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高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第六章 不等式、推理与证明 第四节 基本不等式


第四节

基本不等式

基础盘查一

基本不等式、算术平均数与几何平均数的概念

(一)循纲忆知
1.了解基本不等式的证明过程;

2.理解基本不等式及变形应用.

(二)小题查验
判断正误
a+b (1)当a≥0,b≥0时, ≥

ab 2
2 2

( √ )

a+b (2)两个不等式 a +b ≥2ab 与 2 ≥ ab成立的条件是相同的 ( × )
(3)(a+b)2≥4ab(a,b∈R)
(4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项

(√ )
(√ )

基础盘查二

利用基本不等式求最值问题

(一)循纲忆知
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

(二)小题查验
1.判断正误
1 (1)函数y=x+x的最小值是2 ( × )

x y (2)x>0且y>0是y+x≥2的充分不必要条件
1 (3)若a≠0,则a + 2的最小值为2 a
2

( √)
(√ )

2.(人教 A 版教材习题改编)设 x,y∈R ,且 x+y=18,则 xy
81 . 的最大值为___
1 16 . 3.若 x,y∈(0,+∞),且 x+4y=1,则 xy 的最大值是_____
1 解析:∵x,y∈(0,+∞),则1=x+4y≥4 xy,即xy≤ . 16



考点一 利用基本不等式证明不等式 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.

2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab (a,b∈R).

b a (2)a+b≥2(a,b同号).
?a+b? ?2 (3)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R). ? ? ? a2+b2 ? ?a+b?2 (4) ≥? (a,b∈R). ? 2 ? 2 ?

[典题例析]
bc ac ab 设a,b,c都是正数,求证: a + b + c ≥a+b+c.
bc ca ab 证明:∵a,b,c都是正数,∴ a , b , c 都是正数. bc ca ∴ a + b ≥2c,当且仅当a=b时等号成立, ca ab b + c ≥2a,当且仅当b=c时等号成立, ab bc c + a ≥2b,当且仅当a=c时等号成立.
?bc ca ab? 三式相加,得2? a + b + c ?≥2(a+b+c), ? ?

bc ca ab 即 a + b + c ≥a+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立.

[类题通法]

利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情 况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式 条件的可通过“变形”来转换, 常见的变形技巧有: 拆项, 并项, 也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.

[演练冲关] 1 1 设a,b均为正实数,求证: 2+ 2+ab≥2 2. a b 1 1 证明:由于a,b均为正实数,所以 2+ 2≥2 a b

1 1 2 ·= , a2 b2 ab

1 1 当且仅当 2= 2,即a=b时等号成立, a b 2 2 2 又因为ab+ab≥2 ab=2 2,当且仅当ab=ab时等号成立, ab· 1 1 2 所以 2+ 2+ab≥ab+ab≥2 2, a b ?1 1 ?a2=b2, 当且仅当? ? 2 =ab, ?ab 4

即a=b= 2时取等号.

考点二

利用基本不等式求最值 (题点多变型考点——全面发掘)

[必备知识]
已知x>0,y>0,则: (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值 是2 p.(简记:积定和最小)

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是 p2 .(简记:和定积最大) 4

[一题多变]

[典型母题]
1 1 4 . 已知 a>0,b>0,a+b=1,则a+b的最小值为___

[解析] ∵a>0,b>0,a+b=1, 1 1 a+b a+b b a ∴a+b= a + b =2+a+b ≥ 2+ 2 ba a· b= 4 ,

1 1 1 即a+b的最小值为 4,当且仅当 a=b=2时等号成立.

[题点发散 1]

本例的条件已知 a>0, b>0, a+b=1

? 1? 不变, 则?1+a? ? ?

? 1? 9 . ?1+ ?的最小值为_____ b ? ?

? ? ? a+b? a+b? b? ? a? 1? ? 1? ? ? ? ? ? ?2+ ? =5+ 解析: ?1+a? ?1+b? = ?1+ = ?2+a? · 1 + ? ? ? b? a ?? b ? ? ? ?? ? ? ? ? ?b a? 1 ? ? 2 a+b ≥5+4=9.当且仅当a=b= 时,取等号. 2 ? ?

1 1 [题点发散 2] 本例的条件和结论互换即: 已知 a>0, b>0, a+b=

1 . 4,则 a+b 的最小值____
1 1 1 1 解析:由a+b=4,得4a+4b=1.
?1 1? 1 b a 1 ? ? ∴a+b= 4a+4b (a+b)=2+4a+4b≥2+2 ? ?

b a 4a+4b=1.

1 当且仅当 a=b=2时取等号.

[题点发散 3] b

8 1 3 . 的最小值为____

2 若本例条件变为:已知 a>0,b>0,a+2b=3,则a+

1 2 解析:由 a+2b=3 得3a+3b=1, 2 ??2 1? 4 a 4b 2 1 ?1 ∴a+b=?3a+3b??a+b?=3+3b+3a ? ?? ? 4 ≥3+2 a 4b 8 3b· 3a=3.

3 当且仅当 a=2b=2时,取等号.

[题点发散 4]

本例的条件变为:已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b

1 1 1 +c=1,则a+b+ c的最小值为____ 9 .
解析:∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c b c a c a b ∴a+b+c = a + b + = 3 + c a+a+b+b+c + c
?b a? ?c a ? ?c b? =3+