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高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第六章 不等式、推理与证明 第四节 基本不等式


第四节

基本不等式

基础盘查一

基本不等式、算术平均数与几何平均数的概念

(一)循纲忆知
1.了解基本不等式的证明过程;

2.理解基本不等式及变形应用.

(二)小题查验
判断正误
a+b (1)当a≥0,b≥0时, ≥

ab 2
2 2

( √ )

a+b (2)两个不等式 a +b ≥2ab 与 2 ≥ ab成立的条件是相同的 ( × )
(3)(a+b)2≥4ab(a,b∈R)
(4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项

(√ )
(√ )

基础盘查二

利用基本不等式求最值问题

(一)循纲忆知
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

(二)小题查验
1.判断正误
1 (1)函数y=x+x的最小值是2 ( × )

x y (2)x>0且y>0是y+x≥2的充分不必要条件
1 (3)若a≠0,则a + 2的最小值为2 a
2

( √)
(√ )

2.(人教 A 版教材习题改编)设 x,y∈R ,且 x+y=18,则 xy
81 . 的最大值为___
1 16 . 3.若 x,y∈(0,+∞),且 x+4y=1,则 xy 的最大值是_____
1 解析:∵x,y∈(0,+∞),则1=x+4y≥4 xy,即xy≤ . 16



考点一 利用基本不等式证明不等式 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.

2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab (a,b∈R).

b a (2)a+b≥2(a,b同号).
?a+b? ?2 (3)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R). ? ? ? a2+b2 ? ?a+b?2 (4) ≥? (a,b∈R). ? 2 ? 2 ?

[典题例析]
bc ac ab 设a,b,c都是正数,求证: a + b + c ≥a+b+c.
bc ca ab 证明:∵a,b,c都是正数,∴ a , b , c 都是正数. bc ca ∴ a + b ≥2c,当且仅当a=b时等号成立, ca ab b + c ≥2a,当且仅当b=c时等号成立, ab bc c + a ≥2b,当且仅当a=c时等号成立.
?bc ca ab? 三式相加,得2? a + b + c ?≥2(a+b+c), ? ?

bc ca ab 即 a + b + c ≥a+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立.

[类题通法]

利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情 况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式 条件的可通过“变形”来转换, 常见的变形技巧有: 拆项, 并项, 也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.

[演练冲关] 1 1 设a,b均为正实数,求证: 2+ 2+ab≥2 2. a b 1 1 证明:由于a,b均为正实数,所以 2+ 2≥2 a b

1 1 2 ·= , a2 b2 ab

1 1 当且仅当 2= 2,即a=b时等号成立, a b 2 2 2 又因为ab+ab≥2 ab=2 2,当且仅当ab=ab时等号成立, ab· 1 1 2 所以 2+ 2+ab≥ab+ab≥2 2, a b ?1 1 ?a2=b2, 当且仅当? ? 2 =ab, ?ab 4

即a=b= 2时取等号.

考点二

利用基本不等式求最值 (题点多变型考点——全面发掘)

[必备知识]
已知x>0,y>0,则: (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值 是2 p.(简记:积定和最小)

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是 p2 .(简记:和定积最大) 4

[一题多变]

[典型母题]
1 1 4 . 已知 a>0,b>0,a+b=1,则a+b的最小值为___

[解析] ∵a>0,b>0,a+b=1, 1 1 a+b a+b b a ∴a+b= a + b =2+a+b ≥ 2+ 2 ba a· b= 4 ,

1 1 1 即a+b的最小值为 4,当且仅当 a=b=2时等号成立.

[题点发散 1]

本例的条件已知 a>0, b>0, a+b=1

? 1? 不变, 则?1+a? ? ?

? 1? 9 . ?1+ ?的最小值为_____ b ? ?

? ? ? a+b? a+b? b? ? a? 1? ? 1? ? ? ? ? ? ?2+ ? =5+ 解析: ?1+a? ?1+b? = ?1+ = ?2+a? · 1 + ? ? ? b? a ?? b ? ? ? ?? ? ? ? ? ?b a? 1 ? ? 2 a+b ≥5+4=9.当且仅当a=b= 时,取等号. 2 ? ?

1 1 [题点发散 2] 本例的条件和结论互换即: 已知 a>0, b>0, a+b=

1 . 4,则 a+b 的最小值____
1 1 1 1 解析:由a+b=4,得4a+4b=1.
?1 1? 1 b a 1 ? ? ∴a+b= 4a+4b (a+b)=2+4a+4b≥2+2 ? ?

b a 4a+4b=1.

1 当且仅当 a=b=2时取等号.

[题点发散 3] b

8 1 3 . 的最小值为____

2 若本例条件变为:已知 a>0,b>0,a+2b=3,则a+

1 2 解析:由 a+2b=3 得3a+3b=1, 2 ??2 1? 4 a 4b 2 1 ?1 ∴a+b=?3a+3b??a+b?=3+3b+3a ? ?? ? 4 ≥3+2 a 4b 8 3b· 3a=3.

3 当且仅当 a=2b=2时,取等号.

[题点发散 4]

本例的条件变为:已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b

1 1 1 +c=1,则a+b+ c的最小值为____ 9 .
解析:∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c b c a c a b ∴a+b+c = a + b + = 3 + c a+a+b+b+c + c
?b a? ?c a ? ?c b? =3+?a+b?+?a+c ?+?b+c ?≥3+2+2+2=9. ? ? ? ? ? ?

1 当且仅当a=b=c= 时,取等号. 3

[题点发散 5]

若本例变为:已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7=

1 4 a6+2a5,若存在两项 am,an,使得 am· an=2 2a1,则m+n的最小

9 5 . 值为_____

解析:设公比为 q(q>0),由 a7=a6+2a5?a5q2=a5q+2a5?q2-q-2 =0(q>0)?q=2.
m 1 n 1 am· an= 2 2 a1? a12m 1· a12n 1= 8a2 ? 2 · 2 =8?m+n- 2=3?m 1
- - - -

? n 4 m? ? 1 1 4 1? 1 4 ? 1? 9 ? ? ? ? ? ? + + +n=5,则m+n=5 m n (m+n)=5 5+ m n ≥5(5+2 4)=5, ? ? ?? ? ?

10 当且仅当 n=2m= 3 时等号成立.

[类题通法]

利用基本不等式求最值的方法及注意点
(1)知和求积的最值: 求解此类问题的关键:明确“和为定

值,积有最大值”.但应注意以下两点:①具备条件——正数; ②验证等号成立.
(2)知积求和的最值: 明确“积为定值,和有最小值”,直

接应用基本不等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的条 件.

(3)构造不等式求最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问

题时, 通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换, 构造不等式求解.

(4)利用基本不等式求最值需注意的问题: ① 非 零 的 各 数
(或式)均为正;②和或积为定值;③等号能否成立,即“一正、 二定、三相等”,这三个条件缺一不可.

考点三

基本不等式的实际应用 (重点保分型考点——师生共研)

[典题例析]
某厂家拟在2014年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量 k (即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3- m+ 1 (k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万 件.已知2014年生产该产品的固定投入为8万元.每生产一万件该产 品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年 平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2014年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

解:(1)由题意知,当 m=0 时,x=1(万件), 2 ∴1=3-k?k=2,∴x=3- , m+1 8+16x 每件产品的销售价格为 1.5× x (元), 8+16x ∴2014 年的利润 y=1.5x× x -8-16x-m
? 16 ? ? =-?m+1+?m+1?? ?+29(m≥0). ? ?

16 (2)∵m≥0时, +(m+1)≥2 16=8, m+ 1 ∴y≤-8+29=21, 16 当且仅当 =m+1?m=3(万元)时,ymax=21(万元). m+ 1 故该厂家2014年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21 万元.

[类题通法]

利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)此类型的题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼 出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在 定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的 范围用对应函数的单调性求解.

[演练冲关]

某化工企业2014年年底投入100万元,购入一套污水处理设 备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定 的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年 的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年 平均污水处理费用为y(单位:万元). (1)用x表示y; (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新 的污水处理设备.则该企业几年后需要重新更换新的污水处理 设备.

100+0.5x+?2+4+6+?+2x? 解:(1)由题意得,y= , x 100 即y=x+ x +1.5(x∈N*). (2)由基本不等式得: 100 y=x+ x +1.5≥2 100 x·x +1.5=21.5,

100 当且仅当x= x ,即x=10时取等号. 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.

“课后演练提能”见“课时跟踪检测(三十八)” (单击进入电子文档)

“板块命题点专练(九)”
(单击进入电子文档)

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