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江苏省海州高级中学2015届高三数学(理)自编专题训练:专题二 数列(1)


2015 年高三数学二轮复习自编专题训练 专题
一、填空题: 1.已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a 1 的值是 .

数列(一)
班级

编制人:徐进勇
姓名

2 2.通项公式为 an ? a

n ? n 的数列 ?an ? ,若满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,且 an ? an?1 对 n ? 8

恒成立,则实数 a 的取值范围是 3.某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一都有 A,B 两种菜可供选择.调查资料 表明,凡是在星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20%的人改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下 星期一会有 30%的人改选 A 种菜.用 an , bn 别表示在第 n 个星期选 A 种菜的人数和选 B 种

菜的人数,如果 a1 =300,则 a10 =
4.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

. .

n 1 4 12 , 2 ? an ?1 ? n ? N * ? ,则 ? = ? 3 an ? 6 i ?1 ai

二、解答题:解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. a2 a3 an 5.已知数列{an}满足:a1+ + 2 +…+ n-1=n2+2n(其中常数 λ>0,n∈N*) . λ λ λ (1)求数列{an}的通项公式; (2)当 λ=4 时,是否存在互不相同的正整数 r,s,t,使得 ar,as,at 成等比数列?若存在, 给出 r,s,t 满足的条件;若不存在,说明理由;

-1-

6.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 4 ,前 n 项和为 Sn ,且 Sn+1 -3Sn -2n-4=0(n ? N+ ) (1)求数列 {an } 的通项公式; ( 2 ) 设 函 数 f ( x) ? an x ? an?1x2 ? an?2 x3 ?

? a1xn , f / ( x) 是 函 数 f ( x) 的 导 函 数 , 令

bn ? f / (1) ,求数列 {bn } 的通项公式,并研究其单调性。

αan+1+βan 7 设非常数数列{an}满足 an+2= ,n∈N*,其中常数 α,β 均为非零实数,且 α+β α+β ≠0. (1)证明:数列{an}为等差数列的充要条件是 α+2β=0; 1 5 (2)已知 α=1,β= , a1=1,a2= ,求证:数列{| an+1-an-1|} (n∈N*,n≥2)与数列{n+ 4 2 1 } (n∈N*)中没有相同数值的项. 2

-2-

数列答案 1、已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a 1 的值是 ▲ 答案:-2
2 2.通项公式为 an ? an ? n 的数列 ?an ? ,若满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,且 an ? an?1 对 n ? 8

.

恒成立,则实数 a 的取值范围是



1 1 (? , ? ) 9 17

3.某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一都有 A,B 两种菜可供选择.调查资料 表明,凡是在星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20%的人改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下 星期一会有 30%的人改选 A 种菜.用 an , bn 别表示在第 n 个星期选 A 种菜的人数和选 B 种 菜的人数,如果 a1 =300,则 a10 = . 4 3 ? ?an+1= an+ bn, 5 10 解析:依题意得? ? ?an+bn=500 1 消去 bn 得:an+1=2an+150. 由 a1=300 得 a2=300,从而得 a10=300.
4、 (常州市 2013 届高三期末)已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

4 12 , 2 ? an ?1 ? n ? N * ? ,则 ? 3 an ? 6

?a
i ?1

n

1
i

=





答案:

2 ? 3n ? n ? 2 4

a2 a3 an 5.已知数列{an}满足:a1+ + 2 +…+ n-1=n2+2n(其中常数 λ>0,n∈N*) . λ λ λ (1)求数列{an}的通项公式; (2)当 λ=4 时,是否存在互不相同的正整数 r,s,t,使得 ar,as,at 成等比数列?若存 在,给出 r,s,t 满足的条件;若不存在,说明理由; 解: (1)当 n=1 时,a1=3. a2 a3 an 当 n≥2 时,由 a1+ + 2 +…+ n-1=n2+2n, λ λ λ an-1 a2 a3 得 a1+ + 2 +…+ n-2 =(n-1)2+2(n-1). λ λ λ an - ①-②得: n-1=2n+1,所以 an=(2n+1)·λn 1, (n≥2) . λ 因为 a1=3,所以 an=(2n+1)·λn
- -1

① ②

(n∈N*).

(2)当 λ=4 时,an=(2n+1)·4n 1.

-3-

若存在 ar,as,at 成等比数列,则 [(2r+1) ·4r 1] [(2t+1) ·4t 1]=(2s+1)2 ·42s 2.
- - -

整理得(2r+1) (2t+1) 4 r

+t -2s

=(2s+1)2.

由奇偶性知 r+t -2s=0.

所以(2r+1) (2t+1)=(r+t+1)2,即(r-t)2=0. 这与 r≠t 矛盾,故不存在这样的正整数 r,s,t,使得 ar,as,at 成等比数列. 6.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 4 ,前 n 项和为 Sn ,且 Sn+1 -3Sn -2n-4=0(n ? N+ ) (1)求数列 {an } 的通项公式; ( 2 )设函数 f ( x) ? an x ? an?1x2 ? an?2 x3 ?

? a1xn , f / ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,令

bn ? f / (1) ,求数列 {bn } 的通项公式,并研究其单调性。
解: (1)由 Sn+1 -3Sn -2n-4=0(n ? N+ ) 得 Sn -3Sn-1 -2n+2-4=0(n ? 2) …………… 两式相减得 an?1 ? 3an ? 2 ? 0, 可得an?1 ? 1 ? 3(an ? 1)(n ? 2) , …………… 2分 4分

又由已知 a2 ? 14 ,所以 a2 ? 1 ? 3(a1 ? 1) ,即 {an ?1 } 是一个首项为 5,公比 q ? 3 的等比 数列,所以 an ? 5 ? 3n?1 ?1(n ? N * ) (1)因为 f / ( x) ? an ? 2an?1x ? …………… 6 分

? na1xn?1 ,所以

f / (1) ? an ? 2an ?1 ?

? na1 ? n(5 ? 30 ? 1) ? n ? 30 ] ? n(n ? 1) 2
? n ? 31
……………8 分

? (5 ? 3n ?1 ? 1) ? 2(5 ? 3n ?2 ? 1) ? ? 5[3n ?1 ? 2 ? 3n ?2 ? 3 ? 3n ?3 ?
n ?1 n?2 n ?3 令 S ? 3 ? 2 ? 3 ? 3? 3 ?

? n ? 30 则 3S ? 3n ? 2 ? 3n?1 ? 3 ? 3n?2 ?

所以,作差得 S ? ?

n 3 ? 3n ?1 5 ? 3n ?1 ? 15 n(n ? 6) / ? ? 所以 f (1) ? 2 4 4 2

即 bn ?

5 ? 3n ?1 ? 15 n(n ? 6) ? …………… 1 4 2
0分

而 bn ?1 ?

5? 3

n?2

? 15 (n ? 1)(n ? 7) 15 ? 3n 7 ? ?n? ? 0 所以,作差得 bn ?1 ? bn ? 4 2 2 2
…………… 12 分

所以 {bn } 是单调递增数列。

-4-

αan+1+βan 7. 设非常数数列{an}满足 an+2= ,n∈N*,其中常数 α,β 均为非零实数,且 α+β α+β ≠0. (1)证明:数列{an}为等差数列的充要条件是 α+2β=0; 1 5 (2)已知 α=1,β= , a1=1,a2= ,求证:数列{| an+1-an-1|} (n∈N*,n≥2)与数列 4 2 1 {n+ } (n∈N*)中没有相同数值的项. 2 7(1)解:已知数列 {an } , an ? 2 ?

? an ?1 ? ? an . ? ??
?2 ? an ?1 ? ? an ?? ? 2an ?1 ? an ,得
………………4 分

① 充分性:若 ? ? ?2 ? ,则有 an ? 2 ?

an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ,所以 {an } 为等差数列.
② 必要性:若 {an } 为非常数等差数列,则 2an ?1 ? an ? 2 ? an

an ? 2 ?

? an ?1 ? ? an 代入得 ? ? 2 ? ? 0 . ? ??
………………8 分 ………………10 分
?1 5

因此,数列{an}为等差数列的充要条件是 α+2β=0. (2)由已知得 an ? 2 ? an ?1 ? 又 因 为 a2 ? a1 ?
[ a n ?1 ? a n ] .

3 ? 0 , 可 知 数 列 {an ?1 ? an } (n∈N*) 为 等 比 数 列 , 所 以 2
?1 5 3 )
n ?1

an ?1 ? an ? ( a2 ? a1 )(

?

3

2
)

?(

?1 5

)

n ?1

(n∈N*).
3

从而有 n≥2 时,

a n ?1 ? a n ?

2

?(

?1 5

n ?1

, an ? an ?1 ?
1

2

?(

?1 5

)

n?2

. ………………12 分

于是由上述两式,得

| an ?1 ? an ?1 |?

6
5

?(

5

) n ? 2 ( n ? 2 ).

由指数函数的单调性可知,对于任意 n≥2,| an+1-an-1|= 6 所以,数列 {| an ?1 ? an ?1 |}( n ? N*, n ? 2) 中项均小于等于 . 5

6 1 n?2 6 1 2?2 6 ·( ) ≤ ·( ) = . 5 5 5 5 5

1 1 6 1 6 而对于任意的 n≥1 时,n+ ≥1+ > ,所以数列{n+ }(n∈N*)中项均大于 . 2 2 5 2 5 1 因此,数列 {| an ?1 ? an ?1 |}( n ? N*, n ? 2) 与数列{n+ }(n∈N*)中没有相同数值的项. 2

-5-


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