AB、 PD 的中点, 求证:AF∥平面 PEC 【例 2】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC、C1D1 的中点. 求证:EF∥平面 BB1D1D. 【例 3】如图,已知 E 、 F 、 G 、 M 分别是四面体的棱 AD 、 CD 、 BD 、 BC 的中点,求证: AM ∥平面 EFG . A 点评:要证明直线和平面平行,只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可 E 以了. 注意适当添加辅助线,重视中位线在解题中的应用. 【例 4】已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的 D B G 中点 O F M (1)求证:MN//平面 PAD;
王新敞
奎屯 新疆

(2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 ,求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小. 点评:已知中点,牢牢抓住中位线得到线线平行,通过线线平行转化为线面平行 . 求两条异面直线所成角,方法的关键也是平移其中一条或者两条直线,得到相交的线线角,通过解三角形而 得.

C

习题
基础达标 1.已知直线 l1 、 l2 , 平面α , l1 ∥ l2 , l1 ∥α , 那么 l2 与平面α 的关系是( A. l1 ∥α B. l2 ? α C. l2 ∥α 或 l2 ? α ). D. l2 与α 相交

2.以下说法(其中 a,b 表示直线,?表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? ④若 a∥?,b??,则 a∥b 其中正确说法的个数是( ). A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 3.已知 a,b 是两条相交直线,a∥?,则 b 与?的位置关系是( ). A. b∥? B. b 与?相交 C. b ? α D. b∥?或 b 与?相交 4.如果平面?外有两点 A、B,它们到平面?的距离都是 a,则直线 AB 和平面?的位置关系一定是( ). A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB?? 5.如果点 M 是两条异面直线外的一点,则过点 M 且与 a,b 都平行的平面( ). A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 或没有,或只有一个 D. 有无数个 6.已知 P 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱 DD1 上任意一点,则在正方体的 12 条棱中,与平面 ABP 平行的 是 . 7.过三棱锥 A-BCD 的棱 AB、BC、CD 的中点 M、N、P 作平面 MNP,三棱锥的六条棱中与平面 MNP 平 行的是 ;若 AC 与 BD 成 90°角,AC=6,BD=8,则截面四边形的面积是 . 能力提高 8.平面?与△ABC 的两边 AB、AC 分别交于 D、E,且 AD∶DB=AE∶EC,求证:BC B ∥平面?. C

? E
9. P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, E 为 PB 的中点, O 为 AC, BD 的交点. (1) 求证:EO‖平面 PCD ; (2)图中 EO 还与哪个平面平行?

D A

五、平面与平面平行的判定
目标:掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想. 知识要点: 面面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.用符号

a ? ? , b ? ? , a ? b ? P? ? ? ? // ? . a // ? , b // ? ? 例题: 【例 1】在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点,求证:平面 MNP∥ 平面 A1BD. 【例 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. 【例 3】已知四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形. 点 M、N、Q 分别在 PA、BD、PD 上, 且 PM: MA=BN:ND=PQ:QD. 求证:平面 MNQ∥平面 PBC. 点评:由比例线段得到线线平行,依据线面平行的判定定理得到线面平行,证得两条相交直线平行于一 个平面后,转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行. 【例 4】直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 为正方形,边长为 2,侧棱 A1 A ? 3 ,M、N 分别为 A1B1、 A1D1 的中点,E、F 分别是 B1C1、C1D1 的中点. (1)求证:平面 AMN∥平面 EFDB; (2)求平面 AMN 与平面 EFDB 的距离. 点评:第(1)问证面面平行,转化途径为“线线平行→线面平行→面面平行” . 第(2)问求面面距离, 巧妙将中间两个平面的距离,转化为平面另一侧某点到平面距离的比例,然后利用等体积法求距离 . 等价转化 的思想在本题中十分突出,我们可以用同样的转化思维,将此例中的两个平面的距离,转化为求点 B 到平面 AB’C 的距离.
表示为:

习题

基础达标 1.下列说法正确的是( ). A. 一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任一条直线平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行 D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行 2.在下列条件中,可判断平面α 与β 平行的是( ). A. α 、β 都平行于直线 l B. α 内存在不共线的三点到β 的距离相等 C. l、m 是α 内两条直线,且 l∥β ,m∥β D. l、m 是两条异面直线,且 l∥α ,m∥α ,l∥β ,m∥β 3.下列说法正确的是( ). A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 平行于同一个平面的两条直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 平行于同一个平面的两个平面平行 4.经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作( ). A. 0 个 B. 1 个 C. 0 个或 1 个 D. 1 个或 2 个 5.不在同一直线上的三点 A,B,C 到平面 α 的距离相等,且 A ? α,则( ). A. α∥平面 ABC B. △ABC 中至少有一边平行于 α C. △ABC 中至多有两边平行于 α D. △ABC 中只可能有一条边与 α 平行 6.已知直线 a、b,平面α 、β , 且 a// b,a//α ,α //β ,则直线 b 与平面β 的位置关系为 直线 b//平 面β 或直线 b 在平面β 内;. 7.已知 a、b、c 是三条不重合直线,?、?、?是三个不重合的平面,下列说法中: ⑴ a∥c,b∥c ? a∥b; ⑵ a∥?,b∥? ? a∥b; ⑶ c∥?,c∥? ? ?∥?; ⑷ ?∥?,?∥? ? ?∥? ; ⑸ a∥c,?∥c ? a∥?; ⑹ a∥?,?∥? ? a∥?. 其中正确的说法依次是 . 能力提高 8.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,M,N,Q 分别是棱 A1A,A1B1,A1D1,CB,CC1, CD 的中点,求证:平面 EFG∥平面 MNQ.

9. 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB, M∈AC, N∈FB, 且 AM=FN, 过 M 作 MH⊥AB 于 H,求证: (1)平面 MNH//平面 BCE; (2)MN∥平面 BCE.

六、直线与平面平行的性质
目标:掌握直线和平面平行的性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,掌握“线线” “线面” 平行的转化. 知识要点: 线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平 a // ? ? a β ? a ? ? ? a // b 面相交,那么这条直线和交线平行. 即: . ? b ? ? ? ? b? ? ? 例题: 【例 1】经过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 作一平面交平面 AA1D1D 于 E1E,求证:E1E∥B1B
王新敞
奎屯 新疆

【例 2】如右图,平行四边形 EFGH 的分别在空间四边形 ABCD 各边上,求证:BD//平面 EFGH.

点评:转化思维链是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行” . 【例 3】已知直线 a ∥平面α ,直线 a ∥平面β ,平面α ? 平面β = b ,求证 a // b . 点评:利用公理 4,寻求一条直线分别与 a,b 均平行,从而达到 a∥b 的目的,这里借用已知条件中的 a ∥α及 a∥β来实现.证线线平行,可由公理 4 进行平行传递,也可以由线面平行的性质及后面的面面平行的 性质得到线线平行. 这里采用作辅助平面,利用线面平行的性质得到线线平行.

习题
基础达标 1.已知直线 l//平面α ,m 为平面α 内任一直线,则直线 l 与直线 m 的位置关系是( ). A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 2.梯形 ABCD 中 AB//CD,AB ? 平面α ,CD ? 平面α ,则直线 CD 与平面α 内的直线的位置关系只能是 ( ). A. 平行 B. 平行和异面 C. 平行和相交 D. 异面和相交 3.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( ). A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 不能确定 4.若直线 a 、b 均平行于平面α ,则 a 与 b 的关系是( ). A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交或异面 5.已知 l 是过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点的平面 AB1D1 与下底面 ABCD 所在平面 的交线,下列结论错误的是( ). A. D1B1∥l B. BD//平面 AD1B1 C. l∥平面 A1D1B1 D. l⊥B1 C1 6.已知正方体 AC1 的棱长为 1,点 P 是的面 AA1 D1 D 的中心,点 Q 是面 A1 B1C1 D1 的对 角线 B1 D1 上一点,且 PQ // 平面 AA1 B1 B ,则线段 PQ 的长为 . 7.设不同的直线 a,b 和不同的平面α ,β ,γ ,给出下列四个说法: ① a∥α ,b∥α ,则 a∥b; ② a∥α , a∥β , 则α ∥β ; ③α ∥γ ,β ∥γ ,则α ∥β ;④ a∥b,b ? α ,则 a∥α . 其中说法正确的序号依次是 . 能力提高 8.如图,空间四边形 ABCD 被一平面所截,截面 EFGH 是平行四边形. (1)求证:CD∥平面 EFGH; (2)如果 AB⊥CD,AB=a, CD=b 是定值,求截面 EFGH 的面积.

CD // ? ,AC ? ? ? M ,BD ? ? ? N , 9. 如右图, 直线 AB 和 CD 是异面直线,AB // ? , 求证:

AM BN . ? MC ND N

A

B

? M Q
C D

N

N N

七、平面与平面平行的性质
目标:掌握“线线” “线面” “面面”平行的转化. 知识要点:

? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b . 2. 其它性质:① ? // ? , l ? ? ? l // ? ; ② ? // ? , l ? ? ? l ? ? ;
③夹在平行平面间的平行线段相等.

1. 面面平行的性质: 如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的交线平行. 用符号语言表示为:

A

例题: 【例 1】如图,设平面α ∥平面β ,AB、CD 是两异面直线,M、N 分别是 AB、 CD 的中点,且 A、C∈α ,B、D∈β . 求证:MN∥α .

? M E

C

N D

?

B

【例 2】如图,A,B,C,D 四点都在平面?,?外,它们在?内的射影 A1,B1,C1,D1 是平行四边形的四 个顶点,在?内的射影 A2,B2,C2,D2 在一条直线上,求证:ABCD 是平行四边形.

【例 3】如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E、F、G 是侧面对角线上的点,且 BE ? CF ? AG ,求证: 平面 EFG∥平面 ABC. 点评:将空间问题转化为平面问题,是解决立体几何问题的重要策略,关键在于选择或添加适当的平面 或线,并抓住一些平面图形的几何性质,如比例线段等 . 此题通过巧作垂线,得到所作平面与底面平行,由性 质 ? // ? , l ? ? ? l // ? 易得线面平行,进而转化出待证的面面平行,突出了平行问题中转化思想 . 【例 4】如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,面对角线 AB1 , BC1 上分别有两点 E、F,且 B1 E ? C1 F . 求证:EF∥平面 ABCD. 点评:在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后,空间平行问题的证明,紧紧抓住“线线平行 ? 线 面平行 ? 面面平行”之间的互相转化而完成证明.

习题
1.下列说法正确的是( ). A. 如果两个平面有三个公共点,那么它们重合 B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C. 在两个平行平面中,一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D. 如果两个平面平行,那么分别在两个平面中的两条直线平行 2.已知 ? ∥ ? , a ? ? , B ? ? , 则在 ? 内过点 B 的所有直线中( ). A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线 3.下列说法正确的是( ). A. 直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行 B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行 C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 4.在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是( ). A. BDC ' 与B ' D ' C B. A ' BC ' 与ACD ' C. B ' D ' D与BDA ' D. A ' DC ' 与AD ' C 5.已知平面 ? // 平面 ? , P 是 ? , ? 外一点,过点 P 的直线 m 与 ? , ? 分别交于点 A, C ,过点 P 的直线 n 与 ? , ? 分别交于点 B, D ,且 PA ? 6 , AC ? 9 , PD ? 8 ,则 BD 的长为( ). A. 16 B.

24 或

24 5

C. 14

D. 20

6.已知平面α ∥β , a ? ? ,有下列说法:① a 与β 内的所有直线平行;② a 与β 内无数条直线平行; ③ a 与β 内的任意一条直线都不垂直. 其中正确的序号依次是 . 7.设平面α ∥β ,A、C∈α ,B、D∈β ,直线 AB 与 CD 交于 S,若 AS=18,BS=9,CD=34,则 SC=_ . 能力提高 8.如图,设平面α ∥平面β ,AB、CD 是两异面直线,且 A、C∈α ,B、D∈β ,AC⊥BD,AC=6,BD=8. M 是 AB 的中点,过点 M 作一个平面γ ,交 CD 与 N,且 ? // ? ,求线段 MN 的长.
A ? M E C

N D

?

B

9.已知平面 ? , ? , ? ,且 ? // ? , ? // ? ,求证: ? // ? .
?

a
b

?
?
b??

a? b? a??

八、直线与平面垂直的判定
目标:掌握直线与平面垂直的定义,理解直线与平面垂直的判定定理,并会用定义和判定定理证明直线与 平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解. 知识要点: 1. 定义:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 ? 互相垂直,记作 l ? ? . l -平 面 ? 的垂线, ? -直线 l 的垂面,它们的唯一公共点 P 叫做垂足.(线线垂直 ? 线面垂直) 2. 判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为: 若 l ⊥ m , l ⊥ n , m ∩ n =B, m ? ? , n ? ? ,则 l ⊥ ? 3. 斜线和平面所成的角,简称“线面角” ,它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所 成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,可以简述为“作(作出线面角) →证(证所作为所求)→求(解直角三角形) ”. 通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜 足的连线是产生线面角的关键. 例题: 【例 1】四面体 ABCD 中, AC ? BD, E , F 分别为 AD , BC 的中点,且 EF ?

2 AC ,?BDC ? 90? ,求证: 2

BD ? 平面 ACD .
【例 2】已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 A1B1 的中点,求直线 AE 与平面 ABC1D1 所成 的角的正弦值.

PB ? AC , PO ? 平面 ABC,垂足为 O,求证:O 为底面△ABC 【例 3】三棱锥 P ? ABC 中, PA ? BC,
的垂心. PB ? AC ,求证 PC ? AB ” 点评:此例可以变式为“已知 PA ? BC, ,其思路是接着利用射影是垂心的结 论得到 OC ? AB 后进行证明. 三条侧棱两两垂直时,也可按同样的思路证出. 【例 4】 已知 Rt ?ABC , 斜边 BC//平面 ? ,A ? ? , AB, AC 分别与平面 ? 成 30°和 45°的角, 已知 BC=6, 求 BC 到平面 ? 的距离. 点评:由直线与平面的平行,直接作平面的垂线段即为线面距离. 此题通过两条垂线段把所已知的线面角 同时作出,利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题.

习题
基础达标

1.若三条直线 OA,OB,OC 两两垂直,则直线 OA 垂直于( ). A.平面 OAB B.平面 OAC C.平面 OBC D.平面 ABC 2.若直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? ? ,则( ). A. l ? m B.l 可能和 m 平行 C.l 和 m 相交 D. l 和 m 不相交 3.在正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别是 G1G2、G2G3 的中点,现沿 SE、SF、 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 G1、G2、G3 重合为点 G,则有( ). A. SG⊥面 EFG B. EG⊥面 SEF C. GF⊥面 SEF D. SG⊥面 SEF 4.直线 a⊥直线 b,b⊥平面 ? ,则 a 与β 的关系是( ). A.a⊥ ? B. a∥β . C. a ? ? D .a ? ? 或 a ∥ ?

S

G3 F

G1

E

G2

5. (04 年湖南卷.理 4 文 5)把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体 积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( ). A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 6.在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 时,有 A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种即可,不必考虑所有可能的情形). 7.设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H ,给出以下说法: ①若 PA ? BC , PB ? AC ,则 H 是 ?ABC 垂心; ②若 PA, PB, PC 两两互相垂直,则 H 是 ?ABC 垂心; ③若 ?ABC ? 90? , H 是 AC 的中点,则 PA ? PB ? PC ; ④若 PA ? PB ? PC ,则 H 是 ?ABC 的外心. 其中正确说法的序号依次是 . 能力提高 8.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是 CC1 的中点,F 是 AC,BD 的交点,求证: A1 F ? 平面BED .

9.如图, ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? a, AB ? 2a , E 是线段 PD 上的点, F 是线 段 AB 上的点,且

PE BF 1 ? ? .求直线 EF 与平面 ABCD 所成角的正弦值. ED FA 2

九、平面与平面垂直的判定
目标:掌握二面角和两个平面垂直的定义,理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平 面垂直的关系,会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小. 知识要点: 1. 定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedral angle). 这条直线叫做二面角的 棱,这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角 ?-AB-? . (简记 P-AB-Q ) 2. 二面角的平面角:在二面角 ?-l-? 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足,在半平面 ? , ? 内分别作垂 直于棱 l 的射线 OA 和 OB ,则射线 OA 和 OB 构成的 ?AOB 叫做二面角的平面角. 范围: 0? ? ? ? 180? . 3. 定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作 ? ? ? . 4. 判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. (线面垂直 ? 面面垂直) 例题: 【例 1】已知正方形 ABCD 的边长为 1,分别取边 BC、CD 的中点 E、F,连结 AE、EF、AF,以 AE、EF、 FA 为折痕,折叠使点 B、C、D 重合于一点 P. (1)求证:AP⊥EF; (2)求证:平面 APE⊥平面 APF. 【例 2】如图, 在空间四边形 ABCD 中, AB ? BC, CD ? DA, E , F , G 分别 A 是 CD, DA, AC 的中点,求证:平面 BEF ? 平面 BGD .
F G B D E C

【例 3 】如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是 CC1 的中点,求证:
平面A1 BD ? 平面BED .

点评:要证两平面垂直,证其二面角的平面角为直角,这也是证两平面垂直的常用方法 . 此题由几何图形

的特征,作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键 . 【例 4】正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=2AB,D、E 分别是侧棱 BB1、CC1 上的点,且 EC=BC=2BD,过 A、D、E 作一截面,求: (1)截面与底面所成的角; (2)截面将三棱柱分成两部分的体积之比. 点评:截面问题的研究,需注意结合截面的性质. 如何作出截面,是解决问题的关键,然后把截面的看成 一个平面图形. 求二面角时,抓住二面角的平面角定义(两线垂棱) ,找出其平面角,解直角三角形 .

习题
基础达标 1.对于直线 m 、 n 和平面 ? 、 ? , ? ? ? 的一个条件是( ). A. m ? n , m // ? , n // ? B. m ? n, ? ? ? ? m, n ? ? C. m // n, n ? ? , m // ? D. m // n , m ? ? , n ? ? 2.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP⊥平面 ABCD,且 AP=AB,则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面 角的度数是( ). A.30° B.45° C.60° D.90° 3.在三棱锥 A—BCD 中,如果 AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD 是锐角三角形,那么( ). A. 平面 ABD⊥平面 ADC B. 平面 ABD⊥平面 ABC C. 平面 BCD⊥平面 ADC D. 平面 ABC⊥平面 BCD 4.在直二面角 ? ? AB ? ? 棱 AB 上取一点 P,过 P 分别在 ? , ? 平面内作与棱成 45°角的斜线 PC、PD, 则∠CPD 的大小是( ). A.45° B.60° C.120° D.60°或 120° 5. 下面四个说法: ① 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线, 那么这条直线和这个平面垂直; ② 过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直;③垂直同一平面的两条直线互相平行;④经过一个平面的垂 线的平面与这个平面垂直. 其中正确的说法个数是( ). A.1 B. 2 C. 3 D. 4 6.E 是正方形 ABCD 的 AB 边中点,将△ADE 与△BCE 沿 DE、CE 向上折起,使得 A、B 重合为点 P, 那么二面角 D—PE—C 的大小为 . 7. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC, CD=DA, E 是 AC 的中点, 则平面 BDE 与平面 ABC 的位置关系是 . 垂直 能力提高 8.如图,正三角形 ABC 的边长为 3,过其中心 G 作 BC 边的平行线,分别交 AB、 AC 于 B1 、 C1 . 将 ?AB1C1 沿 B1C1 折起到 ?A1 B1C1 的位置,使点 A1 在平面 BB1C1C 上的射 影恰是线段 BC 的中点 M. 试求二面角 A1 ? B1C1 ? M 的大小.

9.如图,棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为棱 AB 和 BC 的中点, M 为棱 B1 B 的中点. 求证: (1) EF ? 平面 BB1 D1 D ; (2)平面 EFB1 ? 平面 D1C1M .
A1 D1 C1

B1

D

M C F

A

E

B

10.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面, E、F 分别是 AB、PC 的中点.(1)求证:CD⊥PD; (2)求证:EF∥平面 PAD; (3)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大角时,直线 EF⊥平面 PCD?

十、线面、面面垂直的性质
目标:认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质,掌握两个性质定理及定 理的应用. 知识要点:

1. 线面垂直性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. (线面垂直 ? 线线平行) 2. 面面垂直性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表 示为:若 ? ? ? , ? ? ? ? l , a ? ? , a ? l ,则 a ? ? .(面面垂直 ? 线面垂直) 例题: 【例 1】 把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置于桌面, 另一条直角边 AC 与桌面所在的平面 ? 垂直, a 是? 内一条直线,若斜边 AB 与 a 垂直,则 BC 是否与 a 垂直? A

α

C

B a

注:若 BC 与 a 垂直,同理可得 AB 与 a 也垂直,其实质是三垂线定理及逆定理,证明过程体现了一种重 要的数学转化思想方法: “线线垂直→线面垂直→线线垂直”. 【例 2】如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的 各对平面.

【例 3】三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC , PO ? 平面 ABC,垂足为 O,求证:O 为底 面△ABC 的外心. .

点评:若已知三条侧棱与底面所成角相等时,即 ?PAO ? ?PBO ? ?PCO ,按同样的方法“证全等”可以 证出. 上述结论对一般棱锥也成立,即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射 影为底面多边形的外心. 【例 4】三棱锥 P ? ABC 中,三个侧面与底面所成的二面角相等, PO ? 平面 ABC,垂足为 O,求证:O 为底面△ABC 的内心. 点评:这里用到了证明垂直问题的转化思想,即“线线垂直→线面垂直→线线垂直” . 上述结论对于一般 棱锥也成立,即棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等,或棱锥的顶点到底面各边的距离相等,则顶点在底面 上的射影为底面多边形的内切圆的圆心.

习题
基础达标 1.PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于 A、B 的任一点,则下列关系不正确的是( ). A. PA⊥BC B. BC⊥平面 PAC C. AC⊥PB D. PC⊥BC 2. (1998 上海卷)在下列说法中,错误的是( ). A. 若平面α 内的一条直线垂直于平面β 内的任一直线,则α ⊥β B. 若平面α 内任一直线平行于平面β ,则α ∥β C. 若平面α ⊥平面β ,任取直线 l ? α ,则必有 l⊥β D. 若平面α ∥平面β ,任取直线 l ? α ,则必有 l∥β 3.给出下列说法:①直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行;②夹在两个平行平面间的 两条异面线段的中点连线平行于这两个平面;③直线 m⊥平面α ,直线 n⊥m,则 n∥α ; ④a、b 是异面直线, 则存在唯一的平面α ,使它与 a、b 都平行且与 a、b 距离相等. 其中正确的两个说法是( ). A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ ? ABC ? ACB ? 90 ? ? BAC ? 60 ? 4.在 中, ,AB=8, ,PC ? 面 ABC,PC=4,M 是 AB 边上的一动点, 则 PM 的最小值为( ).

A. 2 7 B. 7 C. 19 D. 5 5. (04 年福建卷.理 5)已知 m、n 是不重合的直线,α 、β 是不重合的平面,有下列说法: ①若 m ? α ,n∥α ,则 m∥n; ②若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β ; ③若α ∩β =n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β ; ④若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β . 其中正确说法的个数是( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.已知两个平面垂直,给出下列一些说法:①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直 线;②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个 平面;④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的说法的序号依次是 . 7.P 是△ABC 所在平面α 外一点,O 是 P 在平面α 内的射影. 若 P 到△ABC 的三个顶点距离相等,则 O 是 △ABC 的__________心;若 P 到△ABC 的三边的距离相等,则 O 是△ABC 的_______心;若 PA,PB,PC 两两垂直, 则 O 是△ABC 的_______心. ※能力提高 8.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. 求证: (1)B1D⊥平面 A1C1B; (2)B1D 与平面 A1C1B 的交点设为 O,则点 O 是△A1C1B 的垂心.

9. (1994 全国文,23)如图,已知 A1B1C1—ABC 是正三棱柱,D 是 AC 中点. (1)证明:AB1∥平面 DBC1; (2)假设 AB1⊥BC1,BC=2,求线段 AB1 在侧面 B1BCC1 上的射影长.

※探究创新 10.在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面 BB1C1C⊥底面 ABC. (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面 交侧棱于 M,若 AM=MA1,求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C; (3)如果截面 MBC1⊥平面 BB1C1C,那么 AM=MA1 吗?请你叙述判断理由.

第二章 点线面之间的位置关系 复习
例题: 【例 1】如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M、N 分别在其面的对角线 A1B、AC 上运动, 且 A1M=AN,求 MN 的最小值.

【例 2】 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 CC1 的中点, F 是 AC,BD 求证: A1 F ? 平面BED .

的交点,

【例 3】正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M、N 分别为 A1B1、A1D1 的中点,E、F 分别是 B1C1、C1D1 的中点. (1)求证:E、F、B、D 共面; (2)求证:平面 AMN∥平面 EFDB. 点评:证面面平行,可以是“线线平行→线面平行→面面平行”.

【例 4】 (05 年春季高考上海卷.19)已知正三棱锥 P ? ABC 的体积为 72 3 ,侧面与底面所成的二面角的 大小为 60? .(1)证明: PA ? BC ; (2)求底面中心 O 到侧面的距离. 点评:立体几何中的证明,我们要牢牢抓住“转化”这一武器,线与线、线与面、面与面之间的垂直与平 行,都可互相转化,转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等.

第 19 练 第二章 点线面之间的位置关系 复习
※基础达标 1. (06 年四川卷)已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60 ? , m, n 为异面直线,且 m ? ? , n ? ? ,则 m, n 所 成的角为( ). A. 30 ? B. 60 ? C. 90 ? D. 120? 2.在下列条件中,可判断平面α 与β 平行的是( ). A.α 、β 都垂直于平面 r B.α 内存在不共线的三点到β 的距离相等 C.l,m 是α 内两条直线,且 l∥β ,m∥β D.l,m 是两条异面直线,且 l∥α ,m∥α , l∥β ,m∥β 3.(04 年全国卷Ⅱ.文 6)正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为( ) . A.75° B.60° C.45° D.30° 4. (06 年福建卷)对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n, 下列说法中正确的是( ). A. 若 m ? ? , m ? n, 则 n∥ ? B. 若 m∥? ,n∥? ,则 m∥ n C. 若 m ? ? , n∥? ,则 m∥ n D. 若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m∥ n 5. (07 年广东卷)若 l,m,n 是互不相同的空间直线, ?,? 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的 是( ). A.若 ? ∥ ?,l ? ?,n ? ? ,则 l // n C.若 l ? n,m ? n ,则 l ∥ m B.若 ? ? ?,l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ?

6. (06 年天津卷)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 1 .若二面角 C ? AB ? C1 的大小为 60? ,则 点 C 到平面 ABC1 的距离为_____________. 7. (01 京皖春)已知 m、n 是直线,α 、β 、γ 是平面,给出下列说法: ① 若α ⊥β ,α ∩β =m,n⊥m,则 n⊥α 或 n⊥β ; ② 若α ∥β ,α ∩γ =m,β ∩γ =n,则 m∥n; ③ 若 m 不垂直于α ,则 m 不可能垂直于α 内的无数条直线; ④ 若α ∩β =m,n∥m 且 n ? α ,n ? β ,则 n∥α 且 n∥β . 其中正确的说法序号是 (注:把你认为正确的说法的序号都 填上). . ※能力提高 8.直线 a、b、c 共点 P,且两两成 60°角,求 c 与 a、b 所确定的平面α 所成角的余 弦值. 9. (06 年北京卷)如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD , 且 PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (1)求证: AC ? PB ; (2)求证: PB // 平面 AEC ; (3)求二面角 E ? AC ? B 的大小.


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