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2012年全国高中数学联赛模拟试题一


2012 年全国高中数学联赛模拟试题一
一、选择题:每题 6 分,满分 36 分 1、设函数 f (x) 的定义域为 R,且对任意实数 x ∈ ( ? 大值为( )A 0 B

π π

, ) , f (tan x) = sin 2 x ,则 f (2 sin x) 的最 2 2

1 2 C D 1 2 2 2 a n ? a n ?1 + 2a n 2、实数列 {a n } 定义为 a n = , n = 2, 3,L , a1 = 1 , a9 = 7, 则 a5 的值为( ) a n ?1 + 1

A 3 B -4 C 3 或-4 D 8 3、正四面体 ABCD 的棱长为 1,E 是△ABC 内一点,点 E 到边 AB,BC,CA 的距离之和为 x,点 E 到平 面 DAB,DBC,DCA 的距离之和为 y,则 x + y 等于( )
2 2

A 1 B

6 2

C

5 7 D 3 12

4.已知集合

M = {x |(x ?1)(x ? 3)(x ? 5) < 0, x ∈R },
M IN =(
(A) (2, 3)
n

N = {x |(x ? 2)(x ? 4)(x ? 6) > 0, x ∈R }.
) . (B) (3, 4) (C) (4,5) (D) (5, 6) ) .

5.已知 z = ( 3 ? 3i ) , 若 z 为实数,则最小的正整数 n 的值为(

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 6.已知 p: , b, c, d 成等比数列,q: ad = bc , 则 p 是 q 的( ) . a (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 二、填空题:每小题 9 分,满分 54 分 7、实数 x, y, z 满足 x 2 + 2 y = 7, y 2 + 4 z = ?7, z 2 + 6 x = ?14, 则 x 2 + y 2 + z 2 = . 8、设 S 是集合{1,2,…,15}的一个非空子集,若正整数 n 满足: n ∈ S , n + S ∈ S ,则称 n 是子 集 S 的模范数,这里|S|表示集合 S 中元素的个数。对集合{1,2,…,15}的所有非空子集 S,模范 数的个数之和为 .

1 . ≤ x ≤ 1 ,当 (1 + x) 5 (1 ? x)(1 ? 2 x) 2 取得最大值时,x= 2 10.已知 f ( x ) = cos 2 x + p | cos x | + p , x ∈ R .记 f ( x ) 的最大值为 h ( p ) ,则 h( p ) 的表达式
9、对于 为 . 则x= . 11.已知 sin( x + sin x ) = cos( x ? cos x) , x ∈ [ 0, π ],

uuu uuu 2 uuu 2 v v v 2 12 . 设 A, B 为 抛 物 线 y = 2 px( p > 0) 上 相 异 两 点 , 则 OA + OB ? AB 的 最 小 值 为
___________________.

三、解答题:每小题 20 分,满分 60 分 13、如图,已知三角形 ABC 的内心为 I,AC≠BC,内切圆与边 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F, S = CI I EF ,连结 CD 与内切圆的另一个交点为 M,过 M 的切线交 AB 的延长线于点 G.求证: (1) ?CDI ∽ ?DSI ; (2) GS ⊥ CI

14、设 a, b, c 是正整数,关于 x 的一元二次方程 ax + bx + c = 0 的两实数根的绝对值均小于
2

a + b + c 的最小值.

1 ,求 3

15.甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 1 分,负者得 0 分;当其中一人的得分比另一人的 多 2 分时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过 20 次,即经 20 次比赛,得 分多者赢得这场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为 p ( 0 < p < 1 ) ,乙获胜的概 率为 q = 1 ? p .假定各次比赛的结果是相互独立的,比赛经 ξ 次结束,求 ξ 的期望 Eξ 的变化范围.



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