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人教A版高中数学选修4-4导学案


二中高二数学选修 4-4 导学案

编号:15-12-11-603

新课标人教 A 版选修 4-4 第一讲 坐标系 导学案 §4.1.1—第一课 平面直角坐标系
本课提要:本节课的重点是体会坐标法的作用,掌握坐标法的解题步骤,会运用坐标法解决实际问题 与几何问题.

一、 课前小测

?温

故而知新

1.到两个定点 A(-1,0)与 B(0,1)的距离相等的点的轨迹是什么?

2.在⊿ABC 中,已知 A(5,0) ,B(-5,0) ,且 AC ? BC ? 6 ,求顶点 C 的轨迹方程.

二、典型问题

?重点、难点都在这里

【问题 1】 :某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同 时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比它们晚 4s.已知各观测点到中心的距离都是 1020m.试 确定巨响发生的位置.(假定声音传播的速度为 340m/s,各观测点均在同一平面上.) (详解见课本)

【问题 2】 :已知⊿ABC 的三边 a, b, c 满足 b 2 ? c 2 ? 5a 2 ,BE,CF 分别为边 AC,AB 上的中线,建立适 当的平面直角坐标系探究 BE 与 CF 的位置关系.

三、技能训练

?懂了,不等于会了

4.两个定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26,求点 M 的轨迹.

5.求直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 与曲线 y ?

1 的交点坐标. x

6.已知 A(-2,0) ,B(2,0) ,则以 AB 为斜边的直角三角形的顶点 C 的轨迹方程 是 . 8.已知 A(-3,0) ,B(3,0) ,直线 AM、BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为 点 M 的轨迹方程是 .

4 ,则 9

二中高二数学选修 4-4 导学案

编号:

平面直角坐标系中的伸缩变换
【基础知识导学】 1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。 2、 “坐标法”解析几何学习的始终,同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化 这一思想方法。 3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换,本质是一样的。 知识要点归纳】 思考 1:怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=sin2x?

坐标压缩变换: 设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横坐标 x 缩为原来 1/2,得到点

? ' 1 ?x ? x ? 2 P’(x’,y’).坐标对应关系为: ? y ' ? y 通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 ?
思考 2:怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sinx?写出其坐标变换。

设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持横坐标 x 不变,将纵坐标 y 伸长为原来 3 倍,得到

? x' ? x ? ' 点 P’(x’,y’).坐标对应关系为: ? y ? 3 y 通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。
思考 3:怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。

定义:设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换 ? : ? 应 P’(x’,y’).称 ? 为平面直角坐标系中的伸缩变换。

? x ' ? ?x, (? ? 0)
' ? y ? ?y, ( y ? 0)

的作用下,点 P(x,y)对

【典型例题】 在同一直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换。 将直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x? ? y ? ? 4 ,

分析:设变换为 ?

? x? ? ? ? x, (? ? 0), 可将其代入第二个方程,得 2?x ? ?y ? 4 ,与 x ? 2 y ? 2 比较, ? y ? ? ? y , ( ? ? 0 ), ?

将其变成 2 x ? 4 y ? 4, 比较系数得 ? ? 1, ? ? 4.

【解】(1) ?

? x? ? x ,直线 x ? 2 y ? 2 图象上所有点的横坐标不变,纵机坐标扩大到原来的 4 倍可得 ? y? ? 4 y

到直线 2 x? ? y ? ? 4 。

达标检测 A1.求下列点经过伸缩变换 ?

? x' ? 2 x 后的点的坐标: ? y' ? 3 y

(1) (1,2) ; (2) (-2,-1)

1 ? ? x' ? x A2.点 ( x, y ) 经过伸缩变换 ? ,则 x ? 2 后的点的坐标是(-2,6) ? ? y' ? 3 y
A3.将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( )

,y?



? ? x' ? ? A. ? ? y' ? ? ?

2 x 3 3 y 2

? ? x' ? ? B. ? ? y' ? ? ?

3 x 2 2 y 3

C. ?

? x' ? y ? y' ? x

D. ?

? x' ? x ? 1 ? y' ? y ? 1

A4.将直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x'? y' ? 4 的伸缩变换是

.

B6.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ? (1) 2 x ? 3 y ? 0 ; (2) x ? y ? 1 .
2 2

? x' ? 2 x 后的图形: ? y' ? 3 y

二中高二数学选修 4-4 导学案

编号:

1.2.1极坐标系的的概念
学习目标
1.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

学习过程
一、学前准备 情境 1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷, 它们的位置以便将它们引爆? 情境 2:如图为某校园的平面示意图,假设某同学在 处。 (1)他向东偏 60°方向走 120M 后到达什么位置?该 确定吗? (2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描述? 问题 1:为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎样的坐标系呢? 问题 2:如何刻画这些点的位置? 二、新课导学 ◆探究新知(预习教材P8~P10,找出疑惑之处) 1、如右图,在平面内取一个 自 极 点 O 引 一 条 射 线 Ox , 叫 做 个 ,一个 (通常取 方向) ,这样就建立了一个 。 ,记为 ;以极轴 Ox 为 位置唯一 教 学 楼 如何确定

M ( ? ,? )

?




O ,叫做
) 及其

?
O

;再选定一 (通

x





2、设 M 是平面内一点,极点 O 与 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的 始 边 , 射 线 OM 为 终 边 的 角 x O M 叫 做 点 M 的 , 记为 。 有序数对 叫做点 M 的 ,记作 。 3、思考:直角坐标系与极坐标系有何异同? ___________________________________________. ◆应用示例 例题 1:(1)写出图中 A,B,C,D,E,F,G 各点的极





( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) .
(2) :思考下列问题,给出解答。 ①平面上一点的极坐标是否唯一?②若不唯一, 那有 表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的?④不同的极坐标是否可以写出统一表达式? ⑤本题点 G 的极坐标统一表达式。 答: 多少种

◆反馈练习 在下面的极坐标系里描出下列各点

A(3, 0) 4? ) 3 5? G (6, ) 3 D(5,

B(6, 2? ) E (3, 5? ) 6

C (3, ) 2 F (4, ? )

?

O

X

小结:在平面直角坐标系中,一个点对应

个坐标表示,

一个直角坐标对应

个点。极坐标系里的点的极坐标有 个点。

种表示,但每个极坐标只能对应 三、总结提升 1.本节学习了哪些内容?答:能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 1.已知 M ? 5,

? ?? ? ,下列所给出的能表示该点的坐标的是 ? 3?
B. ? 5,

A. ? 5,?

? ?

??
? 3?

? ?

4? ? ? 3 ?

C. ? 5,?

? ?

2? ? ? 3 ?
)

D. ? 5, ?

? ?

5? ? ? 3 ?

2、在极坐标系中,与(ρ ,θ )关于极轴对称的点是( A、 ( ? , ? ) B、 ( ? ,?? )

C、 ( ? , ? ? ? )

D、 ( ? , ? ? ? )

3、设点 P 对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标为 ( ) A.( 3 2 ,

3 5 5 ? ) B. ( 3 2 , ? ) C. (3, ? ) 4 4 4

D. (3,

3 ?) 4

4、 (课本习题 1.2 第二题)

二中高二数学选修 4-4 导学案

编号:

1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化 学习目标
1.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式。2. 会实现极坐标和直角坐标之间的互化。

学习过程
一、学前准备 情境 1:若点作平移变动时,则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境 2:若点作旋转变动时,则点的位置采用极坐标系描述比较方便。 问题 1:如何进行极坐标与直角坐标的互化? 问题 2:平面内的一个点的直角坐标是 (1, 3) ,这个点如何用极坐标表示?

二、新课导学 ◆探究新知(预习教材P11~P11,找出疑惑之处) 直角坐标系的原点O为极点, x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一 点P的指教坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ? ,? ) , 则由三角函数的定 义可以得到如下两组公式:

x ? ? cos? { y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y2
{

tan? ?

y x

说明:1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2 、通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取 ? ≥ 0 , 0 ≤

? < 2? 。
3、互化公式的三个前提条件 (1). 极点与直角坐标系的原点重合;(2). 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; (3). 两种坐标系的单位长度相同. ◆应用示例 例 1.将点 M 的极坐标 (5, 解:

2? ) 化成直角坐标。(教材 P11 例 3) 3