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广东省惠阳高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试文科数学试题


广东惠阳高级中学 2015-2016 学年度 高二年级第一学期期中考试数学(文)试题
命题人:甘文波老师 参考公式:锥体的体积公式为 V = 2015/11/5

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高。 3 一:选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.某工厂生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的产品,产品的数量之比为 2 :

3 : 5 ,现用分层抽样
的的方法抽出样本容量为 n 的样本,样本中 A 型产品有 16 件,那么 n ? ( A.100 B.80 C.60 D.20
0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05


频率 /组距

2.海南岛购物免税在十一期间异常火爆,现对某商场 10 月 2 日 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图 1 所示,已知 9 时至 11 时的销售额为 5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为( A.12 万元 B。10 万元 C。8 万元 ) D。6 万元

9 10 11 12 13 14
图1

时间

3.如左下图是 2014 年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的 茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的众数和中位数分别为( ) A.84,,84 B.84,85 C.85,84 D.85,85

7 8 9

9

4 5 6 4 7 3

4.某程序框图如右图所示,该程序运行后,输出的 x 值为 39 , 则 a =( ) A.19 B.9
2 2

C.4

D.3

5.直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,则 弦 AB 的长等于( A. 2 3 ) B。 3 C。 2 D。 1

6 .设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 O ﹐球面上有两个点 A , B 的坐标分别为

A?1,2,2? , B ? 2, ?2,1? ,则 AB ? (
A. 18 B. 12

) C. 2 3 D. 3 2

7.抛 2 颗骰子,则向上点数不同的概率为( A.

) C。

5 6

B。

3 4

1 2


D。

1 4

8.圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为( A. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1
2

B. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 )

9.直线 y ?
A.

3x 截圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 所得劣弧长为(
B.

? 6

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

10.一组数据的平均数是 2,方差是 4,若将这组每个数据都加上 10 构成一组新数据,则这 组新数据的平均数和标准差分别是( A.12,2 B.12,12 ) C.8,2
2

D.8,12 )

11.设 m 在区间 [0,10] 上随机地取值,则方程 4 x ? 4mx ? m ? 6 ? 0 有实根的概率是( A.

1 5

B.

3 5

C.

7 10

D.

9 10


12.两圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1,( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 36 的位置关系是( A.外离 B。外切 C。相交

D。内切

二:填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13.某班有学生 48 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 6 的样本,已知座位号分别为 6,14,30,38,46 的同学都在样本中,那么样本中另一位同学的座位号应该是 . 14 . 以 点 (1, ?1) 为 圆 心 且 与 直 线 x ? y ? 2 相 切 的 圆 的 方 程 是 ________________

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 经过圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 0 的圆 a b 心,则 a ? b 的最小值为________________
15.若直线 16.对一位运动员的心脏跳动检测了 8 次,得到如下表所示的数据: 检测次数 检测数据 a i (次/分钟) 1 39 2 40 3 42
k.Com]

4 42

5 43

6[ 45

7 46

8 47

上述数据的统计分析中,一部分计算见如右图所示的程序框图(其中

a 是这 8 个数据的平均数) ,则输出的 S 的值是________

三:解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分)
17.(本小题满分 12 分) 已知△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a ? 2, cos B ? (1) 若 b ? 4 , 求 sin A 的值; (2) 若△ ABC 的面积 S ?ABC ? 4, 求 b, c 的值.

3 . 5

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n2 ? 2n 。 (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn 。 an ? an ?1

19. (本小题满分 12 分) 分成六段 ?40,50? , ?50,60? … ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息, 回答下列问题: (1)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全这个频率分布 直方图; (2)根据频率分布直方图,估计本次数学成绩的平均数; (3)用分层抽样的方法在分数段为 ?40,60? 的学生中抽 取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体,从中 任取 2 人,求恰好有 1 人分数在 ?50,60? 的概率。 某校从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)

20. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 600 , AB ? 2,

PD ? AD ? 1 , PD ? 底面 ABCD 。
(1)证明: PA ? BD ; (2)求三棱锥 D ? PBC 的体积。
A

P

D B

C

21. (本小题满分 12 分) 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据:

x
y

6

8

10

12

2 3 5 6 (1)画出散点图并指出 x 与 y 之间是正相关还是负相关 ;

? ?a ?; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx

?? 其中( b

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

2

?x
i ?1

2

i

? nx

2

? ) ? ? y ? bx ,a

(3)记忆力为 14 的同学的判断力约为多少?

22. (本小题满分 10 分) 已知圆 C 的圆心在 y 轴上,且圆 C 与直线 l1 : y ? x 相切于点 (1,1) 。 (1)求圆 C 的方程; (2)若线段 AB 为圆 C 的直径,点 P 为直线 l2 : 4 x ? 3 y ? 21 ? 0 上的动点,求

??? ? ??? ? PA ? PB 的最小值。

广东惠阳高级中学 2015-2016 学年度
原班级_____________________________姓名____________________________试室___________________________考试座位号_____________________

高二年级第一学期期中考试数学(文)试题(答卷)
题号 得分 一 选择题 二 填空题 三 17 18 19 解答题 20 21 22 总分

一:选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题 1 2 3 4 5 6 号 答 案 二:填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13_________________, 17(本小题满分 12 分) 14__________________,

7

8

9

10

11

12

15_______________,16_____________

三:解答题(共 70 分,解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明)

18(本小题满分 12 分)

19(本小题满分 12 分)

20(本小题满分 12 分)

P

D A B

C

21(本小题满分 12 分)

22(本小题满分 10 分)

广东惠阳高级中学 2015-2016 学年度 高二年级第一学期期中考试数学(文)试题(答案)
一:选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B C B C A D 二:填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13: 22 14: ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

A
15: 9

B

D
16: 7

A

11 C

12 D

三:解答题(共 70 分)
17(本小题满分12分)

3 4 , 0 ? B ? ? ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? ……………2 分 5 5 a b ? 依正弦定理 有 …………………………………3分 sin A sin B 4 2? a sin B 5?2 …………………………………6分 sin A ? ? b 4 5 1 1 4 4 (2) S ?ABC ? ac sin B ? ? 2c ? ? c ? 4 ……………………8分 2 2 5 5
解(1)∵ cos B ? 得c ? 5
2 2 2

……………………………………9分

∴ b ? a ? c ? 2ac cos B ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 ? ∴ b ? 17 18(本小题满分 12 分) 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3

3 ? 17 ……………………11分 5

……………………………………12分

…………………………………1分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? 2n ? (n ?1)2 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1 …………4分 又 a1 ? 3 也适合上式 ∴ an ? 2n ? 1(n ? N ? ) (2) ……………………………………5分 ……………………………………6分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) …………………………9分 an ? an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ? ? ? ... ? ? )? ( ? )? ……12分 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3 6n ? 9

∴ Tn ?

19(本小题 l2 分) 解(1)分数在 ?70,80? 内的频率为

1 ? 10 ? (0.010 ? 0.015 ? 0.015 ? 0.025 ? 0.005) ? 0.3 ………………………2分
∴分数在 ?70,80? 对应矩形的高为 补全这个频率分布直方图如右图 (2)本次数学成绩的平均数为

0.3 ? 0.030 10
………4分

0.1? 45 ? 0.15 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.30 ? 75 ?0.25 ? 85 ? 0.05 ? 95 ? 71 分 ……………………7 分
(3) ?40,50? 内抽取 5 ?

0.1 ? 2 人,记为 a , b 0.1 ? 0.15

?50,60? 内抽取 5 ? 2 ? 3 人,记为1, 2,3 …………………………………9分
从 5 人中任取 2 人共有 10 结果:

ab, a1, a2, a3, b1, b2, b3,12,13, 23 ……………………10分
记 A ? { 恰好有 1 人分数在 ?50,60? } ,则 A 包含 6 种结果:

a1, a2, a3, b1, b2, b3
∴ P ( A) ?

……………………11分

6 3 ? 10 5

…………………12分

20(本小题 12 分) (1) 证明:∵ PD ? 底面 ABCD ,∴ PD ? BD ……1分

P

D

C B

在 ?ABD 中, BD ? AD ? AB ? 2 AD ? AB cos60
2 2 2

0

A

? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ?
2 2

1 ? 3, 2
2

∴ BD ? 3

…………………3分

又 AD ? BD ? 4 ? AB ,

∴ AD ? BD …………………4 分

又 PD ? AD ? D , ∴ BD ? 平面 PAD ……………5 分 又 PA ? 平面 PAD , ∴ BD ? PA …………………6 分 (2)解:由(1)知: AD ? BD , ∴ BC ? BD ,且 BC ? 1 ……………7 分 在 Rt ?BCD 中, S ?BCD ?

1 3 BC ? BD ? 2 2

……………8 分

∵ PD ? 底面 ABCD ,∴ PD 为三棱锥 P ? BCD 的高,且 PD ? 1 …………9 分 ∴ VD ? PBC ? VP ? BCD ?

1 1 3 3 S ?BCD .PD ? ? ?1 ? 3 3 2 6 3 6
…………………………………12分

∴三棱锥 D ? PBC 的体积为 21(本小题 12 分)

解: (1) x 与 y 的散点图如右图: 如图可知 x 与 y 是正相关 …………………………………3分

(2)法一: x ? 9, y ? 4
2

…………………………………4分

∴ nx ? y ? 4 ? 9 ? 4 ? 144, nx ? 4 ? 81 ? 324 …………………………………5分

?x y
i ?1
n

n

i

i

? 12 ? 24 ? 50 ? 72 ? 158

…………………………………6分

?x
i ?1

2

i

? 36 ? 64 ? 100 ? 144 ? 344
n

…………………………………7分

?? ∴b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

?x
i ?1

2

i

? nx

2

?

158 ? 144 ? 0.7 344 ? 324

…………………………………8分

? ? 4 ? 0.7 ? 9 ? ?2.3 ? ? y ? bx ∴a

…………………………………9分

∴ y 关于 x 的线性回归方程 y ? 0.7 x ? 2.3 …………………………………10分 法二: x ? 9, y ? 4
n

…………………………………4分

? ( x ? x)( y ? y) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? (?1) ? 1?1 ? 3 ? 2 ? 14
i ?1
n

i

i

………5分

? ( x ? x)
i ?1 i

2

? (?3)2 ? (?1)2 ? 12 ? 32 ? 20

……………6分

?? ∴b

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

14 ? 0.7 20

……………8分

? ? 4 ? 0.7 ? 9 ? ?2.3 ? ? y ? bx ∴a
∴ y 关于 x 的线性回归方程 y ? 0.7 x ? 2.3 (3)当 x ? 14 时, y ? 0.7 ?14 ? 2.3 ? 7.5 ∴记忆力为14的同学的判断力约为7.5 22. (本小题满分 10 分) 解(1)法一:设圆心的坐标为 C (0, b) ,则 ∴ C (0, 2) ,半径 r ?

…………………………………9分 …………………………………10分

…………………………………12分

b ?1 ? ?1 ,得 0 ?1

b ? 2 …………2分

(0 ? 1) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 2

……………………………4分 ……………………………5分

∴圆 C 的方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

法二: 设圆 C 的方程为 x 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) ,则圆心为 C (0, b) ,半径为 r

? b ?1 ?1 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? ? ?1 ?1 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 0 ?1 ? ? 依题意有: ? b ? 1 (或 ? | 0 ? b | ,? ?r ? ?1 ?| 0 ? b | ? r ? ? ? 0 ?1 2 ? ? ? 2
解得: ?



…2分

? ? b?2 ? ?r ? 2
2 2

……………………………4分

∴圆 C 的方程为 x ? ( y ? 2) ? 2

……………………………5 分

(2) ∵线段 AB 为圆 C 的直径,∴ | AC |?| BC |? r ? 2 ……………………6分 ∴ PA ? PB ? (PC ? CA) ? (PC ? CB) ? (PC ? CA) ? (PC ? CA)

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ?| PC |2 ? | CA |2 ?| PC |2 ?2 …………………………………………8分

??? ? | PC | 的最小值就是点 C (0, 2) 到直线 l : 4 x ? 3 y ? 21 ? 0 的距离
即 | PC |min ? d ? 3

??? ?

………………………………………9分

2 ∴ PA ? PB 的最小值为 | PC |2 min ?2 ? 3 ? 2 ? 7 ………………………………10 分

??? ? ??? ?

??? ?


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